TRABALHO DE ALGEBRA LINEAR 1

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TRABALHO DE ALGEBRA LINEAR 1
1- a) Equação do Plano
 O plano é determinado por um ponto e um vetor normal. O vetor é uma grandeza matemática que está associada à um módulo, uma direção e à um sentido. 
A equação geral do plano (π) é determinada, uma vez que há um vetor perpendicular (n) e um ponto (P) situado no mesmo, caracterizando assim um vetor normal. Tal comportamento tridimensional é deco rrente da existência de três coordenadas, sendo elas (x, y, z). 
Seja o ponto P 0 (x0, y0, z0) pertencente a um plano (π), e u m vetor não -nulo (n) (a, b, c), perpendicular a o plano, se, somente se, P 0 estiver sobre o plano (π), logo (n) é ortogonal a P 0. Portanto, com a definição sup racitado, obtém - se a e quação geral do plano. Uma vez que, sobre e ste me smo p lano ( π), exista um outro ponto P ( x, y, z), que forma o vetor P0P, oriundo da junção dos pontos P e P 0, sendo este perpendicular ao vetor (n), tem- se que:
n x P0P = 0
- Representação do vetor n inclinado sobre o plano π.
Estando o vetor P0P descrito como (x – x0, y – y0, z – z0), e n (a, b, c), a equação citada acima pode ser reescrita como: 
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
ax + by + cz - ax0 - by0 - cz0 = 0
Considerando – ax0 – by0 – cz0 = d, tem -se a representação da equação do plano:
 ax + by + cz +d = 0 .
 
B) Distância entre um Ponto e um Plano
Dados um ponto P e um plano no espaço, a distância entre o ponto P e o plano é definida como a menor distância possível entre P e um ponto do plano. O ponto do plano que se situa a menor distância de P é exatamente aquele que se encontra na interseção da reta passando por P que é perpendicular ao plano. Portanto, a distância do ponto P ao plano é o comprimento do segmento de reta entre estes dois pontos.
Vamos obter um método para encontrar a distância entre o ponto P e o plano pi . Para fixar idéias, tenha em mente o exemplo ilustrado na Escolha um ponto qualquer Q pertencente ao plano e considere o vetor PQ .Figura 1.
C) Distância de um Ponto a uma Reta
Dados um ponto P e uma reta r no espaço, a distância entre P e a reta é definida como a menor dentre todas as distâncias possíveis entre P e pontos da reta r . O ponto da reta r que se situa a menor distância de P é exatamente aquele que se encontra na interseção da reta que passa por P e é perpendicular à reta r . Portanto, a distância do ponto P à reta r é o comprimento do segmento de reta entre estes dois pontos.
Vamos obter um método para calcular a distância entre um ponto P e uma reta r dadas. Para fixar idéias, tenha em mente o exemplo ilustrado na Figura 1.
Figura 1 - Ponto P = (5, -3, 10) e reta r : (0, 4, 2) + t (4, 2, 1)
Escolha um ponto qualquer Q da reta r e considere o vetor PQ . Por exemplo, tome t = 0 na equação paramétrica de r , de modo que Q = (0, 4, 2).
Figura 2 - Vetor PQ = (-5, 7, -8) em cinza
O vetor PQ tem duas componentes: uma componente W[1] paralela a reta r e a outra componente W[2] em uma direção ortogonal à reta. O comprimento da componente ortogonal W[2] é exatamente a distância entre o ponto e a reta.
Figura 3 - Componentes do vetor PQ : componente paralela à reta em vermelho ; componente perpendicular à reta em azul
Entretanto, não há necessidade de se calcular a componente ortogonal W[2] explicitamente para se obter a distância entre P e r . A componente paralela W[1] à reta r nada mais é que a projeção do vetor PQ sobre o vetor diretor v de r . Como a norma do vetor PQ é a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes, temos
Segue que 
Portanto, a distância entre P e r é dada por 
d) Distância entre Duas Retas
Retas reversas: Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s, não paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa.
Figura 1 - Retas reversas e seus vetores diretores:
Equação da reta r (em vermelho ): (1 + 2 t , 3 + 4 t , 5 + t )
Equação da reta s (em azul ): (1 + 2 t , -1 + 2 t , -3 + t )
Para calcular a distância entre duas retas reversas, escolha um ponto P qualquer de r e um ponto Q qualquer em s . Para fixar id
Figura 2 - P = (1, 3, 5) e Q = (1, -1, -3) escolhidos para as retas r e s , respectivamente.
 
Encontre o vetor 
N = Vr x Vs
com v[r] sendo o vetor diretor da reta r e v[s] o vetor diretor da reta s . Segue que N é ortogonal a ambas as retas r e s .
Figura 3 - O vetor N ortogonal a r e s é o vetor preto ; o vetor PQ = (0, -4, -8) é o vetor cinza .
Projete o vetor PQ sobre o vetor N. A norma dessa projeção é a distância entre r e s .
Figura 4 - O vetor rosa é a projeção de PQ em N .
Assim,
2) Dá-se o nome de superfície quádrica ou simplesmente quádrica ao gráfico de uma
equação do segundo grau, nas variáveis x, y e z, da forma:
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 + 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑥𝑧 + 𝐹𝑦𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐾 = 0, que mediante uma rotação
ou translação de eixos, ou até mesmo através dos dois movimentos simultaneamente, se
transforma em um dos dois tipos de equações:
1) 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑧2 = D
2) 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐼𝑧 = 0 
a)