Matemática - Função Quadrática

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FUNÇÃO QUADRÁTICA 
1. DEFINIÇÃO 
 
Chama-se função quadrática qualquer função 𝑓 de ℝ em ℝ dada por uma lei da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² +
𝑏𝑥 + 𝑐, onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números reais e 𝑎 ≠ 0. 
 
Exemplos: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥² + 3𝑥 + 5 com 𝑎 = 2, 𝑏 = 3 e 𝑐 = 5 
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 1 com 𝑎 = 1, 𝑏 = 0 e 𝑐 = −1 
𝑓(𝑥) = −𝑥² + 2𝑥 com 𝑎 = −1, 𝑏 = 2 e 𝑐 = 0 
𝑓(𝑥) = −4𝑥2 com 𝑎 = −4, 𝑏 = 0 e 𝑐 = 0 
 
Nota: Quando 𝑏 ou 𝑐 ou ainda os dois simultaneamente valem zero, dizemos que a função é 
incompleta. 
 
2. VALOR OU IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA EM UM PONTO 
 
Duas situações são importantes: 
1ª) dado 𝑥, calcular 𝑓(𝑥) 
Por exemplo, se 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6, para calcular o valor dessa função no ponto 𝑥 = 2, ou seja, 
𝑓(2), fazemos: 
𝑓(2) = 2² − 5.2 + 6 
𝑓(2) = 4 − 10 + 6 
𝑓(2) = 0 
 
2ª) dado 𝑓(𝑥), calcular 𝑥 
Por exemplo, 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 12𝑥 + 38 
se 𝑓(𝑥) = 3, para calcular o 𝑥, teremos: 
𝑥² − 12𝑥 + 38 = 3 
𝑥² − 12𝑥 + 38 − 3 = 0 
𝑥² − 12𝑥 + 35 = 0 
Chegamos numa equação do 2º grau. Resolvendo, encontraremos 𝑥′ = 7 e 𝑥′′ = 5. Verifique! 
 
3. ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Chamamos ZEROS ou RAÍZES da função quadrática os números reais que tornam 𝑓(𝑥) = 0. 
Então os ZEROS da função quadrática são as soluções da equação do 2º grau 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0. 
Graficamente, os ZEROS são os valores de x dos pontos em que a parábola intersecta o eixo 𝑥. 
Vejamos algumas maneira de determinar os ZEROS da função quadrática: 
 
1ª) USANDO A FÓRMULA DE BHÁSKARA 
 
𝑥′ =
−𝑏 + √∆
2𝑎
 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 
 ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
 
𝑥′′ =
−𝑏 − √∆
2𝑎
 
 
2ª) USANDO A FATORAÇÃO 
A fatoração é um processo útil em equações incompletas, principalmente quando 𝑐 = 0. 
Veja um exemplo: 
Determinar os zeros de: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 
Resolução: 
𝑥² − 5𝑥 = 0 
𝑥(𝑥 − 5) = 0 
Nesse caso, ou 𝑥 = 0 ou 𝑥 − 5 = 0 
𝑥′ = 0 
𝑥 − 5 = 0 
𝑥′′ = 5 
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 
Resolução: 
𝑥² + 2𝑥 = 0 
𝑥(𝑥 + 2) = 0 
Nesse caso, ou 𝑥 = 0 ou 𝑥 + 2 = 0 
𝑥′ = 0 
𝑥 + 2 = 0 
𝑥′′ = −2 
 
3ª) ISOLANDO O X 
Isolar o 𝑥 é um processo útil quando não existe o termo em 𝑥, ou seja, quando 𝑏 = 0. 
Veja um exemplo: 
Determinar os zeros de: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 9 
Resolução: 
𝑥² − 9 = 0 
𝑥² = 9 
𝑥 = ±√9 
𝑥 = ±3 
Então, 
𝑥′ = 3 e 𝑥′′ = −3 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 32 
Resolução: 
2𝑥² − 32 = 0 
2𝑥² = 32 
𝑥² =
32
2
 
𝑥² = 16 
𝑥 = ±√16 
𝑥 = ±4 
Então, 
𝑥′ = 4 e 𝑥′′ = −4 
 
4ª) USANDO AS RELAÇÕES DE GIRARD 
Também conhecida como SOMA E PRODUTO das raízes. 
 
