AULA INTEGRAIS MÚLTIPLAS - UNIDADE I

Prévia do material em texto

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE
 CURSO: ENGENHARIA CIVIL
 	
 ASSUNTO: INTEGRAIS MÚLTIPLAS CÁLCULO IV
 PROFERSSOR: MARCOS AGUIAR
Definição: Seja f uma função de duas variáveis definidas em uma região R. A integral dupla de f sobre R denotada por é desde que o limite existe
Definição f uma função contínua de duas variáveis tal que f(x,y) para todo (x,y) em uma região R. O volume V do sólido compreendido entre o gráfico de Z = f(x,y) e acima de R é:
 
Se f(x,y) em todo R, a integral dupla de f sobre R é o negativo do volume do sólido situado no gráfico de f e sob a região R.
Propriedades:
i) para todo c pertencente aos reais
ii) 
iii) Se R é a união de duas regiões não superpostas R1 e R2 então
 
iv) Se f(x,y) em toda a R então 
 Teorema para o cálculo de integrais duplas
Seja R a região Rx. Se f é contínua em R, então
 
 
Seja R a região Ry. Se f é contínua em R, então
 
 Como vimos este teorema nos permite calcular , por meio de uma integral interada.
 Suponhamos f(x,y) em toda região Rx. Sejam S o gráfico de f, Q o sólido sob S e sobre R e V o volume de Q. Consideremos o plano que é paralelo ao plano-yz e intercepta o eixo-x em (x,0,0), com , e seja C o traço de S neste plano ver fig. abaixo. Este plano intercepta as fronteiras de R – y = g1(x) e y = g2(x) – em P1(x, g1(x), 0) e P2(x, g2(x), 0).
 
ÁREA E VOLUME
O volume V do sólido compreendido sobre o gráfico de z = f(x,y) e sobre uma região Rx do plano-xy é dado por:
 V = , em que A(x) é a área de uma secção transversal típica do sólido da figura 17,9. Vamos estudar o método para interpretar esta fórmula de V como um limite de somas(duplas). Pela fórmula:
 V = , em que P’ é uma partição do intervalo [a,b], é um numero arbitrário no kmo subintervalo de P’ e . De acordo com a figura 17,15, é o volume de uma lâmina com face paralela ao plano – yz e base retangular de largura no plano – xy. Assim, o volume V é o limite de uma soma de volumes de tais lâminas.
A integral iterada V = , pode ser expressar-se também em termos de limites de somas. Podemos escrever:
 A(x) = 
 
Em que P’’ é uma partição do intervalo – y , é um número arbitrário no jmo subintervalo de P’’ e . Logo, para cada em [a,b],
 A(uk) = , conseqüentemente,
 V = 
 
 V = , desconsiderando os limites nesta fórmula, obtemos uma soma dupla
 
 Volumes como limites de somas:
 V = 
As áreas podem ser consideradas como limites de somas dupla se R é uma região Rx na figura 17.17, então
 
 
Área como limite de somas: A = 
Diretrizes para achar a área de uma região por meio de uma integral dupla:
Esboçar a região, conforme figura 17.18(i) e exibir um retângulo típico de dimensões dx e dy.
 Mantendo x fixo, encarar como um operador que soma os elementos de área dydx na mesma direção do eixo-y, da fronteira inferior para a fronteira superior. A expressão representa a área do retângulo vertical da figura 17.18(ii).
Aplicar o operador a , o que equivale a tomar um limite de somas de áreas dos retângulos verticais na diretriz 2, x = a a x = b.
 
