P1 Cálculo 3 UFSC

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA
Centro de Blumenau
Departamento de Matema´tica
Nome: Nota:
Avaliac¸a˜o 1
BLU 6008 - Ca´lculo III
Prof. Dr. Felipe Fidalgo
Engenharia de Materiais/Controle e Automac¸a˜o/Teˆxtil
Turma 01756 - Semestre 2019.1
(08 de maio de 2019)
(1) (3,0 pontos) Considere a integral dupla dada por∫∫
D
f(x, y) dxdy =
∫ 1
0
∫ x
0
f(x, y) dydx +
∫ √2
1
∫ √2−x2
0
f(x, y) dydx (1)
(a) Esboce a regia˜o D.
(b) Calcule o volume do so´lido gerado sobre a regia˜o D e abaixo do plano de equac¸a˜o y−z = 0, usando
apenas coordenadas cartesianas.
(c) Calcule a a´rea da regia˜o D, usando coordenadas cartesianas e polares.
(2) (3,0 pontos) A cardio´ide e´ uma epiciclo´ide que tem apenas uma ponta. Ela esta´ presente, por exemplo,
no chamado Conjunto de Mandelbrot (Figura 1), definido em 1905 pelo matema´tico Franceˆs Pierre
Fatou. Ela e´ uma pe´rola da Geometria Fractal.
Fig. 1 Conjunto de Mandelbrot
(a) Esboce as duas cardio´ides de equac¸o˜es polares ρ =
1 + cos(θ) e ρ = 1− cos(θ).
(b) Utilize integrais duplas com coordenadas polares para
calcular a a´rea entre as cardio´ides.
(3) (4,0 pontos) Encontre o centro de massa de uma laˆmina em forma de triaˆngulo retaˆngulo iso´sceles, com
os lados iguais tendo o comprimento L, e com densidade em qualquer ponto proporcional ao quadrado
da distaˆncia ao ve´rtice oposto a` hipotenusa, usando obrigatoriamente integrais duplas.
Fazer prova e´ como namorar...tem que ter carinho! =)
Boa Prova!