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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
DEPARTAMENTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS
Lista de Exerc´ıcios 3 - Ca´lculo Diferencial e Integral III
Professor: Vinicius Arakawa 07/08/2019
1. Para cada um dos seguintes pares de equac¸o˜es parame´tricas, esboce a curva e determine sua equac¸a˜o
cartesiana.
(a) x = −1 + t, y = 2− t, t ∈ R.
(b) x = −1 + t2, y = 2− t2, t ∈ R.
(c) x = cos2 t, y = sin2 t, t ∈ R.
(d) x = t2, y = t3, t ∈ R.
(e) x = t2 − 4, y = 1− t, t ∈ R.
(f) x = 3 cos t, y = 2 sin t, t ∈ [0, 2pi].
As equac¸o˜es dos treˆs primeiros itens representam a mesma curva?
2. Determine uma parametrizac¸a˜o para cada uma das curvas.
(a) A reta: 2x− 3y = 6.
(b) A para´bola: x2 = 4ay.
(c) A circunfereˆncia: (x− a)2 + (y − b)2 = r2.
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(d) O segmento de reta que liga os pontos A = (−1, 0, 2) e B = (2, 3, 3).
3. Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma part´ıcula que se move ao longo das curvas
de equac¸o˜es dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
(a) σ(t) = (et cos t, et sin t), 0 ≤ t ≤ 2.
(b) σ(t) = (a(cos t+ t sin t), a(sin t− t cos t)), 0 ≤ t ≤ 2pi.
(c) σ(t) = (t, 3t2, 6t3), 0 ≤ t ≤ 2.
4. Calcule o comprimento da curva definida por σ(t) = (t, 1− t2, 1) do ponto (0, 1, 1) ao ponto (1, 0, 1).
5. Calcule
∫
C
fds, onde
(a) f(x, y) = x+ y e C e´ a fronteira do triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (0, 1).
(b) f(x, y) = x2 − y2 e C e´ a circunfereˆncia x2 + y2 = 4.
(c) f(x, y, z) = e
√
z e C e´ definida por σ(t) = (1, 2, t2), t ∈ [0, 1].
(d) f(x, y, z) = yz onde C e´ o segmento de reta de extremidades (0, 0, 0) e (1, 3, 2).
6. Calcule
∫
C
F.dr, onde
(a) F (x, y) = (x2 − 2xy, y2 − 2xy) e C e´ a para´bola y = x2 de (−2, 4) a (1, 1).
(b) F (x, y) = (y + 3x, 2y − x) e C e´ a elipse 4x2 + y2 = 4, percorrida no sentido antihora´rio.
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(c) F (x, y, z) = (x, y, xz − y) onde C e´ o segmento de reta de (0, 0, 0) e a (1, 2, 4).
(d) F (x, y, z) = (yz, xz, x(y + 1)) e C e´ a fronteira do triaˆngulo de ve´rtices (0, 0, 0), (1, 1, 1) e
(−1, 1,−1), percorrida nesta ordem.
7. Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C, orientadas positivamente.
(a)
∮
C
y2dx+ x2dy, onde C e´ a fronteira do quadrado D = [−1, 1]× [−1, 1].
(b)
∮
C
(3x2 + y)dx+ 4y2dy, onde C e´ a fronteira do triaˆngulo de ve´rtices (0, 0), (1, 0) e (0, 2).
(c)
∮
C
x−1eydx+ (ey lnx+ 2x)dy, onde C e´ a fronteira da regia˜o limitada por x = y4 e x = 2.
(d)
∮
C
(2xy − x2)dx+ (x− y2)dy, onde C e´ a fronteira da regia˜o limitada por y = x2 e y2 = x.
(e)
∮
C
(2x−y)dx+(x+3y)dy, onde C e´ a fronteira do penta´gono de ve´rtices (0, 0), (0, 2), (1, 3), (2, 2)
e (2, 0).
8. Seja F (x, y) =
(
−y
x2+y2 ,
x
x2+y2 + 3x
)
um campo de vetorial em R2. Calcule a integral de linha do
campo F ao longo das curvas C1 e C2, orientadas no sentido antihora´rio, onde:
(a) C1 e´ a circunfereˆncia de equac¸a˜o x
2 + y2 = 4.
(b) C2 e´ a fronteira do retaˆngulo R = {(x, y) ∈ R2| − pi ≤ x ≤ pi,−3 ≤ y ≤ 3}.
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