Álgebra Linear II P2

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Revisão P1
Sistemas lineares são conjuntos de “p” equações lineares com “q” variáveis. 
Matrizes são disposições de números em retângulos
Linha Disposição horizontal de elementos da matriz
Coluna Disposição vertical de elementos da matriz
São operações elementares:
Trocar a ordem das linhas 
Multiplicar a linha por um escalar não nulo
Substituir uma linha por sua soma ou subtração com o múltiplo de outra
Descartar linhas só de 0
São formas de matrizes:
O produto matriz-vetor:
São representações de matrizes e sistemas lineares:
Representação explícita das equações do sistema linear
Combinação linear das colunas de uma matriz coeficiente 
Forma de produto matriz-vetor
Matriz aumentada 
São propriedades de matrizes aumentadas totalmente escalonadas e seus SL’s associados:
Variáveis dependentes Variáveis associadas a um pivô
Variáveis Independentes ou livres Variáveis não associadas a um pivô
Sistema homogêneo Ax=0
Solução trivial vetor nulo, uma solução sempre possível em sistemas homogêneos.
Solução geral todo o conjunto solução S de um sistema linear
Solução particular uma solução qualquer para o sistema linear, isto é, um elemento de S. Comumente denotado por vo.
Solução do sistema homogêneo associado O conjunto solução do sistema Ax=0.
Conjunto de vetores V1,V2,...Vq é linearmente dependente existe K1,K2,...Kq pertencente a R com alguns Ki diferentes de 0 , tal que a combinação linear dos vetores com os coeficientes K1V1 + K2V2 + K3V3 + ...KqVq = 0
Conjunto de vetores V1,V2,...Vq é linearmente independente K1V1 + K2V2 + K3V3 + ...KqVq = 0 somente se K1 = K2=... = Kq = 0
Espaço gerado, conjunto gerado ou spam de um conjunto de vetores , isto é, a combinação linear de todos esses vetores
Núcleo ou Kernel de uma Matriz o conjunto solução de um sistema Ax=0 sem ser a solução trivial.
Imagem de uma matriz combinação linear de suas colunas. Logo, no exemplo abaixo:
São soluções de SL’s e matrizes aumentadas:
Com infinitas soluções
x1 , x3, x5 variáveis dependentes 
x2, x4 variáveis independentes ou livres
Chamaremos x2 de Z e x4 de T
Por fim 
Com solução única
Sem solução
São formas mais simples de identificação e classificação ode matrizes e SL’s associados:
	
	
LD
	
	
LI
	
	
São espaços vetoriais:
O espaço vetorial (V) é um conjunto não-vazio de vetores sobre um conjunto numérico, que no curso de Álgebra será sempre R.
Devem seguir as:
Regras aditivas
Regra geral Se um vetor “u” pertence ao espaço vetorial e um vetor “v” também, então o vetor “j” também pertencerá caso “j=u+v”
Axiomas da soma vetorial:
Comutativa u+v = v+u
Associativa (u+v) + w = u + (v + w) = v + (u + w)
Elemento neutro da soma u+0 = u 
Inverso aditivo u + (-u) = 0
Para todos os axiomas, parte-se do princípio que u,v,w,0 pertencem ao espaço vetorial. 
Regras multiplicativas:
Regra geral Se um vetor “u” pertence ao espaço vetorial e um escalar “k” pertence ao conjunto numérico no qual o conjunto de vetores é definido, o vetor “j” também pertencerá ao espaço vetorial se “j=ku”
Axiomas do produto escalar:
Produto escalar-vetor (k1k2)u = k1(k2u)
Elemento neutro do produto 1u = u
Distributivos k (u + v) = ku + kv
Distributivos (k1 + k2)u = k1u + k2u
 é também um espaço vetorial, o mais importante deles!
O conjunto de matrizes é um espaço vetorial.
São subespaços vetoriais:
São exemplos importantes de subespaços vetoriais:
Retas que passam pela origem
Planos que passem pela origem
Subespaço trivial {0} 
O próprio espaço vetorial V no qual W está contido, logo V é subespaço vetorial de V
Interseção de dois planos que passam pela origem
Nuc(A) é um subespaço vetorial
Im(A) é um subsespaço vetorial
Spam {C1,C2,C3...Cn} é um subespaço vetorial
a soma de dois subespaços é um subespaço. 
São bases e dimensões:
B é base de um subespaço W se todo elemento de W pode ser escrito como uma combinação linear única dos elementos de B e a dimensão de uma base é o número de elementos que ela possui.
Uma base B é suficientemente grande para gerar todos os vetores de W
Uma base B é suficientemente pequena para ser LI
base canônica a base mais intuitiva e mais primitiva para um subespaço vetorial 
Afirmação 1 Se um espaço vetorial tem uma base de dimensão X, então esse espaço vetorial tem dimensão X
Afirmação 2 A soma da dimensão do núcleo de uma matriz com a dimensão da imagem de uma matriz é o número de colunas que ela possui
Para encontrar bases de um conjunto de vetores:
O truque é escrever eles como linhas de uma coluna e escalonar. Veja:
Dado o conjunto de vetores:
Escrevemos como:
 e escalonar pra virar 
Logo :
Se você já perceber que num conjunto de vetores um é combinação linear de alguns outros, então você pode eliminar e escalonar a matriz com uma linha a menos. No caso acima, veja que:
De forma que:
Vale dizer que a base de uma imagem de uma matriz é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz que em sua forma escalonada tem pivô.
São notações de conjuntos de vetores:
Conjunto Gerado Conjunto de todos os vetores possíveis de serem gerados por uma combinação linear de outros vetores. Essencialmente, é outro nome para Spam ou Imagem de uma matriz.
Conjunto Gerador Conjunto de todos os vetores que geram o spam. Em uma matriz, é o conjunto que engloba todas as suas colunas.
Conjunto Afim adição de um vetor não nulo à um conjunto gerado, ou ainda um conjunto gerado “deslocado”
Exemplos:
Exemplo para Conjuntos Afim Solução de SL infinita 
Exemplo para Conjunto Gerado Núcleo de A, Imagem de A
Exemplo para Conjunto Gerador Colunas de A geram “b” e Im(A)
P2 ALG LIN II Unificada 2016.1
Essa parte da matéria engloba outras propriedades e operações de matrizes e transformações lineares. Refere-se ao capítulo 4 do livro indicado pelo curso “Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações” de Marco Cabral e Paulo Goldfeld.
Produto Matriz-Matriz
Já vimos na matéria da P1 o produto Matriz-Vetor. No entanto o que é um vetor se não uma matriz? Para um produto de matrizes genérico, os seus coeficientes são obtidos seguindo o seguinte padrão:
Resumo Álgebra Linear II P2 – Por Rafael Ratier
.
De forma geral, o produto de duas matrizes só é possível se:
O produto de matrizes definido é equivalente ao produto entre linhas de A e colunas de B, se multiplicados nessa ordem. Dai tiramos uma importante propriedade 
É impossível então calcular o produto entre uma matriz 2x2 e outra 3x3. E multiplicar uma matriz por outra fornece produtos diferentes dependendo da ordem. Outra propriedade importante do produto é:
Duas matrizes não nulas multiplicadas podem resultar num produto que seja uma matriz nula. Um breve vislumbre do porque de esse produto ser interessante:
Imagine uma cidade A e uma cidade B com fluxos constantes de migração de pessoas. Chamemos de X a população de A e de Y a população de B. A cada ano, 20% da população de A migra pra B e 30% da população de B migra pra A
Chamando de Xo a população inicial de A e de Yo a população inicial de B, temos, no primeiro ano:
X1 = 0,8 Xo + 0,3Yo
Y1 = 0,2Xo + 0,7Yo
Podemos reescrever isso para lembrar um sistema linear e associar uma matriz a isso:
A cada novo ano, o número de migrações é constante , logo 
É interessante, portanto, nos perguntar qual seria a aparência de . Iremos ver como calcular isso. De forma geral, o produto matriz-matriz pode ser deduzido do produto matriz vetor. Veja:
Produto matriz vetor gera um vetor, isto é, uma matriz de 1 coluna. Produto matriz-matriz tem mais de uma coluna! Imagine “um vetor com mais de uma coluna”. O produto matriz-matriz é essencialmente vários produtos matriz-vetor onde cada vetor resultante é na verdade uma coluna do produto matriz-matriz. Exemplo:
Podemos generalizar:
 
Agora que temos conhecimento dessas operações, vamosver dois tipos de matrizes notáveis exatamente por fornecerem resultados interessantes no produto matriz-matriz:
Matriz identidade
A matriz identidade (Id) é a matriz diagonal cujos elementos são todos. É sempre uma matriz quadrada. O produto de qualquer matriz pela matriz identidade é a própria matriz inicial:
Exemplo:
 
Matriz inversa
É a matriz (A-1) que se multiplicada por A, fornece a matriz identidade.
Exemplo (resolução simultânea de sistemas lineares)
Faça as contas e verifique que 
Propriedades da matriz inversa:
A matriz inversa de A só existe se a matriz A é quadrada 
A matriz inversa não existirá se as linhas e as colunas da matriz A não forem LI
Se a matriz inversa existe, então ela é única.
Se duas matrizes , A e B, possuem matriz inversa, o produto delas C=AB também possuí inversa (é invertível)
Transformação em matrizes
No contexto de álgebra linear, o termo transformação é um sinônimo de função. A transformação é um processo, uma operação, que podemos aplicar em matrize. Um grande exemplo de operação que já vimos é o produto matriz-vetor:
Perceba a transformação:
Inserindo valores de X e Y, obtemos outros valores. Em outras palavras, para cada vetor no IR² escolhido, a transformação em questão nos fornece outro vetor, também no IR², diferente, que está associado ao primeiro por uma lei de formação. E o que é uma função se não exatamente isso? Veja:
Para cada valor de X escolhido, ou seja, para cada , uma lei de formação nos fornece outro número qualquer, chamemos de Y=f(x), diferente do primeiro. É exatamente isso que é uma função: uma operação que seleciona valores de um conjunto e associa-os a valores de outro conjunto. Para uma transformação, usamos a notação:
Onde “v” se refere aos vetores inseridos. Para números reais, fazendo uma analogia às funções como já conhecemos, o “T” seria o “f” e o “v” seria o valor inserido de x em f(x). Sendo a transformação uma função, podemos aplicar conceitos de domínio, contradomínio e imagem a ela:
Em um universo possível de valores X para se inserir na função, existem valores de Y=f(x) que são associados. Chamamos de:
Domínio da função conjunto de valores de X sobre um conjunto numérico.
Contradomínio de uma função conjunto de valores de Y=f(x) sobre um conjunto numérico.
Imagem de uma função conjunto de valores de Y=f(x) que podem ser obtidos se inserindo valores de X.
Exemplos:
O valor 0 não é definido para essa função, no entanto, qualquer outro número inserido para x sobre o conjunto dos números reais nos fornece um Y=f(x). O domínio da função é todo o conjunto de números reais ? Não, pois 0 não está definido. X está definido em IR* , isto é, o conjunto de números reais diferentes de 0. Perceba que , igualmente, Y=0 nunca será possível. Podemos entender o como imagem da função e IR como contradomínio IR*, de forma que IR - IR*=0.
Não existe restrição para x, podemos inserir qualquer valor de x no conjunto dos números reais (domínio da função é IR). No entanto, perceba que Y<0 é impossível. Logo, nessa função se IR é o contradomínio, a imagem da função é o conjunto de número reais positivos.
Transportando esses conceitos para as transformações:
No primeiro exemplo usado, temos:
Uma coisa importante de notar é que o vetor que inserimos está no IR² assim como o que obtemos. Mas vamos considerar um exemplo diferente:
O produto matriz vetor é:
Os conjuntos de vetores inseridos são diferentes! A transformação pode tanto reduzir a ordem quanto aumentar a ordem dos vetores do domínio da transformação. Se inserido o vetor (1, 1), obtemos o vetor (3, 3, 12, 28, 4). Nessa transformação, IR² é o domínio (não existem vetores do IR² que não possam ser escolhidos) e a imagem e o domínio são iguais e iguais ao IR5. Funções podem, assim como transformações, serem classificadas como injetivas, sobrejetivas e bijetivas. Veja: 
Injetivas ou Injetoras: 
Todo elemento do contradomínio se associa à somente um elemento do domínio. Dois números de A não podem dar um número de B.
F(x) = 5 não injetiva
F(x) = x +2 injetiva 
Sobrejetivas ou Sobrejetoras: 
A imagem se confunde com o contradomínio, portanto não pode haver nenhum valor de Y sobre o conjunto numérico indicado, sem correspondência:
F(x) = 5 não sobrejetora ( EX: nenhum X da Y=4)
F(x) = x +2 sobrejetora
 
Bijetivas ou Bijetoras: 
São bijetivas e sobrejetivas ao mesmo tempo
F(x) = x +2 bijetiva
 
F(x) = 5 não bijetora 
Transformações Lineares
Sejam K e W espaços vetoriais, uma transformação T: K W é linear se preservar a soma e o produto:
Quando uma transformação linear está associada a uma matriz, chamamos de 
A transformação linear de uma matriz nada mais é do que o produto matriz vetor. Portanto já vimos exemplos anteriormente de transformações que são lineares, assim como transformações que não são. 
Porque os domínio é IRn? Em um produto matriz-vetor inserimos um vetor equivalente à , que é um vetor com a quantidade de elementos iguais à quantidade de incógnitas associadas à matriz, isto é, igual à quantidade de colunas da matriz dos coeficientes.
Porque o contradomínio é IRm ? Inserindo um vetor v contendo valores para cada uma das incógnitas, obtemos um resultado para cada uma das equações lineares associadas ao SL representado pela matriz dos coeficientes A. Existe a mesma quantidade de equações lineares no SL quanto a quantidade de linhas da matriz. Inserir um “v” qualquer nos dá um “b” em Ax=b, com x=v. E o b é um vetor de “cara”: .
Veja o primeiro exemplo de transformação novamente. Vamos testar a preservação da soma e do produto:
Soma 
Produto 
Veja, no entanto, que a transformação abaixo não é linear:
Soma não preservada 
Produto não preservado 
Determinação de uma matriz associada a um TL e da lei de formação do TL
Dada a Lei de formação, achar a matriz A:
Se a transformação é:
Então n=m=3 a matriz A é uma matriz quadrada do tipo 3x3
 Definir primeira coluna, coeficientes da primeira incógnita (X)
 
 Definir segunda coluna, coeficientes da segunda incógnita (Y)
 
 Definir terceira coluna, coeficientes da terceira incógnita (Z)
 
Existe um teorema que diz que se a transformação linear para uma base do espaço vetorial que define o domínio é bem conhecida, então a transformação linear para qualquer vetor pertencente a esse espaço é também conhecido. No exemplo acima, temos:
Dada a TL das bases canônicas, achar a lei de formação:
A linearidade permite manipular as TL de vetores a fim de chegar aos TL’s de vetores que são bases canônicas de IRn. Veja:
A partir desses valores, encontrar a lei de formação:
(3) – (4)= 
(4) – (6) = 
(4) – (5) = 
(2)-(1)-(6) = 
Lei de formação:
Teoria Núcleo - Imagem
Seja 
Então
Sabemos que imagem e núcleo são subespaços vetoriais e, portanto possuem dimensão. Segundo a teoria núcleo imagem:
Considere uma matriz associada à um SL de infinitas soluções, isto é, uma matriz com núcleo diferente de 0. Assim, temos:
Caso 1) Transformação Linear não Sobrejetiva
Veja que se a dimensão da imagem de A é menor que n, sendo que n é a dimensão de IRn, no conjunto de todos os vetores no IRn, existem alguns que não fazem parte da imagem de A. Logo a transformação linear não é sobrejetiva. Se o sistema linear associado fosse um sistema com somente uma solução, teríamos:
Caso 2) Transformação Linear Sobrejetiva
Concluímos do resultado acima que se o núcleo for a solução trivial, a imagem da matriz A será uma cópia fiel do seu contradomínio. Também concluímos que, como a dimensão da imagem não pode exceder a do domínio, o núcleo pode ter um mínimo maior que zero. Das duas conclusões retiradas e supondo , temos:
Caso 3) Transformação Linear não Injetiva
, o que implica em 
Se a dimensão do núcleo não é nula, existe um vetor qualquer , que faça com que 
Chamando “v” de a+b, temos:Veja que dois vetores diferentes possuem a mesma transformação linear, isto é, um mesmo elemento do contradomínio está associado a mais de um elemento do domínio, logo a transformação não é injetiva. Mas se supormos , teremos:
Caso 4) Transformação Linear Injetiva
, o que implica em .
Se a dimensão do núcleo é nula, somente para o vetor .
Chamando “v” de a+b, temos:
, então 
Portanto nesse caso, a função é injetiva. Através dessas análises, podemos afirmar:
Uma transformação linear T: U V é
INJETIVA Se e somente se seu núcleo for igual a 0 
SOBREJETIVA Se e somente se a dimensão da sua imagem for a mesma de seu contradomínio 
Considere uma transformação T: V V sendo V um espaço vetorial finito. Uma transformação desse tipo associa um vetor qualquer “v” que é transformado para outro vetor qualquer “b” (). A transformação considerada é possível somente quando a matriz A é quadrada, pois a ordem do vetor inserido “v” não se altera após a transformação.
Se uma transformação desse tipo tem Núcleo igual à 0, ela é injetiva, e portanto:
Sendo “n” o número de colunas da matriz “A”, que é igual ao número de linhas pois na matriz quadrada m=n. Se o núcleo é nulo todas as colunas da matriz são LI e portanto todas as colunas são elementos da base da imagem de A. Serão “n” elementos nessa base, o mesmo número de elementos na base de . Mesmo que os elementos da base da imagem de A sejam diferentes da base canônica de , o espaço gerado por esses n elementos gera o próprio .Assim:
O que é a condição de sobrejetividade. Logo uma matriz quadrada se injetiva, será também sobrejetiva.
Se uma transformação desse tipo tem uma imagem que é uma cópia fiel do contradomínio, ela é sobrejetiva, e portanto:
O que é a condição de injetividade. Logo uma matriz quadrada se sobrejetiva, será também injetiva.
Chegamos à conclusão que:
Transformação Linear T: V V em um espaço vetorial V finito
Injetiva se e somente se sobrejetiva
Sobrejetiva se e somente se injetiva
Assim como funções, transformações possuem inversas. Dizemos que f(x) é invertível se e somente se representa uma função bijetiva. Ou seja, podemos isolar X na lei de formação de f(x)=Y e escrever X em função de Y se e somente se a função for bijetiva. Veja um exemplo:
A função inversa é aquela cuja expressão é igual à de f(y) mas com os valores de x e y trocados
Graficamente, é uma reflexão da função original em torno da reta Y=X
Para transformações, funciona da mesma forma. Afinal, transformações são funções:
Queremos isolar v para escrever ele em função de b. Para isso, multiplicar dos dois lados pela matriz inversa de A
Vamos comprovar que a sentença em negrito é verdadeira, ou seja, vamos comprovar que e expressam a mesma coisa:
Logo, realmente
 
Acima, estamos expressando o mesmo que f(x) = y e f(y) = x. Em ambos os casos se trata de uma transformação linear associado a uma matriz, ou seja, um produto matriz-vetor. Se por um lado a diferença de f(x) e f(y) está na lei de formação da função, a diferença das transformações está na matriz A. Se:
Função inversa f(y) = x quando yx e xy (entender seta como “vira” ou “troca de lugar com”) = f-1(x) = y
Transformação inversa quando vb e bv (entender seta como “vira” ou “troca de lugar com”) = 
Para o exemplo dado, temos:
 
Perceba que a transformação inversa só foi possível de se escrever isolando “v” de A e para isso precisamos usar a matriz inversa de A. Logo se a matriz inversa de A não existir, a transformação inversa também não existirá e vice-versa. Além disso, a existência da transformação inversa está condicionado à bijetividade da transformação linear. A conclusão final é que:
A só é invertível se for bijetiva ou bijetora
A só é invertível se:
Relembrando subespaços vetoriais , temos que:
Ou seja, se um espaço vetorial é um conjunto de vetores, tanto núcleo quanto imagem de uma matriz são subconjuntos de vetores. Esses subconjuntos podem ainda expressar o conjunto inteiro, como foi o caso acima aonde . Em outras palavras:
Em uma matriz aonde n<m, (matriz retangular vertical), temos que:
Uma matriz A pode ter somente colunas LI como a matriz K ou então possuir colunas LD como a matriz J
 
Veja que a dimensão da imagem de K é máximo, igual a 2, que é o número “n” de colunas da matriz. Já em J temos 3 colunas e a dimensão da imagem é 2. Nos dois casos, a imagem das matrizes não são Spam’s que representam o IRm como um todo. Temos que o que indica que todos os vetores da imagem da matriz são do tipo Mmx1 (tem m elementos dispostos em 1 coluna). Assim, base do IRm terá “m” vetores e em matrizes retangulares verticais a base da imagem da matriz será no máximo “n”, um número sempre menor que “m”.
A conclusão é que para matrizes desse tipo. Isso implica que matrizes retangulares verticais não são sobrejetivas porque a imagem não é uma “cópia fiel” do contradomínio, e portanto nem bijetivas e nem invertíveis
Matrizes n<m após serem escalonadas completamente podem apresentar somente dois formatos:
 Sistema linear possível de solução única. O escalonamento irá gerar algumas linhas completamente preenchidas com zero. Apesar de nesse caso ser representado um SL de solução única, o que implica Nuc(A) = 0, a eliminação das linhas de zero é um artifício usado somente para se resolver sistemas lineares, não podendo ser feito caso queiramos analisar a dimensão da imagem e do núcleo da matriz A (afinal, se eu cortas as linhas, a matriz A escalonada completamente não será mais equivalente à matriz A não escalonada e é necessário que sejam para podermos chegar às conclusões anteriores) 
Sistemas lineares impossíveis, contendo uma inconsistência do tipo 0x +0y+0z...= N≠ 0 ou x = 1, x=0, 0=1. 
Em uma matriz aonde n>m, (matriz retangular horizontal), temos que:
Uma matriz A nunca terá o mesmo número de colunas LI que o número de colunas da matriz inteira, por isso a dimensão máxima não é “n”. O fato das colunas serem LD implica em haver obrigatoriamente um núcleo maior que 0. Podem ainda haver colunas repetidas, múltiplas de outras ou nulas, que também representarão um sistema linear possível de infinitas soluções. A dimensão da imagem pode ser menor ou igual ao número de linhas “m” (veja que nos 5 exemplos abaixo a imagem de um deles é 3 enquanto do resto é 4 e em todos a quantidade de linhas “m” é igual à 4).
Se não houver solução, encontraremos matrizes com as mesmas inconsistências já vistas:
Supondo que uma matriz mxn, n>m tenha dimensão 
 0
Como vimos, se o núcleo não é 0, a matriz não é injetiva. Se não é injetiva, não será sobrejetiva e portanto não será invertível.
Em uma matriz aonde n=m, (matriz quadrada), temos que:
Por fim, chegamos à conclusão que somente matrizes do tipo “A”, onde n=m , isto é, matrizes quadradas, são invertíveis pois somente nelas a transformação será bijetora. Isso não quer dizer, no entanto, que todas as matrizes quadradas será invertíveis.
Esquematicamente
 
Usando toda a análise do teorema núcleo-imagem acima, todas as propriedades de matrizes inversas já ditas são provadas:
A matriz inversa de A só existe se a matriz A é quadrada 
A matriz inversa não existirá se as linhas e as colunas da matriz A não forem LI
Se a matriz inversa existe, então ela é única.
Se duas matrizes , A e B, possuem matriz inversa, o produto delas C=AB também possuí inversa (é invertível)
Transformações Geométricas
Algumas matrizes, isto é, algumas escolhas de A para vetores “v” inseridos representam transformações geométricas. Em outras palavras, o produto matriz-vetor de “v” com “A” nos fornece um outro vetor “y” que se relaciona de forma notável com o primeiro (Ax=y). Y pode ser, por exemplo, a projeção ortogonal no plano xy de um vetor no IR³. São exemplos de transformações geométricas:
Projeção
Rotação
Reflexão
Homotetias (ampliações e reduções)
Todas as transformações geométricas podem ser provadas como transformações lineares.Vamos ver exemplos dessas transformações
Projeção
Veja acima o exemplo do vetor . Ele possui 3 projeções ortogonais, à saber:
Para cada um das três projeções ortogonais existirá uma transformação linear que associará o vetor de entrada “v” e nos fornecerá a projeção desejada. Vamos ver o caso da projeção no plano XY:
Como realizar essa associação? A matriz A tem que ser tal que faça com que valores (x,y,z) inseridos nos deem um vetor de uma ordem abaixo que repita os valores (x,y) no vetor resultante. Vamos realizar o produto matriz vetor dessa transformação:
, pois não há elementos z no lado direito da combinação linear das colunas de A. Com essa escolha para a coluna 3, qualquer valor inserido de Z não irá nos fornecer nenhum número em z na projeção. Ou seja, a projeção de qualquer vetor no IR³ com qualquer valor de z no plano XY nos fornece um vetor também no IR³ mas “sem altura”, isto é, sem Z.
, pois dessa forma . Fizemos uma escolha simples de elementos da coluna de forma que a soma mantenha os valores inseridos de X e Y. Como queremos que X apareça somente uma vez em uma “altura” específica do vetor e Y também, em uma altura diferente, a escolha das colunas é intuitiva.
Seguindo a mesma linha de pensamento, basta zerar a coluna do eixo não considerado, portanto:
Plano XZ, eixo Y faltando, 
Plano YZ, eixo X faltando, 
Sem fazer contas chegamos a seguinte conclusão de forma bem rápida:
Matriz para a projeção de vetores no plano, no eixo X
Um vetor inserido (x,y) (x,0). A matriz deve ser quadrada 2x2 e não conter parcela y, logo . 
Rotação
Rotação no espaço de vetores em 90º em relação ao eixo Z no sentido horário em relação ao plano xy
Um vetor inserido (x,y,z) ao ser rotacionado não alterará seu módulo. Se a rotação for de 90º, como nesse primeiro exemplo, nem o valor de suas componentes x,y,z. O que mudará é a posição e o sinal das componentes no vetor resultante da rotação. Nesse sentido, a componente x do vetor em IR³ irá se localizar sobre o eixo negativo de Y. A componente Y irá ao rotacionar 90 graus se localizar sobre o eixo positivo de X, logo:
O valor inserido de X deve ser negativado e colocado na altura de Y. 
O valor inserido de Y deve ser repetido na altura de X
O valor de Z não é alterado nessa transformação
A transformação será:
Isso é válido para a rotação em sentido horário somente. A matriz responsável por essa rotação deve ser uma matriz 3x3 que mantenha as entradas de x,y,z únicas em respectivas “alturas”, logo a matriz da rotação é:
Se eu mudasse o sentido de rotação, bastaria mudar os sinais de X e Y, logo no sentido anti-horário:
Veja graficamente o vetor (2,3,3), que rotacionado no sentido horário vira o vetor (3,-2,3) e no sentido anti-horário o vetor (-3,2,3)
Matrizes rotação para vetores no IR²
Vimos a rotação em 90º mas e se o ângulo não fosse esse² Para vetores no IR² as matrizes rotação são:
Na imagem anterior, temos o vetor (x,y) = (2.3) representado, Sua rotação será:
Na imagem a rotação foi de 90º, portanto temos:
Analise na imagem a posição dos vetores calculados acima com o desenho.
Matrizes rotação para vetores no IR³
É possível deduzir a matriz rotação para todos os tipos a partir do conhecimento de somente um tipo. Vamos ver graficamente somente 1 e os outros vamos deduzir:
Ao redor do eixo Z:
Na imagem a rotação foi de 90º, portanto temos:
Analise na imagem a posição dos vetores calculados acima com o desenho.
Como construir a matriz rotação para qualquer eixo de simetria?
Eixo de simetria = eixo parado, não recebe frações seno ou cosseno
(1,0,0) = primeira coluna de A se o eixo de simetria for X
(0,1,0) = segunda coluna de A se o eixo de simetria for Y
(0,0,1) = terceira coluna de A se o eixo de simetria for Z
A linha e a coluna em que o número 1 se encontra tem como elemento não nulo somente o número 1
Preencher os outros elementos de forma que a retirada da coluna e da linha onde o número 1 se encontra resulte em uma matriz quadrada 2x2 de “cara”:
Deduzir sinais dos senos a partir do sentido de rotação desejado
Homotetias
Homotetias são reduções e ampliações de vetores. É uma das transformações geométricas mais simples
O vetor do exemplo é um vetor contido em IR². Podemos ampliar o vetor preto e virar o vetor verde ou reduzir e virar o vetor vermelho . Perceba que:
Os valores de k são intuitivos. Como o vetor resultante é de mesma ordem do vetor inserido “v”, a matriz da homotetia é uma matriz 2x2 e ela deve ter coeficientes tais que na transformação linear o valor de x e y sejam alterados reduzidos ou ampliados por um fator genérico k, pertencente à IR.
A matriz das homotetias em IR² é facilmente obtida pelo raciocínio acima. A escolha de colunas nos fornece a matriz:
 
Reflexão
Refletir é espelhar em torno de um eixo um vetor. Abaixo temos 3 exemplos
O vetor original (vermelho) foi refletido de três formas:
Eixo de Reflexão = Eixo Y Vetor Resultante= Azul = 
Eixo de Reflexão = Y=-X Vetor Resultante= Verde = 
Eixo de Reflexão = Eixo X Vetor Resultante= Roxo = 
Em todos os casos, a matriz de reflexão deve ser 2x2 e ter colunas que representem nossa transformação. Quando os Eixos de reflexão são as próprias coordenadas, somente um valor do vetor é negativado: o valor de X caso o eixo de reflexão seja o Y e o valor de Y caso o eixo de reflexão seja o X
Quando o eixo de reflexão é a reta f(x)=y=-x, as coisas ficam um pouco diferente. Os dois valores foram negativados e pela lógica acima a matriz corresponde a essa reflexão. Perceba, no entanto que um vetor que não tenha x=y ao ser multiplicado por essa matriz não representa a sua reflexão no eixo Y=-X e sim duas reflexões sucessivas (no eixo X e Y, ordem independente)
No caso o vetor vermelho original, espelhado pelo eixo Y=-X, fez a seguinte transformação (3,1) (-1,-3). Perceba que os valores de X e Y, em módulo, não se alteram, mas trocam de lugar. Assim:
Autovetores e Autovalores
Um vetor é autovetor de uma matriz se:
E é o autovalor associado
Alguns exemplos:
1) A=Id
v.Id = v
Autovalor 
2) 
Autovalor 
3) , projeção no eixo X
Base de Autovetores
Para uma mesma transformação linear, pode existir mais de um autovetor. E como múltiplos de autovetores são autovetores, o conjunto de todos os autovetores de uma transformação linear é o espaço gerado pelos autovetores mais simples, isto é, o spam de autovetores LI gera o conjunto de autovetores de uma TL.
É interessante, portanto definir a base de autovetores pois ela nos ajudará em alguns problemas envolvendo transformações lineares
Algebricamente, podemos fazer a seguinte manipulação:
Multiplicando os dois lados da equação por A
Chegamos por fim à
Veremos ainda outras formas de expressar 
A projeção usando autovetores
Vimos já transformações geométricas, mas vamos tentar associar uma delas agora com os conceitos aprendidos de autovetores e autovalor. A reta cinza é a reta f(x)=y =2x. Existirá uma transformação linear, determinada por uma matriz A, que representará a projeção de qualquer vetor do IR² sobre essa reta. 
Antes de analisar essa transformação linear, vamos nos atentar ao fato que tanto a reflexão quanto a projeção são TL’s definidas em T: IR² IR², o que significa que todas as metodologias aqui empregadas são válidas somente para matrizes quadradas. Não existe autovetores de transformações envolvendo matrizes não quadradas.
O primeiro passo identificar pelo menos dois autovetores LI da transformação desejada. No caso de uma transformação que sabemos ser uma projeção, dois autovetores são óbvios:
Vetores Colineares à reta 
Vetores perpendiculares não há projeção se for particular 
Rotação de 90º em qualquer sentido de 
Não iremos trabalhar usando o valor de “m”, que foi dado como um coeficiente angular genérico da reta. Não faremos isso pois o algebrismo ficará mais complicado depois, e portanto confuso. Voltemosao nosso exemplo. Sabemos que múltiplos de autovetores são autovetores também, então vamos escolher qualquer valor de X. Para simplificar, vamos usar X=1, que nos mostra a forma mais simples dos vetores. Vamos escolher também um dos vetores perpendiculares, pois trabalhar com as expressões . de também será complicado. Os vetores escolhidos são:
 
V = vetor diretor da reta Y=2X
W = Vetor diretor da reta perpendicular á Y=2X no segundo quadrante.
Segundo passo 
Considerar que QUALQUER VETOR do IR² pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores. ATENÇÃO! Substituiremos para não confundir os valores de x nos autovetores por valores quaisqueres, uam vez que escreveremos esse vetor qualquer do IR² como um vetor (x,y). O X desse vetor é arbitrário, dos autovetores é somente uma forma de mostrar a relação entre o primeiro e o segundo elemento do vetor.
Seja um vetor qualquer do IR² , temos:
A partir dessa matriz, podemos escolher qualquer vetor (x,y) e determinar sua projeção sobre a reta Y=2x. Para isso, basta substituir os valores de x e y na matriz aumentada pelos valores do vetor de interesse. Vamos supor o vetor . Teremos: 
Escalonando completamente:
 e 
e 
Se quiséssemos também obter uma fórmula/lei de formação para a transformação linear anterior, poderíamos considerar:
Escalonando completamente:
Sendo V um vetor qualquer e , temos :
Qual será, portanto o vetor que é projeção do vetor (5,5) na reta Y=2X ?
Qual será, portanto o vetor que é projeção do vetor (0,5) na reta Y=2X ?
A imagem acima prova que as transformações dos vetores (x,y) escolhidos realmente estão sobre a reta f(x)=2x e que a lei de formação da transformação está correta.
Como encontrar a matriz A associada à transformação linear?
 
Caso não queira ou não precise achar a lei de formação de , um outro meio é achar os coeficientes alfa e beta para:
Uma vez encontrado os 4 valores escalonando a matriz aumentada que as duas equações anteriores representa, para cada vetor da base canônica do IR² explicitado acima, fazer:
No caso do exemplo da reta f(x)=2x, teremos:
Os valores de alfa foram retirados da matriz A calculada anteriormente pela lei de formação de .
Ainda poderíamos achar A por um terceiro método: resolução simultânea de sistemas lineares:
O lado direito é uma matriz 2x2 onde a coluna 1 representa os valores de alfa e beta para a primeira coluna de A e a coluna 2 para a segunda coluna de A enquanto a linha 1 representa somente os valores de alfa e a linha 2 somente os valores de beta
Como encontrar a expressão de An(v)?
An(5,5) ??
O que isso quer dizer?
A primeira vez que eu projetar o vetor (5,5) na reta Y=2x, obterei o vetor (3,6). Isso será para quando n=1. Quando n=2, temos:
O vetor é colinear ao vetor diretor da reta logo ele é um múltiplo do vetor diretor (1,2). Essencialmente, fazer An(5,5) é o mesmo que projetar (5,5) na reta uma vez e depois projetar o vetor projetado na reta vai dar ele mesmo.
Como calcular autovetores e autovalores de uma matriz A?
Antes de calcular os atuovetores e os autovalores considere uma matriz quadrada 2x2 e outra 3x3. Vamos calcular seus determinantes:
Matriz 2x2
 Determinante = [-3] – [-10] = 7
Matriz 3x3 Regra de Sarrus
Metrix 3x3 Regra de LaPlace
Selecionar uma linha ou coluna qualquer e fazer 3 parcelas cada uma multiplicada por um dos elementos. Se i+j for par, o elemento estará multiplicado por 1. Se for ímpar, multiplicado por (-1). Calcular determinante 2x2 dos 4 elementos que restarem ao retirar todos da linha e da coluna em que o elemento da parcela em questão se encontra.
Comentário: se as colunas são LD, então a determinante da matriz A é nula.
A matriz quadrada A terá infinitas soluções se sua determinante for zero!
Queremos que as colunas de A sejam LD, pois se forem LI não haverá autovalores e autovetores para calcular. Deve haver um núcleo diferente do trivial!
Polinômio característico 
Expressões de variam conforme os termos da matriz e a ordem dela (2x2 ou 3x3) Os autovalores serão as raízes do polinômio característico
Núcleo de K é o autoespaço associado à , isto é, é o conjunto de vetores associados à um autovalor. Por ser um núcleo, é um subespaço vetorial e possui as propriedades do mesmo.
Pra que calcular os autovalores? Calcular a determinante das matrizes que representam transformações geométricas pode ser interessante pra conhecer quais autovalores geram autovetores, encontrar os autovetores e escrever uma base de autovetores:
Calcular os autovalores e autovetores de 
Autovetores e autovalores
O vetor é perpendicular à projeções no eixo Y, portanto ele mesmo e seus múltiplos não tem projeção, então todos são autovetores de A quando o autovalor é 0
Já o vetor é o próprio vetor unitário no eixo Y e qualquer vetor no eixo Y tem projeção no eixo Y igual à ele mesmo, por isso o autovalor é 1.
Exercício inverso projeção na reta Y=2X
Desejo calcular os autovalores e os autovetores do exemplo da projeção da reta Y=2x. Possuo somente a matriz de projeção:
Para 
 
 
Para 
 
 
Base de autovetores:
B = {, } 
Para todo , 
Sendo o alfa calculado para cada x,y. Retornar à questão original para ver a expressão genérica dele, onde a lei de formação foi calculada.
Como expressar An(a matriz não a trasnformação)?
A base de autovetores é base do IR², portanto qualquer vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores, inclusive os vetores da base canônica:
B = {, } 
Sejam v,w autovetores:
Para todo , 
Sabemos que resulta em um vetor de ordem IR² porque a matriz A é quadrada. Se conseguirmos, do lado direito, expressar de forma a explicitar , cortamos dos dois lados e obtemos a expressão de . Seja a matriz “alguma coisa” = M
Para o produto existir, [M] deve ser uma matriz 2x2, pois (2x2)(2x1) = (2x1) e assim obteríamos com resposta um vetor. De mesma forma, se vamos cortar (x,y) dos dois lados, as matrizes tem que ser do mesmo tipo dos dois lados da equação. Devemos manipular a formula até achar um M que seja 2x2
Se devemos buscar expressão da matriz 2x1 de forma que ela seja um produto entre matrizes 2x2 e 2x1
A expressão agora tem a seguinte forma:
Só acharemos [M] quando o vetor (x,y) aparecer do lado direit. Temos que tentar novamente converter o vetor 2x1 , única matriz de 1 coluna da expressão, em um produto entre uma matriz 2x2 e um outro vetor 2x1
A expressão final será:
Cortando dos dois lados o vetor (x,y), temos:
Falta somente definir o que é . Lembre-se que:
 
 
Se juntarmos as duas equações, podemos usar a metodologia de resolução de sistemas simultaneamente:
A matriz é portanto a matriz inversa da matriz dos autovetores v,w. Assim, temos finalmente: