Introdução às Funções Vetoriais

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Introdução às Funções Vetoriais 
Equações Paramétricas de Interseções de Superfícies 
Um método para encontrar as equações paramétricas da curva de interseção é escolher uma das variáveis como parâmetro e usar as duas equações para expressar as duas variáveis restantes em termos daquele parâmetro. Se escolhermos x=t como parâmetro e substituirmos isso nas equações z=x³ e y=x², obtemos as equações paramétricas x=t, y=t² e z=t³. (Cúbica Torcida)
Funções Vetoriais
A cúbica torcida, definida acima, é o conjunto de pontos da forma (t, t², t³), para valores reais de t. Interpretando cada um desses pontos como ponto final de um vetor r cujo ponto inicial é a origem, r = <x, y, z> = <t, t², t³> = ti + t²j + t³k obtemos r como uma função do parâmetro t, ou seja, r=r(t). Como essa função produz um vetor, dizemos que r=r(t) define r como uma função de valores vetoriais a uma variável real, ou, mais simplesmente, uma função vetorial. 
Se r(t) for uma função vetorial no espaço bidimensional, então para cada valor admissível de t o vetor r=r(t) pode ser representado em termos de componentes por r=r(t) = <x(t), y(t)>=x(t)i+y(t)j. 
As funções x(t) e y(t) são denominadas funções componentes ou componentes de r=r(t). Analogamente, as funções componentes de uma função vetorial r(t)=<x(t), y(t), z(t)> = x(t)i+y(t)j+z(t)k no espaço tridimensional são x(t), y(t) e z(t). 
Exemplo: As funções componentes de r(t)=<t, t², t³>=ti+t²j+t³k são x(t)=t, y(t)=t², z(t)=t³. 
O domínio de uma função vetorial r(t) é o conjunto dos valores admissíveis de t. Se r(t) estiver definida em termos de funções componentes e o domínio não estiver explicitamente especificado, convencionamos que o domínio será a interseção dos domínios naturais das funções componentes e dizemos que esse é o domínio natural de r(t). 
Gráficos de Funções Vetoriais 
Se r(t) for uma função vetorial no espaço bi ou tridimensional, então definimos o gráfico de r(t) como a curva paramétrica descrita pelas funções componentes de r(t). Por exemplo, se r(t)=<1-t, 3t, 2t>=(1-t)i+3tj+2tk então o gráfico de r=r(t) é o gráfico das equações paramétricas x=1-t, y=3t, z=2t. 
Até agora, consideramos curvas paramétricas como sendo caminhos traçados pelo movimento de pontos. Entretanto, se uma curva paramétrica for vista como o gráfico de uma função vetorial, então podemos imaginar, também, que o gráfico seja traçado pela ponta de um vetor em movimento. Por exemplo, se a curva C no espaço tridimensional for o gráfico de r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k e se posicionarmos r(t) com o seu ponto inicial na origem, então seu ponto final cai na curva C. Assim, quando r(t) é posicionado com seu ponto inicial na origem, seu ponto final descreve a curva C quando o parâmetro t varia, caso em que dizemos que r(t) é o vetor posição de C. Por simplicidade, às vezes deixamos implícita a dependência de t e escrevemos r em vez de r(t) para o vetor posição. 
Forma vetorial de um segmento de reta
Se r0 for um vetor no espaço bi ou tridimensional, com seu ponto inicial na origem, então a reta que passa pelo ponto final de r0 e é paralela ao vetor v pode ser dada na forma vetorial como r=r0+tv.
Em particular, se r0 e r1 são vetores no espaço bi ou tridimensional com seus pontos iniciais na origem, então a reta que passa pelos pontos finais desses vetores pode ser dada na forma vetorial como r=r0+t(r1-r0) ou r=(1-t)r0+tr1. 
É comum chamar essas equações de forma vetorial de uma reta por dois pontos e, para simplificar, dizer que a reta passa pelos pontos r0 e r1 (em vez de dizer que ela passa pelos pontos finais de r0 e r1). 
Deve ser entendido nas equações que t varia de menos infinito a mais infinito. Contudo, se restringirmos a variação de t no intervalo 0≤t≤1, então r variará de r0 a r1. Assim, a equação r=(1-t)r0+tr1 (0≤t≤1) representa o segmento de reta no espaço bi ou tridimensional que é traçado de r0 a r1. 
Cálculo de Funções Vetoriais
Limites e Continuidade
Nosso objetivo é desenvolver uma noção do que significa uma função vetorial no espaço bi ou tridimensional r(t) tender para um vetor limite L quando t tender a um número a. Ou seja, queremos definir .
Uma maneira de motivar uma definição razoável desse limite é posicionar r(t) e L com seus pontos iniciais na origem e interpretar esse limite como significando que o ponto final de r(t) tende ao ponto final de L quando t tender a a ou, equivalentemente, que o vetor r(t) tende ao vetor L tanto em magnitude quanto em direção e sentido quando t tender a a. Algebricamente, isso equivale a afirmar que
 . 
DEFINIÇÃO Seja r(t) uma função vetorial definida para todo t de algum intervalo aberto contendo o número a, exceto que r(t) não precisa estar definido em a. Escrevemos se, e somente se, . 
É intuitivamente claro que r(t) tenderá a um vetor limite L quando t tende a a se, e somente se, as funções componentes de r(t) tenderem aos componentes correspondentes de L. 
TEOREMA 
(a) Se r(t)=<x(t), y(t)> = x(t)i+y(t)j, então 
sempre que existirem os limites das funções componentes. Reciprocamente, existem os limites das funções componentes sempre que r(t) tender a um vetor limite quando t tende a a.
(b) Se r(t)=<x(t), y(t), z(t)> = x(t)i+y(t)j+z(t)k, então 
sempre que existirem os limites das funções componentes. Reciprocamente, existem os limites das funções componentes sempre que r(t) tender a um vetor limite quando t tende a a. 
Motivados pela definição de continuidade de funções reais, dizemos que uma função vetorial r(t) é contínua em t=a se . 
Ou seja, r(a) está definido, o limite de r(t) quando t -> a tende a a existe, e ambos coincidem. Como no caso de funções reais, dizemos que r(t) é uma função vetorial contínua num intervalo I se for contínua em cada ponto de I [com ressalva que nos pontos extremos de I o limite bilateral seja substituído pelo limite lateral apropriado]. 
Uma função vetorial é contínua em t=a se, e somente se, suas funções componentes são contínuas em t=a.