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Analise combinatória 1. Se uma sala tem 10 portas, então o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma é: 90 48 80 60 100 2. Em nosso sistema de numeração, quantos números de quatro algarismos existem ? 7900 8100 6800 9000 900 3. Considerando a um inteiro , tal que a > 1, analise as afirmativas abaixo: I. a! - b! = a, sendo b = a - 1; II. a!/b! = a, sendo b = a - 1; III. a!/a = (a-1)!; Encontramos afirmativas corretas somente em: II II e III I III I e III 4. Se uma sala tem 10 portas, então o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente é: 48 90 64 80 76 5. No sistema de emplacamento de veículos que começa a ser implantado, as placas têm 3 letras como prefixo, podendo haver letras repetidas. Usando apenas vogais, o número máximo de prefixos é: 125 15 60 35 90 6. Considerando a um inteiro diferente de zero, analise as afirmativas abaixo: I. a! + a! = 2(a!) II. a! x a! = 2(a!)2; III. (a2)! é sempre par; Encontraremos afirmativas verdadeiras somente em: I I, II e III III I e III II 7. Cada uma das colunas do histograma abaixo deverá ser pintada com uma única cor, escolhida dentre cinco disponíveis, de modo que duas colunas nunca sejam pintadas com a mesma cor. Qual o número de formas de se pintar as colunas? 50400 19720 12050 20480 18400 8. Se (a-1)! = 120, então o valor de a será: 5 4 6 7 3 . Numa van usada para transporte, os passageiros podem escolher um, dentre os sete assentos numerados de 1 a 7. Assim sendo, de quantos modos diferentes podemos acomodar 7 pessoas nesse veículo ? 5040 4960 3080 4856 2456 2. Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados? 710 740 730 750 720 Gabarito Coment. 3. De quantos modos podemos ordenar 2 livros de Matemática, 3 de Português e 4 de Física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de Física fiquem, entre si, sempre na mesma ordem? 60 76 68 72 80 4. O número de múltiplos de três, com quatro algarismos distintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9 é: 96 48 72 24 36 Gabarito Coment. 5. As amigas Aline, Bruna, Luíza, Natália e Taís fazem parte de uma equipe. Elas desejam formar uma sigla para esta equipe, utilizando a primeira letra de seus nomes. O número total de siglas possíveis é: 20 120 50 5 150 6. Com os algarismos 1,2,3,4,5,6,7 e 8, quantos números pares de 4 algarismos podemos formar? 2048 842 2024 1482 1248 7. O número de permutações da palavra SELADO em que as vogais A e O não aparecem juntas é: 480 390 440 640 560 8. O número de anagramas da palavra ALUNO, em que as consoantes ficam na ordem LN e as vogais na ordem AUO é: 120 10 20 60 40 1. Uma adega dispõe de 5 tipos diferentes de vinho. De quantas maneiras uma pessoa poderá comprar 2 garrafas de vinho? 10 15 35 20 30 2. Uma turma tem aula às terças, quintas e sextas, das 7 às 10 horas e das 11 às 12 horas. As matérias são Cálculo I, Álgebra Linear e Cálculo Vetorial, cada uma com 2 aulas semanais em dias diferentes. Marque a alternativa que indica o número de modos que o horário da turma pode ser feito. 12 45 30 24 48 3. Uma empresa possui 30 funcionários, dos quais 15 são homens e 15 são mulheres. Desse modo marque a alternativa que indica o número de comissões de 5 pessoas que a empresa pode formar com três homens e duas mulheres. 45.775 46.775 47.770 40.775 47.775 Gabarito Coment. 4. Quantas são as soluções inteiras e não negativas de X + Y + Z < 5? 21 56 67 35 43 5. Um fruteiro está vendendo maças, laranjas, peras e mangas. João pretende comprar duas frutas para se lanche. De quantas maneiras João poderá efetuar essa compra? 12 10 16 8 20 6. As 14 crianças de uma família serão separadas em grupos de 5, para que elas arrecadem prendas para a festa junina da escola. Marque a alternativa que indica o número de maneiras que as crianças poderão ser agrupadas. 2003 1800 2000 2005 2002 7. Quantas são as soluções inteiras e não negativas da inequação X + Y + Z ≤ 5 ? 62 35 21 78 56 8. Considere um total de seis pratos à base carboidratos e quatro pratos à base de proteína. Um atleta deseja montar o seu prato com cinco destes itens (distintos). Ele também deseja que ao montar o seu prato ele tenha ao menos duas proteínas. Marque a alternativa que indica o número máximo de pratos distintos que o atleta pode montar. 183 184 180 185 186 1. Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (x + y + z)2. 12 6 10 4 9 2. Seja (x + y + z)4. Considerando (4,0,0) uma solução. Marque a alternativa que indica o termo que ela fornece. x3 4x4 2x4 x5 x4 3. Qual é a soma dos coeficientes de (5a+5b)3? 1000 10.000 10 1 100 Gabarito Coment. 4. Determine o termope em x4 no desenvolvimento de(1-2x+x²)5. 120x4 200x4 110x4 210x4 100x4 Gabarito Coment. 5. Seja (x + y + z)4. Considerando (1,2,1) uma solução. Marque a alternativa que indica o termo que ela fornece. 12xy2z 10xy2z 12x2yz 2xy2z xy2z Gabarito Coment. 6. Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (x + y + z)4. 16 14 10 12 15 Gabarito Coment. 7. Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (1 - 2x + x2)5. 24 18 10 21 16 Para o desenvolvimento de (x - 2)12, qual será o décimo termo? 350x3 -220x3 -720x5 1440x10 440x4 2. Analise as afirmativa abaixo. I.O expoente do quinto term,o do desenvolvimento de (x + 1)10 é 6; II. O termo independente de (3x - 3)6 é (-3)6; III. (x + 1/x)8 não possui termo independente; Encontramos afirmativas corretas somente em: II II e III I e III I I e II 3. Qual é o termo independente dea no desenvolvimento de (a + 1/a)^ 6? 20 15 10 40 12 Gabarito Coment. 4. O coeficiente de x³ no desenvolvimento de (x² + 2x + 1)10 é: 1140 3780 568 978 138 5. Calcule o termo independente de (x2 + 1/x2)6. 36 42 54 20 15 6. O coeficiente de x6 do desenvolvimento de (2x - 3)8 será: 2268 28 252 16128 1792 7. Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)^(3n), obtemos um polinômio de 16 termos. Qual é o valor de n? 15 5 6 8 4 8. No desenvolvimento de (x + m/x)10, para que o coeficiente do termo em x4 seja 15, m deve ser igual a: 4 3 1/3 2 1/2 1. No desenvolvimento de (x3 + y2)25 o coeficiente do termo em que o expoente de x é 9 será: 2300 22750 242750 345 2042975 2. Considerando a igualdade abaixo, para n > k > 0, analise as seguintes afirmativas: I. n é par; II. n é ímpar; III. n é um quadrado perfeito; Encontramos afirmativas corretas somente em: III I II e III II I e III 3. No produto (x+y)(x+y)(x+y)(x+y) podemos afirmar que a soma dos coeficientes é: 16 6 32 64 12 Gabarito Coment. 4. Quantos termos teremos no desenvolvimento de (x - 3)15? 16 13 12 15 14 5. Sabemos que o desenvolvimento de (x - 3)n possui 16 termos. Se (x - 3)n = (x - 3)8.(x - 3)k, o valor de k será: 5 7 6 4 8 6. No desenvolvimento do binomial de (x3/2 - y)10, qual será o coeficiente do termo em que o expoente de y é 4? 105/2 105/32 210 70/13 120/17 7. Considerando os números binomiais A e B apresentados abaixo, tais que A = B, analise as afirmativas que se seguem. I. A e B são consecutivos; II. n é ímpar; III. A + B = 2A; Encontramos afirmativas corretas somente em: II e III I e II I, II e III I I e III 8. Qual é o coeficiente de a ^13 no binômio (a + 2) ^15? 480 210 105 360 420 . Numa mesa circular com 10 lugares sentarão o presidente de uma empresa, seu diretor de finanças à sua direita, seu diretor de planejamento à sua esquerda, e os demais 7 diretores em qualquer dos lugares da mesa. De quantas maneiras distintas essa mesa poderá ser organizada para uma reunião com todos os seus lugares ocupados? 5040 720 181440 40320 362880 2. Ao redor de uma mesa sentam-se 6 alunos. De quantas formas estes alunos podem sentar-se um ao lado do outro? 120 60 21 64 720 Gabarito Coment. 3. De quantas maneiras podemos dispor n pessoas de forma circular. (n-1)! - 1 n! - (n-1)! n! - 1 (n-1)! / n! (n-1)! 4. Uma família é composta por 6 membros: o pai, a mãe e quatro filhos, sendo dois gêmeos. Para as refeições, ocupam uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes a família pode se sentar em torno da mesa, sabendo que os gêmeos se sentam juntos? 12 25 96 48 24 5. Dois pratos azuis e três pratos na cor rosa formarão uma roda ao serem dispostos em uma mesa circular. De quantos modos diferentes poderão formar a roda de modo que os dois pratos na cor azul não fiquem juntos? 6 60 24 12 48 6. Oito meninas, cada uma com vestido de cores diferentes, irão fazer uma roda para dançar ciranda. De quantos modos distintos essa roda poderá ser montada? 1260 2520 5040 40320 630 7. De quantas formas podemos dispor 8 pessoas ao redor de uma mesa circular? 120 720 2400 5040 1024 8. Carol e Filipe são 2 crianças de um total de 8 que, de mãos dadas, brincam de roda. De quantas maneiras elas podem brincar ficando Ana e Pedro sempre lado a lado? 1440 11520 120 2880 720 1. Quantos são os diferentes anagramas com 4 letras distintas da palavra BOLICHE? 2520 5040 840 1260 630 2. Em uma sala há 8 cadeiras e 4 pessoas. O número de modos distintos das pessoas ocuparem as cadeiras é: 32 8.4! 4.8! 1680 8! 3. Numa sala de aula existem 20 cadeiras numeradas de 1 a 20, devendo 2 pessoas se sentar, sempre havendo uma cadeira entre eles. Então, o número de formas possíveis para isto acontecer é: 20! 380 371 C20,2 -20 342 Gabarito Coment. 4. De um grupo de 10 alunos da Matemática tiraremos 5 para formar um comitê de pesquisa. Nesse comitê terá um presidente, um relator, um assessor de imprensa, um tesoureiro e um consultor de ética. De quantas maneiras diferentes esse comitê poderá ser formado, sendo que cada aluno somente poderá exercer uma única função? 1008 4032 252 30240 16128 5. Numa Van usada para transporte, os passageiros podem escolher um, dentre os sete assentos numerados de 1 a 7. Assim sendo, de quantos modos diferentes podemos acomodar 3 pessoas nesse veículo? 240 280 300 210 330 6. Com oito pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos colocar 5 delas em um fusca? 6720 40320 8064 12600 4032 7. Uma senha contendo seis caracteres deverá ser montada para o acesso a um determinado sistema. Essa senha deverá ter duas letras vogais distintas e 4 algarísmos distintos. Quantas senhas diferentes esse sistema poderá admitir? 50400 5040 1440 100800 720 8. Quantos são os anagramas de três letras que poderão ser formados com as letras da palavra BRASIL? 120 216 1440 27 720 1. Um grupo formado por 10 matemáticos será distribuído aleatoriamente por três grupos de trabalhos num congresso de ciências. O primeiro grupo receberá 4 desses matemáticos, o segundo e o terceiro dividirão os restantes em quantidades iguais. Nessas condições, de quantas maneiras diferentes esses matemáticos poderão ser distribuídos pelos grupos de trabalho? 120 231 2380 4200 1240 2. Quer-se criar uma comissão constituída de um presidente e mais 3 membros. Sabendo-se que as escolhas devem ser feitas dentre um grupo de 8 pessoas, quantas comissões diferentes podem ser formadas com essa estrutura? 48 70 35 24 280 Gabarito Coment. 3. Se o número de combinações de n+2 elementos 4 a 4 está para o número de combinações de n elementos 2 a 2 na razão de 14 para 3, então n vale: 10 8 14 6 12 4. Um aluno deve responder a 8 das 10 questões de umexame, sendo as três primeiras obrigatórias. O número de alternativas possíveis do aluno responder a esse exame é: igual a 63 inferior a 10 igual a 21 superior a 63 igual a 15 Gabarito Coment. 5. Numa experiência na aula de química, um professor coloca à disposição de seus alunos seis substâncias: cloro (Cl), potássio (K), cálcio (Ca), chumbo (Pb), água (H2O) e cobre (Cu). Os alunos devem selecionar três dessas substâncias e usar 1 mL de cada uma para formar uma nova solução. Quantas são as possíveis escolhas? 10 20 50 40 30 6. Em uma classe de 12 alunos, um grupo de 5 será selecionado para uma viagem. De quantas maneiras distintas este grupo poderá ser formado, sabendo que, entre os 12 alunos, 2 são irmãos e só poderão viajar se estiverem juntos? 462 30240 372 408 594 7. Do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quantos são os subconjuntos com 4 elementos que necessariamente contenham os elementos 1 e 2? 3 6 9 24 15 8. Sejam 15 pontos distintos pertencentes a uma circunferência. O número de retas distintas determinadas por esses pontos é: 210 14 225 105 91 1. Calcule o valor de n sendo: 14 16 8 10 12 2. A soma das soluções da equação abaixo será: 5 18 3 12 10 3. Analise as afirmativas abaixo: Encontramos afirmativas corretas somente em: I e III I e II I, II e III II e III I 4. Qual é a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (3x+2y)5? 3025 1225 625 3225 3125 5. O triângulo De Pascal é composto de números binomiais. Na figura abaixo temos um fragmento do Triângulo de Pascal. Sobre este Triângulo é SOMENTE correto afirmar que: (I) Em cada número binomial , (nk), n, o numerador, está relacionado ao número da linha e k, o denominador, ao número da coluna. (II) Linhas e colunas começam em 0. (III) As linhas de um Triângulo de Pascal possuem uma quantidade finita de elementos, que é igual ao número da linha mais 1. (II) (I), (II) e (III) (I) (III) (I) e (II) 6. Considerando o Triângulo de Pascal da figura abaixo, o valor de A + B + C será: 20 15 25 35 17 7. Observe a igualdade abaixo e analise as afirmativas que se seguem: Encontramos afirmativas corretas somente em: III II e III II I I e II 8. Sendo x maior ou igual a 3 e sendo a igualdade abaixo verdadeira, é correto afirmar que: 5 1 3 7 9 1. Quantos números existem entre 100 e 1000, escritos com algarismos distintos? 649 721 648 650 647 2. Se forem permitidas repetições, quantos números de quatro algarismos poderão ser formados com os elementos do conjunto A={0, 2, 3, 5, 6, 7, 9}? 2058 1029 729 1264 2401 3. Dos anagramas da palavra BOTINA, em quantos deles as vogais estão todas juntas? 24 720 256 36 72 4. Sabendo que o segredo de um cofre é uma seqüencia de 4 algarismos distintos e o primeiro algarismo é igual ao triplo do segundo, o maior número de tentativas diferentes que devemos fazer para conseguir abri-lo é igual a : 168 84 1054 56 253 5. Com os algarismos 1,2,3,4,5,6 e 7, quantos números ímpares de 3 algarismos podemos formar? 146 186 196 156 176 6. Se a! - 2 = 718, então o valor de a será: 5 8 4 6 7 7. Em nosso sistema de numeração, quantos números de cinco algarismos existem? 900 90000 9000 8100 4500 8. Se (a + 1) ! = 720, então o valor de a será: 4 5 7 8 6 1. Se a! - 1 = 5039, então o valor de a será: 7 10 8 9 6 2. Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é: 3125 1440 2880 4320 3888 Gabarito Coment. 3. O valor de x para que a expressão (2x + 5)! = 720 seja verdadeira é: 2 3 Não existe 1/2 1 4. Num acidente automobilístico, após ouvir várias testemunhas, concluiu-se que o motorista culpado do acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo que o algarismo das unidades era o dígito 2. Assinale, então, a única alternativa correspondente ao número de veículos suspeitos. 10080 10800 1080 840 60480 5. O valor de k para que a igualdade abaixo seja verdadeira é: k = 0 ou k = 1 k = -1 ou k = 1 k = 2 ou k = 3 k = -2 ou k = -1 k = 0 6. Considerando a igualdade abaixo verdadeira, o valor de x será: 2 6 4 5 3 7. No código Morse, as letras são representadas por pontos e traços, em agrupamentos ordenados de 1 a 4 desses sinais para cada letra. Quantas letras distintas podem ser representadas nesse código? 28 26 29 30 27 8. Uma professora possui 3 cadernos, 5 canetas e 8 borrachas para distribuir, de forma não necessariamente equânime, para dois estudantes. Se todos os objetos serão distribuídos, de quantas maneiras essa distribuição poderá ocorrer? 216 432 120 56 720 1. De quantas maneiras podemos grupar todas as letras da palavra ARARUAMA? 800 840 820 880 860 2. Num carro com 5 lugares e mais o lugar do motorista viajam 6 pessoas, das quais 3 sabem dirigir. De quantas maneiras se podem dispor essas 6 pessoas em viagem? 360 240 120 100 200 3. Cinco colegas, sentados um ao lado do outro, preparam-se para uma fotografia. Entretanto dois desses colegas se recusam a ficar lado a lado, e outros dois insistem em aparecer um ao lado do outro. Nessas condições, o número de possibilidades distintas para os cinco colegas posarem para a foto é: 60 12 24 48 36 4. De quantas maneiras 5 pessoas podem viajar em automóvel com 5 lugares, se apenas um delas sabe dirigir? 60 24 48 12 36 5. Quantos são os anagramas da palavra BRASIL começados por B e terminados por L? 240 720 120 1440 246. Quantos anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogais juntas? 120 48 96 840 744 7. Com os algarismos 1,2,3,4,5,6 e 7, quantos números de 3 algarismos podemos formar? 343 403 453 310 360 8. Quantos anagramas da palavra EDITORA começam com A? 520 480 760 720 800 1. Determine o número de permutações simples de 5 elementos distintos. 110 130 140 120 150 Gabarito Coment. 2. Se uma partida de futebol termina com o resultado de 5 gols para o time A e gols para o time B, existem diversas maneiras de o placar evoluir de 0 x 0 a 5 x 3. Quantas maneiras, no total, tem o placar de evoluir de 0 x 0 a 5 x 3? 24 36 16 56 48 3. Quantos são os números pares de quatro dígitos distintos que poderão ser formados com os algarismos 1, 3, 7 e 8? 54 24 6 12 27 4. Quantos anagramas da palavra ALAMEDA não apresentam as 4 vogais juntas? 96 744 840 48 120 Gabarito Coment. 5. Uma família composta de 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. De quantos modos poderão se acomodar no automóvel para uma viagem, sabendo-se que apenas o pai e a mãe sabem dirigir? 48 24 240 480 500 6. Manoela decidiu escolher uma senha para seu e-mail trocando de lugar as letras do seu nome. O número de maneiras como ela pode fazer isso, considerando que a senha escolhida deve ser diferente do próprio nome é: 23 2519 48 817 5039 7. Numa van usada para transporte, os passageiros podem escolher um, dentre os sete assentos numerados de 1 a 7. Assim sendo, de quantos modos diferentes podemos acomodar 7 pessoas nesse veículo ? 4960 3080 5040 4856 2456 8. Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números 04, 10, 26, 37, 47 e 57. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados? 710 730 750 720 740 1. De quantos modos podemos formar uma mesa redonda para um debate entre 7 professores, sendo que dois determinados desses professores não fiquem juntos? 5040 4320 480 30240 640 Gabarito Coment. 2. Uma sombrinha de frevo possui 8 gomos triangulares. Cada gomo será recoberto com tecido de cor diferente, podendo ser amarelo, vermelho, azul, branco, verde, lilás, laranja e marrom. Quantas combinações diferentes com essas 8 cores poderão ser realizadas? 40320 1260 2520 5040 10080 3. De quantos modos sete crianças podem brincar de roda, de modo que Andre e Izabella, duas dessas crianças, fiquem sempre juntos? 5! 5.2! 2!5! 2.5 2.5! 4. De quantas maneiras uma família de cinco pessoas pode sentar ao redor de uma mesa circular, sendo que pai e mãe fiquem sempre juntos? 96 12 24 48 20 5. Nos vértices de um triângulo equilátero serão colocadas as letras A, B e C numa ordem qualquer. De quantas maneiras diferentes esse triângulo poderá ser representado pela letras A, B e C? 4 1 6 3 2 6. Duas meninas e três meninos formarão uma roda, unindo as suas mãos. De quantas formas diferentes poderão se dispor, sabendo que as meninas não ficam juntas? 24 12 18 48 6 7. Nos vértices de um quadrado serão inseridas as letras A, B, C e D numa ordem qualquer. De quantas maneiras esse quadrado poderá ser representado por meio das letras A, B, C e D? 2 6 4 24 12 8. Um grupo de sete crianças estão se preparando para uma brincadeira de roda. Para tanto, elas deverão dar as mãos umas às outras, de modo a formar um círculo. De quantas maneiras esse círculo poderá ser formado? 14 2520 5040 1260 720 1. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 9 crianças, de modo que duas determinadas dessas crianças nunca fiquem juntas? 5040 211680 4320 720 30240 Gabarito Coment. 2. No quadrado abaixo, cada um de seus vértices possuem um circulo, que deverá ser pintado com as cores preta, amarela, azul e vermelha, sendo cada círculo com uma cor diferente. De quantas formas distintas essa pintura poderá ser realizada? 6 4 5 2 3 3. O presidente de uma empresa e seus 7 diretores irão fazer uma reunião numa mesa circular com 8 lugares. Supondo não haver qualquer tipo de hierarquia na organização dessa mesa de reunião, de quantas maneiras essa mesa poderá ser organizada? 40320 5040 160 20160 10080 4. Em um jantar deve-se acomodar cinco pessoas ( João, Pedro, Maria, José e Bianca) em mesa circular. Sabendo-se que João e Pedro nunca se sentam lado a lado, quantas são as maneiras de se dispor as pessoas na mesa? 6 60 24 48 12 5. Quantos são os anagramas da palavra VASCO, em que nenhuma das letras ocupe a posição ocupada inicialmente na palavra? 60 44 12 120 48 6. No triângulo abaixo, observamos que seus vértices possuem circulos que deverão ser pintado com com as cores laranja, amarela e verde, sendo que cada círculo deverá ter uma cor diferente. De quantas formas distintas essa pintura poderá ser realizada? 5 2 1 3 4 7. De quantos modos podemos dispor 6 crianças em uma roda de ciranda? 720 120 24 600 48 Gabarito Coment. 8. O presidente de uma empresa e seus 5 diretores irão fazer uma reunião numa mesa circular com 7 lugares. Supondo não haver qualquer tipo de hierarquia na organização dessa mesa de reunião, de quantas maneiras essa mesa poderá ser organizada? 720 5040 1260 120 2520 1. Três crianças estão escolhendo o sabor do picolé que cada um irá comprar, de uma geladeira que possui 10 tipos de sabores diferentes, e todos em grande quantidade. De quantas maneiras essa escolha poderá ser feita, sabendo-se que cada criança irá comprar um picolé? 720 100 6 1000 10 2. Um casal será escolhido aleatoriamente de um conjunto formado por 5 homens e 6 mulheres. De quantas maneiras esse casal poderá ser formado? 20 30 11 25 36 3. Se não forem permitidas repetições, quantos números pares de três algarismos poderão ser formados com os dígitos 2, 3, 5, 6, 7 e 9? 40 30 60 20 120 4. Quantos números com 4 algarísmos distintos podemos montar, que iniciem com 2, 3 ou 4? 1512 720 2160 840 504 5. São dados os conjuntos A={a,b,c}e B={1,2,3,4,5}. Quantas funções injetoras de A em B distintas podemos formar? 68 120 60 125 240 6. Quantos são os números compreendidos entre 1999 e 3999, compostos por algarismos distintos escolhidos dentre os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}? 336 420 672 210 686 7. Uma sala possui seis portas. De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente? 30 15 20 35 25 8. Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser feitos com os dígitos de 1 a 7? 35 2401 840 420 5040 1. Quantas palavras de duas letras distintas podem ser formadas com as vogais do nosso alfabeto? 20 30 25 10 15 2. Quantos são os números de três algarísmos maiores que 600? 399 459 359 499 400 3. O total de números positivos, múltiplos de 5, formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, não exigindo que em cada número sejam usados todos esses algarismos, mas requerendo que, em cada um deles, os algarismos sejam distintos, é: 75 85 95 65 55 4. Um grupo de 15 alunos estão organizando uma comissão de formatura, sendo esta composta por um presidente, um tesoureiro, um orador e um juramentista. De quantas maneiras essa comissão poderá ser formada, sabendo-se que cada aluno somente poderá assumir uma das funções? 2730 50625 1365 32760 13650 5. Com os algarismos ímpares, pode-se formar n números maiores que 200 de três algarismos distintos. O valor de n é: 72 10 96 60 48 6. Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco de cinco lugares. De quantas maneiras diferentes podem sentar-se, nunca ficando em pé a mulher? 720 620 120 600 420 7. Entre os 20 professores de uma escola, devem ser escolhidos três para os cargos de diretor, vice-diretor e orientador pedagógico. De quantas maneiras a escolha pode ser feita? 2280 760 6840 3420 1140 8. Um código de três letras será formado com as letras da palavra BRASIL. Quantos desses códigos terminam com a letra A? 108 120 216 30 36 1. Do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, quantos são os subconjuntos com 4 elementos que não contenham os elementos 1 e 2? 70 30 24 55 15 2. Um conjunto A possui 10 elementos. Qual o total dos subconjuntos de A que não possuem 5 elementos? 770 775 777 768 772 Gabarito Coment. 3. No saguão de um teatro há um lustre com10 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como medida de economia de energia elétrica, o gerente desse teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas, de acordo com a necessidade. Nessas condições, de quantos modos distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre? 912 792 1044 664 892 Gabarito Coment. 4. De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser dividido em 3 grupos, de 5, 3 e de 2 pessoas? 2520 3680 2480 2340 3640 5. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser formadas, contendo, no mínimo, um diretor? 500 720 55 4500 25 6. Seja V o conjunto dos vértices de um octógono inscrito em um círculo e n o número de triângulos possíveis de inscrever no círculo com vértices pertencentes a V. O valor de n é: 11 336 56 30 24 7. Um professor conta exatamente 3 piadas no seu curso anual. Ele tem por norma nunca contar num ano as mesmas 3 piadas que ele contou em qualquer outro ano.Qual é o mínimo número de piadas diferentes que ele pode contar em 35 anos? 7 9 135 8 35 8. O número de segmentos de reta determinados por 10 pontos, dois a dois, distintos é: 15 10 45 28 21 1. Seja M o conjunto de todos os divisores positivos de 60. O número de subconjuntos de 3 elementos de M que se pode formar é: 20 36 220 440 120 2. Um campeonato de futebol é disputado por 20 equipes, de acordo com o seguinte esquema: 1- Formam-se 4 grupos de 5 equipes. Em cada grupo, as equipes jogam todas entre si , em turno e returno, saindo um campeão de cada grupo. 2- Os quatro campeões dos grupos jogam entre si, também em dois turnos, para apontar o campeão. O número total de jogos disputados é: 46 89 96 92 94 3. O número de segmentos determinados pelos vértices de uma pirâmide regular cuja base é um polígono de n lados é: Cn-1,2 n + Cn+1,2 -n + Cn,2 Cn,2 n + Cn,2 4. Um aluno deverá ser examinado em Português e Geografia com uma única prova de cinco questões. Sabendo-se que Português há 10 tópicos e em Geografia há 8 tópicos e que qualquer tópico só poderá aparecer no máximo em uma questão, assinale o número de possíveis escolhas entre esses tópicos que o examinador terá para elaborar a prova com três questões de Português e duas de Geografia. 92 3360 480 3806 148 Gabarito Coment. 5. As diretorias de 4 membros que podemos formar com os 10 sócios de uma empresa são: 2 210 10 40 5040 Gabarito Coment. 6. De um grupo de 6 pessoas, de quantas maneiras distintas posso convidar uma ou mais para jantar? 63 50 36 42 74 7. Um repórter perguntou ao técnico de um time de futebol de salão se ele dispunha da escalação de sua equipe. O técnico respondeu que jogariam Fulano, a grande estrela do time, e mais 4 jogadores. Supondo que o técnico disponha de um elenco de 11 jogadores (incluindo Fulano) e que qualquer jogador pode ocupar qualquer posição, quantas equipes diferentes podem ser formadas de maneira que a resposta do técnico seja verdadeira? 430 210 155 44 15 8. Sobre uma mesa são colocadas em linha 6 moedas. O número total de modos possíveis pelos quais podemos obter 2 caras e 4 coroas voltadas para cima é: 360 120 48 15 30 1. Para que a igualdade abaixo seja válida será necessário e suficiente que: m = 4 m = 0 ou m = 4 m = 0 m = 12 m = 6 2. Qual o termo médio do desenvolvimento (2x + 3y)^8 45360x^6y^2 45360x^4y^4 90720x^4y^4 90720x^5y^3 90720x^6y^2 3. Observando a igualdade abaixo poderemos concluir que p + n será igual a: -1 5 +7 -7 -6 4. Sendo 1 a 21 35 b c 7 1 uma linha do triângulo de Pascal, quais são os valores de a, b e c, respectivamente?35, 21, 7 7, 35, 21 7, 21, 35 21, 35, 7 35, 7, 21 5. O triângulo De Pascal é composto de números binomiais. Na figura abaixo temos um fragmento do Triângulo de Pascal. Sobre este Triângulo é SOMENTE correto afirmar que: (I) Em cada número binomial , (nk), n, o numerador, está relacionado ao número da linha e k, o denominador, ao número da coluna. (II) A quantidade de elementos por coluna é infinita, pois o número de linhas do Triângulo de Pascal também é infinito. (III) As linhas de um Triângulo de Pascal possuem uma quantidade finita de elementos, que é igual ao número da linha mais 1. (III) (I) e (II) (I), (II) e (III) (I) (II) 6. Para quais valores de x a igualdade abaixo será válida? x = 13 x = 3 ou x = 10 x = 0 ou x = 13 x = 4 x = 0 7. Considerando o Triângulo de Pascal da figura abaixo, analise as afirmativas que se seguem: I. C + E = 3A + 3; II. I = B + C + F; III. K + G = 10; Encontramos afirmativas corretas somente: I I e II I, II e III II e III II 8. Analise as afirmativas abaixo: Encontramos afirmativas corretas somente em: I e II I I e III II e III I, II e III 1. Sendo Cn,p uma combinação de n elementos tomados p a p, podemos dizer que Cn,0 + Cn,1 + Cn,2 + ....+ Cn,n-1 será igual a 2n - 1 n 2n 2n+1 2n-1 2. O espaço solução da equação abaixo será: S = {1} S = { } S = (1; 2; 3} S = {3} S = {1; 3} 3. Os valores inteiros que fazem parte do conjunto solução da equação abaixo são: S = { -4; -2; 2; 4} S = {4; 16} S = {6} S = {3; 18} S = {2; 4} 4. O valor de x, sendo x maior ou igual a 3, para que a igualdade abaixo seja válida será: 5 6 8 7 3 5. Considerando todas as combinações de 10 elementos tomados p a p, para p variando entre 0 e 10, é correto afirmar que o resultado do somatório abaixo será: 210 910 29 102 1 6. Para que a igualdade abaixo seja válida, o valor de n deverá ser: 13 12 10 9 11 7. O resultado do produto abaixo é: 211 230 302 1011 1 8. Sendo x maior ou igual a 3 e sendo a igualdade abaixo verdadeira, é correto afirmar que: 3 1 7 9 5 1. Calculando a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (3x-1)10, obtemos. 256 4096 512 2048 1024 2. Na potência (x+3)4, qual o valor do termo independente? 179 0 78 178 79 3. A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x+3y)m é 625. O valor de m é: 4 3 6 10 5 4. Qual o número de termos no desenvolvimento da sétima potência de (x+a) 8 termos 5 termos 7 termos 6 termos 4 termos Gabarito Coment. 5. No produto (x+2)(x+2)(x+2)(x+2)(x+2), o expoente máximo da variável é: 32 3 4 16 5 Gabarito Coment. 6. No desenvolvimento do binomial de (x3/2 - y)10, qual será o coeficiente do termo em que o expoente de y é 4? 70/13 105/2 210 120/17 105/32 7. Considerando os números binomiais A e B apresentados abaixo, tais que A = B, analise as afirmativas que se seguem. I. A e B são consecutivos; II. n é ímpar; III. A + B = 2A; Encontramos afirmativas corretas somente em: I e II I e III II e III I I, II e III 8. Qual é o coeficiente de a ^13 no binômio (a + 2) ^15? 480 420 210 360 105 ANÁLISE COMBINATÓRIA CEL0535_A7_201704010535_V3 Lupa Calc. Vídeo PPT MP3 Aluno: ADA POLYANA RIBEIRO Matrícula: 201704010535 Disciplina: CEL0535 - ANÁLISE COMBINATÓRIA Período Acad.: 2018.1 EAD (G) / EX Prezado (a) Aluno(a), Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3). Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. 1. No desenvolvimento de (x3 + y2)25 o coeficiente do termo em que o expoente de x é 9 será: 22750 242750 345 2042975 2300 2. Considerando a igualdade abaixo, para n > k > 0, analise as seguintes afirmativas: I. n é par; II. n é ímpar; III. n é um quadrado perfeito; Encontramos afirmativas corretas somente em: III II II e III I e III I 3. No produto (x+y)(x+y)(x+y)(x+y) podemos afirmar que a soma dos coeficientes é: 12 16 6 32 64 Gabarito Coment. 4. Quantos termos teremos no desenvolvimento de (x - 3)15? 16 13 15 14 12 5. Sabemos que o desenvolvimento de (x - 3)n possui 16 termos. Se (x - 3)n = (x - 3)8.(x - 3)k, o valor de k será: 7 5 4 6 8 6. No desenvolvimento do binomial de (x3/2 - y)10, qual será o coeficiente do termo em que o expoente de y é 4? 105/2 120/17 70/13 105/32 210 7. Considerando os números binomiais A e B apresentados abaixo, tais que A = B, analise as afirmativas que se seguem. I. A e B são consecutivos; II. n é ímpar; III. A + B = 2A; Encontramos afirmativas corretas somente em: 1. A variável x do quarto termo do desenvolvimento de (x + 3)9 terá expoente: 7 8 6 5 4 2. Se a soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (2x+y)n é igual a 243, então o número n é 3 8 10 12 5 3. O coeficiente de x4 no polinômio P(x)=(x+2)6 é: 60 12 24 64 4 4. A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x + 3y)^(k) é 625. Qual é o valor de k? 6 8 7 4 5 5. O termo independente do desenvolvimento de (3x - 1/3)5 é: -1/81 1/124 -81 -1/243 243 6. Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)^(3n), obtemos um polinômio de 16 termos. Qual é o valor de n? 4 15 6 5 8 7. No desenvolvimento de (x + m/x)10, para que o coeficiente do termo em x4 seja 15, m deve ser igual a: 4 2 3 1/2 1/3 8. O coeficiente de x6 do desenvolvimento de (2x - 3)8 será: 252 2268 1792 16128 28 1. Para o desenvolvimento de (x - 2)12, qual será o décimo termo?440x4 -220x3 1440x10 -720x5 350x3 2. Analise as afirmativa abaixo. I.O expoente do quinto term,o do desenvolvimento de (x + 1)10 é 6; II. O termo independente de (3x - 3)6 é (-3)6; III. (x + 1/x)8 não possui termo independente; Encontramos afirmativas corretas somente em: I I e III I e II II II e III 3. Qual é o termo independente de a no desenvolvimento de (a + 1/a)^ 6? 10 20 40 12 15 Gabarito Coment. 4. O coeficiente de x³ no desenvolvimento de (x² + 2x + 1)10 é: 138 1140 568 978 3780 5. Calcule o termo independente de (x2 + 1/x2)6. 15 54 36 20 42 6. O coeficiente de x6 do desenvolvimento de (2x - 3)8 será: 2268 28 16128 1792 252 7. Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)^(3n), obtemos um polinômio de 16 termos. Qual é o valor de n? 5 8 15 4 6 8. No desenvolvimento de (x + m/x)10, para que o coeficiente do termo em x4 seja 15, m deve ser igual a: 2 1/2 3 4 1/3 1. Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (x + y + z)2. 4 9 12 6 10 2. Seja (x + y + z)4. Considerando (4,0,0) uma solução. Marque a alternativa que indica o termo que ela fornece. 4x4 x4 2x4 x5 x3 3. Qual é a soma dos coeficientes de (5a+5b)3? 1000 1 10.000 100 10 Gabarito Coment. 4. Determine o termope em x4 no desenvolvimento de(1-2x+x²)5. 200x4 210x4 100x4 120x4 110x4 Gabarito Coment. 5. Seja (x + y + z)4. Considerando (1,2,1) uma solução. Marque a alternativa que indica o termo que ela fornece. xy2z 12x2yz 2xy2z 10xy2z 12xy2z Gabarito Coment. 6. Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (x + y + z)4. 12 14 16 10 15 Gabarito Coment. 7. Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (1 - 2x + x2)5. 10 24 21 18 16 1. Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (x + y + z)2. 9 6 10 4 12 2. Seja (x + y + z)4. Considerando (4,0,0) uma solução. Marque a alternativa que indica o termo que ela fornece. x4 4x4 2x4 x3 x5 3. Qual é a soma dos coeficientes de (5a+5b)3? 1 10.000 10 1000 100 Gabarito Coment. 4. Determine o termope em x4 no desenvolvimento de(1-2x+x²)5. 100x4 200x4 110x4 210x4 120x4 Gabarito Coment. 5. Seja (x + y + z)4. Considerando (1,2,1) uma solução. Marque a alternativa que indica o termo que ela fornece. 12xy2z 10xy2z xy2z 12x2yz 2xy2z Gabarito Coment. 6. Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (x + y + z)4. 16 10 12 15 14 Gabarito Coment. 7. Marque a alternativa que indica o número de termos da potência (1 - 2x + x2)5. 10 18 21 16 24 1. Ocorrido um assalto num posto de gasolina, uma testemunha se apresenta na delegacia mais próxima e declara que os suspeitos do assalto fugiram, em um carro, com uma placa formada por 3 vogais seguidas por 4 dígitos diferentes. Sabendo que, nessa cidade, as placas dos automóveis são formadas por 3 letras seguidas de 4 dígitos, marque a alternativa que indica o número de automóveis que a polícia deverá investigar. 610.000 530.000 600.000 620.000 630.000 2. Um engenheiro químico precisa realizar uma experiência e dispõe de 7 substâncias. Ele deseja misturar 4 delas. Porém, 2 das substâncias não podem ser misturadas, pois podem explodir. Marque a alternativa que indica o número de misturas distintas que esse químico pode realizar. 5 10 15 30 25 3. Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo, para ser aprovada, ela só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, marque a alternativa que indica de quantas maneiras diferentes Ana pode escolher as questões. 3002 3003 3000 3004 3001 4. Quantas são as soluções inteiras e não negativas da equação x + y + z = 5? 15 42 30 21 10 5. Podendo escolher entre 5 tipos diferentes de refrigerante e 4 tipos de sanduíches, de quantas maneiras uma pessoa poderá fazer um lanche, pedindo dois tipos distintos de refrigerantes e 3 sanduíches? 125 200 100 300 150 6. Uma fábrica produz cinco tipos de balas que são vendidas em pacotes contendo 10 balas, de um mesmo tipo ou sortidas. Quantas pacotes diferentes podem ser formados? 126 112 52 95 74 7. Um aluno é candidato a presidente do Diretório Acadêmico da faculdade. Ele faz 3 promessas distintas por comício. Como estratégia eleitoral, ele nunca repete, em um comício, as mesmas 3 promessas já feitas em outro. Marque a alternativa que indica o número mínimo de promessas que ele deve compor para poder realizar 30 comícios para os alunos da faculdade. 7 4 6 3 5 8. Quantas soluções inteiras e positivas poderemos encontrar para a equação x + y + z = 8? 6 12 21 3 32 1. Uma turma de formatura de 20 formandos é formada por 10 rapazes e 10 moças. A turma reúne-se para formar uma comissão de formatura composta por 5 formandos. Marque a alternativa que indica o número de diferentes comissões que podem ser formadas, de modo que em cada comissão tenha 3 rapazes e 2 moças. 5320 5400 5440 5550 5300 2. De quantas maneiras podemos comprar 4 bolos, numa confeitaria que oferece 7 tipos de bolos diferentes? 210 420 510 105 315 3. Quantas são as soluções inteiras e positivas da equação X + Y + Z + W = 4? 1 0 2 3 4 4. Uma fábrica de automóveis, para sua linha de carros esportivos, resolveu lançar carros com pneus coloridos. Assim, os carros poderiam ser vendidos com cinco pneus, todos de uma só cor, ou cada um de uma cor, à escolha do cliente. Além da tradicional cor preta, os pneus poderiam ser brancos, vermelhos, verdes, amarelos ou azuis. Quantas variações diferentes das cores dos pneus poderrão ser formadas? 462 236 6 534 64 5. Determine o número de soluções inteiras e positivas da equação X + Y + Z + W + K + T = 10. 126 63 252 504 10086. Quantas são as soluções inteiras e positivas de X + Y + Z + W = 8? 28 112 56 70 35 7. Uma investigação será realizada pela Polícia Militar e pela Polícia Federal. Serão formadas equipes com seis investigadores. A Polícia Federal disponibiliza 7 agentes e a Polícia Militar disponibiliza 8 investigadores para participarem da investigação. Marque a alternativa que indica o número de equipes que serão formadas com 3 agentes e 3 investigadores. 1040 1020 1050 1030 1960 8. Determine o número de soluções inteiras e positivas da equação X + Y + Z + K = 9. 32 56 68 25 16
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