funcoes_vetoriais_versao_1

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Funções Vetoriais
1- Curvas Parametrizadas:
Considere um intervalo I (ou uma união de intevalos) e uma função do tipo 
f : I⊂R →Rn ,
que associa a uma variável t∈I um vetor com n coordenadas 
f (t)=(f 1(t) , f 2( t) , f 3(t ) ,…, f n(t)) .
As funções coordenadas f i( t) , para i variando de 1 até n, são funções do cálculo 1 , ou seja, 
f i :
I⊂R → R
t→ f i(t )
,
a variável independente t é chamada de parâmetro.
Exemplos:
(1) Considere um ponto P=(x0 , y0 , x0)∈R
3 e um vetor v⃗=(v1, v2, v3) . As equações
paramétricas da reta que passa por P e é paralela a v⃗ são
x (t)=x0+t v1
y (t)= y0+ t v2
z (t)=z0+t v1
,
sendo t∈R . Isto que está feito aqui é o mesmo do que considerar a função
f : I⊂R →R
3
t→ f ( t)=(x0+ t v1, y0+t v2, z0+t v3)
.
(2) circunferência: f : [0,2π]→R
2
s→ f (s)=(cos(s) , sen (s ))
(3) circunferência: f : [0,2π]→R
2
s→ f (t)=(cos (−t) , sen(−t))
Nos exemplos (2) e (3) as imagens das funções estão em R2 e são circunferências , mas são
funções diferentes...por que?
OBS: A imagem de f , que está em Rn , é chamada de trajetória e os pontos f(t) podem ser
considerados como vetores posição (por exemplo, de uma partícula quando o contradomínio for
R2 ou R3 ) . Nesse sentido podemos operar com funções vetoriais com as mesmas operações
possíveis de serem realizadas entre vetores:
1. Função Soma ( ou Função Diferença),
2. Função Multiplicação por Escalar,
3. Função Produto Interno,
4. Função Produto Vetorial (apenas em ℝ3 )
(4) Hélice circular : f(t)=(a.cos (t), a sen(t), b. t), sendo a>0 e b≠0 , constantes reais dadas.
Noção de Limite
A noção de limite para essas funções recai no limite das funções coordenadas, que são
funções que foram estudadas no Cálculo 1.
Definição: Limite de curvas do ℝn
Considere uma curva
f : I⊂ℝℝn
t f t = f 1t , f 2t  ,⋯, f nt 
,
t 0∈ℝ e L=L1, L2,…, Ln∈ℝ
n . 
Diremos que 
lim
t t0
f t =L ,
ou, em palavras, o limite de f(t) quando t∈ I tende a t0 é o vetor L se , e somente se,
valerem simultaneamente os limites das coordenadas:
lim
t t0
f 1t =L1 , lim
t t 0
f 2t =L2,  , lim
t t0
f nt =Ln .
Assim se algum dos limites das coordenadas não existir então o limite da função vetorial também
não existirá. E existindo os limites das coordenadas, podemos escrever ainda
lim
t t0
f t =lim
t t0
 f 1t  , f 2 t  ,⋯, f nt =limt t0 f 1t  , limt t0 f 2t  ,⋯ , limt t0 f nt 
Exemplos :
1) Considere f :ℝℝ2 e, portanto, f t = f 1t  , f 2t  sendo
f 1t =t e f 2t ={sen t  , se t≠

2
0, se t=

2
} .
2) Outra notação: Considere f t =
sent
t
it 23j função que representa a trajetória de uma
partícula, encontre o limite quando t0 .
3) Para f(t)= ( cost, sent, t). Calcule
lim
h0
f th− f t 
h
.
Curvas Contínuas
Definição: 
Considere 
f : I⊂ℝℝn
t f t = f 1t  , f 2t  ,⋯, f nt 
e t 0∈I . Diremos que f é contínua em
em ponto t 0 do domínio se valer
lim
t t0
f t = f t 0 .
