Aula SC - Tema 05 - Modelagem matemática - funções de transferência em s

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Engenharias Elétrica, da Computação e de Energia – Sistemas de Controle – Prof. Solivan Valente 1
Engenharias Elétrica, da Computação e de Energia
Prof. Solivan Valente
solivan@up.edu.br
Tema 5
Modelagem matemática por funções de transferência em 𝒔
2
A função de transferência
A função de transferência no domínio da frequência de Laplace 
modela o comportamento de um sistema, com respeito à sua entrada 
e à sua saída. Por isso, é comumente chamada de modelo do 
sistema. 
Ela estabelece uma relação algébrica entre a saída e a entrada, o que 
é bem mais simples e prático do que usar uma equação diferencial.
Além disso, o uso de funções de transferência permite combinar
algebricamente modelos de subsistemas para produzir um modelo 
que representa o sistema como um todo.
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A função de transferência
Iniciamos escrevendo uma equação diferencial geral, de ordem 𝑛, linear e 
invariante no tempo:
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𝑎𝑛
𝑑𝑛𝑐(𝑡)
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1𝑐(𝑡)
𝑑𝑡𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎0𝑐 𝑡 = 𝑏𝑚
𝑑𝑚𝑟(𝑡)
𝑑𝑡𝑚
+ 𝑏𝑚−1
𝑑𝑚−1𝑟(𝑡)
𝑑𝑡𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏0𝑟 𝑡
A função 𝑐(𝑡) representa o sinal de saída, 𝑟(𝑡) é a entrada, e os coeficientes 𝑎𝑖 e 𝑏𝑖
e a forma da equação diferencial representam o sistema. Aplicando a transformada 
de Laplace a ambos os termos da equação, obtemos: 
𝑎𝑛𝑠
𝑛𝐶 𝑠 + 𝑎𝑛−1𝑠
𝑛−1𝐶 𝑠 + ⋯+ 𝑎0𝐶 𝑠 +
termos de condição inicial 
(𝑡 = 0) envolvendo 𝑐(𝑡)
= 𝑏𝑚𝑠
𝑚𝑅 𝑠 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1𝑅 𝑠 + ⋯+ 𝑏0𝑅 𝑠 +
termos de condição inicial 
(𝑡 = 0) envolvendo r(𝑡)
Observe que essa equação é puramente algébrica.
Se considerarmos que todas as condições iniciais são nulas, temos:
𝑎𝑛𝑠
𝑛𝐶 𝑠 + 𝑎𝑛−1𝑠
𝑛−1𝐶 𝑠 + ⋯+ 𝑎0𝐶 𝑠 = 𝑏𝑚𝑠
𝑚𝑅 𝑠 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1𝑅 𝑠 + ⋯+ 𝑏0𝑅 𝑠
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A função de transferência
Colocando as funções em evidência, temos:
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𝑎𝑛𝑠
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 𝐶 𝑠 = 𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯+ 𝑏0 𝑅 𝑠
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
= 𝐺 𝑠 =
𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯+ 𝑏0
𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯+ 𝑎0
Observe que essa equação separa a saída 𝐶 𝑠 , a entrada 𝑅 𝑠 e o sistema 𝐺 𝑠 .
A razão entre os polinômios em 𝑠 é chamada de função de 
transferência, 𝐺(𝑠). Ela é calculada com condições iniciais nulas.
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A função de transferência
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A função de transferência pode ser representada por meio de um diagrama de 
blocos, com a entrada à esquerda e a saída à direita, e a função de transferência 
do sistema no interior do bloco:
𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏0
𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0
𝐶 𝑠𝑅 𝑠
𝐺(𝑠)
𝐶 𝑠𝑅 𝑠
𝐶 𝑠 = 𝑅 𝑠 . 𝐺 𝑠
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
= 𝐺 𝑠 =
𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯+ 𝑏0
𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯+ 𝑎0
Se soubermos a função de transferência de um sistema, podemos 
calcular a sua saída para qualquer entrada:
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A função de transferência
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Exemplo 1: Um determinado sistema é modelado pela equação diferencial abaixo. 
Obtenha a função de transferência desse sistema.
𝑑𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
+ 2𝑐 𝑡 = 𝑟(𝑡)
Lembrando da propriedade da diferenciação no tempo da transformada de Laplace
𝑑𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
⟺ 𝑠. 𝐶 𝑠 − 𝑐 0−
e considerando condições iniciais nulas para 𝑐(𝑡), a transformada da equação 
resulta em:
𝑠. 𝐶 𝑠 + 2𝐶 𝑠 = 𝑅(𝑠)
A função de transferência é a relação saída/entrada:
𝑠 + 2 𝐶 𝑠 = 𝑅(𝑠)
𝐶 𝑠
𝑅(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
1
𝑠 + 2
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A função de transferência
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Observe que há 2 formas de representação:
𝑐 𝑡𝑟 𝑡
𝐶 𝑠𝑅 𝑠
Sistema
Representação no domínio 
do tempo com uma
equação diferencial
𝑑𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
+ 2𝑐 𝑡 = 𝑟(𝑡)
𝐺 𝑠 =
1
𝑠 + 2
Sistema
Representação no domínio 
da frequência com uma 
função de transferência
Transformada de Laplace
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A função de transferência
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Exemplo 2: Obtenha a resposta 𝑐(𝑡) do sistema de Exemplo 1 quando for aplicado 
um degrau unitário em sua entrada, ou seja, 𝑟 𝑡 = 𝑢(𝑡). Admita condições iniciais 
nulas.
Realizamos todos os cálculos no domínio da frequência 𝑠 até obtermos 
a saída desejada 𝐶(𝑠). Em seguida, calculamos a transformada inversa 
para obter a resposta desejada 𝑐(𝑡) no domínio do tempo.
Sinal de entrada: 𝑟 𝑡 = 𝑢 𝑡 ⟺ 𝑅 𝑠 =
1
𝑠
Função de transferência: 𝐺 𝑠 =
1
𝑠 + 2
𝐶 𝑠 = 𝑅 𝑠 . 𝐺 𝑠
𝐶 𝑠 =
1
𝑠 𝑠 + 2
Saída do sistema:
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A função de transferência
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Para calcular a transformada inversa de 𝐶(𝑠), expandimos em frações parciais.
Neste caso, são duas raízes reais e distintas no denominador: 𝑠 = 0 e 𝑠 = −2.
𝐶 𝑠 =
1
𝑠 𝑠 + 2
=
𝐾1
𝑠
+
𝐾2
𝑠 + 2
𝐾1 = 
1
𝑠 + 2
𝑠→0
=
1
2
𝐾2 = 
1
𝑠
𝑠→−2
= −
1
2
𝐶 𝑠 =
1
𝑠 𝑠 + 2
=
1
2
1
𝑠
−
1
2
1
𝑠 + 2
Lembrando que:
𝑢 𝑡 ⟺
1
𝑠
𝑒−𝑎𝑡. 𝑢(𝑡) ⟺
1
𝑠 + 𝑎
𝑐 𝑡 = ℒ−1 𝐶 𝑠 =
1
2
ℒ−1
1
𝑠
−
1
2
ℒ−1
1
𝑠 + 2
𝑐 𝑡 =
1
2
−
1
2
𝑒−2𝑡 . 𝑢(𝑡)
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A função de transferência
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Deste modo, temos:
𝑡
𝑟 𝑡 = 𝑢(𝑡)
1
0
O sistema recebe uma 
excitação na entrada na 
forma de um degrau 
unitário...
Sistema
𝑐 𝑡 =
1
2
−
1
2
𝑒−2𝑡 . 𝑢(𝑡)
𝑡
1
2
0
... e responde com uma saída 
na forma de uma exponencial 
que tende a se estabilizar em 
um nível bem definido.
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A função de transferência
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Exercício 1: Obtenha a função de transferência do sistema modelado pela equação 
diferencial a seguir.
𝑑3𝑐(𝑡)
𝑑𝑡3
+ 3
𝑑2𝑐(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 7
𝑑𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
+ 5𝑐 𝑡 =
𝑑2𝑟(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 4
𝑑𝑟(𝑡)
𝑑𝑡
+ 3𝑟(𝑡)
𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
⟺ 𝑠. 𝐹 𝑠 − 𝑓 0−
𝑑2𝑓(𝑡)
𝑑𝑡2
⟺ 𝑠2. 𝐹 𝑠 − 𝑠. 𝑓 0− − 𝑓′ 0−
𝑑3𝑓(𝑡)
𝑑𝑡3
⟺ 𝑠3. 𝐹 𝑠 − 𝑠2. 𝑓 0− − 𝑠. 𝑓′ 0− − 𝑓′′ 0−
Da propriedade da 
diferenciação no tempo 
da transformada de 
Laplace, temos:
Para determinar a função de transferência, admitimos nulas todas as condições 
iniciais (em 𝑡 = 0).
