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Rotação de Corpos Rígidos em Torno de um Eixo Fixo 1 Turmas E, L e O Energia Cinética de Rotação e Momento de Inércia 2 Energia Cinética de Rotação Vamos tratar o corpo em movimento de rotação como um sistema da partículas com diferentes velocidades e massas. A energia cinética do corpo será a soma das energias cinéticas das partículas que o constituem: 𝑲 = 𝟏 𝟐 ∙�𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 3 Energia Cinética de Rotação Usando a relação 𝒗 = 𝝎 ∙ 𝒓, podemos reescrever K como: 𝑲 = 𝟏 𝟐 ∙�𝒎𝒊 ∙ 𝝎𝒊 𝟐 ∙ 𝒓𝒊 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 𝑲 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝝎𝟐 ∙�𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 É a mesma para todas as partículas Esse termo leva em conta como a massa do corpo está distribuída em torno do eixo de rotação 4 Momento de Inércia 𝑰 = �𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊𝟐𝒏 𝒊=𝟏 Unidade: [kg.m2] Indica quão fácil ou difícil é girar um corpo em torno de um determinado eixo de rotação Leva em conta como a massa do corpo está distribuída em torno do eixo de rotação Energia Cinética de Rotação e Momento de Inércia Quanto menor I, mais fácil é executar uma rotação 5 Energia Cinética de Rotação e Momento de Inércia 𝑲 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝑰 ∙ 𝝎𝟐 Então, para determinar K precisamos saber como determinar I ... 𝑲 = 𝟏 𝟐 ∙�𝒎𝒊 ∙ 𝒗𝒊 𝟐 𝒏 𝒊=𝟏 𝑰 = �𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊𝟐𝒏 𝒊=𝟏 𝒗 = 𝝎 ∙ 𝒓 6 Cálculo do Momento de Inércia SISTEMAS DISCRETOS: 𝑰 = �𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊𝟐𝒏 𝒊=𝟏 Precisamos conhecer as massas e posições de todas as n partículas dos sistema! 7 Exemplo Duas partículas puntiformes de massas m e M estão separadas por uma distância L e são mantidas assim por uma haste rígida e de massa desprezível. L a) Encontre o momento de inércia desse sistema em torno de um eixo perpendicular à haste em uma distância x da massa m b) Qual é o valor de x para a qual teremos o menor momento de inércia possível para o sistema? m M 8 Exemplo x Eixo 1 𝑰𝟏 = 𝒎 ∙ 𝒙 𝟐 + 𝑴 ∙ 𝑳 − 𝒙 𝟐 𝑰𝟏 = 𝒎 + 𝑴 ∙ 𝒙𝟐 − 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳 ∙ 𝒙 + 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 a) 𝑰 = �𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊𝟐𝒏 𝒊=𝟏 9 L m M Exemplo b) Qual é o valor de x para a qual teremos o menor momento de inércia possível para o sistema? Pontos extremos de uma função 1ª derivada = 0 !! 𝒅𝑰 𝒅𝒙 = 𝟎 𝒅 𝒎 ∙ 𝒙 𝟐 + 𝑴 ∙ 𝑳 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 = 𝟎 10 Exemplo Posição do centro de massa do sistema !! b) Qual é o valor de x para a qual teremos o menor momento de inércia possível para o sistema? 𝟐 ∙ 𝒎 ∙ 𝒙 − 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳 − 𝒙 = 𝟎 𝒎 ∙ 𝒙 −𝑴 ∙ 𝑳 + 𝑴 ∙ 𝒙 = 𝟎 𝒎 ∙ 𝒙 + 𝑴 ∙ 𝒙 = 𝑴 ∙ 𝑳 𝒙 = 𝑴 ∙ 𝑳 𝒎 + 𝑴 m M y x 11 Energia Cinética de Rotação e Momento de Inércia 12 Posição do centro de massa do sistema !! 𝒅𝑰 𝒅𝒙 = 𝟎 Valor extremo de I O eixo em torno do qual o momento de inércia é o menor possível é aquele que passa pelo centro de massa do sistema!!!! Cálculo do Momento de Inércia SISTEMAS CONTÍNUOS: 13 Consideramos cada partícula do corpo extenso como um elemento infinitesimal de massa dm 𝑰 = �𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒎 r O dm 𝑰 = �𝒎𝒊 ∙ 𝒓𝒊𝟐𝒏 𝒊=𝟏 Cálculo do Momento de Inércia SISTEMAS CONTÍNUOS: 14 Cada elemento dm pode pertencer a um fio, uma superfície ou um volume: 𝝀 = densidade linear de massa 𝒅𝒎 = 𝝀 ∙ 𝒅𝒅 𝝈 ∙ 𝒅𝒅 𝝆 ∙ 𝒅𝒅 𝝈 = densidade superficial de massa ρ = densidade volumétrica de massa Os exemplos a seguir ilustram como o cálculo da integral é feito para corpos extensos Cálculo do Momento de Inércia - Exemplos 15 1) Fazer no quadro!!! Cálculo do Momento de Inércia - Exemplos 16 2) Anel de raio R e massa M uniformemente distribuída, girando em torno de um eixo perpendicular que passa pelo CM M R 𝒅𝒅 = 𝑹 ∙ 𝒅𝒅 O 𝒅𝒅 𝝀 = 𝑴𝟐𝟐𝑹 𝑰 = �𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒎 𝑰 = �𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒎 = �𝑹𝟐 ∙ 𝝀 ∙ 𝒅𝒅 = 𝑹𝟐 ∙ �𝝀 ∙ 𝒅𝒅 Cálculo do Momento de Inércia - Exemplos 17 2) Anel de raio R e massa M uniformemente distribuída, girando em torno de um eixo perpendicular que passa pelo CM 𝑰 = 𝑹𝟐 ∙ �𝝀 ∙ 𝒅𝒅 𝑰 = 𝑹𝟐 ∙ � 𝑴 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝑹 ∙ 𝑹 ∙ 𝒅𝒅 𝑰 = 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ � 𝒅𝒅 𝟐𝟐 𝟎 𝑰 = 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 𝝀 = 𝑴 𝟐𝟐𝑹 M R 𝒅𝒅 = 𝑹 ∙ 𝒅𝒅 O 𝒅𝒅 Cálculo do Momento de Inércia - Exemplos 18 3) Disco de raio R e massa M uniformemente distribuída, girando em torno de um eixo perpendicular que passa pelo CM rdr drrdA π2= dm O R 𝑰 = �𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒎 = �𝒓𝟐 ∙ 𝝈 ∙ 𝒅𝒅 𝝈 = 𝑴 𝟐 ∙ 𝑹𝟐 𝒅𝒅 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝒓 ∙ 𝒅𝒓 Cálculo do Momento de Inércia - Exemplos 19 3) Disco de raio R e massa M uniformemente distribuída, girando em torno de um eixo perpendicular que passa pelo CM rdr drrdA π2= dm O R 𝑰 = �𝒓𝟐 ∙ 𝒅𝒎 = �𝒓𝟐 ∙ 𝝈 ∙ 𝒅𝒅 𝑰 = �𝒓𝟐 ∙ 𝑴 𝟐 ∙ 𝑹𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝒓 ∙ 𝒅𝒓 𝑰 = 𝟐 ∙ 𝑴 𝑹𝟐 ∙ � 𝒓𝟑 ∙ 𝒅𝒓 𝑹 𝟎 𝑰 = 𝟐 ∙ 𝑴 𝑹𝟐 ∙ 𝑹𝟒 𝟒 𝑰 = 𝟏𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 𝝈 = 𝑴 𝟐 ∙ 𝑹𝟐 𝒅𝒅 = 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝒓 ∙ 𝒅𝒓 Cálculo do Momento de Inércia - Tabelados 20 Anéis Cálculo do Momento de Inércia - Tabelados 21 Corpos cilíndricos Cálculo do Momento de Inércia - Tabelados 22 Corpos cilíndricos Cálculo do Momento de Inércia - Tabelados 23 Corpos esféricos Cálculo do Momento de Inércia - Tabelados 24 Placa retangular Cálculo do Momento de Inércia 25 Mas e quando o objeto extenso gira em torno de um eixo que não passa pelo seu CM ?? O Cálculo do Momento de Inércia 26 Teorema de Steiner dos eixos paralelos Se soubermos o I em relação à um eixo que passa pelo CM, podemos calcular o I em relação à qualquer outro eixo que seja paralelo ao eixo que passa pelo CM através de: 𝑰𝒑𝒑𝒓𝒑𝒅𝒑𝒅𝒑 = 𝑰𝑪𝑴 + 𝑴 ∙ 𝒉𝟐 Onde: M = massa total do corpo h = distância ┴ entre os eixos Cálculo do Momento de Inércia 27 Teorema de Steiner dos eixos paralelos – Exemplos – Barra (fazer no quadro!) Cálculo do Momento de Inércia 28 Teorema de Steiner dos eixos paralelos – Exemplos – Esfera Calcule o momento de inércia de uma esfera sólida e homogênea de raio R e massa M em relação ao eixo mostrado na figura abaixo. 𝑹 𝟐 Cálculo do Momento de Inércia 29 Teorema de Steiner dos eixos paralelos – Exemplos – Esfera 𝑹 𝟐 𝒉 Eixo que passa pelo CM e é paralelo ao que queremos determinar 𝑰𝒑𝒑𝒓𝒑𝒅𝒑𝒅𝒑 = 𝑰𝑪𝑴 + 𝑴 ∙ 𝒉𝟐 𝑰 = 𝟐 𝟓 ∙ 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 + 𝑴 ∙ 𝑹 𝟐 𝟐 𝑰 = 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 ∙ 𝟐 𝟓 + 𝟏 𝟒 𝑰 = 𝟏𝟑 𝟐𝟎 ∙ 𝑴 ∙ 𝑹𝟐 Cálculo do Momento de Inércia 30 Lista 5 – Exercício 23 Três barras finas de mesmo comprimento L estão dispostas como mostra a figura. As massas das barras verticais são iguais, enquanto que a barra horizontal possui uma massa três vezes maior. Despreze as espessuras das barras e calcule o momento de inércia do sistema em relação aos seguintes eixos: a) contendo cada uma das barras; b) paralelos ao plano da página e perpendiculares às barras e passando pelos CMs delas; c) perpendiculares ao plano da página e passando pelos CMs delas; d) perpendicular ao plano da página, passando pelo CM do sistema (xCM = L/2 e yCM = 4L/5 considerando a origem localizada no ponto inferior da barra vertical esquerda). M M 3M L A B C 31 Lista 5 – Exercício 23 𝑰 = 𝟏 𝟏𝟐 𝑴𝑳𝟐 𝑰 = 𝟎 𝑰 = 𝟏𝟑𝑴𝑳𝟐 As principais possibilidadesque aparecem nesse problema são: Eixo que passa pelo CM “contendo” a barra (paralelo à barra) Eixo que passa pelo CM e é perpendicular à barra Eixo que passa pela extremidade e é perpendicular à barra 32 Lista 5 – Exercício 23 a) Eixos contendo cada uma das barras. Logo, deve-se determinar o I do sistema em relação aos 3 seguintes eixos: M M 3M L 1 2 3 O I do sistema é a soma dos I’s de cada barra em relação ao eixo em questão. Para o EIXO 1: 𝑰𝟏 𝑺𝒊𝑺 = 𝑰𝟏𝒅 + 𝑰𝟏𝑩 + 𝑰𝟏𝑪 A B C 33 Lista 5 – Exercício 23 a) Eixos contendo cada uma das barras. 𝑰𝟏 𝑺𝒊𝑺 = 𝑰𝟏𝒅 + 𝑰𝟏𝑩 + 𝑰𝟏𝑪 M M 3M L 1 A B C 𝑰𝟏 𝑺𝒊𝑺 = 𝟎 + 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 + 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟏 𝒅 = 𝟎 𝑰𝟏 𝑩 = 𝟎 + 𝑴 ∙ 𝑳 𝟐 L 𝑰𝟏 𝑪 = 𝟏 𝟑 ∙ 𝟑𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟏 𝑺𝒊𝑺 = 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 34 Lista 5 – Exercício 23 a) Eixos contendo cada uma das barras. 𝑰𝟐 𝑺𝒊𝑺 = 𝑰𝟐𝒅 + 𝑰𝟐𝑩 + 𝑰𝟐𝑪 M M 3M L A B C 𝑰𝟐 𝑺𝒊𝑺 = 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 + 𝟎 + 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟐 𝑩 = 𝟎 𝑰𝟐𝒅 = 𝟎 + 𝑴 ∙ 𝑳 𝟐 L 𝑰𝟐𝑪 = 𝟏𝟑 ∙ 𝟑𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟐 𝑺𝒊𝑺 = 𝟐 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 2 Na verdade, nem é necessário calcular o I do sistema em relação ao eixo 2, pois pela simetria do sistema é possível ver que ele deve ser exatamente igual ao I calculado para o eixo 1. Mas, fazendo a conta de qualquer forma... 35 Lista 5 – Exercício 23 a) Eixos contendo cada uma das barras. 𝑰𝟑 𝑺𝒊𝑺 = 𝑰𝟑𝒅 + 𝑰𝟑𝑩 + 𝑰𝟑𝑪 M M 3M 𝑳 𝟐� A B C 𝑰𝟑 𝒅 = 𝟏 𝟑 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟑 𝑩 = 𝟏 𝟑 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 𝑰𝟑 𝑪 = 𝟎 𝑰𝟑 𝑺𝒊𝑺 = 𝟐 𝟑 ∙ 𝑴 ∙ 𝑳𝟐 3 36 Lista 5 – Exercício 23 b) Eixos paralelos ao plano da página e perpendiculares às barras e passando pelos CMs delas M M 3M L A B C 37 Lista 5 – Exercício 23 c) Eixos paralelos perpendiculares ao plano da página e passando pelos CMs delas M M 3M L A B C 38 Lista 5 – Exercício 23 d) Eixo perpendicular ao plano da página, passando pelo CM do sistema (xCM = L/2 e yCM = 4L/5 considerando a origem localizada no ponto inferior da barra vertical esquerda). M M 3M L A B C Slide Number 1 Slide Number 2 Slide Number 3 Slide Number 4 Slide Number 5 Slide Number 6 Slide Number 7 Slide Number 8 Slide Number 9 Slide Number 10 Slide Number 11 Slide Number 12 Slide Number 13 Slide Number 14 Slide Number 15 Slide Number 16 Slide Number 17 Slide Number 18 Slide Number 19 Slide Number 20 Slide Number 21 Slide Number 22 Slide Number 23 Slide Number 24 Slide Number 25 Slide Number 26 Slide Number 27 Slide Number 28 Slide Number 29 Slide Number 30 Slide Number 31 Slide Number 32 Slide Number 33 Slide Number 34 Slide Number 35 Slide Number 36 Slide Number 37 Slide Number 38
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