Álgebra Linear II Revisão P1 - Resumo Esquemático P1

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Álgebra Linear II Resumo Esquemático P1 2016.1 Unificada
Revisão P1
Sistemas lineares são conjuntos de “p” equações lineares com “q” variáveis. 
Matrizes são disposições de números em retângulos
Linha Disposição horizontal de elementos da matriz
Coluna Disposição vertical de elementos da matriz
São operações elementares:
Trocar a ordem das linhas 
Multiplicar a linha por um escalar não nulo
Substituir uma linha por sua soma ou subtração com o múltiplo de outra
Descartar linhas só de 0
São formas de matrizes:
O produto matriz-vetor:
São representações de matrizes e sistemas lineares:
Representação explícita das equações do sistema linear
Combinação linear das colunas de uma matriz coeficiente 
Forma de produto matriz-vetor
Matriz aumentada 
São propriedades de matrizes aumentadas totalmente escalonadas e seus SL’s associados:
Variáveis dependentes Variáveis associadas a um pivô
Variáveis Independentes ou livres Variáveis não associadas a um pivô
Sistema homogêneo Ax=0
Solução trivial vetor nulo, uma solução sempre possível em sistemas homogêneos.
Solução geral todo o conjunto solução S de um sistema linear
Solução particular uma solução qualquer para o sistema linear, isto é, um elemento de S. Comumente denotado por vo.
Solução do sistema homogêneo associado O conjunto solução do sistema Ax=0.
Conjunto de vetores V1,V2,...Vq é linearmente dependente existe K1,K2,...Kq pertencente a R com alguns Ki diferentes de 0 , tal que a combinação linear dos vetores com os coeficientes K1V1 + K2V2 + K3V3 + ...KqVq = 0
Conjunto de vetores V1,V2,...Vq é linearmente independente K1V1 + K2V2 + K3V3 + ...KqVq = 0 somente se K1 = K2=... = Kq = 0
Espaço gerado, conjunto gerado ou spam de um conjunto de vetores , isto é, a combinação linear de todos esses vetores
Núcleo ou Kernel de uma Matriz o conjunto solução de um sistema Ax=0 sem ser a solução trivial.
Imagem de uma matriz combinação linear de suas colunas. Logo, no exemplo abaixo:
São soluções de SL’s e matrizes aumentadas:
Com infinitas soluções
x1 , x3, x5 variáveis dependentes 
x2, x4 variáveis independentes ou livres
Chamaremos x2 de Z e x4 de T
Por fim 
Com solução única
Sem solução
São formas mais simples de identificação e classificação ode matrizes e SL’s associados:
	
	
LD
	
	
LI
	
	
São espaços vetoriais:
O espaço vetorial (V) é um conjunto não-vazio de vetores sobre um conjunto numérico, que no curso de Álgebra será sempre R.
Devem seguir as:
Regras aditivas
Regra geral Se um vetor “u” pertence ao espaço vetorial e um vetor “v” também, então o vetor “j” também pertencerá caso “j=u+v”
Axiomas da soma vetorial:
Comutativa u+v = v+u
Associativa (u+v) + w = u + (v + w) = v + (u + w)
Elemento neutro da soma u+0 = u 
Inverso aditivo u + (-u) = 0
Para todos os axiomas, parte-se do princípio que u,v,w,0 pertencem ao espaço vetorial. 
Regras multiplicativas:
Regra geral Se um vetor “u” pertence ao espaço vetorial e um escalar “k” pertence ao conjunto numérico no qual o conjunto de vetores é definido, o vetor “j” também pertencerá ao espaço vetorial se “j=ku”
Axiomas do produto escalar:
Produto escalar-vetor (k1k2)u = k1(k2u)
Elemento neutro do produto 1u = u
Distributivos k (u + v) = ku + kv
Distributivos (k1 + k2)u = k1u + k2u
 é também um espaço vetorial, o mais importante deles!
O conjunto de matrizes é um espaço vetorial.
São subespaços vetoriais:
São exemplos importantes de subespaços vetoriais:
Retas que passam pela origem
Planos que passem pela origem
Subespaço trivial {0} 
O próprio espaço vetorial V no qual W está contido, logo V é subespaço vetorial de V
Interseção de dois planos que passam pela origem
Nuc(A) é um subespaço vetorial
Im(A) é um subsespaço vetorial
Spam {C1,C2,C3...Cn} é um subespaço vetorial
a soma de dois subespaços é um subespaço. 
São bases e dimensões:
B é base de um subespaço W se todo elemento de W pode ser escrito como uma combinação linear única dos elementos de B e a dimensão de uma base é o número de elementos que ela possui.
Uma base B é suficientemente grande para gerar todos os vetores de W
Uma base B é suficientemente pequena para ser LI
base canônica a base mais intuitiva e mais primitiva para um subespaço vetorial 
Afirmação 1 Se um espaço vetorial tem uma base de dimensão X, então esse espaço vetorial tem dimensão X
Afirmação 2 A soma da dimensão do núcleo de uma matriz com a dimensão da imagem de uma matriz é o número de colunas que ela possui
Para encontrar bases de um conjunto de vetores:
O truque é escrever eles como linhas de uma coluna e escalonar. Veja:
Dado o conjunto de vetores:
Escrevemos como:
 e escalonar pra virar 
Logo :
Se você já perceber que num conjunto de vetores um é combinação linear de alguns outros, então você pode eliminar e escalonar a matriz com uma linha a menos. No caso acima, veja que:
De forma que:
Vale dizer que a base de uma imagem de uma matriz é o espaço gerado pelas colunas dessa matriz que em sua forma escalonada tem pivô.
São notações de conjuntos de vetores:
Conjunto Gerado Conjunto de todos os vetores possíveis de serem gerados por uma combinação linear de outros vetores. Essencialmente, é outro nome para Spam ou Imagem de uma matriz.
Conjunto Gerador Conjunto de todos os vetores que geram o spam. Em uma matriz, é o conjunto que engloba todas as suas colunas.
Conjunto Afim adição de um vetor não nulo à um conjunto gerado, ou ainda um conjunto gerado “deslocado”
Exemplos:
Exemplo para Conjuntos Afim Solução de SL infinita 
Exemplo para Conjunto Gerado Núcleo de A, Imagem de A
Exemplo para Conjunto Gerador Colunas de A geram “b” e Im(A)