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A função de transferência
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Então, aplicando a transformada na equação:
𝑑3𝑐(𝑡)
𝑑𝑡3
+ 3
𝑑2𝑐(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 7
𝑑𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
+ 5𝑐 𝑡 =
𝑑2𝑟(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 4
𝑑𝑟(𝑡)
𝑑𝑡
+ 3𝑟(𝑡)
𝑠3. 𝐶 𝑠 + 3𝑠2. 𝐶 𝑠 + 7𝑠. 𝐶 𝑠 + 5. 𝐶 𝑠 = 𝑠2. 𝑅 𝑠 + 4𝑠. 𝑅 𝑠 + 3. 𝑅(𝑠)
𝑠3 + 3𝑠2 + 7𝑠 + 5 . 𝐶 𝑠 = 𝑠2 + 4𝑠 + 3 . 𝑅(𝑠)
𝐶 𝑠
𝑅(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
𝑠2 + 4𝑠 + 3
𝑠3 + 3𝑠2 + 7𝑠 + 5
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A função de transferência
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Exercício 2: Obtenha a equação diferencial correspondente à função de 
transferência a seguir.
𝐺 𝑠 =
2𝑠 + 1
𝑠2 + 6𝑠 + 2
𝑠2 + 6𝑠 + 2 . 𝐶 𝑠 = 2𝑠 + 1 . 𝑅(𝑠)
𝑠2. 𝐶 𝑠 + 6𝑠. 𝐶 𝑠 + 2. 𝐶 𝑠 = 2𝑠. 𝑅(𝑠)+ 𝑅(𝑠)
𝑑2𝑐(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 6
𝑑𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
+ 2𝑐 𝑡 = 2
𝑑𝑟(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑟(𝑡)
𝐺 𝑠 =
𝐶 𝑠
𝑅(𝑠)
=
2𝑠 + 1
𝑠2 + 6𝑠 + 2
Realizamos o processo inverso:
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A função de transferência
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𝐺 𝑠 =
𝑠
𝑠 + 4 𝑠 + 8
Exercício 3: Obtenha a resposta a uma entrada em rampa para um sistema que 
tenha a função de transferência a seguir. Considere que as condições iniciais são 
nulas.
Sinal de entrada: 𝑟 𝑡 = 𝑡. 𝑢 𝑡 ⟺ 𝑅 𝑠 =
1
𝑠2
Função de transferência: 𝐺 𝑠 =
𝑠
𝑠 + 4 𝑠 + 8
Uma entrada em rampa significa que temos 𝑟 𝑡 = 𝑡. 𝑢(𝑡). Assim:
A resposta do sistema (saída) é calculada por:
𝐶 𝑠 = 𝑅 𝑠 . 𝐺 𝑠 =
1
𝑠2
𝑠
𝑠 + 4 𝑠 + 8
=
1
𝑠 𝑠 + 4 𝑠 + 8
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A função de transferência
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A saída desejada no domínio do tempo é obtida pela transformada inversa. Neste 
caso, expandimos em frações parciais, observando que há 3 raízes reais e distintas 
no denominador: 𝑠 = 0 , 𝑠 = −4 e 𝑠 = −8 .
𝐶 𝑠 =
1
𝑠 𝑠 + 4 𝑠 + 8
=
𝐾1
𝑠
+
𝐾2
𝑠 + 4
+
𝐾3
𝑠 + 8
𝐾1 = 
1
𝑠 + 4 𝑠 + 8
𝑠→0
=
1
32
𝐾2 = 
1
𝑠 𝑠 + 8
𝑠→−4
= −
1
16
𝐾3 = 
1
𝑠 𝑠 + 4
𝑠→−8
=
1
32
𝐶 𝑠 =
1
32
𝑠
−
1
16
𝑠 + 4
+
1
32
𝑠 + 8
Lembrando que:
𝑢 𝑡 ⟺
1
𝑠
𝑒−𝑎𝑡. 𝑢(𝑡) ⟺
1
𝑠 + 𝑎
𝑐 𝑡 = ℒ−1 𝐶 𝑠 =
1
32
ℒ−1
1
𝑠
−
1
16
ℒ−1
1
𝑠 + 4
+
1
32
ℒ−1
1
𝑠 + 8
𝑐 𝑡 =
1
32
−
1
16
𝑒−4𝑡 +
1
32
𝑒−8𝑡 . 𝑢(𝑡)
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A função de transferência
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Deste modo, temos:
𝑡
𝑟 𝑡 = 𝑡. 𝑢(𝑡)
0
O sistema recebe uma 
excitação na entrada na 
forma de uma rampa...
Sistema
𝑡
1
32
0
... e responde com uma saída 
na forma de duas exponenciais 
combinadas, que tende a se 
estabilizar em um nível bem 
definido.
𝑐 𝑡 =
1
32
−
1
16
𝑒−4𝑡 +
1
32
𝑒−8𝑡 . 𝑢(𝑡)
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Funções de transferência de sistemas físicos
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A partir deste ponto, vamos estudar como podemos modelar 
sistemas físicos de diversos tipos com funções de transferência.
Vamos focar nossa atenção em:
• Circuitos elétricos
• Sistemas mecânicos translacionais
• Sistemas mecânicos rotacionais
• Sistemas eletromecânicos
A modelagem de sistemas com engrenagens, sistemas pneumáticos, 
sistemas hidráulicos e de sistemas de transferência de calor não será 
abordada. Você pode consultar o livro texto para maiores detalhes.
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Funções de transferência de Circuitos Elétricos
Iniciamos analisando circuitos elétricos apenas com elementos passivos (resistores, 
indutores e capacitores) e, em seguida, incluiremos elementos ativos
(amplificadores operacionais).
A análise de um circuito elétrico para obter sua função de transferência baseia-se 
no uso de impedâncias ou admitâncias (no domínio de Laplace), e nas Leis de 
Kirchhoff das Tensões (LTK) e das Correntes (LCK).
Antes de iniciar qualquer análise, devemos identificar claramente quem são as 
variáveis de entrada e de saída. A função de transferência, como sabemos, é a 
razão saída/entrada no domínio da frequência.
Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga
Impedância
𝒁 𝒔 =
𝑽(𝒔)
𝑰(𝒔)
Admitância
𝒀 𝒔 =
𝑰(𝒔)
𝑽(𝒔)
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Relações para resistores, indutores e capacitores
𝑣 𝑡 = 𝑅. 𝑖(𝑡) 𝑖 𝑡 =
𝑣(𝑡)
𝑅
𝑣 𝑡 = 𝑅
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
𝑅 𝐺 =
1
𝑅
𝑣 𝑡 = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
Capacitor
𝐶𝑖(𝑡)
𝑣 𝑡
+ −
Indutor
𝐿𝑖(𝑡)
𝑣 𝑡
+ −
Resistor
𝑅𝑖(𝑡)
𝑣 𝑡
+ −
𝑖 𝑡 =
1
𝐿
 
0
𝑡
𝑣 𝜏 𝑑𝜏 𝑣 𝑡 = 𝐿
𝑑2𝑞(𝑡)
𝑑𝑡2
𝑠𝐿
1
𝑠𝐿
𝑣 𝑡 =
1
𝐶
 
0
𝑡
𝑖 𝜏 𝑑𝜏 𝑖 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣 𝑡 =
𝑞(𝑡)
𝐶
1
𝑠𝐶
𝑠𝐶
Obs.: Na análise de circuitos CA, usamos as impedâncias no domínio de Fourier: 𝜎 = 0 ⟶ 𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 = 𝑗𝜔.
Lembre-se que as impedâncias em CA são: Resistor: 𝑅 Indutor: 𝑗𝜔𝐿 Capacitor: 1 𝑗𝜔𝐶
Ω
ohm
𝐻
henry
𝐹
farad
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Exemplo 3: Determine a função de transferência que relaciona a tensão 𝑉𝐶(𝑠) no 
capacitor à tensão de entrada 𝑉(𝑠) no circuito abaixo.
O enunciado deixa claro quem são as variáveis de entrada e de saída. O primeiro 
passo é redesenhar o circuito do domínio da frequência, substituindo as tensões e 
correntes por suas transformadas e indicando as impedâncias dos elementos:
Neste caso, para relacionar a saída com a entrada, 
usamos um divisor de tensão: 
𝑉𝐶(𝑠) = 𝑉 𝑠
1
𝐶𝑠
1
𝐶𝑠 + 𝐿𝑠 + 𝑅
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Rearranjando os termos:
𝑉𝐶 𝑠 = 𝑉 𝑠
1
𝐶𝑠
1
𝐶𝑠 + 𝐿𝑠 + 𝑅
= 𝑉(𝑠)
1
1 + 𝐿𝐶𝑠2 + 𝑅𝐶𝑠
Deixamos o termo quadrático com coeficiente unitário, dividindo numerador e 
denominador por 𝐿𝐶:
𝑉𝐶 𝑠 = 𝑉(𝑠)
1
𝐿𝐶
𝑠2 +
𝑅
𝐿 𝑠 +
1
𝐿𝐶
Assim:
𝑉𝐶 𝑠
𝑉(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
1
𝐿𝐶
𝑠2 +
𝑅
𝐿 𝑠 +
1
𝐿𝐶
Diagrama em blocos do circuito, 
relacionando a tensão de entrada (fonte) 
com a tensão de saída (capacitor): 
IMPORTANTE!
