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Álgebra Linear Aula 3: Sistema de equações lineares Apresentação Muitas vezes para se obter a solução de um problema de natureza prática é necessário que se determine a solução de um Sistema de Equações Lineares. Um dos métodos que iremos abordar para a resolução desses sistemas é o de eliminação gaussiana que se torna bastante adequado quando se utiliza o computador. Por �m, leia atentamente toda a aula e preste bastante atenção nos exemplos, pois, estes nortearam a forma de resolver os exercícios propostos. Objetivos Identi�car um sistema de equações lineares; Usar o Teorema de Roché-Capelli para discutir os tipos de soluções possíveis para os sistemas de equações lineares; Usar o Método de Eliminação de Gauss; Aprender a resolver sistemas homogêneos. Equações lineares Toda equação linear nas variáveis x e y no plano cartesiano é da forma: ax + by = c, para a, b e c constantes. Sabemos que geometricamente esta equação é representada por uma reta. No espaço uma equação linear nas variáveis ou incógnitas x, y e z é da forma: ax + by + cz = d, com a, b, c, e d números reais geometricamente esta equação é representada por um plano no espaço R3. No espaço n-dimensional toda equação linear nas variáveis ou incógnitas x , x ... x , é da forma, em que: a x + a x + a x + ... + a x + b, em que: a , a , ... a são números reais denominados de coe�cientes das variáveis e b é denominado de termo independente. Um Sistema Linear com m equações e n incógnitas é um conjunto de m equações lineares com n variáveis, representado por: Por exemplo: 1 2 n 1 1 2 2 3 3 n n 1 2 n ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . + . +. . . . =a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n b 1 . + . +. . . . =a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n b 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ . + . +. . . . =a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n b m É um sistema linear nas variáveis x, y, z e w com duas equações e quatro incógnitas. Resolver o sistema é determinar os valores das variáveis envolvidas que atendam simultaneamente a todas as equações. { 3x + 2y − w = 1 −x + 2z + 4w = 3 Forma matricial do problema Todo sistema linear está associado a uma equação matricial conforme a descrição a seguir: A matriz A é denominada de matriz dos coe�cientes, X é o vetor das incógnitas e B é o vetor dos termos independentes. Assim, um sistema linear com m equações e n incógnitas �ca representado pela equação matricial AX = b. Matriz ampliada do sistema É obtida acrescentando-se a matriz dos coe�cientes uma coluna com os termos independentes. Observe, a partir do exemplo anterior, a matriz ampliada do sistema: A = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 21 ⋯ a m1 a 12 a 22 ⋯ a m2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a 1n a 2n ⋯ a mn b 1 b 2 ⋯ b m ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ( ) 3 −1 2 0 0 2 −1 4 1 3 Forma Matricial do Sistema Classi�ca-se um sistema linear de acordo com o tipo de solução. De forma geral, um sistema de equações lineares pode ser classi�cado como: Sistema Possível e Determinado (SPD): possui apenas uma única solução; Sistema Possível e Indeterminado (SPI): possui in�nitas soluções; Sistema Impossível (SI): não possui solução. Teorema de Rouché-Capelli A seguir apresentaremos o Teorema de Rouché-Capelli que nos fala sobre o tipo de solução (SPD, SPI ou SI) que um dado sistema linear possui: "Um Sistema Linear com m equações e n incógnitas possui solução se e somente o posto da matriz ampliada (P ) for igual ao posto da matriz dos coe�cientes (P ), isto é, p = p = p 1. Se p = n então, o sistema terá solução única (SPD). 2. Se p < n então, o sistema terá in�nitas soluções (SPI). Neste caso, para resolvê-lo, basta escolher (n – p) variáveis e obter as outras p variáveis em função destas.” a C a c Atenção Se o sistema linear não possui solução (SI).≠ p a p c Exemplo Para sua melhor compreensão, acesse um exemplo. Método de eliminação de Gauss Este método é um dos mais adotados devido ao menor número de operações elementares que envolve. Ele consiste em reduzir a matriz ampliada do sistema, por operações elementares, a uma matriz que só difere da forma escalonada na seguinte condição: "Toda coluna que contiver o primeiro elemento não nulo de uma linha deve ter todos abaixo deste iguais a zero." Após a redução da matriz ampliada a esta forma, a solução �nal do sistema é obtida por substituição. Observe como �ca a resolução do sistema do exemplo se adotarmos o método de eliminação gaussiana: operações elementares O sistema equivalente é ⎛ ⎝ ⎜ 1 2 −1 1 −1 1 1 3 −5 1 0 2 ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ 1 0 0 1 1 0 1 − ( ) 1 3 / 1 1 2 3 / − 1 2 / ⎞ ⎠ ⎟ → ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x + y + z = 1 y − z = 1 3 2 3 z = − 1 2 Após substituições obtemos a solução do sistema. A seguir apresentaremos mais alguns exemplos de discussão e resolução de sistemas lineares: Exemplo 2 Exemplo 3 Exemplo 4 Sistema Linear Homogêneo É um sistema de equações lineares onde todos os termos independentes são iguais a zero. O vetor dos termos independentes b é o vetor nulo, isto é, o sistema é da forma: Matricialmente, descrevemos um sistema homogêneo por: AX = 0 Onde: A é a matriz dos coe�cientes, X é o vetor de incógnitas e b é o vetor nulo. Observe que, como p = p sempre um sistema homogêneo nunca será impossível pois sempre admitirá a solução trivial. (x , x ,...x ) = (0, 0,...0) ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . + . +. . . . = 0 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n . + . +. . . . = 0 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ . + . +. . . . = 0a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n a c 1 2 n No entanto, um sistema homogêneo pode ainda ser SPI (p = p < n), isto é, pode admitir outras soluções além da solução trivial. Neste caso, devemos estabelecer (n – p) variáveis livres e obter as outras p em função destas. a c Exemplo 5 Exemplo 6 Resolução de sistemas utilizando inversão de matrizes Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas, com m = n, pode ser representado pela equação matricial AX = b, sendo A a matriz dos coe�cientes (quadrada de ordem n). Se a matriz A for inversível, isto é, se existir a matriz inversa A , signi�ca que o sistema é possível e determinado.-1 A.X = b ⇒ (AX) = bA −1 A −1 ⇒ ( A)X = bA −1 A −1 ⇒ x = bI n A −1 ⇒ X = bA −1 Exemplo 7 Notas Título modal 1 Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Título modal 1 Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Referências KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006. LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro, LTC; c1999. BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. – Álgebra linear – 3ª edição – Ed. Harbra – São Paulo SP - 1989. Próxima aula Interpretaçãogeométrica das soluções de um Sistema Linear; Regra de Cramer. Explore mais Pesquise na internet, sites, vídeos e artigos relacionados ao conteúdo visto. Em caso de dúvidas, converse com seu professor online por meio dos recursos disponíveis no ambiente de aprendizagem.
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