Pela definição de limite podemos afirmar que f será contínua em t 0∈ I se, e somente se, todas as
funções coordenadas forem contínuas em t 0∈I . Diremos que f é contínua em todo intervalo I se
for contínua para qualquer t∈ I .
Exemplos: Utilizar os de limite
OBS: No que segue trabalharemos com curvas parametrizadas contínuas.
Derivada, Vetor Tangente e Vetor Velocidade
Observe que tanto a noção de limite quanto a de função contínua recaem na análise das
coordenadas da curva. O mesmo ocorrerá com a derivada! 
Definição:
Considere 
f : I⊂ℝℝn
t f t = f 1t  , f 2t  ,⋯, f nt 
e t 0∈I . Diremos que f é derivável no
ponto t 0 do domínio se existir o seguinte limite
lim
h0
f t 0h− f t 0
h
,
neste caso o limite é denotado por f ´ t 0 ou 
df
dt
t 0 . É facilmente verificável que f é derivável em
t 0∈ I se, e somente se, todas as funções coordenadas também forem, neste caso vale:
f ´ t 0= f 1´ t 0 , f 2´ t 0 ,⋯, f n´ t 0 .
A função f será derivável em I ser for derivável para todo t∈ I
Exemplos:
1) Observe f t= sen3t  , e−t
2
, t  que a função f tem derivada de todas as ordens em todos os
pontos do domínio. Encontre f ´(t) e f ”(t) e f '(0).
2) Verifique se a curva g t = ln t2 ,∣t∣ é derivável em t =0.
Interpretação Geométrica da Derivada: Reta Tangente
Considere uma curva 
f : I⊂ℝℝn
t f t = f 1t  , f 2t  ,⋯, f nt 
, tal que exista f ´ t 0 e
f ´ t 0≠0 . 
A reta que passa pelos pontos f t0h e f t 0 em R
3 (ou R2 ) é uma reta secante a
trajetória de f . Quando h 0 , se o limite existir, o vetor 
f t0h− f t 0
h
se aproxima de um vetor
tangente a trajetória no ponto f t0 . A reta que passa por f t0 e é paralela ao vetor f ´ t 0 é
chamada de reta tangente a trajetória de f no ponto f t0 . O vetor f ´ t 0 é chamado de vetor
tangente à curva f no ponto f (t0) .
Suponha que a curva f seja derivável em todo o intervalo I e f ' seja uma função contínua em
todo o intervalo I, com f ´ t ≠0 . Então a curva f é chamada de curva lisa ou suave.
OBS: Coeficiente Angular da Reta Tangente a uma Curva de R2 : 
Dada uma curva f t= f 1t  , f 2t  , o coeficiente angular da reta tangente é obtido através
da inclinação do vetor tangente 
f ' 2t 
f ' 1t 
.
Há uma outra forma de obtê-lo: considere as equações paramétricas 
x= f 1t 
y= f 2t 
e suponha que o parâmetro t possa ser eliminado (ou isolado). Então obtemos uma equação cartesiana para a
curva, isto é, y = F(x) e o coeficiente angular da reta tangente é F´(x) . Observe que encontramos resultados
equivalentes, de fato,
f 2t =F  f 1t 
e derivando, aplicando a regra da cadeia, obtemos
F '  x=
f ' 2t
f ' 1t
.
Aplicações ao Movimento: Vetor Velocidade e Vetor Aceleração
Interpretando a curva 
f : I⊂ℝ→ℝn
t→ f (t)=( f 1(t) , f 2( t) ,⋯ , f n( t))
como a trajetória de uma
partícula que no tempo t está na posição f(t), o vetor 
f t0h− f t0
h
é construído a partir da variação da posição sobre a variação do tempo. Ou seja, tal quociente tem relação
com a noção física de velocidade. Assim, se existir f ´ t 0 este vetor será chamado de vetor velocidade
instantânea ( ou simplesmente vetor velocidade) da partícula no instante t 0 . E o vetor f ' ' t 0
é chamado vetor aceleração. A intensidade da velocidade ou rapidez da partícula é dada pela medida
∥ f ´ t 0∥ .
