Lista_1___C_lculo_III

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Cálculo III - EB301 A
Lista 1
Sequências, Somas Parciais e Séries
Profa Elaine Cristina Catapani Poletti
Monitor Aluízio Augusto Rocha Pires
Sequências
Definição: Se a sequência {an} tiver um limite, dizemos que ela é convergente, e an con-
verge para o limite. Se a sequência não for convergente, ela será divergente.
1. Prove que a sequência
{
n2
2n+1 sin
π
n
}
é convergente e ache seu limite.
2. Escreva os quatro primeiros termos da sequência e determine se é convergente ou divergente. Caso
seja convergente, ache seu limite.
(a)
{
n2+1
n
}
(b)
{
3−2n2
n2−1
}
(c)
{
en
n
}
(d)
{√
n+ 1−
√
n
}
3. Prove que as seguintes sequências tem o limite L:
(a)
{
4
2n−1
}
; L = 0
(b)
{
5−n
2+3n
}
; L = −13
(c)
{
2n2
5n2+1
}
;L = 25
Classificação de Sequências
4. Determine se as sequências são crescentes, decrescentes ou não-monótonas.
(a)
{
1−2n2
n2
}
1
(b)
{
1
n+sinn2
}
(c)
{
nn
n!
}
5. Dê exemplo de uma sequência que seja limitada e convergente, porém não-monótona.
Justifique.
Séries
Definição: Se {un} for uma sequência e
Sn = u1 + u2 + u3 + ...+ un
então a sequência {Sn} será chamada de série infinita, a qual é denotada por
∑+∞
n=1 un = u1 + u2 + u3 + ...+ un + ...
Os números u1, u2, u3, ..., un, ... são chamados de termos da série infinita. Os números
S1, S2, S3, ..., Sn, ... são chamados de somas parciais da série infinita. Ou seja, Sn é a
soma dos termos da sequência até o n-ésimo termo.
6. Encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais {Sn} e obtenha uma fór-
mula para Sn em termos de n.
(a)
∑+∞
n=1 n
(b)
∑+∞
n=1
2n+1
n2(n+1)2
(c)
∑+∞
n=1
2
5n−1
(d)
∑+∞
n=1
2n−1
3n
7. Prove que a série geométrica
∑+∞
n=1 ar
n−1 converge se |r| < 1 e diverge se |r| ≥ 1. No caso da
convergência, mostrar qual é o valor da série infinita {Sn}.
Referência: Leithold, Cálculo com Geometria Analítica, vol 2
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