Pode-se definir como a seguir uma integral dupla iterada sobre uma região ou do tipo exibido na figura acima.
Exemplo 1
Calcule 
SOLUÇÃO:
Exemplo 2
Calcule 
SOLUÇÃO:
O fato das duas integrais serem iguais se f é contínua então as duas integrais são iguais.
Podemos escrever:
Como vimos acima podemos afirmar que ( I ) igual a ( II )
TEOREMA PARA O CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA
Teorema 
Teorema 
Outro exemplo de INTEGRAL DUPLA:
Seja R a região do plano – xy delimitada pelos gráficos e .
Calcule: 
 
 
 
Encontramos R como uma região com fronteira inferior e fronteira superior , com 
Interseção: 
Encontramos R como uma região 
 .
Exercícios:
I Calcule a integral iterada.
II. Esboce a região R delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se é uma função contínua arbitrária, expresse como uma integral iterada usando (a) somente o teorema e (b) somente o teorema .
Resolução:
a) b) 
 
 
III. Expresse a integral dupla sobre a região R indicada, como integral interada, e ache seu valor.
 
A região retangular de vértices 
Resolução:
 
 
A região triangular de vértices 
 (2,9)
(-2,1) (2,1)
Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de , inferiormente pela região R definida por e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.
Solução:
A interpretação geométrica da integral dupla, o volume é dado por
A região R , que é ilustrada na fig. 7.10, é uma região do tipo I que pode ser escrita por
 Calcule onde R é o retângulo de vértices 
RESOLUÇÃO:
Como a região R é um retângulo, pode ser enquadrada 
Calcule a integral
Solução: Nesse caso, não é possível calcular a integral com a ordem de integração dada, pois a função não possui primitiva entre as funções elementares do cálculo.
A região R é dada por
 4
Conforme figura 	1
Podemos observar que R é uma região que pode ser descrita por
Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações.
	
	
	
RESOLUÇÃO:
 
INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES
Nesta seção veremos como calcular uma integral dupla sobre uma região delimitada por gráficos de equações polares. Consideremos primeiro a região polar elementar da figura abaixo, delimitada por é arcos de círculos de raios com centros na origem, e por dois raios emanados da origem. Se é a medida em radianos do ângulo entre os raios e se , então a área da região é:
Denotando por o raio médio 
	 	-
 
 
	 
O	
 Teorema I : 
	
Exemplo 1 :
Ache a área da região R exterior ao círculo e interior ao círculo de .
Fazendo variar de e 
Pelo teorema I com 
 onde podemos escrever 
Exemplo 2 :
Ache a área da região R delimitada por um laço da lemniscata e interior ao círculo de .
SOLUÇÃO:
	R
 
 
A figura acima ilustra a lemniscata, juntamente com uma cunha de regiões polares elememtares obtida somando-se da origem à fronteira de R no primeiro quadrante.
Varremos então o laço fazendo variar de .
Serve que r não é definido se 
Fórmula de mudança de variável
Exemplo
Utilize coordenadas polares para calcular
 y 
	x
 -aa
 
Teorema de cálculo:
 Teorema de cálculo ( 17.15)
A integral iterada do teorema acima pode ser interpretada em termos de limites da somas duplas. Primeiro mantemos fixo e somamos o longo de um arco circular ilustrado pela região escura da figura abaixo. Em seguida, varremos R somando termos que correspondem às regiões em forma de anel, 
Exemplo:
Ache a área da menor das regiões delimitada pelo eixo polar, pelos gráficos de e pela parte da espiral 
SOLUÇÃO
A figura 17.31 mostra a região R juntamente com um anel de regiões polares elementares. Apliquemos o teorema 17.15 com 
Calculo do volume
As vezes é conveniente essa integral dupla utilizando 
Coordenadas polares, como no próximo exemplo
Ache o volume V do sólido delimitado pela parabolóide e o plano – xy
SOLUÇÃO:
A figura 17.32(i) ilustra a porção do sólido no primeiro octante. Por simetria, basta achar o volume desta porção e multiplicar o resultado por 4.
 
A região R do plano xy é delimitada pelos eixos coordenados e por um quarto do círculo de equação polar , conforme figura 17.32(ii), na qual também se ilustra uma cunha de regiões polares elementares. A base do prisma na figura 17.32(i) corresponde a uma região polar elementar. Podemos obter o volume do sólido fazendo e a mudança de variáveis pela fórmula (17.14).
 SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. v. II.São Paulo: Makron Books do 
 Brasil, 1994.
 ANTON HOWARD. Cálculo um novo horizonte volume II 6ª ed.- Porto Alegre Bookman 2000
17