Conteúdo Interativo algebra linear 02

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Álgebra Linear
Aula 2: Inversa e cálculo de posto de uma matriz
Apresentação
A determinação da inversa de uma matriz torna-se necessária na simpli�cação de equações matriciais.
O conhecimento prévio de algumas de suas propriedades muitas vezes evita cálculos matriciais desnecessários que, em
geral, são muito trabalhosos.
Por �m, o conceito de posto de matriz terá uma grande in�uência nos nossos estudos futuros de discussão e resolução de
sistemas de equações lineares.
Objetivos
Determinar a inversa de uma matriz por dois tipos de métodos;
Conhecer as propriedades da matriz inversa;
Escalonar uma matriz e calcular o seu posto;
Comparar os métodos de inversão de matrizes com objetivo de utilizar o mais adequado ao seu problema.
Matriz Inversível
A Inversa de uma matriz possui grande aplicabilidade na simpli�cação de equações matriciais. Em nossos estudos futuros
veremos a sua in�uência nos processos de discussão e resolução de sistemas de equações lineares.
Diz-se que uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se podemos encontrar uma matriz B também de ordem n, de tal
modo que :
AB = BA = I
Onde, I é a matriz identidade de ordem n.
Neste caso, a matriz B é dita a inversa da matriz A, em geral, é denotada por B = A - 1.
n
n
Atenção
É importante ressaltar que se a matriz B é a inversa de A, então a matriz A será a inversa de B.
B = A - 1 ⇔ A = B - 1
A seguir, vamos usar a de�nição para calcular a inversa de uma matriz A genérica de ordem (2 x 2).
Seja a matriz A =
a b
c d , desejamos encontrar uma matriz B =
x z
y w , tal que:
AB =
a b
c d
x z
y w =
1 0
0 1 ⇒
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw +
1 0
0 1
Veja os dois sistemas nas variáveis x, z, y e w que precisamos resolver:
 (I) (II)
ax + bz = 1
cx + dz = 0 
cx + dz = 0
by + cw = 1
Resolvendo o sistema (I) por substituição de variável, temos:
Z =
- c
d x ⇒ ax + b
- c
d x = 1 ⇒ adx. bc x = d ⇒ (ad. bc) x = d ⇒ x =
d
ad . bc ⇒
x =
d
det A Logo, z =
- c
d 
d
det A ⇒ z =
- c
det A
Resolvendo o sistema (II) de forma análoga, temos:
y =
- b
det A e w =
a
det A
Por �m,
A - 1 =
1
det (A )
d -b
-c a
Observe a relação existente entre os elementos da matriz A e a sua inversa A
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ {
( )
( )
-1
Atividade
Sem efetuar muitos cálculos, escreva a inversa da matriz A =
1 2
3 8( )
Em geral, a determinação da inversa de uma matriz de ordem n requer muitos cálculos. É importante ressaltar que somente
podemos calcular inversas de matrizes quadradas com determinantes não nulos.
Atenção
Uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero.
Para estabelecermos a fórmula geral para cálculo da inversa de uma matriz de ordem n precisamos das de�nições a seguir.
Matriz dos cofatores
Seja uma matriz quadrada de ordem n.
Lembramos que o cofator do elemento genérico a da matriz A é de�nido da seguinte forma:
Onde: A é a submatriz obtida de A, retirando-se a linha i e a coluna j.
A matriz dos cofatores de A, denotada por A, é formada calculando-se todos os cofatores de A, isto é:
Por exemplo, para A =
2 1 0
-3 1 4
1 6 5
 os cofatores são dados por:
∆11 = (-1)
1 +1
1 4
6 5 = - 19; ∆12 = (-1)
1 +2
-3 4
1 5 = 19;
∆13 = (-1)
1 +3
-3 1
1 6 = - 19; ∆21 = (-1)
2 +1
1 0
6 5 = - 5;
∆22 = (-1)
2 +2
2 0
1 5 = 10; ∆23 = (-1)
2 +3
2 1
1 6 = 11;
∆31 = (-1)
3 +1
1 0
1 4 = 4; ∆32 = (-1)
3 +2
2 0
-3 4 = - 8;
∆33 = (-1)
3 +3
2 1
-3 1 = 5;
Logo, A =
-19 19 -19
-5 10 -11
4 -8 5
ij
△ij = (-1)
i+ j det Aij( )
ij
Aˉ = ∆ij( )
( )
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |
| |
( )
Matriz adjunta de A
No exemplo, Adj =
-19 -5 4
19 10 -8
-19 -11 5
Denotada por Adj (A), é de�nida como a transposta
da matriz dos cofatores de A, isto é:
Adj(A) = (A)t
( )
Matriz inversa de A
Após a determinação da matriz adjunta da matriz A, podemos encontrar a inversa de A, usando o seguinte resultado:
A - 1 =
1
detA . adj(A)
Por �m, a inversa da matriz A do exemplo, será dada por:
A - 1 = -
1
19
-19 -5 4
19 10 -8
-19 -11 5
=
1
5
19 -
4
19
-1 -
10
19
8
19
1
11
19 -
5
19
[ ] [ ]
Atividade
Ache, se possível, a matriz inversa das seguintes matrizes:
(1) A =
2 4 0
0 2 1
3 0 2
(2) A =
1 4 2 4
1 2 1 2
1 2 0 0
0 -1 1 2
(3) A =
1 0 x
1 1 x2
2 2 x2
[ ]
[ ]
[ ]
Propriedades da inversa
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n inversíveis.
1. A inversa da matriz identidade é a matriz identidade
2. (A ) = A
3. (K. A) - 1 =
1
k A
- 1
4. (A ) = (A )
5. (A.B) = B A
6. det A - 1 = 
1
det (A )
-1 -1
t -1 -1 t
-1 -1 -1
( )
Atividade
Dadas as matrizes A =
2 3
1 1 e B =
2 0
4 1 , use as propriedades para calcular:
1. (3A)
2. det(A )
3. (B )
4. (B )
5. (AB)
[ ] [ ]
-1
-1
t -1
-1 -1
-1
Os conceitos que apresentaremos a seguir não só viabilizarão o estudo de um novo processo para o cálculo da inversa de uma
matriz como também estarão amplamente presentes nos processos de discussão e resolução de sistemas de equações
lineares.
Operações elementares com as linhas de uma matriz
São três as operações elementares possíveis com as linhas de uma matriz.
Clique nos botões para ver as informações.
É descrita como uma permuta de duas linhas da matriz, isto é, a linha i troca com a linha j: Li ↔ Lj
Exemplo:
1 3 4
2 1 3 L1 ↔ L2
2 1 3
1 3 4
Troca de linhas 
( )
[ ]( )[ ]
É descrita pela multiplicação de todos os elementos de uma linha por um escalar k diferente de zero Li ↔ KLj
Exemplo:
1 -1
1 4
3 5
L2 ↔ 3L2
2 -1
3 12
3 5
Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo 
( )
[ ]( )[ ]
É descrita pela troca de uma linha por ela mesma somada a outra linha que está multiplicada por uma constante 
K Li → Lj + kLj
2 -1
1 4
3 5
L2 → L2 + 2L1
2 -1
4 7
3 5
Substituição de uma linha por ela própria adicionada por uma outra linha multiplicada por uma
escalar 
( )
[ ]( )[ ]
Matrizes linhas equivalentes
Uma matriz B é linha equivalente a uma matriz A se B for obtida de A por um número �nito de operações elementares.
Exemplo:
A matriz A =
1 2 -1
1 -2 3 é linha equivalente à matriz B =
1 2 -1
0 1 -1
De fato, aplicando-se as operações elementares descritas a seguir à matriz A, obtemos B.
1 2 -1
1 -2 3
L2 →L2 .L1
→
1 2 -1
0 -4 4
L2 → . 
1
4 L2
→
1 2 -1
0 1 -1
[ ] [ ]
[ ] [ ] ( ) [ ]
Forma escalonada de uma matriz
Diz-se que uma matriz A de ordem qualquer está na forma escalonada se as seguintes condições forem atendidas
simultaneamente:
1. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula for igual a um.
2. Cada coluna que contiver o primeiro elemento não nulo de uma linha deve ter todos os outros elementos iguais a zero.
3. O número de zeros que precede o primeiro elemento não nulo de cada linha deve crescer linha após linha
4. Toda linha nula deve vir abaixo de todas as linhas não nulas.
Observe a segui o exemplo de três matrizes que estão na forma escalonada.
Tente Veri�car em cada uma delas as quatro condições exigidas pela de�nição.
(1) A =
1 0 0 0
0 0 1 2
0 0 0 0
 (2) A =
1 0 3 0 5
0 1 4 0 2
0 0 0 1 4
 (3) l3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1[ ] [ ] [ ]
Atividade
Justi�que por que a matriz a seguir não está na forma escalonada
(1) A =
1 0 0 0
0 0 1 2
0 0 -1 0[ ]
Atenção
Toda matriz A é linha equivalente a uma única matriz B reduzida à forma escalonada. Isto é, a matriz B é a matriz obtida de A
após o escalonamento.
Exemplo: Vamos encontrar a matriz B reduzida à formaescalonada da matriz A:
A =
1 2 1 0
1 0 3 5
1 -2 1 1
Observe atentamente a sequência de operações elementares que iremos utilizar:
A =
1 2 1 0
1 0 3 5
1 -2 1 1
L2 →L2 .L1
→
L3 →L3 .L1
1 2 1 0
0 -2 2 5
0 -4 0 1
L2 → .
1
2 L2
→
1 2 1 0
0 1 -1 -
5
2
0 -4 0 1
L1 →L1 . 2L2
→
L3 →L3 + 4L2
1 0 3 5
0 1 -1 5
0 0 -4 -9
L3 → .
1
4 L3
→
1 0 3 5
0 1 -1 -
5
2
0 0 1
9
4
L1 →L1 . 3L3
→
L2 →L2 +L3
1 0 0 -
7
4
0 1 0 -
1
4
0 0 1
9
4
= B
[ ]
[ ] [ ] ( )
[ ] [ ] ( )
[ ] [ ]
Posto de uma matriz
Seja B a matriz escalonada da matriz A. De�nimos o posto de A como sendo o número de linhas não nulas da matriz B.
No exemplo anterior, como o número de linhas não nulas da matriz B é igual a três, então o posto da matriz A é a três.
Atividades
Calcule o posto das seguintes matrizes:
(1) A =
1 0 3
0 1 3
-1 1 0[ ]
(2) A =
1 4 2 4
1 2 1 2
1 2 0 0
1 -1 1 2
[ ]
Outro procedimento para determinar inversa de uma matriz
Como vimos, o cálculo da inversa da matriz por meio da determinação de todos os seus cofatores envolve em geral uma
grande quantidade de operações. O método prático que vamos agora apresentar se baseia em dois princípios:
1. A forma escalonada de uma matriz quadrada inversível é sempre a matriz identidade.
2. A mesma sequência de operações elementares que transforma a matriz A na matriz identidade transforma a matriz
identidade na matriz inversa de A.
Esse método torna-se vantajoso quando a matriz A é formada por números inteiros não muito grandes.
A seguir apresentaremos o passo a passo do método.
Passo 1
Veri�car de a matriz A é inversível (det A ≠ 0).
Exemplo:
Seja A =
2 1 1
1 1 1
2 3 2
 Vamos calcular sua inversa, se possível.
Veri�car se existe inversa de A. Para isso, veri�que que det (A) = -1 ≠ 0. Logo, A é inversível.
Passo 2
Formar uma matriz constituída por dois blocos, da seguinte maneira:
O primeiro bloco é a matriz A que desejamos inverter, e o segundo bloco é a matriz identidade da mesma ordem de A.
Exemplo:
Seja A =
2 1 1
1 1 1
2 3 2
 , vamos calcular a sua inversa, se possível.
Formar a matriz de blocos (A | I )
2 1 1
1 1 1
2 3 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Passo 3
Aplicar operações elementares a toda matriz de blocos, de modo a transformar a matriz A na matriz identidade. Quando a
matriz A for transformada na matriz identidade, a matriz identidade será transformada na matriz inversa de A.
A ln
operações elementares
→ ln l A
- 1
A dica para a utilização do método é promover o escalonamento da matriz A na matriz de blocos. Quando a matriz A se
transformar na identidade, esta se transformará na inversa de A.
[ ]
[ ]
3
[ ]
( | ) ( | )
Seja A =
2 1 1
1 1 1
2 3 2
 , vamos calcular a sua inversa, se possível.
Aplicar operações elementares à matriz de blocos com objetivo de transformar a matriz A em I .
Como o primeiro elemento não nulo da primeira linha deve ser igual a 1, vamos trocar a linha 1 com a linha 2.
2 1 1
1 1 1
2 3 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
L2 ↔L1
→ 
1 1 1
2 1 1
2 3 2
0 1 0
1 0 0
0 0 1
O próximo passo é aplicar operações elementares às linhas dois e três, de modo a zerar todos os elementos da primeira coluna
que estão abaixo do novo elemento a = 1.
L2 →L2 - 2L1
→
L3 →L3 - 2L1
 
1 1 1
0 -1 -1
0 1 0
0 1 0
1 -2 0
0 -2 1
Como o primeiro elemento não nulo da segunda linha é igual a (-1), devemos transformá-lo em 1 multiplicando toda a linha dois
por (-1).
L2 → ( - 1 ) L2
→
1 1 1 0 1 0
0 1 1 -1 2 0
0 1 0 0 -2 1
A seguir devemos aplicar operações elementares às linhas um e três, de modo a zerar os elementos da segunda coluna que
estão abaixo e acima do novo elemento a = 1.
L1 →L1 -L2
→
L3 →L3 -L2
 
1 0 0
0 1 1
0 0 -1
1 -1 0
-1 2 0
0 -4 1
Como o primeiro elemento não nulo da terceira linha é igual a (-1), devemos transformá-lo em 1, multiplicando toda a linha três
por (-1).
L2 → ( - 1 ) L3
→ 
1 0 0
0 1 1
0 0 1
1 -1 0
-1 2 0
-1 4 -1
Finalmente, devemos aplicar operações elementares à linha dois, de modo a zerar o elemento não nulo da terceira coluna que
está acima do novo elemento a = 1.
L2 →L2 - L3
→ 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 -1 0
0 -2 1
-1 4 -1
[ ]
3
[ ] [ ]
11
[ ]
[ ]
22
[ ]
[ ]
33
[ ]
Atividades
(1) Calcule o posto da seguinte matriz:
A =
1 2
3 4[ ]
(2) Ache, se possível, a matriz inversa das seguintes matrizes:
(a) A =
4 -1 2 -2
3 -1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1
(b) A =
3 0 0 0 0
19 18 0 0 0
-6 π -5 0 0
4 √2 √3 0 0
8 3 5 6 -1
[ ]
[ ]
Notas
Título modal 1
Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente
uma simulação de texto da indústria tipográ�ca e de impressos. Lorem Ipsum é simplesmente uma simulação de texto da
indústria tipográ�ca e de impressos.
Título modal 1
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Referências
KOLMAN, Bernard. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2006.
LAY, David C. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro, LTC; c1999.
BOLDRINI, J.L., COSTA, Sueli I. R., FIGUEIREDO, Vera Lucia, Wetzler, Henry G. – Álgebra linear – 3ª edição – Ed. Harbra – São
Paulo SP - 1989.
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Sistemas de equações lineares.
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