Se escolhermos outra variável de entrada 
e/ou de saída, a função de transferência 
não será a mesma!
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Exemplo 4: Determine a função de transferência que relaciona a corrente de saída 
𝐼2(𝑠) à tensão de entrada 𝑉(𝑠) no circuito abaixo.
O enunciado deixa claro quem são as variáveis de entrada e de saída. Como no caso 
anterior, redesenhamos o circuito do domínio da frequência:
Para relacionar a saída com a entrada, precisamos aplicar a LTK nas duas malhas. 
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Indicando as polaridades das tensões:
+ − + −
+
−
LTK na malha à esquerda:
−𝑉 𝑠 + 𝑅1𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 − 𝐼2 𝑠 = 0
𝑅1 + 𝐿𝑠 . 𝐼1 𝑠 − 𝐿𝑠. 𝐼2 𝑠 = 𝑉 𝑠 (1)
LTK na malha à direita:
−𝐿𝑠 𝐼1 𝑠 − 𝐼2 𝑠 + 𝑅2𝐼2 𝑠 +
1
𝐶𝑠
𝐼2 𝑠 = 0
−𝐿𝑠. 𝐼1 𝑠 + 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
. 𝐼2 𝑠 = 0 (2)
Na forma matricial: 𝑅1 + 𝐿𝑠 −𝐿𝑠
−𝐿𝑠 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
.
𝐼1 𝑠
𝐼2 𝑠
=
𝑉 𝑠
0
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Resolvendo o sistema para 𝐼2(𝑠), teremos a sua relação com a tensão 𝑉(𝑠) da 
fonte, que é a variável de entrada. Podemos usar qualquer método que for mais 
conveniente. Resolvendo pela Regra de Kramer, temos:
𝑅1 + 𝐿𝑠 −𝐿𝑠
−𝐿𝑠 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
.
𝐼1 𝑠
𝐼2 𝑠
=
𝑉 𝑠
0
Δ =
𝑅1 + 𝐿𝑠 −𝐿𝑠
−𝐿𝑠 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
= 𝑅1 + 𝐿𝑠 . 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠
− −𝐿𝑠 . −𝐿𝑠
Δ = 𝑅1 + 𝐿𝑠 . 𝐿𝑠 +𝑅2 +
1
𝐶𝑠
− 𝐿2𝑠2
𝐼2 𝑠 =
𝑅1 + 𝐿𝑠 𝑉(𝑠)
−𝐿𝑠 0
Δ
=
0 − −𝐿𝑠. 𝑉(𝑠)
Δ
=
𝐿𝑠. 𝑉(𝑠)
Δ
𝐼2 𝑠
𝑉(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
𝐿𝑠
Δ
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Assim: 𝐼2 𝑠
𝑉(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
𝐿𝑠
𝑅1 + 𝐿𝑠 . 𝐿𝑠 + 𝑅2 +
1
𝐶𝑠 − 𝐿
2𝑠2
Rearranjando com polinômios no numerador e no denominador, temos:
𝐺 𝑠 =
𝐿𝐶𝑠2
𝑅1 + 𝑅2 𝐿𝐶. 𝑠2 + 𝑅1𝑅2𝐶 + 𝐿 . 𝑠 + 𝑅1
Diagrama em blocos do circuito, 
relacionando a tensão de entrada (fonte) 
com a corrente de saída: 
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Exercício 4: Determine a função de transferência que relaciona a tensão de saída 
sobre o capacitor 𝑉𝐶(𝑠) à tensão de entrada 𝑉(𝑠). Utilize análise nodal.
Esse é o mesmo circuito do exemplo anterior, mas agora a variável de saída é outra. 
Por isso, a função de transferência também mudará.
O enunciado deixa claro que devemos utilizar análise nodal para solucionar o 
problema.
O nó mais à esquerda tem a tensão da fonte, logo não é uma incógnita. Então, 
temos que aplicar a LCK ao nó central e ao nó mais à direita.
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Indicando as tensões nodais e as correntes,
e utilizando as admitâncias, temos:
𝐺1 =
1
𝑅1
𝐺2 =
1
𝑅2
LCK no nó central:
𝑉𝐿 𝑠
𝐿𝑠
+
𝑉𝐿 𝑠 − 𝑉(𝑠)
𝑅1
+
𝑉𝐿 𝑠 − 𝑉𝐶 𝑠
𝑅2
= 0
(1)
1
𝐿𝑠
+ 𝐺1 + 𝐺2 . 𝑉𝐿 𝑠 − 𝐺2. 𝑉𝐶 𝑠 = 𝐺1. 𝑉 𝑠
LCK no nó à direita:
(2)
𝑉𝐶 𝑠
1/𝐶𝑠
+
𝑉𝐶 𝑠 − 𝑉𝐿 𝑠
𝑅2
= 0
−𝐺2. 𝑉𝐿 𝑠 + 𝐶𝑠 + 𝐺2 . 𝑉𝐶 𝑠 = 0
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Na forma matricial: 1
𝐿𝑠
+ 𝐺1 + 𝐺2 −𝐺2
−𝐺2 𝐶𝑠 + 𝐺2
.
𝑉𝐿 𝑠
𝑉𝐶 𝑠
=
𝐺1. 𝑉 𝑠
0
Estamos interessados na relação 𝑉𝐶 𝑠 /𝑉(𝑠), logo, precisamos determinar 
apenas para a variável 𝑉𝐶 𝑠 . Resolvendo pela Regra de Kramer, temos:
Δ =
1
𝐿𝑠
+ 𝐺1 + 𝐺2 −𝐺2
−𝐺2 𝐶𝑠 + 𝐺2
=
1
𝐿𝑠
+ 𝐺1 + 𝐺2 . 𝐶𝑠 + 𝐺2 − −𝐺2 . −𝐺2
Δ =
1
𝐿𝑠
+ 𝐺1 + 𝐺2 . 𝐶𝑠 + 𝐺2 − 𝐺2
2
𝑉𝐶 𝑠 =
1
𝐿𝑠 + 𝐺1 + 𝐺2 𝐺1. 𝑉(𝑠)
−𝐺2 0
Δ
=
𝐺1𝐺2. 𝑉(𝑠)
Δ
𝑉𝐶 𝑠
𝑉(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
𝐺1𝐺2
Δ
29
Funções de transferência de sistemas físicos
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Assim: 𝑉𝐶 𝑠
𝑉(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
𝐺1𝐺2
1
𝐿𝑠 + 𝐺1 + 𝐺2 . 𝐶𝑠 + 𝐺2 − 𝐺2
2
Rearranjando com polinômios no numerador e no denominador, temos:
𝐺 𝑠 =
𝐺1𝐺2
𝐶 𝑠
𝐺1 + 𝐺2 . 𝑠2 +
𝐺1𝐺2𝐿 + 𝐶
𝐿𝐶 . 𝑠 +
𝐺2
𝐿𝐶
Diagrama em blocos do circuito, 
relacionando a tensão de entrada (fonte) 
com a tensão de saída (sobre o capacitor): 
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Amplificadores Operacionais
Um amplificador operacional pode ser usado como um bloco de construção básico 
para implementar funções de transferência.
1. Entrada diferencial: 𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡
2. Alta impedância de entrada: 𝑍𝑒 → ∞ (ideal)
3. Baixa impedância de saída: 𝑍𝑠 = 0 (ideal)
4. Alta constante de ganho de amplificação: 𝐴 → ∞ (ideal)
Ele apresenta as seguintes características:
A saída é dada por:
𝑣𝑠 𝑡 = 𝐴. 𝑣2 𝑡 − 𝑣1 𝑡
31
Funções de transferência de sistemas físicos
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Amplificador Operacional Inversor (terminal positivo aterrado)
A função de transferência de um amplificador inversor ideal com impedâncias 
ligadas aos terminais de entrada e de saída é:
𝑉𝑠(𝑠)
𝑉𝑒(𝑠)
= −
𝑍2(𝑠)
𝑍1(𝑠)
32
Funções de transferência de sistemas físicos
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Exemplo 5: Determine a função de transferência 𝑉𝑠 𝑠 /𝑉𝑒 𝑠 do circuito abaixo 
(controlador PID).