Soma: 𝑥′ + 𝑥′′ =
−𝑏
𝑎
 
 
Produto: 𝑥′. 𝑥′′ =
𝑐
𝑎
 
 
Sendo possível determinar dois números cuja soma e cujo produto sejam os valores obtidos na 
equação acima, esses números serão as raízes da função quadrática. 
Esse processo é mais indicado para equações mais simples, cujas raízes sejam números inteiros. 
Veja um exemplo: 
Determinar os zeros de: 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6 
Resolução: 
𝑥′ + 𝑥′′ =
−𝑏
𝑎
 
 
−𝑏
𝑎
=
−(−5)
1
=
5
1
= 5 
 
𝑥′. 𝑥′′ =
𝑐
𝑎
 
 
𝑐
𝑎
=
6
1
= 6 
Teremos que pensar em dois 
números que somados resulte 
em 5 e multiplicados resulte 
em 6. Esses números são 2 e 
3. Assim 𝑥′ = 2 e 𝑥′′ = 3 
 
 
 
 
 
4. GRÁFICO 
 
O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. 
 
 
Vamos estudar os efeitos dos coeficientes 𝑎, 𝑏 e 𝑐 na parábola. 
 
COEFICIENTE 𝑎 
O coeficiente 𝑎 é responsável pela concavidade e abertura da parábola. 
 Se 𝑎 > 0, a concavidade é para cima. 
 
 Se 𝑎 < 0, a concavidade é para baixo. 
 
 
Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais 
“fechada”), independentemente da concavidade ser para cima ou para baixo. 
 
 
COEFICIENTE 𝑏 
Indica se a parábola intersecta o eixo 𝑦 no ramo crescente ou decrescente da parábola. 
 Se 𝑏 > 0, a parábola intersecta o eixo 𝑦 no ramo crescente. 
 
 Se 𝑏 < 0, a parábola intersecta o eixo 𝑦 no ramo decrescente. 
 
 Se 𝑏 = 0, a parábola intersecta o eixo 𝑦 no vértice. 
 
 
COEFICIENTE 𝑐 
Indica o ponto onde a parábola intersecta o eixo 𝑦. 
A parábola intersecta o eixo 𝑦 no ponto (0, 𝑐), ou seja, 𝑓(0) = 𝑐. 
 
 
Nota: 
∆> 0, teremos uma raiz real dupla (a parábola intersecta o eixo 𝑥 em um só ponto) 
∆= 0, teremos duas raízes reais diferentes (a parábola intersecta o eixo 𝑥 em dois pontos) 
∆< 0, não há nenhuma raiz real dupla (a parábola não intersecta o eixo 𝑥) 
Graficamente, temos: 
 
 
 
 
 
 
5. VERTICE DA PARÁBOLA, VALOR MÁXIMO OU MÍNIMO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Quando 𝑎 > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de VALOR MÍNIMO (V); 
Quando 𝑎 < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de VALOR MÁXIMO (V). 
Em qualquer caso, as coordenadas de V são (−𝑏
2𝑎
,
−∆
4𝑎
). 
 
Outra maneira de determinar o vértice é lembrar que a parábola, que representa uma função quadrática, 
é simétrica em relação a um eixo vertical. Determinando a posição desse eixo, encontraremos a 
abscissa do vértice, e com a abscissa do vértice obteremos a ordenada. Veja um exemplo: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥² − 8𝑥 
Obtendo as raízes, teremos 𝑥′ = 0 e 𝑥′′ = 4. Dada a simetria das parábolas, o eixo de simetria terá 
abscissa 
 𝑥𝑣 =
𝑥′+𝑥′
2
=
0+4
2
= 2. 
Substituindo 𝑥 = 2 na função, obtemos a ordenada do vértice 
𝑓(𝑥) = 2 . 2² − 8 . 2 = −8 
Então, o vértice é o ponto (2, −8). 
 
