Aplicação da Integral na fisíca,biologia, química

Prévia do material em texto

Aplicação da Integral na física:
 O centro de massa
No cotidiano, mesmo que não percebamos, encontramos situações envolvendo o centro de massa dos objetos. Ao arrumar a carga de um caminhão, por exemplo, a mesma precisa estar com o seu centro de massa alinhado com o eixo central do Caminhão, caso contrário, se for uma carga muito pesada, a mesma contribuirá para um possível acidente.
O cálculo do centro de massa é essencial, tanto para situações mais simples, como a fabricação de bandejas. Porém, na construção civil, por exemplo, saber o centro de massa dos projetos a serem desenvolvidos é de suma importância. Em lugares como Japão, terremotos acontecem com certa frequência, e os prédios precisam ser resistentes à situações como esta, pois uma força externa pode mudar o centro de massa de lugar, o provocaria o desequilíbrio de um edifício, para isso, os prédios são construídos com certos “artifícios” para manter este equilíbrio. Um exemplo disso, é o uso de um sistema de massa compensatória, que se movimenta na estrutura, para compensar a mudança do centro de massa. Como exemplo, vamos encontrar o centro de massa da área delimitada pelos gráficos da função 𝑓(𝑥) = 𝑥 e 𝑔(𝑥) =x²
1-Devemos encontrar a área da figura, sabemos que a mesma é limitada superiormente pela função 𝑓 e inferiormente pela função 𝑔. E compreendida no intervalo 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. Então agora basta montar a integral:
Vamos agora encontrar o centro de massa:
A coordenada no centro de massa corresponde ao ponto 
Área da biologia:
Crescimento bacteriano
O estudo do crescimento de bactérias pode ser uma tarefa árdua, já que uma única bactéria se dividiu formando uma nova bactéria, que se divide formando outra e por aí vai. Ou seja, é um crescimento exponencial. Porém, esse crescimento vai depender do tempo que uma bactéria vai demorar em se dividir e criar uma nova. Podemos perceber que conforme a quantidade de bactérias aumenta, a sua velocidade em se duplicar também, por exemplo, se a quantidade de bactérias triplicarem, a velocidade de crescimento triplicará também.
Seja 𝑄(𝑥) a função que determina a quantidade de bactérias em função do tempo.
A taxa de variação de crescimento será então
Onde o 𝑘 será o quanto cada bactéria contribui para o crescimento da população.
Aplicando algumas regras de derivação e integração chegaremos na função
𝑄(𝑡) = 𝑄0. 𝑒𝑘𝑡
2-Vamos supor que uma determinada bactéria se duplique a cada hora, num determinado ambiente. Se a população inicial for de 10 bactérias, e o tempo 𝑡 for medido em horas, então a quantidade de bactérias em qualquer instante 𝑡 será expressa pela equação.
𝑄(𝑡) = 10𝑒𝑘𝑡
Seguindo esse exemplo, suponhamos que após 1 hora, o número de bactérias passou a ser 20. Ou seja, 𝑄(1) = 20. Substituindo esses valores na equação 𝑄(𝑡), teremos.
10𝑒𝑘 = 20 ⇾ 𝑒𝑘 = 2 ⇾ 𝑘 = ln 2 ⇾ 𝑘 ≅ 0,693
Ao encontrarmos o valor da contribuição de crescimento, podemos então encontrar a taxa de crescimento das bactérias em qualquer instante 𝑡, vamos encontrar para.
𝑡 = 8. Teremos então
𝑄(8) = 10𝑒0,693.8 → 10𝑒5,544
𝑄(8) ≅ 2556,98
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
“Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)”.2009. Disponível em
<http://ecalculo.if.usp.br/historia/leibniz.htm>. Acesso em: 11/07/2019.
“Isaac Newton, Sir (1642-1727)”. 2009. Disponível em:
<http://ecalculo.if.usp.br/historia/newton.htm>. Acesso em: 11/07/2019.
“O nascimento do Cálculo”. 2009. Disponível em:
<http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm>. Acesso em: 11/07/2019
Obs.: ( é a referência das duas questões).
Área da biologia:
Valor médio de uma função
A média de n valores yi é calculada somando todos e dividindo pelo número de valores 
Uma função f(x), contínua num intervalo [a, b] pode ser considerada uma sequência contínua de infinitos valores. O valor médio desta sequência será 
Crescimento populacional
Se a população P é conhecida em função do tempo t temos uma função P = P(t). A taxa de variação da população será dada por P’(t) = dP/dt. Se P’(t) é conhecida podemos obter a variação da população num determinado intervalo de tempo fazendo a integral definida .
população de uma cidade cresceu a uma taxa dada por P’(t) = 0,005t – 9,55 entre 1970 e 1990. (unidade usada é milhões de habitantes por ano). Usando esta expressão sabemos que no início de 1970 a população crescia a uma taxa de 0,3 milhões de habitantes por ano e no início de 1990 a taxa de crescimento era de 0,4 milhões de habitantes por ano. A variação da população entre 1970 e 1990 será dada por  =  = –9104,25 + 9111,25 = 7 milhões de habitantes Entretanto em geral é fornecida a taxa de crescimento relativa – Ex. A taxa de crescimento da população num país foi de 1,2% ao ano. Este valor representa a quantidade obtida pela expressão . Observe que esta expressão é o resultado da derivada de ln P(t).  Então podemos escrever: 
assim integrando temos
3- Um país teve uma taxa de crescimento relativo constante de 1,2% entre 1970 e 1990. Qual foi o aumento de sua população?
Temos assim: ,  e , portanto . O aumento da população foi de 27% nestes 20 anos.
Referências:
Hamilton, L, G.(2001-2008). Cálculo - vol. I -LTD- Gen.- Livros Técnicos
http://www.scribd.com/doc/28233952/INTEGRAIS-de-LINHA-Lembrando-Que-Integrais-Definidas
http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais2. php
Área da Química:
Ney Rodrigues Ferreira *
A Físico-Química apresenta algumas dificuldades com relação ao desenvolvimento de suas equações cinéticas, baseado nisto este trabalho apresenta um modelo teórico de equações cinéticas de reações químicas reversíveis, baseados no cálculo diferencial integral. Muitas dessas equações são usadas para se determinar um parâmetro cinético muito importante no monitoramento de uma reação química, a constante de velocidade, que pode fornecer informações de como estão as concentrações dos reagentes e produtos com o decorrer do tempo, durante uma reação química, e que ainda podem ser tratados graficamente e estatisticamente. No entanto, antes será necessário fazer-se uma breve revisão em conceitos muito usada em cinética química.
"A velocidade de reação é o aumento em concentração molar de produto de uma reação por unidade de tempo ou a diminuição da concentração molar de reagente por unidade de tempo."
Podemos expressar a velocidade de uma reação de várias formas.
4-Em certos casos, a serem investigados, é conveniente medir a concentração de um produto de reação em vários tempos.
Na curva da figura a seguir mostra-se esquematicamente como esta concentração varia com o tempo, para o pentóxido de nitrogênio.
	2N2O5(g)
	4NO2(g) + O2(g) (5-1)
Fig. Taxa de formação de O2. *
Podemos expressar a velocidade de três formas:
Velocidade de formação do NO2(dt NOd][2+) (5-3) e
A velocidade de formação do O2(dt Od][2+) (5-4).
“ Verifica-se que a decomposição do N2O5 segue uma lei de primeira ordem para pressões compreendidas entre
10-2 a 10 atm. e para temperaturas de 0 a 200°C”.
Esta lei toma as seguintes formas:
“As unidades da constate de velocidade dependem da ordem da reação. Para de primeira ordem, -dC/dt=k1C , as unidades de k1 são: mol.L-1 .s segunda ordem, -dC/dt=k2C2 , as unidades de k2 são:
reação de ordem n, as dimensões da constante kn
Consideremos um corpo que se move em trajetória retilínea (eixo x), efetuando um deslocamento ⃗d de um ponto a até um ponto b. Seja ⃗f uma força paralela ao deslocamento que atua no corpo e supondo que essa força seja constante.
Definimos o Trabalho W da força ⃗f=fi ⃗ em um deslocamento ⃗d = di ⃗
como sendo W = ⃗f. ⃗d
Em termos vetoriais temos, w= ⃗f. ⃗d, isto é, W é o produto escalar de ⃗f e ⃗d. Em termos de Integrais, vamos considerar deslocamentos infinitesimais x igualmente espaçados.
Da definição de Trabalho, temos W = F.x
Integrando nos limitantes a e b, vem
W F.x.
W(b)-w(a)=f.(b-a)
Note que w(a)=0, pois o corpo está em repouso e como consequêncianão produz Trabalho (W = 0). Portanto, obtemos a expressão W = F.(b – a) = ⃗f. ⃗d
No Sistema Internacional (SI) de Unidades, a unidade de Trabalho é o Joule, cujo símbolo é J. da equação , segue que Unidade de W = (unidade de F). (unidade de d) 1 J = 1 N . 1 m J = N . m
É importante entender que o trabalho é uma grandeza escalar, embora seja obtido a partir do cálculo do produto escalar de duas grandezas vetoriais (a força e o deslocamento). A unidade SI de trabalho é o joule (abreviada pela letra J e pronunciada como „jaule‟, nome dado em homenagem ao físico inglês do século XIX James P. Joule). Vemos que, em 31 qualquer sistema de unidades, a unidade de trabalho é dada pela unidade de força multiplicada pela unidade de deslocamento. A unidade SI de força é o newton e a unidade de deslocamento é o metro, de modo que a unidade de trabalho joule é equivalente a um (N.m): 1 Joule = (1 newton)(1 metro) ou 1J = 1N.m.
Quando a força favorece o deslocamento, seu trabalho é positivo (W > 0) e denominado Trabalho motor (Ver figura 3.3). Quando a força se opõe ao deslocamento, seu trabalho é negativo (W < 0) e denominado Trabalho resistente.
5- Qual o Trabalho realizado para empurrar um carro a uma distância de 8 m exercendo uma força constante de 900 N ?
Utilizando a equação
W = F.(b – a) = ⃗f. ⃗d
W = (900 N).(8 m) W = 720 J
Por integração, temos:
W=900
W = 900.(8 – 0)
W = 720 J
Referências Bibliográficas
CARRON, Wilson; GUIMARÃES, Osvaldo. Física: volume único. 2ª edição. São Paulo: Moderna Editora, 2003.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física, Volume 1. 8ª edição. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2008.