ALGEBRA AULA 2 TE

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DICIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
CURSO: TE – 2017.1 
PROF. Me Miguel Aquino de Lacerda Neto 
ALUNO(a): _____________________________ 
AULA N2: OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
1. Adição de Matrizes: 
 Dadas as matrizes A=
 
n x mij
a
 e B =
 
n x mij
b
, 
chamamos de soma das matrizes A e B a matriz dada 
por C =
 
n x mij
c
, tal que 
ijijij bac 
, para todo 
mi1 
 e todo 
ni1 
. 
 
 Notação: A + B = C 
 
OBS: A soma A + B existe se, e somente se, A e B 
são do mesmo tipo (m x n). 
 
1.1. Propriedades: A, B e C são matrizes do mesmo 
tipo (m x n), valem as seguintes propriedades: 
 
I).Associativa: 
 (A + B) + C = A + (B + C) 
 
II).Comutativa 
 
 A + B = B + A 
 
III).Elemento Neutro 
 
 A + O = O + A = A 
 
onde O é a matriz nula m x n. 
 
IV).Elemento Oposto 
 
 A + (-A) = (-A) + A = O 
 
Exemplos: 
1) Se [
 
 
] [
 
 
] calcule A + B 
 
 



















 






90
33
2700
1421
2 0
12
70
41
 
 
2) Se [
 
 
] [
 
 
] calcule o 
valor de A + B 
  
























 10 1
145
2111 10
10 13 32
2 1- 1
1 1 3
11 0
0 3 2
 
2. Subtração de Matrizes: 
 Dadas as matrizes A=
 
n x mij
a
 e B=
 
n x mij
b
, 
chamamos de diferença entre as matrizes A e B a 
soma de A com a matriz oposta de B 
 
Notação: A - B = A + (-B) 
 
OBS: A diferença A + B existe se, e somente se, A e B 
são do mesmo tipo (m x n). 
Exemplo: A – B 
 









































 54
22
2704
2013
2 0 
2-1
74
0 3
2-0
2 1
74
0 3
 
 
3. Multiplicação de um número real por uma matriz: 
 Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x 
n , o produto de x por A é uma matriz do tipo m x n, 
obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x. 
 
 Notação: B = x.A 
 
OBS.: Cada elemento 
ijb
 de B é tal que 
ijb
= x
ija
 
 
Exemplo: 
3 x A= 
  


















 03
216 
0.31.3
7.32.3
01
72 
.3
 
 
4. Multiplicação de matrizes: 
 O produto de uma matriz por outra não pode ser 
determinado através do produto dos seus respectivos 
elementos. A multiplicação de matrizes não é análoga 
à multiplicação de números reais. 
 Assim, o produto das matrizes dadas por: 
 A=
 
p x mij
a
 e B=
 
n x pij
b
 é a matriz C=
 
n x mij
c
, onde 
cada elemento 
ijc
 é obtido através da soma dos 
produtos dos elementos correspondentes da i-ésima 
linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B. 
Logo: 
 [
 
 
] [
 
 
] , uma matriz 
2 x 2. 
[
 
 
] , 
gerando uma matriz 2 x 2: 
 [
 
 
] . 
O mesmo procedimento para uma matriz 3 x 3, 4 x 4, 
...., k x k. 
 
OBS: 
 Elementos correspondentes de matrizes do mesmo 
tipo m x n, são os elementos que ocupam a mesma 
posição nas duas matrizes. Exemplo: Sejam 







203
461
A
 e 







437
205
B
. Os elementos 
2b e 4a 1313 
 são elementos correspondentes. 
 
 ATENÇÃO: Decorrência da definição: 
 A matriz produto A . B existe apenas se o número 
de colunas da primeira matriz (A) é igual ao número de 
linhas da segunda matriz (B). 
 Assim: 
  n x mn x pp x m B.AB e A 
 
Note que a matriz produto terá o número de linhas (m) 
do primeiro fator e o número de colunas (n) do segundo 
fator. 
Exemplos: 
a)Se 
  5 x 35 x 22 x 3 .B e BAA 
 existe o produto. 
 
b)Se 
produto existe não que B e A 3 x 21 x 4 
 
 
c)
  1 x 41 x 22 x 4 B.AB e A 
 
 
Exemplos: 
1. Sendo A=






14
32 e B=






43
21 , verifique se: 
 A.B = B.A. 
 
2. Seja as matrizes dadas por: 
A=
3 x 2
2 x 3
402
321 
B e 
41
10 
32 



















, prove que: 
A . B B . A,não existe. 
 
5. Matriz Inversa: 
 Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se 
existir uma matriz 'A , de mesma ordem, tal que seja 
representada por A. 'A = 'A . A = 
nI
, então 'A é 
matriz inversa de A. 
(Em outras palavras: Se A. 'A = 'A . A = 
nI
, isto 
implica que 'A é a matriz inversa de A, e é indicada 
por 1A  ). 
 Notação: 1A  
Exemplo: Sendo A = 
2 x 2
12
21 







, vamos determinar a 
matriz inversa de A, se existir. 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS N2 
1. Sendo A=






3
2
1
0
4
1
 e B=






124
103
, calcule: 
a) A + B b) A – B c) B – A 
 
2. Calcule x, y e z, tais que: 
 


















 04
z23
17
71
1yx
zx2
. 
 
3. Sendo A=
 
2x3ij
a
, onde 
ija
=2i-j, e B=
 
2x3ij
b
, com 
ijb
= 
,ji2 
 calcule: 
a) A – B b) B – A c) 
 tBA 
 
 
4. Verifique experimentalmente que, se A e B são 
matrizes do mesmo tipo, então 
  ttt BABA 
. 
Sugestão: Considere A e B as matrizes 
encontradas no exercício 3. 
 
5. Sendo A= 






20
02
 e 







30
03
B
, determinar as 
matrizes X e Y, tais que: 
X + Y = A + B e 2X – Y = A – B. 
 
6. Dadas as matrizes A=






10
32
, 







23
40
B
 e C=






180
1415
 calcule: 
a) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A) 
 
b) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C 
 
c) a matriz X, tal que 
 3.(X – A) + 2.B = 4.(X – A + 2.C) 
 
7. Sendo A=










0
3
2 e B=









 
2
0
1 , determine as matrizes X e 
Y, tais que 3X – Y = 2A – B e X + Y = A – B 
 
8. Determine a relação existente entre as matrizes 
A=






3
1
4
0
2
3
 e B=















3
4
2
1
0
3 . 
 
9. Sendo a matriz A= 










320
y43
c32 simétrica, determine c 
e y. 
 
10. Sendo A=
 
2x2ij
a
, onde 
ija
=2i-j, e B=
 
2x2ij
b
, com 
ijb
= 
ij
, determine X tal que 3A + 2X = 3B. 
 
11. Sendo A= 





 
23
12
 e 









11
10
B
, calcule as 
matrizes X e Y no sistema 





AY2X3
BY3X2
. 
12. Sendo A= 










112
010
321 e B= 2A, determine a 
matriz X, tal que 
B
2
1
A3X2 
 
 
13. Dadas as matrizes A=
 
4x6ij
a
, tal que 
ija
 = i - j, B=
 
5x4ij
b
, tal que com 
ijb
= 
ij
 e C = AB, determine o 
elemento
42c
. 
 
14. Sendo A=






21
22
, calcule 
2
2 I5A4A 
. 
 
15. Determinea matriz X, tal que 
 tAB.AA2X 
, 
sendo A=






10
12
 e B=






01
21
. 
16.Dadas as matrizes 
A=



























531
531
531
B,
431
541
532
3x3
e C=













321
431
422 . 
Calcule: 
a) A.B 
b) B.A 
c) A.C 
d) C.A 
 
17. (UFPA) A matriz A=
 
3x3ij
a
 é definida de tal modo 
que 








jise,0
jise,)1(
a
ji
ij
. Então, A é igual a: 
a)( ) 













011
101
110 
 
b)( ) 











101
011
001 
c)( )












011
101
110 
 
 d)( ) 












100
010
001 
 
e)( ) 












011
101
110 
 
18. (PUC-SP) Dadas as matrizes A=
 
ija
 e B=
 
ijb
, 
quadradas de ordem 2, com 
j3i4bej4i3a ijij 
, se C=A + B, então 
2C
 
é igual a: 
a)( )






10
01
 
 
b)( )








10
01
 
 
c)( )






01
10
 
 
d)( )








01
10
 
 
e)( ) 






11
11
 
 
 
 
 
19. Verifique se a matriz dada por B=
2x23
1
3
2
2
1 0







é 
inversa da matriz A=






 34
02
 
 
20. Determinar, se existir, 1A em cada caso: 
a) A=






10
01
 b) A=






12
32
.






11
01
 
 
21. Sendo A=






43
21
, calcule 
  11A 
. 
 
22. As matrizes A, B e C são invertíveis e de mesma 
ordem 2. Sendo B. 
2
1 IA 
 e C.B = A, determine C e 
1C
. 
 
23. (MACK) A é uma matriz mxn e B é uma matriz mxp. 
A afirmação falsa é: 
a)( ) A + B existe se, e somente se, n = p 
b)( ) A = tA implica m = n ( tA = transposta de A) 
c)( ) A.B existe se, e somente se, n = p 
d)( ) A. tB existe se, e somente se, n = p 
e)( ) tA .B sempre existe 
 
Respostas 
 
1) a) 






2
3
3
0
8
4
 b) 








4
1
1
0
0
2
 c) 








4
1
1
0
0
2
 
2) x=2, y=-9 e z=-7 
3) a) 
















7
4
3
5
2
1 b) 










7
4
3
5
2
1 c) 






15
15
8
8
3
3
 
4) DEMONSTRAÇÃO 
5) X=








3
4
3
4
0
0
 e Y=








3
11
3
11
0
0
 
6) a) 






00
00
 b) 








815
144
 c) 








1396
101118
 
7) X=










1
2
4
9
 e Y=










1
1
4
3
 
8) A= tB 
9) c=0 e y=2 
10) X=








36
2
3
2
3 
 
11) X=







 
5
4
5
11
5
1
5
6 e Y=








5
1
5
9
5
1
5
4 
12) X=










112
010
321 
13) 2 
14) 






98
169
 
15) X=








33
13
 
16) a) 










000
000
000 b) 










000
000
000 c) AC= A d) CA= C 
17) alternativa a) 
18) alternativa b) 
19) Sim, B é inversa de A 
20) a) 






10
01
 b) 









8
5
8
1
8
3
8
1 
21) A inversa da inversa de uma matriz A é a própria 
matriz A. 
22) C=
2
1 IC 
 
23) Alternativa c)