6. DETERMINAÇÃO DA LEI DE FORMAÇÃO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
1ª) A PARTIR DOS ZEROS 
Usamos a Relação de Girard. A função terá a forma: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑺𝑥 + 𝑷 
𝑆 = 𝑥′ + 𝑥′′ 
𝑃 = 𝑥′. 𝑥′′ 
 Exemplo: Determinar a lei de formação da função quadrática cujas raízes são 2 e 3. 
 Resolução: 
 𝑆: 2 + 3 = 5 
 𝑃: 2 . 3 = 6 
 Portanto, a função será 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6 
 
2ª) A PARTIR DOS ZEROS E UM PONTO QUALQUER 
Usamos a FORMA FATORADA da função quadrática. 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥′)(𝑥 − 𝑥′′) 
Exemplo: Determinar a lei de formação da função quadrática representada pelo gráfico abaixo: 
 Resolução: 
Os zeros são 1 e 3. 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) 
A parábola passa pelo ponto (2, −1), então: 
𝑎(2 − 1)(2 − 3) = −1 
𝑎 . 1 . −1 = −1 
−𝑎 = −1 
𝑎 = 1 
Voltamos para 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) e substituímos o valor de 𝑎. 
𝑓(𝑥) = 1 . (𝑥 − 1)(𝑥 − 3) 
𝑓(𝑥) = 1 . (𝑥2 − 3𝑥 − 𝑥 + 3) 
𝑓(𝑥) = 1 . (𝑥2 − 4𝑥 + 3) 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 
 
3ª) A PARTIR DO VERTICE E UM PONTO QUALQUER 
Usamos a FORMA CANÔNICA da função quadrática. 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)² + 𝑦𝑣 
Exemplo: Determinar a lei de formação da função quadrática representada pelo gráfico abaixo: 
 Resolução: 
As coordenadas do vértice são (1,2). 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)² + 2 
A parábola passa pelo ponto (0,3), então: 
𝑎(0 − 1)² + 2 = 3 
𝑎(−1)² + 2 = 3 
𝑎 . 1 + 2 = 3 
𝑎 = 3 − 2 
𝑎 = 1 
Voltamos para 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)² + 2 e substituímos o valor de 𝑎. 
𝑓(𝑥) = 1 . (𝑥 − 1)² + 2 
𝑓(𝑥) = 1 . (𝑥² − 2𝑥 + 1) + 2 
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 + 1 + 2 
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 + 3 
 
 
7. IMAGEM 
O conjunto imagem 𝐼𝑚 da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 é o conjunto dos valores que 𝑦 pode assumir. 
Há duas possibilidades: 
1ª) Quando 𝑎 > 0 
 
𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ 𝑅|𝑦 ≥ 𝑦𝑣} 
 
Lembrando que 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
 
 
2ª) Quando 𝑎 < 0 
 
𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ 𝑅|𝑦 ≤ 𝑦𝑣} 
 
Lembrando que 𝑦𝑣 =
−∆
4𝑎
 
 
 
8. CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA 
É possível construir o gráfico da função do 2º grau sem montar a tabela de pares (𝑥, 𝑦),
mas seguindo 
apenas o roteiro de observações seguinte: 
1º) O valor do coeficiente 𝑎 define a concavidade da parábola; 
2º) Os zeros definem os pontos em que a parábola intersecta o eixo dos 𝑥; 
3º) O vértice 𝑉(𝑥𝑣, 𝑦𝑣) indica o ponto de mínimo (𝑠𝑒 𝑎 > 0) ou de máximo(𝑠𝑒 𝑎 < 0); 
4º) O coeficiente 𝑐 indica o ponto em que a parábola corta o eixo dos 𝑦. 
 
Exemplo: Vamos construir o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 + 1. 
Resolução: 
 Concavidade voltada para cima, pois 𝑎 = 1 > 0 
 Zeros: 𝑥 = 1 (𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑢𝑝𝑙𝑎) 
 Vértice: 𝑉 = (1,0) 
 Interseção com o eixo 𝑦: 𝑐 = 1 
 
Note que 𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ 𝑅|𝑦 ≥ 0} 
Exercite a construção da parábola esboçando o gráfico de 𝑓(𝑥) = −4𝑥2 + 4𝑥 + 5 
 
9. ESTUDO DO SINAL 
Estudar o sinal da função quadrática significa determinar os valores reais de 𝑥 para os quais 𝑦 é 
negativo, 𝑦 é positivo e 𝑦 se anula. 
Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo com o coeficiente 
𝑎, pode ocorrer duas situações. 
 