𝑍1(𝑠)
𝑍2(𝑠)
Impedâncias em paralelo:
𝑍1 =
𝑅1
1
𝑠𝐶1
𝑅1 +
1
𝑠𝐶1
=
𝑅1
1 + 𝑠𝑅1𝐶1
Impedâncias em série:
𝑍2 = 𝑅2 +
1
𝑠𝐶2
=
1 + 𝑠𝑅2𝐶2
𝑠𝐶2
33
Funções de transferência de sistemas físicos
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𝑉𝑠(𝑠)
𝑉𝑒(𝑠)
= −
𝑍2 𝑠
𝑍1 𝑠
= −
1 + 𝑠𝑅2𝐶2
𝑠𝐶2
1 + 𝑠𝑅1𝐶1
𝑅1
Função de transferência:
𝑉𝑠(𝑠)
𝑉𝑒(𝑠)
= −
𝑠2. 𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠. 𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2 + 1
𝑠. 𝑅1𝐶2
𝑉𝑠(𝑠)
𝑉𝑒(𝑠)
= −𝑅2𝐶1
𝑠2 +
𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2
𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2
𝑠 +
1
𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2
𝑠
Substituindo os valores dos componentes, obtemos:
𝑉𝑠(𝑠)
𝑉𝑒(𝑠)
= −1,232
𝑠2 + 45,95𝑠 + 22,55
𝑠
34
Funções de transferência de sistemas físicos
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Amplificador Operacional Não Inversor
𝑉𝑠(𝑠)
𝑉𝑒(𝑠)
=
𝑍1 𝑠 + 𝑍2(𝑠)
𝑍1(𝑠)
A função de transferência de um amplificador não inversor ideal com 
impedâncias ligadas ao terminal de saída é:
35
Funções de transferência de sistemas físicos
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Exemplo 6: Determine a função de transferência 𝑉𝑠 𝑠 /𝑉𝑒 𝑠 do circuito abaixo.
𝑍1(𝑠)
𝑍2(𝑠)
Impedâncias em paralelo:
𝑍2 =
𝑅2
1
𝑠𝐶2
𝑅2 +
1
𝑠𝐶2
=
𝑅2
1 + 𝑠𝑅2𝐶2
Impedâncias em série:
𝑍1 = 𝑅1 +
1
𝑠𝐶1
=
1 + 𝑠𝑅1𝐶1
𝑠𝐶1
36
Funções de transferência de sistemas físicos
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𝑉𝑠(𝑠)
𝑉𝑒(𝑠)
=
𝑍1 𝑠 + 𝑍2(𝑠)
𝑍1(𝑠)
=
1 + 𝑠𝑅1𝐶1
𝑠𝐶1
+
𝑅2
1 + 𝑠𝑅2𝐶2
1 + 𝑠𝑅1𝐶1
𝑠𝐶1
Função de transferência:
Desenvolvendo, obtemos:
𝑉𝑠(𝑠)
𝑉𝑒(𝑠)
=
𝑠2. 𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠. 𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2 + 𝑅2𝐶1 + 1
𝑠2. 𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠. 𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶2 + 1
37
Funções de transferência de sistemas físicos
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Funções de transferência de Sistemas Mecânicos Translacionais
Os sistemas mecânicos se assemelham tanto aos circuitos elétricos que existem 
analogias entre componentes e variáveis elétricas e mecânicas.
Os sistemas mecânicos, da mesma forma que os circuitos elétricos, possuem três 
componentes lineares passivos. Dois deles, a mola e a massa, são elementos 
armazenadores de energia, e o outro, o amortecedor viscoso, dissipa energia.
Os dois elementos armazenadores de energia são análogos aos dois elementos 
armazenadores de energia elétricos, o indutor e o capacitor. O dissipador de 
energia é análogo à resistência elétrica.
Quando comparamos as equações mecânicas com as equações elétricas destes 
elementos, observamos analogias que nos auxiliam a analisar sistemas mecânicos 
de modo similar aos elétricos.
38
Funções de transferência de sistemas físicos
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Relações para molas, massas e amortecedores - Translação
Componente Força-velocidade Força-deslocamento
Impedância
𝒁𝑴 𝒔 =
𝑭(𝒔)
𝑿(𝒔)
𝑁/𝑚
𝑁𝑠/𝑚
𝑘𝑔
Os nomes dos parâmetros mecânicos na translação são:
𝐾 constante de mola 𝑓𝑣 coeficientede atrito viscoso 𝑀 massa
39
Funções de transferência de sistemas físicos
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A análise é feita da seguinte forma:
1. Admitimos um sentido positivo para o movimento (ex. para a direita).
Isso é equivalente a adotar um sentido (ex. horário) para uma corrente de malha.
2. Utilizando o sentido positivo adotado, desenhamos o diagrama de corpo livre, 
indicando todas as forças que agem sobre o corpo, tanto no sentido do movimento 
quanto no sentido oposto.
3. Usamos a lei de Newton para produzir uma equação diferencial de movimento, 
somando as forças e igualando a soma a zero.
4. Admitindo condições iniciais nulas, aplicamos a transformada de Laplace à equação 
diferencial e obtemos a função de transferência desejada.
40
Funções de transferência de sistemas físicos
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Exemplo 7: Determine a função de transferência X 𝑠 /𝐹 𝑠 do sistema mecânico 
translacional abaixo, com uma massa, uma mola e um amortecedor. A função 𝑓(𝑡)
indica a força aplicada sobre o conjunto e 𝑥(𝑡) indica o deslocamento da massa em 
relação ao repouso.
O sentido positivo do movimento 𝑥(𝑡) já está indicado na figura.
O diagrama de corpo livre para a massa é:
Força da mola
Força de atrito
Força de reação
(inércia)
Igualando as forças, obtemos a equação 
diferencial que modela o movimento da massa:
𝑀
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝑓𝑣
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡)
41
Funções de transferência de sistemas físicos
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Aplicando a transformada de Laplace e admitindo condições iniciais nulas:
𝑀𝑠2 + 𝑓𝑣𝑠 + 𝐾 . 𝑋 𝑠 = 𝐹(𝑠)
Diagrama no
domínio
do tempo
Diagrama no
domínio
da frequência
𝑀
𝑑2𝑥(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝑓𝑣
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡) 𝑀. 𝑠
2𝑋 𝑠 + 𝑓𝑣. 𝑠𝑋 𝑠 + 𝐾. 𝑋 𝑠 = 𝐹(𝑠)
𝑋(𝑠)
𝐹(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
1
𝑀𝑠2 + 𝑓𝑣𝑠 + 𝐾
Função de transferência que 
relaciona o deslocamento e a 
força aplicada
Diagrama em blocos:
42
Funções de transferência de sistemas físicos
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Observe as forças no domínio da frequência:
Impedâncias Mecânicas
(veja a tabela anterior)
𝑍𝑀 𝑠 =
𝐹(𝑠)
𝑋(𝑠)
Há uma analogia com a LTK em uma malha! Você sabe explicar? 
Se usarmos essa abordagem, não precisaremos escrever as equações diferenciais 
para os sistemas mecânicos, assim como fazemos para circuitos elétricos.
𝑀𝑠2 + 𝑓𝑣𝑠 + 𝐾 . 𝑋 𝑠 = 𝐹(𝑠)
𝑀. 𝑠2𝑋 𝑠 + 𝑓𝑣. 𝑠𝑋 𝑠 + 𝐾. 𝑋 𝑠 = 𝐹(𝑠)
Soma das impedâncias
mecânicas
[soma das impedâncias] . 𝑋(𝑠) = [soma das forças aplicadas]
43
Funções de transferência de sistemas físicos
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O exemplo anterior mostrou a análise para um sistema mecânico com apenas um 
grau de liberdade, ou seja, apenas uma massa pode mover-se livremente.
Para analisar sistemas mecânicos com um ou mais graus de liberdade (uma ou 
várias massas em movimento), desenhamos um diagrama de corpo livre para cada 
massa e, em seguida, utilizamos o princípio da superposição.
Entretanto, essa análise nos levará às mesmas conclusões que chegamos quando 
aplicamos a LTK em um circuito elétrico com várias malhas. Ou seja, podemos obter 
as equações sem esboçar o diagrama de corpo livre: as equações podem ser 
obtidas por inspeção, de modo direto!
(Para ver a demonstração, veja o Exemplo 2.17 do livro texto do Nise.)
44
Funções de transferência de sistemas físicos
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1. Identifique as funções de movimento 𝑋1(𝑠), 𝑋2(𝑠) etc. do sistema e as forças 𝐹1(𝑠), 
𝐹2(𝑠) etc. que atuam sobre cada corpo (massa).
2. Escreva as equações por inspeção, uma para cada corpo (massa).
3. Resolva o sistema para a variável de saída de interesse e obtenha a função de 
transferência desejada.
Método para obter a função de transferência de um sistema mecânico translacional
Sistema com 2 corpos em translação:
. 𝑋1 𝑠 −
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝑥1
. 𝑋2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝑥1 e 𝑥2
Soma das 
forças aplicadas 
em 𝑥1
Equação do corpo 1
. 𝑋1 𝑠 +
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝑥2
. 𝑋2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝑥1 e 𝑥2
Soma das 
forças aplicadas 
em 𝑥2
Equação do corpo 2−
45
Funções de transferência de sistemas físicos
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Exemplo 8: Determine a função de transferência 𝑋2 𝑠 /𝐹 𝑠 do sistema mecânico 
translacional abaixo. Monte as equações por inspeção.
O sistema possui dois graus de liberdade, uma vez que cada uma das massas pode ser 
movida na direção horizontal enquanto a outra é mantida imóvel. Assim, duas equações 
de movimento simultâneas serão necessárias para descrever o sistema.
As duas equações são obtidas por inspeção.
46
Funções de transferência de sistemas físicos
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. 𝑋1 𝑠 −
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝑥1
. 𝑋2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝑥1 e 𝑥2
Soma das 
forças aplicadas 
em 𝑥1
. 𝑋1 𝑠 +
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝑥2
. 𝑋2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝑥1 e 𝑥2
Soma das 
forças aplicadas 
em 𝑥2
− Impedâncias mecânicas:
Mola:
Massa:
Amortecedor:
𝐾
𝑓𝑣𝑠
𝑀𝑠2
Equação do corpo 1:
𝑀1𝑠
2 + 𝑓𝑣1 + 𝑓𝑣3 𝑠 + 𝐾1 + 𝐾2 . 𝑋1 𝑠 − 𝑓𝑣3𝑠 + 𝐾2 . 𝑋2 𝑠 = 𝐹(𝑠)
Equação do corpo 2:
− 𝑓𝑣3𝑠 + 𝐾2 . 𝑋1 𝑠 + 𝑀2𝑠
2 + 𝑓𝑣2 + 𝑓𝑣3 𝑠 + 𝐾2 + 𝐾3 . 𝑋2 𝑠 = 0
47
Funções de transferência de sistemas físicos
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Na forma matricial, temos:
𝑀1𝑠
2 + 𝑓𝑣1 + 𝑓𝑣3 𝑠 + 𝐾1 + 𝐾2 − 𝑓𝑣3𝑠 + 𝐾2
− 𝑓𝑣3𝑠 + 𝐾2 𝑀2𝑠
2 + 𝑓𝑣2 + 𝑓𝑣3 𝑠 + 𝐾2 + 𝐾3
.
𝑋1 𝑠
𝑋2 𝑠
=
𝐹 𝑠
0
Como desejamos a função de transferência 𝑋2 𝑠 /𝐹 𝑠 , calculamos 𝑋2 𝑠 pela 
Regra de Kramer:
Δ =
𝑀1𝑠
2 + 𝑓𝑣1 + 𝑓𝑣3 𝑠 + 𝐾1 + 𝐾2 − 𝑓𝑣3𝑠 + 𝐾2
− 𝑓𝑣3𝑠 + 𝐾2 𝑀2𝑠
2 + 𝑓𝑣2 + 𝑓𝑣3 𝑠 + 𝐾2 + 𝐾3
𝑋2 𝑠 =
𝑀1𝑠
2 + 𝑓𝑣1 + 𝑓𝑣3 𝑠 + 𝐾1 + 𝐾2 𝐹(𝑠)
− 𝑓𝑣3𝑠 + 𝐾2 0
Δ
=
𝐹 𝑠 𝑓𝑣3𝑠 + 𝐾2
Δ
𝑋2 𝑠
𝐹(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
𝑓𝑣3𝑠 + 𝐾2
Δ
Assim: Diagrama
em blocos:
48
Funções de transferência de sistemas físicos
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Exercício 5: Determine a função de transferência G s = 𝑋2 𝑠 /𝐹 𝑠 do sistema 
mecânico translacional abaixo. Monte as equações por inspeção.
Observe que o sistema tem 2 massas que se movem de modo independente, ou 
seja, tem 2 graus de liberdade. Obtemos as equações por inspeção.
49
Funções de transferência de sistemas físicos
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. 𝑋1 𝑠 −
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝑥1
. 𝑋2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝑥1 e 𝑥2
Soma das 
forças aplicadas 
em 𝑥1
. 𝑋1 𝑠 +
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝑥2
. 𝑋2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝑥1 e 𝑥2
Soma das 
forças aplicadas 
em 𝑥2
−
Impedâncias mecânicas:Mola:
Massa:
Amortecedor:
𝐾
𝑓𝑣𝑠
𝑀𝑠2Equação do corpo 1:
𝑀1𝑠
2 + 𝑓𝑣1 + 𝑓𝑣2 + 𝑓𝑣3 𝑠 + 𝐾 .𝑋1 𝑠 − 𝑓𝑣1 + 𝑓𝑣2 + 𝑓𝑣3 𝑠 + 𝐾 . 𝑋2 𝑠 = 𝐹(𝑠)
𝑠2 + 3𝑠 + 1 . 𝑋1 𝑠 − 3𝑠 + 1 . 𝑋2 𝑠 = 𝐹(𝑠)
Equação do corpo 2:
− 𝑓𝑣1 + 𝑓𝑣2 + 𝑓𝑣3 𝑠 + 𝐾 . 𝑋1 𝑠 + 𝑀2𝑠
2 + 𝑓𝑣1 + 𝑓𝑣2 + 𝑓𝑣3 + 𝑓𝑣4 𝑠 + 𝐾 . 𝑋2 𝑠 = 0
− 3𝑠 + 1 . 𝑋1 𝑠 + 𝑠
2 + 4𝑠 + 1 . 𝑋2 𝑠 = 0
50
Funções de transferência de sistemas físicos
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Na forma matricial, temos:
𝑠2 + 3𝑠 + 1 − 3𝑠 + 1
− 3𝑠 + 1 𝑠2 + 4𝑠 + 1
.
𝑋1 𝑠
𝑋2 𝑠
=
𝐹 𝑠
0
Como desejamos a função de transferência 𝑋2 𝑠 /𝐹 𝑠 , calculamos 𝑋2 𝑠 pela 
Regra de Kramer:
Δ = 𝑠2 + 3𝑠 + 1 𝑠2 + 4𝑠 + 1 − 3𝑠 + 1 2 = 𝑠 𝑠3 + 7𝑠2 + 5𝑠 + 1
𝑋2 𝑠 =
𝑠2 + 3𝑠 + 1 𝐹(𝑠)
− 3𝑠 + 1 0
Δ
=
𝐹 𝑠 3𝑠 + 1
Δ
𝑋2 𝑠
𝐹(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
3𝑠 + 1
𝑠 𝑠3 + 7𝑠2 + 5𝑠 + 1
Assim:
51
Funções de transferência de sistemas físicos
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Para escrever por inspeção as equações de um sistema com 3 graus de liberdade, 
veja o Exemplo 2.18 do livro texto do Nise.
Observe a analogia com a análise de um circuito elétrico com 3 malhas, na qual 
aplicamos a LTK a cada malha. A equação de cada malha é análoga à equação de 
cada massa no caso mecânico.
52
Funções de transferência de sistemas físicos
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Funções de transferência de Sistemas Mecânicos Rotacionais
Os sistemas mecânicos rotacionais são tratados da mesma maneira que os 
sistemas mecânicos translacionais, com exceção de que o torque (ou momento)
substitui a força e o deslocamento angular substitui o deslocamento translacional.
Os componentes mecânicos para os sistemas rotacionais são os mesmos que para 
os sistemas translacionais, mas agora os componentes ficam sujeitos à rotação, em 
vez de translação.
Como no caso de sistemas com translação, as equações do movimento de rotação 
podem ser obtidas com diagramas de corpo livre ou por inspeção. Vamos mostrar 
aqui apenas o segundo método, que é mais direto.
53
Funções de transferência de sistemas físicos
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Relações para molas, massas e amortecedores - Rotação
Componente
Torque-velocidade 
angular
Torque-deslocamento 
angular
Impedância
𝒁𝑴 𝒔 =
𝑻(𝒔)
𝜽(𝒔)
𝑁𝑚/𝑟𝑎𝑑
𝑁𝑚𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝑘𝑔𝑚2
Os nomes dos parâmetros mecânicos na rotação são:
𝐾 constante de mola D coeficiente de atrito viscoso 𝐽 momento de inércia
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Exemplo 9: Determine a função de transferência 𝜃2 𝑠 /𝑇 𝑠 para o sistema 
mecânico rotacional abaixo. A barra é suportada por mancais em ambas as 
extremidades e é submetida a torção. Um torque é aplicado à esquerda, e o 
deslocamento é medido à direita. Vamos montar as equações por inspeção.
Primeiro, obtemos um esquema a partir do sistema físico. Embora a torção ocorra 
ao longo da barra, fazemos uma aproximação do sistema admitindo que a torção 
atue como uma mola concentrada em um ponto particular da barra, com um 
momento de inércia 𝐽1 à esquerda e um momento de inércia 𝐽2 à direita.
(Obs.: fazemos o mesmo em circuitos elétricos, quando consideramos uma resistência elétrica que está 
distribuída ao longo de um fio com um resistor pontual. Ou seja, aproximamos um parâmetro que está 
distribuído no sistema físico real como um parâmetro concentrado, para simplificar a análise.)
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Funções de transferência de sistemas físicos
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Também admitimos que o amortecimento dentro da barra flexível seja desprezível. 
Assim, o esquema é:
O sistema possui dois graus de liberdade, uma vez que cada uma das inércias pode 
ser colocada em rotação enquanto a outra é mantida imóvel. Assim, são 
necessárias duas equações simultâneas para solucionar o sistema.
Para obter as equações de forma direta, por inspeção, utilizamos um método 
semelhante ao usado para os sistemas translacionais.
56
Funções de transferência de sistemas físicos
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1. Identifique as funções de movimento rotacional 𝜃1(𝑠), 𝜃2(𝑠) etc. do sistema e os 
torques 𝑇1(𝑠), 𝑇2(𝑠) etc. que atuam sobre cada corpo (inércia).
2. Escreva as equações por inspeção, uma para cada corpo (inércia).
3. Resolva o sistema para a variável de saída de interesse e obtenha a função de 
transferência desejada.
Método para obter a função de transferência de um sistema mecânico rotacional
Sistema com 2 corpos em rotação:
. 𝜃1 𝑠 −
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝜃1
. 𝜃2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝜃1 e 𝜃2
Soma dos 
torques aplicados 
em 𝜃1
Equação do corpo 1
. 𝜃1 𝑠 +
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝜃2
. 𝜃2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝜃1 e 𝜃2
Soma dos 
torques aplicados 
em 𝜃2
Equação do corpo 2−
57
Funções de transferência de sistemas físicos
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Impedâncias mecânicas:
Mola:
Inércia:
Amortecedor:
𝐾
𝐷𝑠
𝐽𝑠2
Equação do corpo 1:
𝐽1𝑠
2 + 𝐷1𝑠 + 𝐾 . 𝜃1 𝑠 − 𝐾. 𝜃2 𝑠 = 𝑇(𝑠)
Equação do corpo 2:
−𝐾. 𝜃1 𝑠 + 𝐽2𝑠
2 + 𝐷2𝑠 + 𝐾 . 𝜃2 𝑠 = 0
. 𝜃1 𝑠 −
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝜃1
. 𝜃2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝜃1 e 𝜃2
Soma dos
torques
aplicados
em 𝜃1
. 𝜃1 𝑠 +
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝜃2
. 𝜃2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝜃1 e 𝜃2
Soma dos
torques
aplicados
em 𝜃2
−
58
Funções de transferência de sistemas físicos
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Na forma matricial, temos:
𝐽1𝑠
2 + 𝐷1𝑠 + 𝐾 −𝐾
−𝐾 𝐽2𝑠
2 + 𝐷2𝑠 + 𝐾
.
𝜃1 𝑠
𝜃2 𝑠
=
𝑇 𝑠
0
Como desejamos a função de transferência 𝜃2 𝑠 /𝑇 𝑠 , calculamos 𝜃2 𝑠 pela 
Regra de Kramer:
Δ =
𝐽1𝑠
2 + 𝐷1𝑠 + 𝐾 −𝐾
−𝐾 𝐽2𝑠
2 + 𝐷2𝑠 + 𝐾
𝜃2 𝑠 =
𝐽1𝑠
2 + 𝐷1𝑠 + 𝐾 𝑇(𝑠)
−𝐾 0
Δ
=
𝐾. 𝑇 𝑠
Δ
𝜃2 𝑠
𝑇(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
𝐾
Δ
Assim: Diagrama
em blocos:
59
Funções de transferência de sistemas físicos
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Exercício 6: Determine a função de transferência G s = 𝜃2 𝑠 /𝑇 𝑠 do sistema 
mecânico rotacional abaixo. Monte as equações por inspeção.
O movimento rotacional junto ao torque aplicado é 𝜃1(𝑡).
O sistema tem 2 movimentos rotacionais independentes, ou seja, tem 2 graus de 
liberdade. Obtemos as equações por inspeção.
60
Funções de transferência de sistemas físicos
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Impedâncias mecânicas:
Mola:
Inércia:
Amortecedor:
𝐾
𝐷𝑠
𝐽𝑠2
Equação do corpo 1:
𝐽1𝑠
2 + 𝐷1𝑠 + 𝐾1 . 𝜃1 𝑠 − 𝐷1𝑠 + 𝐾1 . 𝜃2 𝑠 = 𝑇(𝑠)
Equação do corpo 2:
− 𝐷1𝑠 + 𝐾1 . 𝜃1 𝑠 + 𝐷1 + 𝐷2 𝑠 + 𝐾1 + 𝐾2 . 𝜃2 𝑠 = 0
. 𝜃1 𝑠 −
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝜃1
. 𝜃2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝜃1 e 𝜃2
Soma dos 
torques
aplicadosem 𝜃1
. 𝜃1 𝑠 +
Soma das 
impedâncias 
conectadas ao 
movimento 
em 𝜃2
. 𝜃2 𝑠 =
Soma das 
impedâncias 
entre 𝜃1 e 𝜃2
Soma dos 
torques
aplicados
em 𝜃2
−
𝜃1(𝑡)
𝑠2 + 𝑠 + 1 . 𝜃1 𝑠 − 𝑠 + 1 . 𝜃2 𝑠 = 𝑇(𝑠)
− 𝑠 + 1 . 𝜃1 𝑠 + 2𝑠 + 2 . 𝜃2 𝑠 = 0
61
Funções de transferência de sistemas físicos
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Na forma matricial, temos:
𝑠2 + 𝑠 + 1 − 𝑠 + 1
− 𝑠 + 1 2𝑠 + 2
.
𝜃1 𝑠
𝜃2 𝑠
=
𝑇 𝑠
0
Como desejamos a função de transferência 𝜃2 𝑠 /𝑇 𝑠 , calculamos 𝜃2 𝑠 pela 
Regra de Kramer:
Δ = 𝑠2 + 𝑠 + 1 2𝑠 + 2 − 𝑠 + 1 2 = 2 𝑠2 + 𝑠 + 1 𝑠 + 1 − 𝑠 + 1 2
𝜃2 𝑠 =
𝑠2 + 𝑠 + 1 𝑇(𝑠)
− 𝑠 + 1 0
Δ
=
𝑇 𝑠 . 𝑠 + 1
Δ
𝜃2 𝑠
𝑇(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
𝑠 + 1
2 𝑠2 + 𝑠 + 1 𝑠 + 1 − 𝑠 + 1 2
=
1
2 𝑠2 + 𝑠 + 1 − 𝑠 + 1
Assim:
𝜃2 𝑠
𝑇(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
1
2𝑠2 + 𝑠 + 1
62
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Funções de transferência de Sistemas Eletromecânicos
Os sistemas eletromecânicos são híbridos, porque possuem variáveis elétricas e 
mecânicas.
Braço robótico de simulador de voo da NASA com componentes 
eletromecânicos no sistema de controle
Exemplos:
 Motores elétricos
 Braços robóticos
 Rastreadores do Sol e de 
estrelas
 Controles de posição de 
cabeçotes em discos rígidos
 etc.
63
Funções de transferência de sistemas físicos
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Um motor elétrico é um componente eletromecânico que produz uma saída de 
deslocamento para uma entrada de tensão, isto é, uma saída mecânica gerada por 
uma entrada elétrica.
Vamos analisar a função de transferência de um
Servomotor de corrente contínua (CC) controlado pela armadura.
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Rotor (elemento rotativo
do motor, com o eixo)
Ímãs permanentes ou eletroímãs
(campo magnético constante)
Circuito rotativo
(Armadura)
− 𝑒𝑎 𝑡 +
Esquema de um motor CC Diagrama esquemático de um motor CC
(veja o desenvolvimento no Apêndice I do livro texto do Nise)
Tensão CC aplicada à armadura [𝑉]
Corrente CC da armadura [𝐴]
Força contraeletromotriz (fcem) 𝑉
(condutor em movimento, imerso em um campo magnético)
𝑒𝑎(𝑡)
𝑖𝑎(𝑡)
𝑣𝑐𝑒(𝑡)
Torque no eixo do motor [𝑁𝑚]
Ângulo do eixo do motor [𝑟𝑎𝑑]
𝑇𝑚(𝑡)
𝜃𝑚(𝑡)
Resistência da armadura [Ω]
Indutância da armadura [𝐻]
𝑅𝑎
𝐿𝑎
Diagrama em blocos com a
função de transferência que
desejamos obter:
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LTK no domínio da frequência:
𝑅𝑎 . 𝐼𝑎 𝑠 + 𝐿𝑎𝑠. 𝐼𝑎 𝑠 + 𝑉𝑐𝑒 𝑠 = 𝐸𝑎(𝑠)
O torque no eixo do motor é diretamente 
proporcional à corrente da armadura:
𝑇𝑚 𝑠 = 𝐾𝑡. 𝐼𝑎(𝑠) 𝐼𝑎 𝑠 =
1
𝐾𝑡
𝑇𝑚 𝑠
A força contraeletromotriz é diretamente proporcional à velocidade angular 
𝜔𝑚(𝑡) de rotação do eixo do motor:
𝑣𝑐𝑒 𝑡 = 𝐾𝑐𝑒 . 𝜔𝑚 𝑡 = 𝐾𝑐𝑒
𝑑𝜃𝑚(𝑡)
𝑑𝑡
𝑉𝑐𝑒 𝑠 = 𝐾𝑐𝑒 . 𝑠𝜃𝑚(𝑠)
(1)
Constantes de proporcionalidade:
𝐾𝑐𝑒 Constante de fcem 𝑉𝑠/𝑟𝑎𝑑
𝐾𝑡 Constante de torque do motor 𝑁𝑚/𝐴
Substituindo ambas as equações em (1):
𝑅𝑎 + 𝐿𝑎𝑠 . 𝑇𝑚 𝑠
𝐾𝑡
+ 𝐾𝑐𝑒 . 𝑠𝜃𝑚 𝑠 = 𝐸𝑎(𝑠) (2)
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Agora, precisamos escrever 𝑇𝑚 𝑠 em função de 𝜃𝑚(𝑠) para podermos escrever a 
função de transferência. 
Uma carga rotativa ligada ao eixo do motor pode ser representada por:
Momento de inércia equivalente da armadura e da
carga mecânica no eixo do motor [𝑘𝑔𝑚2]
𝐽𝑚
𝐷𝑚 Coeficiente de atrito viscoso equivalente da armadura
e da carga mecânica no eixo do motor [𝑁𝑚𝑠/𝑟𝑎𝑑]
Da figura, vemos que:
𝑇𝑚 𝑠 = 𝐽𝑚𝑠
2 + 𝐷𝑚𝑠 . 𝜃𝑚(𝑠)
Substituindo em (2):
𝑅𝑎 + 𝐿𝑎𝑠 . 𝐽𝑚𝑠
2 + 𝐷𝑚𝑠 . 𝜃𝑚(𝑠)
𝐾𝑡
+ 𝐾𝑐𝑒. 𝑠𝜃𝑚 𝑠 = 𝐸𝑎(𝑠)
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Em motores CC é usual a indutância 𝐿𝑎 ser pequena quando comparada à 
resistência 𝑅𝑎. Adotando a simplificação 𝐿𝑎 ≈ 0 e rearranjando os termos, 
obtemos a função de transferência desejada:
𝜃𝑚(𝑠)
𝐸𝑎(𝑠)
=
𝐾𝑡
𝑅𝑎𝐽𝑚
𝑠 𝑠 +
1
𝐽𝑚
𝐷𝑚 +
𝐾𝑡𝐾𝑐𝑒
𝑅𝑎
Observe que a função de transferência tem uma estrutura simples:
𝜃𝑚(𝑠)
𝐸𝑎(𝑠)
=
𝐾
𝑠(𝑠 + 𝑎)
Precisamos apenas de uma forma de 
determinar os parâmetros do motor.
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Parâmetros mecânicos
Carga mecânica rotativa
Acoplamento rotativo
com engrenagens
Motor
Tanto o motor (armadura)
quanto a carga possuem 
momento de inércia e atrito 
viscoso.
Obs.: estas relações consideram que as engrenagens têm impedâncias mecânicas (inércia e atrito 
viscoso) desprezíveis em relação aos valores do motor e da carga. Se esse não for o caso, as 
impedâncias das engrenagens também devem ser levadas em conta. Veja o Exemplo 2.22 no livro 
texto para maiores detalhes.
Os parâmetros equivalentes podem ser obtidos quando refletimos os parâmetros 
da carga para a armadura, por meio da relação de transmissão: 
𝐽𝑚 = 𝐽𝑎 + 𝐽𝐶
𝑁1
𝑁2
2
𝐷𝑚 = 𝐷𝑎 + 𝐷𝐶
𝑁1
𝑁2
2
Momento de inércia Coeficiente de atrito viscoso
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Parâmetros elétricos
Podem ser obtidos por meio de ensaio do motor com um dinamômetro, que 
mede o torque e a velocidade do motor, com uma tensão aplicada constante.
Fonte:
http://invt-acdrive.blogspot.com/2015/12/invt-gd800-series-industrial-drives.html
Exemplo de uma bancada de teste com dinamômetro:
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Inicialmente, supondo a simplificação 𝐿𝑎 ≈ 0 , temos:
𝑅𝑎
𝐾𝑡
𝑇𝑚 𝑠 + 𝐾𝑐𝑒 . 𝑠𝜃𝑚 𝑠 = 𝐸𝑎(𝑠)
𝑅𝑎
𝐾𝑡
𝑇𝑚 𝑡 + 𝐾𝑐𝑒 . 𝜔𝑚 𝑡 = 𝑒𝑎(𝑡)ℒ
−1
Isolando 𝑇𝑚, obtemos:
𝑇𝑚 = −
𝐾𝑐𝑒𝐾𝑡
𝑅𝑎
𝜔𝑚 +
𝐾𝑡
𝑅𝑎
𝑒𝑎
Equação de uma reta descendente, que 
relaciona a velocidade angular 𝜔𝑚 de rotação 
do motor com o torque 𝑇𝑚 no eixo do motor.
Curva torque-velocidade 
do motor
Torque com o rotor bloqueado (𝜔𝑚 = 0)
Velocidade em vazio (𝑇𝑚 = 0)
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Da equação anterior, obtemos: 𝑇𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑎𝑑𝑜 =
𝐾𝑡
𝑅𝑎
𝑒𝑎
𝜔𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜 =
𝑒𝑎
𝐾𝑐𝑒
O ensaio do motor com o dinamômetro nos fornece:
𝑇𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑎𝑑𝑜 : quando o motor está alimentado com uma tensão 𝑒𝑎 e está com o eixo bloqueado.
𝜔𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜: quando o motor está alimentado com uma tensão 𝑒𝑎 e tem torque nulo.
Com essas informações, determinamos os parâmetros elétricos do motor:
𝐾𝑡
𝑅𝑎
=
𝑇𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑎𝑑𝑜
𝑒𝑎
𝐾𝑐𝑒 =
𝑒𝑎
𝜔𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜
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Exemplo 10: Dado o sistema eletromecânico e a curva torque-velocidade a seguir, 
determine a função de transferência 𝜃𝐿(𝑠)/𝐸𝑎(𝑠).
Iniciamos a resolução determinando os parâmetros do sistema. Em seguida, 
escrevemos a função de transferência desejada.
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Parâmetros mecânicos:
𝐽𝑚 = 𝐽𝑎 + 𝐽𝐿
𝑁1
𝑁2
2
= 5 + 700
100
1000
2
= 12 [𝑘𝑔𝑚2]
𝐷𝑚 = 𝐷𝑎 + 𝐷𝐿
𝑁1
𝑁2
2
= 2 + 800
100
1000
2
= 10 [𝑁𝑚𝑠/𝑟𝑎𝑑]
Momento de inércia:
Coeficiente de atrito viscoso:
Parâmetros elétricos:
Da curva toque-velocidade, obtemos:
𝑇𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑎𝑑𝑜 = 500 [𝑁𝑚]
𝜔𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜 = 50 [𝑟𝑎𝑑/𝑠]
𝑒𝑎 = 100 [𝑉]
Assim, as constantes elétricas são:
𝐾𝑡
𝑅𝑎
=
𝑇𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑎𝑑𝑜
𝑒𝑎
=
500
100
= 5 𝑁𝑚/𝑉
𝐾𝑐𝑒 =
𝑒𝑎
𝜔𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜
=
100
50
= 2 𝑉𝑠/𝑟𝑎𝑑
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Então, a função de transferência para o ângulo do eixo do motor é dada pela 
expressão que deduzimos:
𝜃𝑚(𝑠)
𝐸𝑎(𝑠)
=
𝐾𝑡
𝑅𝑎𝐽𝑚
𝑠 𝑠 +
1
𝐽𝑚
𝐷𝑚 +
𝐾𝑡𝐾𝑐𝑒
𝑅𝑎
=
5
12
𝑠 𝑠 +
1
12 10 + 5.2
=
0,417
𝑠 𝑠 + 1,667
𝜃𝐿(𝑠)
𝐸𝑎(𝑠)
= 𝐺 𝑠 =
0,0417
𝑠 𝑠 + 1,667
Diagrama em blocos:
Mas a função de transferência desejada é 𝜃𝐿(𝑠)/𝐸𝑎(𝑠), que relaciona o ângulo 
no eixo da carga (e não no eixo do motor) com a tensão de entrada.
A conversão é simples – basta usar a relação de transmissão: 𝜃𝑚. 𝑁1 = 𝜃𝐿. 𝑁2
𝜃𝐿 = 𝜃𝑚
𝑁1
𝑁2
= 𝜃𝑚
100
1000
= 0,1. 𝜃𝑚
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Exercício 7: Determine a função de transferência G s = 𝜔𝐿 𝑠 /𝐸𝑎 𝑠 , para o 
motor e a carga abaixo. A curva torque-velocidade é dada por 𝑇𝑚 = −8𝜔𝑚 + 200
quando a tensão de entrada é de 100 𝑉.
Como a curva torque-velocidade é dada apenas por uma equação, vamos 
representá-la graficamente para poder calcular os parâmetros do sistema.
Em seguida, escrevemos a função de transferência desejada.
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A curva torque-velocidade é:
𝑇𝑚 = −8𝜔𝑚 + 200
𝑇𝑚 𝑁𝑚
𝜔𝑚 𝑟𝑎𝑑/𝑠
0
200
25
𝑒𝑎 = 100 [𝑉]
𝑇𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑎𝑑𝑜 = 200 [𝑁𝑚]
𝜔𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜 = 25 [𝑟𝑎𝑑/𝑠]
𝑒𝑎 = 100 [𝑉]
Parâmetros elétricos: 𝐾𝑡
𝑅𝑎
=
𝑇𝑏𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑎𝑑𝑜
𝑒𝑎
=
200
100
= 2 𝑁𝑚/𝑉
𝐾𝑐𝑒 =
𝑒𝑎
𝜔𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜
=
100
25
= 4 𝑉𝑠/𝑟𝑎𝑑
Parâmetros mecânicos (observe que há 2 acoplamentos com engrenagens):
𝐽𝑚 = 𝐽𝑎 + 𝐽𝐿
𝑁1𝑁3
𝑁2𝑁4
2
= 1 + 400
20.25
100.100
2
= 2 [𝑘𝑔𝑚2]
𝐷𝑚 = 𝐷𝑎 + 𝐷𝐿
𝑁1𝑁3
𝑁2𝑁4
2
= 5 + 800
20.25
100.100
2
= 7 [𝑁𝑚𝑠/𝑟𝑎𝑑]
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Então, a função de transferência para o ângulo do eixo do motor é dada pela 
expressão que deduzimos:
𝜃𝑚(𝑠)
𝐸𝑎(𝑠)
=
𝐾𝑡
𝑅𝑎𝐽𝑚
𝑠 𝑠 +
1
𝐽𝑚
𝐷𝑚 +
𝐾𝑡𝐾𝑐𝑒
𝑅𝑎
=
2
2
𝑠 𝑠 +
1
2 7 + 2.4
=
1
𝑠 𝑠 + 15/2
𝜃𝐿(𝑠)
𝐸𝑎(𝑠)
=
1/20
𝑠 𝑠 + 15/2
A função de transferência 𝜃𝐿(𝑠)/𝐸𝑎(𝑠) para o ângulo do eixo da carga é obtida 
com as relações de transmissão combinadas:
𝜃𝐿 = 𝜃𝑚
𝑁1𝑁3
𝑁2𝑁4
= 𝜃𝑚
1
20
A função de transferência 𝜔𝐿(𝑠)/𝐸𝑎(𝑠) para a velocidade angular do eixo da 
carga é obtida lembrando que 𝜔𝐿 𝑠 = 𝑠𝜃𝐿(𝑠):
𝜔𝐿(𝑠)
𝐸𝑎(𝑠)
= 𝐺(𝑠) =
1/20
𝑠 + 15/2
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Circuitos elétricos análogos a sistemas mecânicos
Quando analisamos as equações que regem os comportamentos de circuitos 
elétricos e de sistemas mecânicos, notamos claramente que as variáveis dos 
circuitos elétricos se comportam exatamente como as variáveis análogas dos 
sistemas mecânicos.
Um circuito elétrico análogo a um sistema mecânico pode ser obtido quando 
comparamos as equações de movimento mecânico com as equações das malhas
(LTK) ou dos nós (LCK).
Circuito análogo em série Comparação com as equações das malhas (LTK).
Circuito análogo em paralelo Comparação com as equações dos nós (LCK).
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Circuito análogo em série
Sistema mecânico translacional Equação do movimento:
𝑀𝑠2 + 𝑓𝑣𝑠 + 𝐾 . 𝑋 𝑠 = 𝐹(𝑠)
Circuito RLC série
LTK na malha:
𝐿𝑠 + 𝑅 +
1
𝐶𝑠
. 𝐼 𝑠 = 𝐸(𝑠)
Multiplicando e dividindo o lado esquerdo por 𝑠, 
substituímos a posição 𝑋(𝑠) pela velocidade 𝑉(𝑠):
𝑀𝑠2 + 𝑓𝑣𝑠 + 𝐾
𝑠
. 𝑠𝑋 𝑠 = 𝐹(𝑠)
𝑀𝑠 + 𝑓𝑣 +
𝐾
𝑠
. 𝑉 𝑠 = 𝐹(𝑠)
Observe os termos 
entre parênteses: 
em ambos os casos 
são impedâncias.
No caso mecânico, 
são as impedâncias 
associadas à 
velocidade e não à 
posição.
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Podemos desenhar um circuito RLC série, que é análogo ao sistema mecânico:
Sistemas análogos
Quando temos mais de um grau de liberdade, as 
impedâncias associadas a um movimento aparecem 
como elementos elétricos em série em uma malha, 
porém as impedâncias entre movimentos adjacentes
são desenhadas como impedâncias elétricas em série 
entre as duas malhas correspondentes.
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Exemplo 11: Desenhe o circuito elétrico análogo em série para o sistema mecânico 
abaixo.
O sistema tem 2 graus de liberdade o circuito equivalente tem 2 malhas.
 Os elementos que pertencem apenas à Malha 1 são as impedâncias associadas à massa 𝑴𝟏.
 Os elementos que pertencem apenas à Malha 2 são as impedâncias associadas à massa 𝑴𝟐.
 Os elementos comuns às Malhas 1 e 2 são as impedâncias entre as massas 𝑴𝟏 e 𝑴𝟐.
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Circuito elétrico análogo com elementos em série:
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Circuito análogo em paralelo
Sistema mecânico translacional Equação do movimento:
𝑀𝑠2 + 𝑓𝑣𝑠 + 𝐾 . 𝑋 𝑠 = 𝐹(𝑠)
Multiplicando e dividindo o lado esquerdo por 𝑠, 
substituímos a posição 𝑋(𝑠) pela velocidade 𝑉(𝑠):
𝑀𝑠2 + 𝑓𝑣𝑠 + 𝐾
𝑠
. 𝑠𝑋 𝑠 = 𝐹(𝑠)
𝑀𝑠 + 𝑓𝑣 +
𝐾
𝑠
. 𝑉 𝑠 = 𝐹(𝑠)
A equação do 
sistema mecânico é 
a mesma do caso 
anterior. 
No circuito elétrico, 
o termo entre 
parênteses mostra 
a soma das 
admitâncias.
Circuito RLC paralelo
LCK no nó superior:
𝐶𝑠 +
1
𝑅
+
1
𝐿𝑠
. 𝐸 𝑠 = 𝐼(𝑠)
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Podemos desenhar um circuito RLC paralelo, que é análogo ao sistema mecânico:
Sistemas análogos
Quando temos mais de umgrau de liberdade, as 
impedâncias associadas a um movimento aparecem 
como elementos elétricos em paralelo ligados a um 
nó, porém as impedâncias entre movimentos 
adjacentes são desenhadas como impedâncias 
elétricas em paralelo entre os dois nós 
correspondentes.
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Exemplo 12: Desenhe o circuito elétrico análogo em paralelo para o sistema 
mecânico abaixo (é o mesmo do Exemplo 11).
O sistema tem 2 graus de liberdade o circuito equivalente tem 2 nós.
 Os elementos ligados apenas ao Nó 1 são as impedâncias associadas à massa 𝑴𝟏.
 Os elementos ligados apenas ao Nó 2 são as impedâncias associadas à massa 𝑴𝟐.
 Os elementos comuns aos Nós 1 e 2 são as impedâncias entre as massas 𝑴𝟏 e 𝑴𝟐.
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Circuito elétrico análogo com elementos em paralelo: