Álgebra Linear II T1

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ResumoÁlgebra Linear II
T1 – Por Rafael Ratier
1. Sistemas Lineares e Matrizes
Sistemas lineares são conjuntos de “p” equações lineares com “q” variáveis. 
Exemplo 1
Matrizessão disposições de números em retângulos
Exemplo 2
Formalismo e Simbologia de Matrizes
A simbologia acima faz referência a um elemento qualquer “a” da matriz. Nela, a letra “i” representa o número equivalente da linha e a letra “j” representa o equivalente na coluna. A definição de linha e coluna:
Linha Disposição horizontal de elementos da matriz
Coluna Disposição vertical de elementos da matriz
Matematicamente:
No geral, grave que sempre escrevemos a linha primeiro e a coluna depois
Exemplo 3
A matriz acima é do tipo 3x2 o que equivale a dizer que ela tem 3 linhas e duas colunas. Matrizes então podem ser definidas pela quantidade de linhas e colunas. Dizemos que elas são do tipo mxn. Comumente usamos a letra “A” para representar uma matriz genérica. Usamos também a letra E quando queremos indicar uma matriz onde todos os elementos são zero menos o indicado.
Exemplo 4
Denotamos com a letra M o conjunto de matrizes do tipo mxn sobre o conjunto dos números reais da seguinte forma
Lemos: A matriz A pertence ao conjunto M de matrizes mxn com elementos no conjunto dos números reais
Tipos de matrizes
Convencionalmente chamaremos de vetoresmatrizes-coluna, isto é, matrizes de “n” elementos, um em cada linha (logo, a matriz tem uma coluna). Comumente representamos vetores pela letra V ou W quando queremos diferenciar dois vetores
Lemos: o vetor V é uma matriz-coluna de elementos V1, V2, V3...Vn. Cada número de 1 à “n” representa a linha na qual o elemento está localizado. Esse vetor pertence ao conjunto de matrizes de n linhas e uma coluna com elementos pertencentes ao conjunto dos números reais (ou seja, o conjunto de todos os vetores reais). Vale ainda dizer que:
As duas expressões acima são equivalentes
Chamamos de matriz diagonaluma matriz see 
Exemplo 5
Chamamos de matriz triangular superioruma matriz see 
Exemplo 6
Usando matrizes em sistemas lineares
Usamos matrizes para representar sistemas lineares e realizando certas operações com as matrizes, conseguimos achar as soluções desses sistemas. Sistemas podem ser classificados de 3 formas:
Sem solução
Sistema apresenta uma inconsistência ou incompatibilidade
Exemplo 7
Com solução única
Existe somente uma solução que satisfaça todas as equações lineares
Exemplo 8
Com infinitas soluções
Existe somente uma solução que satisfaça todas as equações lineares
Exemplo 9
Analise o exemplo 10 abaixo onde representamos um SL (sistema linear) através de uma matriz
Exemplo 10
Para um sistema linear genérico, entendemos os coeficientes das incógnitas como elementos da chamada matriz dos coeficientese dispomos ela ao lado da matriz que chamamos de ladodireito, uma matriz-coluna contendo “as respostas” dos SLs. A disposição conjunta é chamada de matriz ampliadaou matriz aumentada. Veja:
Operações Elementares e Sistemas Equivalentes
Existem determinadas operações que podemos fazer nas matrizes a fim de simplificar ela. Queremos simplifica-la para poder encontrar soluções para os sistemas lineares que elas representam.
Quando a matriz é triangular superior ou diagonal, dizemos que a solução do SL correspondente já é dado. No primeiro caso, precisamos fazer uma simples substituição para trás. Veja um exemplo para o segundo caso:
Exemplo 11
Dois sistemas são equivalentes(nas mesmas variáveis) se possuírem o mesmo conjunto solução. A estratégia para solucionar SLs é transformar através de operações elementares uma matriz associada a um SL qualquer em uma matriz associada a um SL equivalente ao escolhido que seja mais facilmente resolvível, como o caso acima. Se as matrizes são equivalentes, então os sistemas lineares associados a cada uma também são e, portanto vale o mesmo conjunto solução.
São operações elementares:
Trocar a ordem das linhas 
Exemplo 12
Multiplicar a linha por um escalar não nulo
Exemplo 13
Substituir uma linha por sua soma ou subtração com o múltiplo de outra
Exemplo 14
Descartar linhas só de 0
Exemplo 15
Através dessas conseguimos escalonarmatrizes. Nesse processo, convertemos a matriz para uma mais simples, isto é, uma que nos forneça mais intuitivamente as soluções de um SL associado à ela
Uma matriz está escalonadaquando:
O número de zeros no início de cada linha aumenta estritamente de uma linha para a outra exceto se a linha é toda nula
Caso existam linhas todas nulas, elas são as últimas das matrizes
Chamamos de pivôos primeiros elementos não nulosde cada linha não nula de uma matriz escalonada
Dizemos que uma matriz está totalmente escalonadaquando:
Todos os pivôs são igual à 1
Todos os pivôs são os únicos elementos não nulos da sua coluna
Exemplos 1
Os números em negrito são pivôs de suas colunas. Para fazer uma matriz qualquer ficar totalmente escalonada devemos realizar o seguinte procedimento, chamado de Eliminação de Gauss:
Escalonamento por Algoritmo de Gauss
PrimeiroLaço
P número de linhas não nulas
K número de procedimentos, começando por k=1
Procedimento dura enquanto K<P
Passo 1) Considere apenas as linhas lklp
Nesse caso, são todas. Se k é igual a 1 e p é igual a 3 então consideramos as linhas de 1 até 3
Passo 2) Identifique a coluna não nula mais à esquerda. 
Nesse caso, a primeira.
Passo 3) troque as linhas para se obter um pivô não nulo
Nesse caso, não precisa
Passo 4) Anule as entradas abaixo do pivô 
Ao final do passo 4, deve-se acrescentar +1 ao valor de K. Nesse primeiro procedimento, ficamos no final com a seguinte matriz:
Segundo Laço
Devemos agora repetir o passo 14 até K deixar de ser menor que P. No entanto, a cada novo procedimento K aumenta em uma unidade, então agora consideraremos de lklpestaremos considerando da linha 2 até a 3
Passo 1) Considere apenas as linhas lklp
Passo 2) Identifique a coluna não nula mais à esquerda. 
Passo 3) troque as linhas para se obter um pivô não nulo
Passo 4) Anule as entradas abaixo do pivô 
Já estão anuladas 
Matriz final: 
Sendo assim, chegamos ao ponto em que paramos pois K<P passa a ser uma inverdade. Após o escalonamento, transformamos:
As matrizes são equivalentes e a segunda está escalonada.
Escalonamento Completo por Algoritmo de Gauss
Segunda etapa do procedimento acima, feito para escalonar totalmente uma matriz escalonada. 
Primeiro laço 
Passo 1) Identifique a linha lk sendo k=p. 
A cada procedimento, isto é, toda vez que os passos desta segunda etapa precisarem ser repetidos, subtraia 1 do valor de K (ou de P)
Como nesse caso temos 3 linhas não nulas, K=P=3 logo a linha a se identificar é a última
Passo 2) Identifique o seu pivô
Passo 3) Substitua a linha em questão pela mesma linha, porém dividida pelo seu pivô, tornando ele 1
Passo 4) Se K>1 , anule as entradas acima do pivô usando as operações elementares 
Ao final do primeiro laço teremos a matriz:
Segundo laço
Passo 1) Identifique a linha lk sendo k=p-1 = 2. 
Passo 2) Identifique o seu pivô
Passo 3) Substitua a linha em questão pela mesma linha, porém dividida pelo seu pivô, tornando ele 1
Passo 4) Se K>1 , anule as entradas acima do pivô usando as operações elementares 
Ao final do segundo laço temos:
Terceiro laço 
Passo 1) Identifique a linha lk sendo k=p-2 = 1. 
Passo 2) Identifique o seu pivô
Passo 3) Substitua a linha em questão pela mesma linha, porém dividida pelo seu pivô, tornando ele 1
Passo 4) Se K>1 , anule as entradas acima do pivô usando as operações elementares 
Como K=1, o escalonamento foi concluído. Conseguimos escalonar completamente a matriz inicial, transformando:
Interpretando a matriz como uma representação de um SL, achamos o conjunto solução da mesma mais facilmente. As matrizes são equivalentes, logo posso dizer que
Como a matriz usada como exemplo representa um sistema linear, então através da formaescalonada da matriz podemos chegar à conclusões sobre o sistema linear associado. Veja:
Exemplos 2
* = qualquer número
#= qualquer número diferente de zero
Produto Matriz-Vetor e Determinação do Conjunto-Solução de SL’s
Determinar o conjunto solução de um SL quando ele é único ou inexistente é fácil. No entanto, precisamos de um formalismo para determinar todas as infinitas soluções para sistemas lineares como o segundo exemplo da parte “Exemplos 2” logo acima. Esse formalismo está intimamente ligado com o conceito de produto vetor-matriz então iremos estudá-lo primeiro.
Produto Matriz-Vetor e Produto de Matrizes
Seja uma matriz e um vetor , o produto Av é um vetor definido em através de:
Imaginando uma matriz A como um conjunto de vetores coluna.
Podemos dizer que o produto matriz-vetor é :
Ou seja, o produto matriz vetor é uma combinação linear das colunas da matriz com elementos do vetor.
Outras operações podem ser realizadas com matrizes e vetores que nos podem ser interessantes. Veja:
Exemplo 16
 
Exemplo 17
 
Operações como essas são importantes de saber pois é através delas que comprovamos a linearidade do produto matriz vetor e provamos que:
De forma geral, o produto de duas matrizes só é possível se:
No caso do produto matriz-vetor, reescrevemos acima como:
Para um produto de matrizes genérico, os seus coeficientes são obtidos seguindo o seguinte padrão:
.
Conjunto Solução de Sistemas Lineares
Podemos usar o aprendido sobre produto matriz-vetor para representar SL’s
Para determinar o conjunto solução de um SL com infinitas soluções devemos considerar a matriz aumentada escalonada completamente, associada a um SL qualquer. Nela, chamaremos de:
Variáveis dependentes Variáveis associadas a um pivô
Variáveis Independentes Variáveis não associadas a um pivô
Se n = número de variáveis e p = número de pivôs, também logo de cara já podemos afirmar que:
p=n SL de solução única 
p<n SL de infinitas soluções
Considere a seguinte matriz:
Os pivôs são os números em negrito, portanto as variáveis associadas a eles, que chamáramos de Xi sendo i o número da coluna em que eles se encontram, serão as variáveis dependentes
x1 , x3, x5 variáveis dependentes 
x2, x4 variáveis independentes ou livres
O conjunto solução de um SL com infinitas soluções (veja logo de cara que p<n) pode ser escrito de forma a representar as variáveis dependentes em função das independentes. Para facilitar a representação, chamaremos x2 de Z e x4 de T. Assim, podemos escrever a matriz dada como:
 
Devemos ainda incluir para melhor visualização as igualdades x2= x2 e x4= x4, mas nas formas de seus parâmetros logo x2=Z e x4=T. 
Vendo o SL acima, disposto de forma a destacar as variáveis dependentes em função das independentes, podemos escrever o conjunto solução desse SL como:
Ou ainda:
Ou ainda
Se escrevermos a matriz como 
Podemos dizer que 
Ax=b
Considerando um sistema Ax=b, chamamos de sistema homogêneo um sistema onde b=0 logo Ax=0. Considerando ainda um sistema Ax=b, chamamos de 
Solução trivial vetor nulo, uma solução sempre possível em sistemas homogêneos.
Solução geral todo o conjunto solução S de um sistema linear
Solução particular uma solução qualquer para o sistema linear, isto é, um elemento de S. Comumente denotado por vo.
Solução do sistema homogêneo associado O conjunto solução do sistema Ax=0.
Chamamos ainda de Núcleo ou Kernel de uma Matriz o conjunto solução de um sistema Ax=0
Transformando isso em sistema linear homogêneo:
Obtemos portanto:
Vendo o conjunto solução da matriz em questão, podemos reescreve-la e chegar à seguinte conclusão:
 
O conjunto solução do sistema homogêneo associado e do sistema linear diferem somente pelo vetor vo que é uma solução particular. Tomemos, no entanto uma matriz inicial com b=0 logo Ax=0. 
Perceba que se analisarmos a matriz Ax=b, acharemos um vetor vo que é uma das soluções possíveis dentre as infinitas existentes. No caso acima o vetor nulo no R³ é análogo. Dentre todas as infinitas soluções possíveis para o SLH Ax=0 a solução trivial é sempre uma possível. Então para simplificar, dizemos que:
Dizemos ainda que um conjunto de vetores V1,V2,...Vq é linearmente dependente se existe K1,K2,...Kq pertencente a R com alguns Ki diferentes de 0 , tal que a combinação linear dos vetores com os coeficientes K1V1 + K2V2 + K3V3 + ...KqVq = 0
Se o conjunto dos vetores for linearmente independente, a única forma de K1V1 + K2V2 + K3V3 + ...KqVq = 0 ser uma verdade é com K1 = K2=... = Kq = 0
No formalismo Ax=b, um conjunto de vetores é LD se existe 
No formalismo Ax=b, um conjunto de vetores é LI se somente 
Entendendo “conjunto de vetores” como o conjunto de colunas de uma matriz, vemos que resolver Ax=0 é achar os valores de x1,x2,...xn, isto é, o conjunto solução, para os quais a combinação linear dos vetores que compõe uma matriz seja 0, isto é:
K1V1 + K2V2 + K3V3 + ...KqVq = 0
Tratando-se de um SLH, sempre será uma solução possível
Logo, se um conjunto de vetores (ou no caso um conjunto de colunas de uma matriz de coeficientes) é linearmente dependente, podemos afirmar que Ax=0 tem uma solução não trivial. Se o conjunto é LD, pelo menos um vetor é combinação linear dos outros. Como consequência, Nuc(A) é diferente de 0.
Dizemos que um conjunto de vetores gera um espaço. O espaço gerado por um conjunto de vetores são todas as combinações lineares que podem ser geradas tomando eles como base. Ou seja:
Veja exemplos:
Exemplo 18
O espaço gerado pelo conjunto de matrizes-coluna de A é um vetor no R² qualquer, logo o espaço gerado é qualquer R² pois sendo os valores de K arbitrário, a partir da combinação linear desses dois vetores, podemos obter qualquer vetor do R²
Exemplo 19
O espaço gerado pelo conjunto de matrizes-coluna de A é um vetor que pode assumir qualquer combinação de valores de X e Z no porém tem um valor de Y fixo e igual à 0 portanto ele é todo o plano XZ e é diferente de R³
Exemplo 20
Exemplo 21
Não existe, portanto nenhum valor arbitrário de K1 ou K2 que faça com que 
Exemplo 22
Retomando a definição, se um conjunto de vetores é LD, pelo menos um dos vetores é combinação linear dos outros. Portanto ele é redundante para o cálculo do Spam.
Prova:
Somente x=y=0 satisfaz essa equação
Prova
Existe m infinitas soluções possíveis e é uma delas
Sendo assim sabemos que B é linearmente dependente e, portanto pelo menos uma de suas colunas é combinação linear das outras. Essas colunas são redundantes para o cálculo do espaço gerado
A partir de qualquer valor escolhido de K1 K2 e K3 podemos manipular o valor de M e N de forma que o vetor resultante do Spam de B seja sempre o mesmo vetor resultante do Spam de A. Perceba que a coluna 3 é uma combinação linear da coluna 1 com a coluna 2 (coluna 1 menos a coluna 2 = coluna 3). O espaço gerado por um conjunto de vetores LD é igual ao espaço gerado por um conjunto de vetores LI cujos vetores desse conjunto sejam os que originaram os vetores resultados de combinação linear do conjunto LD.