Gabarito da Atividade Online 2_FM III_2019 1

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UNEB – UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA 
NEAD – NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS I 
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA A DISTÂNCIA 
DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA III 
PROFESSORA FORMADORA: ROSELY OUAIS PESTANA BERVIAN 
 
GABARITO DA ATIVIDADE ON-LINE 2 
 
Questão 1. Quantos são os anagramas da palavra CORAGEM: 
 
a) que começam por consoante e terminam por vogal? 
Como os anagramas devem começar por consoante e terminar por vogal e na palavra CORAGEM existem 
4 consoantes e 3 vogais, então existem 4 possibilidades para a primeira posição e 3 possibilidades para a 
última letra. Em seguida, devemos permutar as 5 letras restantes, o que corresponde a 5! possibilidades. 
Portanto, o número de anagramas da palavra CORAGEM que começam por consoante e terminam por 
vogal é dado por 4.3.5! = 1440 anagramas. 
 
b) que têm as consoantes juntas em qualquer ordem? 
Considerando as quatro consoantes juntas como uma única letra (O A E CRGM), temos 4! possibilidades 
e como as consoantes podem ficar em qualquer ordem, elas podem permutar, o que corresponde a 4! 
possibilidades. Assim, o número de anagramas da palavra CORAGEM que têm as consoantes juntas, em 
qualquer ordem, é dado por 4!.4! = 24 x 24 = 576 anagramas. 
 
c) que têm as letras OAE juntas nessa ordem? 
Como os anagramas devem ter as letras OAE juntas nessa ordem, então vamos considerar essas 3 letras 
como uma única letra. Então, temos que permutar OAE C R G M, o que corresponde a 5! possibilidades. 
Portanto, o número de anagramas da palavra CORAGEM que têm as letras OAE juntas nessa ordem é dado 
por 5! = 120 anagramas. 
 
d) que têm as vogais e as consoantes intercaladas? 
Como os anagramas devem ter consoantes (C) e vogais (V) intercaladas, elas deverão aparecer na seguinte 
ordem C V C V C V C. Então, devemos colocar 4 consoantes nos quatro lugares de ordem ímpar (4! modos) 
e as 3 vogais nos três lugares de ordem par (3! modos). Portanto, o número de anagramas da palavra 
CARINHO que têm consoantes e vogais intercaladas é dado por 4! 3! = 24 𝑥 6 = 144 anagramas. 
 
 
Questão 2. 
a) Deve ser formada uma comissão constituída de 3 estatísticos e 3 economistas escolhidos entre 7 
estatísticos e 6 economistas. De quantas maneiras diferentes poderão ser formadas essa comissões? 
 
Podemos dividir a seleção da comissão em duas etapas: 
 
1. Escolher 3 estatísticos de um conjunto de 7 estatísticos. 
2. Escolher 3 economistas de um conjunto de 6 economistas. 
A primeira tarefa pode ser feita de 𝐶(7,3) =
7!
3!4!
= 35 maneiras, enquanto a segunda etapa pode ser feita 
de 𝐶(6,3) =
6!
3!3!
= 20 maneiras. Pelo princípio multiplicativo, temos um total de 35 x 20 = 700 comissões. 
 
b) Dadas duas retas r e s paralelas, marcam-se 6 pontos distintos sobre r e 4 pontos distintos sobre s. 
Determine o número de triângulos distintos que podem ser traçados, com vértices sobre os pontos 
marcados. 
 
Para formar um triângulo ou tomamos um vértice na reta r e dois na reta s ou tomamos um vértice na 
reta s e dois na reta r. O número de triângulos do primeiro tipo é 6. 𝐶(4,2) = 6 𝑥 6 = 36 e o do segundo 
tipo é 4. 𝐶(6,2) = 4 𝑥 15 = 60. Logo, a resposta é 36 + 60 = 96 triângulos. 
 
Poderíamos, também, pensar assim: para formar um triângulo devemos escolher 3 pontos, não situados 
na mesma reta, entre os 10 pontos dados. O número de modos de escolher 3 dos 10 pontos é 𝐶(10,3) =
10!
3!7!
= 120. Desse total devemos retirar as 𝐶(6,3) = 20 escolhas de 3 pontos da reta r e as 𝐶(4,3) = 4 
escolhas possíveis de 3 pontos da reta s. Logo, a resposta é 120 – 20 – 4 = 96 triângulos. 
 
 
Questão 3. Para fazer uma prova os alunos Eduardo, Maria, Fábio, Felipe, Beth e Lívia resolveram sentar 
na mesma fila, de tal forma que Eduardo nunca esteja à frente de Maria e Fábio deve ficar entre o Felipe 
e Lívia. De quantas maneiras distintas eles podem se sentar? 
 
Como Fábio (Fa) deve ficar entre o Felipe (Fe) e a Lívia (L), consideraremos Fe Fa L como uma única pessoa. 
Assim, como Eduardo nunca estará à frente de Maria, temos as seguintes possibilidades, considerando o 
sentido da fila da direita para à esquerda: 
 
E __ __ __ (Eduardo é o último da fila) 
3! = 6 maneiras de sentar Maria, Beth e FeFaL 
 
__ E __ __ (Eduardo está sentado na quinta cadeira) 
Maria tem duas possibilidades para sentar à frente de Eduardo e permutaremos Beth e FeFaL nas cadeiras 
restantes, o que corresponde a 2 x 2! = 4 maneiras 
 
__ __ E M (Eduardo está sentado na segunda cadeira) 
Nesta situação, só existe uma possibilidade para Maria sentar e permutaremos Beth e FeFaL nas posições 
restantes, o que corresponde a 2 possibilidades. 
 
Então, considerando a ordenação Fe Fa L, o número de possibilidades é dado por 6 + 4 + 2 = 12. Como 
temos, também, a possibilidade de ordenação L Fa Fe (já que Fábio deve ficar entre Felipe e Lívia), então 
o número de maneiras para os 6 alunos sentarem obedecendo às restrições estabelecidas é igual a 
2 x 12 = 24. 
 
 
Questão 4. De quantos modos 5 casais podem formar uma roda de ciranda, de modo que cada homem 
permaneça ao lado de sua mulher? 
 
Há (PC)5 = 4! modos de formar uma roda com as 5 mulheres. Depois disso, para cada um dos 5 maridos 
há dois modos de entrar na roda: à direita ou à esquerda de sua mulher. Portanto, a resposta é 
4! x 25 = 24 x 32 = 768 modos. 
 
 
 
 
Questão 5. Os círculos da figura abaixo foram preenchidos com os números de 1 a 7, de modo que todas 
as flechas apontam de um número menor para um maior. Neste caso, dizemos que a figura foi bem 
preenchida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Complete a figura abaixo com os números de 1 a 9 de modo que ela fique bem preenchida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Só existe uma maneira de preencher o diagrama, como mostramos a seguir. 
• O número 9 não pode ficar abaixo de nenhum número, logo deve ficar no topo. 
• Acima do número 7 só podemos colocar o 9 e 8. Como o 9 já está no topo, o 8 ficará acima do 7. 
 • O número 6 não pode ficar abaixo do 5 nem do 2, logo ficará abaixo do 8 , ao lado do 7. 
• O número 1 é o único que pode ficar abaixo do 2. 
• Os números 3 e 4 devem ficar abaixo do 5, com o 3 debaixo do 4. 
 
A sequência de figuras a seguir ilustra as etapas deste raciocínio. 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
b) De quantas maneiras a figura abaixo pode ser bem preenchida com os números de 1 a 5? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) De quantas maneiras a figura ao lado pode ser bem preenchida com os números de 1 a 7?