Exercício: Considere a curva f t =t 3 , t 2 :
1) A curva é lisa? Geometricamente, o que significa esta curva não ser lisa?
2) Supondo que f representa a trajetória de uma partícula. Encontre a velocidade, rapidez e a
aceleração no instante t = 1. 
Regras de Derivação
Ver Thomas (página 234).
1. Produto de função escalar por uma função vetorial;
2. Soma ou diferença de funções vetoriais;
3. Produto interno;
4. Em R3 , o produto vetorial ;
5.
Regra de Cadeia;
Considere I um intervalo, a curva derivável em I f : I⊂ℝ→ℝ
n
t→ f (t)=( f 1(t ) , f 2( t) ,⋯ , f n( t))
e a função
de valor real u dada por u : J⊂ℝ→I
s→u (s)=t
. Vamos realizar a seguinte composição f o u , ou seja, 
fou : J→ℝn
s→ f (u (s))=( f 1(u (s)) , f 2(u (s)) ,⋯, f n(u(s)))
. 
Se a função u for derivável em s então, sendo f derivável em t=u(s) , cada função coordenada f i será
derivável em t=u(s) e pela Regra da Cadeia do Cálculo 1 vale
d
ds
f i(u(s))=
df i
dt
(u(s)) .
du
ds
(s) ou ( f i(u(s))) '= f i ' (u(s)). u ' (s) .
Portanto, para a função vetorial f valerá: 
d
ds
f (u(s))=(f (u (s )))'=( f '1(u(s)). u ´(s) , f '2(u(s)). u '(s) ,⋯, f ´ n(u(s ))u ' (s))
e colocando u’(s) em evidência obtemos o formato resumido
d
ds
f (u(s))=f ' (u(s)). u '(s)
Exercício:
I) Considere f (t)=et .cost i⃗ +e t . sen j⃗ e u(s) = 2.s :
• Esboce a trajetória dada por f ;
• Calcule o vetor velocidade em f(t) e sua intensidade ou comprimento;
• Com a composição f(u(s))a trajetória mudou ? E a velocidade em t=u(s)referente ao ponto
f(t)=f(t(u(s))?
II) Funcões vetoriais de comprimento constante: Considere g(t)=(sen t , cos t ,√(3))
• Calculo o comprimento do vetor g(t) 
• Observe que ‖g(t )‖=√⟨g (t) , g (t)⟩ ;
• Derive ⟨g (t) , g( t)⟩ e explique o seu resultado ;
• Utilizando o resultado anterior conclua que os vetores posição g(t) e o vetor velocidade g´(t) são
ortogonais.
OBS: Em qualquer outra curva f que tenha comprimento constante valerá ⟨ f '(t ), f (t)⟩=0 .
Primitiva de Uma Curva
Considere 
f : I⊂ℝℝn
t f t = f 1t  , f 2t  ,⋯, f nt 
. Definimos a primitiva ou integral de f
como sendo uma função F, do mesmo tipo que f , isto é,
F : I⊂ℝℝn
tF t =F1t  , F 2t  ,⋯, F nt 
,
tal que 
dF
dt
= f t  .
Assim é possível provar que primitivas de f podem ser encontrada calculando as primitivas das funções
coordenadas:
F t=∫ f 1t dt ,∫ f 2tdt ,⋯,∫ f nt dt  .
OBS: Em palavras, integrando a derivada de uma função obtemos a função.
Integral Definida
Seja 
f : [a ,b]⊂ℝℝn
t f t = f 1t , f 2t  ,⋯, f nt 
.
A integral definida de f no intervalo [a,b] é definida por
∫
a
b
f t dt=∫
a
b
f 1t dt ,∫
a
b
f 2t dt ,⋯,∫
a
b
f nt dt  .
Assim, para que f seja integrável no intervalo [a,b] basta que existam as integrais definidas das funções
coordenadas neste intervalo.
Vale o Teorema Fundamental do Cálculo:
Se f é uma função integrável em todos os pontos de [a,b] e se F é uma primitiva de f então vale
∫
a
b
f t dt=F b−F a .
Exe 1: Considere função v t =2 t 21i3t 2−1 jt1k . Encontre primitivas de v.
Exe 2: Seja r(t) trajetória de uma partícula que no instante t=0 está no ponto (1,0,0) e que tem velocidade
v t =2 t 21,3 t2−1,t1 . Encontre a expressão de r(t).
Exe3: Seja r(t) trajetória de uma partícula que no instante t=0 está no ponto (1,0,0), com velocidade (1,-1,1)
e tem aceleração v t =4t ,6t ,1 . Encontre a expressão de r(t).
OBS: Os exercícios 2 e 3 podem ser enquadrados em problemas que chamamos de problemas de valor
inicial.
Exe 4: Segundo a 2a Lei de Newton:
Se F(t) é a força que age sobre uma partícula
 de massa m então a aceleração causada
 por esta força satisfaz a equação: F(t)=m.a(t).
Movimento no Plano: Um projetil é lançado com um ângulo de inclinação  e velocidade inicial de
intensidade v0 . Admitindo que a única força que está agindo no projétil seja a da gravidade e que a massa
do projetil seja m,
encontre a função posição do projetil. Para que valor de  obtem-se a maior distância percorrida?
De
F(t)=m.a(t)
e
a(t)= g.(0, -1), g=9.8 m / s2
Assim 
a(t)=(0,-9.8)
e integrando obtem-se a velocidade
v t =c1 ,−9.8 tc2 .
Desta expressão observa-se que a velocidade inicial é v 0=c1 , c2 . Por outro lado, a informação da
inclinação inicial nos informa que v(0) é paralelo ao vetor unitário cos , sen . Assim 
v 0=c1,c2=v0 .cos , sen .
Portanto, a velocidade do projetil é
v t =v0.cos ,−9.8 tv0. sen
e integrando obtem-se a função posição:
r t =v0.costd 1 ,−9.8
t 2
2
v0. sen td 2 .
Admitindo que o projetil partiu da origem (0,0) então d 1=d 2=0 . Observe que a trajetória é uma
parábola. Encontre essa parábola.
 A distância percorrida na horizontal será obtida quando r 2t =0 , isto é, 
t −4.9 tv0 sen=0 .
Portanto, é atingida no tempo t=
v0 sen
4.9
e neste tempo a distância será dada pela coordenada r 1 , ou
seja,
r 1=
v0
2 cos sen 
4.9
=
v0
2 sen 2
9.8
.
|Assim a distância será máxima se sen 2 assumir seu maior valor e isto ocorrerá quando 
2=

2
⇒=

4
.
Comprimento de Arco (Thomas pagina 253)
Dada uma curva 
f : [a ,b]⊂ℝℝn
t f t = f 1t , f 2t  ,⋯, f nt 
, derivável e tal que f ´(t) é
contínua. O comprimento l do arco da curva entre os pontos f (a) e f (b) é dado por 
l=∫
a
b
∥ f ´ t∥dt .
• O comprimento de arco como parâmetro:
Se o parâmetro de uma curva suave f: I → Rn for t então a cada t em I a função f associa um
vetor f(t). Uma mudança de parâmetro de f é uma função r: J → I , bijetora e com derivada r’
contínua, que a cada s em J associa um t em I, ou seja, t=r(s). Assim ao realizarmos a
composição 
for (s)=f (r (s))=f (t) ,
mudaremos o parâmetro de t para s. Observe que uma mudança de parâmetros não muda a imagem
ou a trajetória percorrida, mas muda o modo como a percorremos ( pode mudar a velocidade ou o
sentido do percurso).
Considerar a mudança para s sendo o comprimento de arco significa que s = r -1 (t) é o
comprimento da curva f entre um ponto P0=f(t0) fixado e um ponto qualquer da curva P=f(t):
◦
s=∫
t0
t
‖ f ´ (u)‖du=r−1(t) ,
OBS: Para s ser injetora supomos s´= (r -1 )´ (t)=|| f ´ (t) || >0 . Assim com este novo parâmetro temos
algo interessante para o futuro , pois para
f ( t)= f (r(s)) = g(s)
vale que g´(s) = f ´(r(s)). r ´(s) e, como r ´ (s)=
1
(r−1)' (r (s))
=
1
‖f ´ (r (s))‖
, obtemos 
g ´(s)=
f ’(r (s))
‖f ‘(r (s))‖
.
Ou seja, quando o parâmetro for o comprimento de arco o vetor velocidade será sempre unitário, ou seja, a
velocidade tem intensidade constante.
Funções Vetoriais Generalizadas
Considere D f⊆ℝ
n o domínio de uma função f cujo o contradomínio é ℝm :
f :D f⊆ℝ
n
ℝ
m
x=x1, x2,⋯ , xn f  x= f 1x1, x2,⋯, xn , f 2x1, x2,⋯ , xn ,⋯, f mx1, x2,⋯ , xn
.
Esta é a forma generalizada de uma função vetorial que leva um vetor de D f⊆ℝ
n em um único
vetor do ℝm . No Cálculo 3 estamos especificamente interessados em dois tipos dessas funções:
as superfícies parametrizadas e os campos vetoriais.
Superfícies Parametrizadas
Até então trabalhamos com superfícies em ℝ3 que são gráficos de funções do Cálculo 2 
z=g(x,y)
ou que são representadas por equações cartesianas do ℝ3
G(x,y,z)=0.
Exemplos:
1) Esboce o gráfico da função g  x , y= x2 y2 . Para isto devemos nos lembrar da
noção de curvas de nível.
2) Esboce o gráfico da superfície que é dada pela equação x2 y2z2=1 .
A partir deste momento estamos interessados não só no esboço de superfícies mas em como
percorre-las. Neste sentido, apresentamos a definição de superfície parametrizada ou equações
paramétricas de uma superfície:
Considere uma função do tipo
f : D f⊆ℝ
2
ℝ
3
u , v  f u , v = f 1u , v , f 2u , v , f 3u , v
As variáveis independentes u e v são chamadas de parâmetros e as funções coordenadas de f geram
as equações paramétricas da superfície que é a imagem de f são:
x= f 1u , v 
y= f 2u , v
z= f 3u , v
.
A superfície S em ℝ3 que é imagem de f é chamada de superfície parametrizada e a função f (u,v)
é chamada de parametrização de S.
Exemplo 1: Obtenha uma parametrização para o parabolóide z=x2 y2 .
Exemplo 2: Encontre o domínio da parametrização f u , v =u , v , x2 y2 e esboce a
superfície parametrizada.
Exemplo 3: Verifique que f u , v =r senucos v  , r sen u sen v  , r cos u  , com
u∈[0,] e v∈[0,2] , é uma parametrização de uma esfera de centro em (0,0,0).
Superfícies Especiais: os gráficos de funções do cálculo II, as quádricas, os cilindros e as
superfícies de revolução.
Campos Vetoriais
Consideremos funções vetoriais F em que o domínio DF⊆ℝ
n e o contradomínio
também é ℝn . Assim,
F :DF⊆ℝ
n
ℝ
n
x=x1, x2,⋯ , xn F x =F1x1, x2,⋯ , xn , F2 x1, x2,⋯, xn ,⋯, F nx1, x2,⋯ , x n
.
Com o objetivo de dar significado físico a este tipo de funções trabalharemos com n=2 ou n=3.
Além disso, a representação geométrica desta função não será o seu gráfico, por razão óbvia! 
Representação gráfica:
1) Para P∈DF marque o ponto P,
2) Calcule o vetor F P e, na mesma figura, esboce este vetor com origem em P.
Exemplos: Esboce os campos vetoriais:
a) F x , y =0,1 
b) F x , y =
x
 x2 y 2
,
y
 x2 y2
 ,
c) Para f x , y , z = x2 y2z 2 esboce o campo vetorial:
F :DF⊆ℝ
3
ℝ
3
x , y , z  F x, y , z =∇ f x , y , z 
,
sendo DF a esfera de centro (0,0,0) e raio 2.
O Cálculo Diferencial das Funções Vetoriais Generalizadas
Exatamente como ocorreu no exemplo das curvas, também para as funções vetoriais
generalizadas o cálculo de limite recai para os cálculos dos limites das funções coordenadas, que
são funções do Cálculo 2. Assim, para 
F :DF⊆ℝ
n
→ℝ
m
x=(x1, x2,⋯ , xn)→F (x)=(F 1(x1, x2,⋯ , xn) ,F 2( x1, x 2,⋯, xn) ,⋯, F m(x1, x2,⋯ , xn))
P∈ℝn e L=L1 , L2 ,… , Ln diremos que
lim
x→P
f ( x)=L
se, e só se, todos os n limites das coordenadas satisfazem 
lim
x P
f 1x =L1 , lim
x P
f 2x =L2 ,..., e lim
x P
f nx =Ln .
Portanto as noções de funções contínuas e derivadas parciais e derivadas direcionais são obtidas a
partir de tais noções para as funções coordenadas.
Exemplos: 
1. A função mudança de coordenada
• Função Contínua
A função F :DF⊆ℝ
n
→ℝ
m
x=(x1, x2,⋯ , xn)→F (x)=(F 1(x1, x2,⋯ , xn) ,F 2( x1, x 2,⋯, xn) ,⋯, F m(x1, x2,⋯ , xn))
é
contínua em P0∈DF , domínio de F, se valer
lim
x→P0
F (x )=F (P0) .
Isto equivale a dizer que F será contínua em P0 se, e só se, todas as funções coordenadas Fi ,
i=1,2...m, ( que são funções do Cálculo 2) forem contínuas em P0 . 
• Derivadas Parciais
Sejam
 F :DF⊆ℝ
n
→ℝ
m
x=(x1, x2,⋯ , xn)→F (x)=(F 1(x1, x2,⋯ , xn) ,F 2( x1, x 2,⋯, xn) ,⋯, F m(x1, x2,⋯ , xn))
e P∈DF , um ponto do domínio de F, e assim P=(p1, p2 , …, pn) . 
 Considere a base canônica de Rn ,
{ e⃗1=(1,0 , … ,0) , e⃗2=(0,1 , … ,0) , …, e⃗n=(0,0 , … ,1) },
 assim o i-ésimo vetor e⃗ i terá todas as coordenadas nulas exceto a i-ésima que será 1. 
Construa reta P+h . e⃗i e considere apenas um segmento desta reta ao redor de P, de tal forma, que
tal segmento está no domínio de F. Observe que
P+h . e⃗i=( p1 , p2,. .. , pi+h , pi+1,... , pn) ,
ou seja, apenas a i-ésima coordenada é alterada. Assim a variação média sofrida pela função F
quando mudamos de F(P) para F(P+h . e⃗ i) é 
F (P+h . e⃗ i)−F (P)
h
=( F1(P+h .e⃗ i)−F1(P)h ,
F2(P+h . e⃗ i)−F2(P)
h
, ...,
Fm(P+h. e⃗ i)−Fm(P)
h ) .
E a variação instantânea será o limite, se existir,
lim
h→0
F (P+h . e⃗i)−F (P)
h
.
Mas tal limite passa para as coordenadas e, todos os limites existirem o que obtemos é 
lim
h→0
F (P+h . e⃗i)−F (P)
h
=(∂F1∂ x i (P) ,
∂F2
∂ xi
(P) ,... ,
∂Fm
∂ xi
(P)) ,
vetor que será denotado por 
∂F
∂ x i
(P) , isto é, a derivada parcial de F em relação a variável x i ,
calculada no ponto P.
Exemplo: Considere F(ρ ,θ ,φ)=(ρcos (θ). sen(φ) ,ρ sen (θ). sen (φ ) ,ρcos (φ )) calcule as
derivadas parciais.