5 4 - Distribuição hipergeométrica - Probabilidades _ Portal Action

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21/03/2019 5.4 - Distribuição hipergeométrica - Probabilidades | Portal Action
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5.4 - DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA5.4 - DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA
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Distribuição hipergeométrica
Considere uma população com objetos nos quais são classi�cados como do tipo e são
classi�cados como do tipo . Por exemplo, em um lote de ( ) peças temos ( ) peças defeituosas e (
) peças conformes. Tomamos uma amostra ao acaso, sem reposição e não ordenada de objetos. Seja a
variável aleatória que conta o número de objetos classi�cados como do tipo na amostra. Então a distribuição de
probabilidade de é dada por:
 
 
sendo inteiro e .
Definição 5.4.1:Definição 5.4.1:
Diremos que uma variável aleatória tem distribuição hipergeométrica de parâmetros , e se sua função
de probabilidade for dada da maneira acima. Denotamos 
Exemplo 5.4.1:Exemplo 5.4.1:
Seja a variável aleatória que segue o modelo hipergeométrico com parâmetros , e .
Determine a probabilidade .
Para calcular a probabilidade procurada precisamos.
 
 
Exemplo 5.4.2:Exemplo 5.4.2:
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Uma empresa fabrica um tipo de tomada que são embalados em lote de unidades. Para aceitar o lote enviado
por essa fábrica, o controle de qualidade da empresa tomou o seguinte procedimento: sorteia-se um lote e desse
lote selecionam-se tomadas para teste, sem reposição. Se for constatado, no máximo, duas tomadas defeituosas,
aceita-se o lote fornecido pela fábrica. Se o lote sorteada tiver peças defeituosas, qual a probabilidade de se
aceitar o lote?
 Observamos aqui que o tamanho da população é o tamanho do lote, ou seja, ,   das quais temos 
defeituosas e sorteamos uma amostra de tamanho . Então, seja a variável aleatória que representa o
número de peças defeituosas encontradas na amostra. Desta forma e então, a probabilidade
de se aceitar o lote é igual a probabilidade de que seja menor ou igual a , ou seja, 
 
 
ou seja,
 
 
Exemplo 5.4.3:Exemplo 5.4.3:
Suponha que moedas comemorativas foram colocadas por engano em um cofrinho no qual já haviam algumas
moedas comuns, o qual �cou contendo um total de moedas. Suponha que, devido a di�culdade de tirar as
moedas do cofrinho sem quebrá-lo, vamos retirar ao acaso um total de moedas, qual a probabilidade de
retirarmos no mínimo moeda comemorativa?
Observemos que o modelo hipergeométrico se encaixa bem ao nosso problema com , e . Seja
 a variável aleatória que conta o número de moedas comemorativas retiradas do cofrinho.
Então, estamos interessado no cálculo de que é dado por
 
 
Exemplo 5.4.4:Exemplo 5.4.4:
Uma urna contém bolas, das quais são brancas e pretas. Suponha que décimos retirar bolas da urna qual a
probabilidade de que das bolas retiradas sejam brancas?
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Para este problema basta usarmos a distribuição hipergeométrica, com , , e .
 
 
Exemplo 5.4.5:Exemplo 5.4.5:  
Vamos mostrar que quando a população é muito grande a distribuição hipergeométrica converge para uma
binomial, ou seja, se , então
 
 
em que .
De fato,
 
 
de onde segue que
 
 
e daí
 
 
Portanto,
 
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Assim, tomando . Temos que
 
 
e, tomando o limite em N, temos que
 
 
de onde podemos concluir que
 
 
Função Geradora de Momentos, Valor Esperado e VariânciaFunção Geradora de Momentos, Valor Esperado e Variância
A função geradora de momentos da hipergeométrica existe, mas ela é escrita dependendo de uma função
introduzida por Gauss conhecida como função hipergeométrica. Essa função é a solução da seguinte equação
diferencial:
 
 
A função hipergeométrica é dada por:
 
 
que pode ser escrita como
 
 
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Assim a função geradora de momentos da distribuição hipergeométrica é dada por:
 
 
O valor esperado de uma variável aleatória com distribuição hipergeométrica com parâmetros , e é
dado por
 
 
 
Portanto,
 
 
e, assim,
 
 
Vamos agora calcular a variância.
 
 
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‹ 5.3 - Distribuição geométrica (/probabilidades/53-
distribuicao-geometrica)
acima
(/probabilidades/modelos-
probabilisticos-
discretos)
5.5 - Distribuição multinomial › (/probabilidades/55-
distribuicao-multinomial)
 
 
 
 
 
 
Então, a variância é dada por
 
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3.5 - Medidas de Acurácia
5 comentários • 4 anos atrás
Avatar
Wagner Jorge — Sim, isso é uma medida de
erro. Quanto menor for esta diferença (erro),
melhor.
Teste de independência para estudo de
produtos rejeitados
3 comentários • 3 anos atrás
Avatar
nuno costa — explicando melhor: que
interpretação deve ser feita aos valores dos
resíduos padronizados (neste exemplo e no
Percentil da distribuição normal
2 comentários • 3 anos atrás
Avatar
Edson Rui Montoro — Boa tarde, seguindo o
exemplo dado acima, para calcular a
P(X<=8.7) para uma distribuição Normal com
1.1.1.2 - Efeito Matriz
2 comentários • 2 anos atrás
Avatar
Equipe Portal — Olá Paulo! muito bem
observado, obrigado pela observação.
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