1º CASO: ∆> 0 
 a função admite dois zeros reais diferentes: 𝑥′𝑒 𝑥′′, portanto, a parábola, que representa a 
função, intersecta o eixo 𝑥 em dois pontos. 
Dispositivo prático: 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 = 𝑥′′𝑜𝑢 𝑥 = 𝑥′ 
𝑓(𝑥) > 0 para 𝑥 < 𝑥′′𝑜𝑢 𝑥 > 𝑥′ 
𝑓(𝑥) < 0 para 𝑥′′ < 𝑥 < 𝑥′ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 = 𝑥′′𝑜𝑢 𝑥 = 𝑥′ 
𝑓(𝑥) > 0 para 𝑥 < 𝑥′′𝑜𝑢 𝑥 > 𝑥′ 
𝑓(𝑥) < 0 para 𝑥′′ < 𝑥 < 𝑥′ 
 
2º CASO: ∆= 0 
 a função admite um zero real duplo 𝑥′ = 𝑥′′, portanto, a parábola que representa a função 
tangencia o eixo 𝑥. 
Dispositivo prático: 
 
𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 = 𝑥′ = 𝑥′′ 
𝑓(𝑥) > 0 para 𝑥 ≠ 𝑥′ 
∄ 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) < 0 
 
𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 = 𝑥′ = 𝑥′′ 
𝑓(𝑥) < 0 para 𝑥 ≠ 𝑥′ 
∄ 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) > 0 
 
3º CASO: ∆< 0 
 a função não admite zeros reais, portanto, a parábola que representa a função não intersecta o 
eixo x. 
Dispositivo prático: 
 
𝑓(𝑥) > 0 para todo 𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙 
∄ 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 0 
∄ 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) < 0 
 
𝑓(𝑥) < 0 para todo 𝑥 𝑟𝑒𝑎𝑙 
∄ 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 0 
∄ 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) > 0 
 
Exemplo: Vamos fazer o estudo do sinal de 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 5𝑥 + 6 
Resolução: 
Temos 𝑎 = 1 > 0  parábola com concavidade voltada para cima. 
∆= (−5)2 − 4 . 1 . 6 
∆= 25 − 24 
∆= 1  dois zeros reais e distintos 
Ao resolver a equação 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0, encontraremos os seguintes zeros: 𝑥′ = 2 e 𝑥′′ = 3 
Dispositivo prático: 
 
Resposta: 
 𝑓(𝑥) > 0 para 𝑥 < 2 ou 𝑥 > 3 
𝑓(𝑥) < 0 para 2 < 𝑥 < 3 
𝑓(𝑥) = 0 para 𝑥 = 2 ou 𝑥 = 3 
 
10. INEQUAÇÕES DO 2º GRAU 
Vamos aplicar o estudo do sinal da função quadrática na resolução das inequações. 
Exemplo: Resolver a inequação 6𝑥² − 5𝑥 + 1 ≤ 0 
Resolução: 
𝑎 = 6 > 0  parábola com concavidade voltada para cima. 
∆= (−5)2 − 4 . 6 . 1 
∆= 25 − 24 
∆= 1  dois zeros reais e distintos 
Ao resolver a equação 6𝑥² − 5𝑥 + 1 = 0, encontraremos os seguintes zeros: 𝑥′ =
1
3
 e 𝑥′′ =
1
2
 
Dispositivo prático: 
 
A inequação pergunta para que valores de 𝑥 temos 𝑦 ≤ 0, resposta: 
1
3
≤ 𝑥 ≤
1
2
 ou 
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|
1
3
≤ 𝑥 ≤
1
2
}. 
 
11. OUTROS TIPOS DE INEQUAÇÕES 
Existem algumas inequações mais complexas: inequação simultânea, inequação-produto e inequação-
quociente. Vejamos como resolver cada uma delas: