Lista 1 (CDI3)

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Faculdade de Tecnologia
Cálculo Diferencial e Integral III - Turma 1
Lista de Exerćıcios 1
Rudimentos de Equações Diferenciais
Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis
Problemas de Valor Inicial
Prof. Gustavo Vicente
1) Classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não lineares e também
a ordem de cada equação.
(a) (1− x)y′′ − 4xy′ + 5y = cosx (d) x3y(4) − x2y′′ + 4xy′ − 3y = 0
(b) yy′ + 2y = 1 + x2 (e) d
2y
dx2
+ 9y = sin y
(c) x2dy + (y − xy − xex)dx = 0 (f) (1− y2)dx+ xdy = 0
2) Verifique se a função dada é solução da equação diferencial (c1 e c2 são constantes).
(a) 2y′ + y = 0; y = e−x/2 (d) (x2 + y2)dx+ (x2 − xy)dy = 0; c1(x+ y)2 = xey/x
(b) y′ − 1
x
y = 1; y = x lnx (e) y′ + y = sinx; y = 1
2
sinx− 1
2
cosx+ 10e−x
(c) xy′′ + 2y′ = 0; y = c1 + c2x
−1 (f) x2y′′ − xy′ + 2y = 0; y = x cos(lnx), x > 0
3) Resolva as equações diferenciais a seguir por separação de variáveis.
(a) dy
dx
= sin 5x (j) y lnxdx
dy
=
(
y+1
x
)2
(b) dx+ e3xdy = 0 (k) dS
dr
= kS (k é uma constante)
(c) (x+ 1) dy
dx
= x+ 6 (l) dP
dt
= P − P 2
(d) xy′ = 4y (m) sec2(x)dy + csc(y)dy = 0
(e) dy
dx
= y
3
x2
(n) x
√
1− y2dx = dy
(f) dx
dy
= x
2y2
1+x
(o)(ey + 1)2e−ydx+ (ex + 1)3e−xdy = 0
(g) dy
dx
= e3x+2y (p) dy
dx
= xy+3x−y−3
xy−2x+4y−8
(h) x2y2dy = (y + 1)dx (q) sec(x)dy = x cot(y)dx
(i) 2y(x+ 1)dy = xdx (r) (ex + e−x) dy
dx
= y2
4) Obtenha a solução de cada um dos problemas de valor inicial a seguir.
(a) (e−y + 1) sinx dx = (1 + cosx)dy, y(0) = 0 (d) x2y′ = y − xy, y(−1) = −1
(b) ydy = 4x(y2 + 1)1/2dx, y(0) = 1 (e) dy
dt
+ ty = y, y(1) = 3
(c) dx
dy
= 4(x2 + 1), y(π/4) = 1 (f) y′ + 2y = 1, y(0) = 5
2
2
5) Encontre uma solução para as seguintes equações diferenciais que passem pelos pontos
indicados.
dy
dx
− y = −9
(a) (0, 0) (b) (0, 3) (c)
(
1
3
, 1
)
x dy
dx
= y2 − y
(a) (−1, 2) (b) (2, 2) (c)
(
1
2
, 1
2
)
6) Encontre uma solução singular para cada uma das seguintes equações diferenciais:
(a) dy
dx
= xy−1e−y sinx (b) dy
dx
= −xy4e3x
y2+2
Gabarito:
1) a) linear, segunda ordem b) não linear, primeira ordem
c) linear, primeira ordem d) linear, quarta ordem
e) não linear, segunda ordem f) não linear, primeira ordem
3) a) y = −1
5
cos5x+c b) y = 1
3
cos5x+c c) y = x+5ln|x+ 1|+ c d) y = c x4
e) y−2 = 2x−1 + c f) −3 + 3xln|x| = x y3 + cx g) −3 e−2y = 2 e3x + c h) y2−
2y−3+2ln|y + 1| = −2x−1 + c i) y2 = x−ln|x+ 1|+ c j) x3
3
lnx− 1
9
x3 = y
2
2
+2y+
ln|y|+ c k) S = c eKr l) P
1−P = c e
t m) 4cosy = 2x+ sin2x+ c n) y =
sin
(
x2
2
+ c
)
o) (ex + 1)−2+2 (ey + 1)−1 = c p) y−5ln|y + 3| = x− 5ln|x+ 4|+ c
q) −ln|cosy| = xsinx+ cosx+ c r) −y−1 = tan−1(ex) + c
4) a) (1 + cosx) (1 + ey) = 4 b)
√
y2 + 1 = 2x2 +
√
2 c) x = tan
(
4y − 3π
4
)
d) xy = e−(1+
1
x) e) ln
∣∣y
3
∣∣ = t− t2
2
− 1
2
f) y = 1
2
+ 2e−2x
5)
Para dy
dx
− y = −9,
a) y = 9 (1− ex) b) y = 3 (3− 2ex) c) y = 9− 8ex− 13
Para x dy
dx
= y2 − y,
a) y = 2
x+2
b) y = − 4
x−4 c) y =
1
2x+1
6) a) sinx− x cosx+ (1− y)ey = c b) e3x(1− 3x) + 9
y
+ 6
y3
= c