Lista 01 - EDO Variáveis Separáveis

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Exercícios de EDO (Variáveis Separáveis) 
 
1 – Resolver as equações diferenciais: 
a) b) c) d) e) f) 
 
 
 √ 
 
2 - Achar a solução geral das seguintes equações (onde são constantes): 
a) b) c) 
 
 
 d) 
 
 
 e) 
 
 
 
f) g) 
 
 h) √ i) 
j) k) √ √ √ l) 
m) 
 
 
 n) 
 
 
 o) ( ) 
 
3 - Resolver os seguintes problemas de valor inicial (onde são constantes): 
a) 
 
 
 com ( ) b) com ( ) c) ( ) 
 com ( ) 
d) com ( ) e) 
 
 
 com ( ) f) 
 com ( ) 
g) com ( ) h) ( ) com ( ) i) com ( ) 
j) com (
 
 
) k) ( ) com ( ) 
 
4 - Determine a curva do plano que passa pelo ponto ( ) e tem coeficiente angular 
 
 
 
. 
 
5 - Determine a curva do plano cuja derivada segunda vale 
 sabendo que a curva passa pelos pontos 
 ( ) e ( ). 
 
6 - Um objeto se move com aceleração constante igual a . Determine a equação da posição ( ) do objeto (em 
função do tempo 
t
) sabendo que em sua velocidade inicial era e sua posição inicial era . 
 
7 - Um objeto se move com uma aceleração ( ) . Determine a posição do objeto, no tempo , sabendo 
que em o objeto se encontrava com uma velocidade e na posição . 
 
 8 – (Decaimento exponencial; pressão atmosférica) As observações mostram que a taxa de variação da 
pressão atmosférica com a altitude é proporcional à pressão. Supondo que a pressão a seja 
 
 
 de seu 
valor ao nível do mar, achar a fórmula da pressão em qualquer altura. 
 
9 – (Crescimento exponencial; um modelo populacional) Se populações relativamente pequenas (de seres 
humanos, animais, bactérias etc.) permanecem sem serem perturbadas, geralmente crescem de acordo com a lei 
de Malthus, que estabelece que a taxa de crescimento no tempo é proporcional à população presente em um 
dado instante. Traduzir este fenômeno por uma equação diferencial e resolvê-la. 
 
10 - (Crescimento de célula) A taxa de crescimento de uma célula esférica de volume é proporcional à área 
de sua superfície . No caso da esfera, área de superfície e volume estão relacionados por 
 
 . Assim, um 
modelo para o crescimento da célula é 
 
 
 
 
 . Resolva esta equação diferencial. 
 
11 - (Teoria da aprendizagem) A direção de uma fábrica constatou que um operário pode produzir no máximo 
30 unidades por dia de um determinado produto. O número de unidades produzidas por dia por um operário 
novo aumentará a uma taxa proporcional à diferença entre 30 e o que é descrito pela equação diferencial 
 
 
 ( ), onde é o tempo em dias. Resolva esta equação diferencial. 
 
12 - (Vendas) A taxa de aumento das vendas (em milhares de unidades) de um produto é proporcional ao 
nível atual de vendas e inversamente proporcional ao quadrado do tempo . Este fato é descrito pela equação 
diferencial 
 
 
 
 
 
. Determine como função de . 
 
 
13 - (Lei de Pareto) De acordo com o economista Vilfredo Pareto (1848-1923), a taxa de decréscimo do 
número de pessoas , em uma economia estável, com renda mínima de dólares é diretamente proporcional ao 
número destas pessoas e inversamente proporcional à sua renda, ou seja, 
 
 
 
 
 
. Resolva esta equação 
diferencial. 
 
14 - Em 1991, 10 milhões de pessoas nos Estados Unidos ganhavam mais de $75.000 e 55,8 milhões de pessoas 
ganhavam mais de $25.000 (ver gráfico abaixo). Admitindo a validade da lei de Pareto, use o resultado do 
exercício anterior para determinar o número (em milhões) de pessoas que ganhavam mais de $250.000. 
 
 
 
 
 
 
15 – (Lei de Boyle-Mariot para gases ideais) A experiência mostra que num gás a baixa pressão (e 
temperatura constante) a taxa de variação do volume ( ) é igual a 
 
 
. Resolver a equação diferencial 
correspondente. 
 
16 - (Crescimento exponencial) Se numa cultura de bactérias a taxa de crescimento é proporcional à população 
 ( ) presente no tempo e a população dobra em 1 dia, que população pode ser esperada após 1 semana, à 
mesma taxa de crescimento? 
 
17 - (Lei de Malthus) A população de uma cidade era, em 1920, de 137.000 habitantes. Em um novo censo, 10 
anos depois, a população passou para 143.850 habitantes. Supondo a validade da lei de Malthus para o 
crescimento populacional, estimar a população desta cidade nos dias de hoje supondo que a taxa de crescimento 
tenha se mantido constante. 
 
18 - (Decaimento exponencial, meia-vida) A experiência mostra que a maioria das substâncias radioativas se 
desintegra a uma taxa proporcional à massa existente em cada instante. O tempo em que de uma 
determinada massa desaparece é chamado meia-vida da substância. Considere o elemento radioativo rádio 
 
 de meia-vida anos. Que percentagem, de uma massa inicial desaparecerá após 1 ano? E em 
10 anos? 
 
19 - Mostrar que a meia-vida de uma substância radioativa pode ser determinada a partir de duas medidas 
 ( ) e ( ) das massas presentes nos instantes pela fórmula 
( ) 
 ( ⁄ )
. 
 
 
x
y
Fonte: U.S. Bureau of Census 
Número de pessoas 
Ganho 
 ( ) 
 ( ) 
20 - (Lei do resfriamento de Newton) A experiência mostra que a taxa de variação da temperatura de um 
objeto é proporcional à diferença entre e a temperatura do ambiente (onde é mantida constante). Essa é 
a chamada Lei do resfriamento de Newton. Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de . No 
instante ela é imersa em água que é mantida a uma temperatura constante de . Ao fim de 3 minutos, 
a temperatura da esfera está reduzida . Determinar o instante em que a temperatura da esfera se encontra 
reduzida a . 
 
21 - Um lingote de aço, cuja temperatura é de
F. 5001
, é colocado em um compartimento cuja temperatura é 
constante e igual a 
F90
. Uma hora depois, a temperatura do lingote é de 
F. 1201
. Qual a temperatura do 
lingote cinco horas após ter sido colocado no compartimento? 
 
22 - Um alimento à temperatura de é colocado em um congelador que está a 
 . Após 1 hora, a 
temperatura do alimento é de 
 . 
a) ache a temperatura do alimento 6 horas após ter sido colocado no congelador; 
b) quanto tempo será necessário para que o alimento atinja a temperatura de 
 ? 
 
23- (Evaporação) A experiência mostra que uma substância porosa molhada ao ar livre perde sua umidade a 
uma taxa proporcional ao teor de umidade. Se uma lâmina pendurada ao vento perde metade de sua umidade na 
primeira meia hora, determinar o instante em que a lâmina estará praticamente seca, isto é, o instante em que ela 
terá perdido de sua umidade, permanecendo constante as condições meteorológicas. 
 
24 - A experiência mostra que a taxa de inversão de açúcar de cana em solução diluída é proporcional à 
concentração ( ) do açúcar não alterado (diluído). Admitir que a concentração é 
 
 
 em e 
 
 
 em , 
com o tempo dado em horas. Calcular ( ).