APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA - Prof Wagner Dias

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Matemática Financeira com HP-12 C – Prof. Wagner Dias 
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Apostila de matemática Financeira –Prof. Wagner 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
COM HP 12 C 
 
Matemática Financeira com HP-12C 
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1. FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C ................................................................................. 4 
1.1 TECLA [ON] ................................................................................................................. 4 
1.2 TECLA [ . ] ................................................................................................................... 4 
1.3 TESTES DE FUNCIONAMENTO ................................................................................. 4 
1.3.1 TESTE Nº 1 (USANDO AS TECLA [ON] E [X]). ...................................................... 4 
1.3.2 TESTE Nº 2 (USANDO AS TECLA [ON] E [+]). ....................................................... 5 
1.3.3 TESTE Nº 3 (USANDO AS TECLAS [ON] E [:]) ...................................................... 5 
1.4 TECLADO .................................................................................................................... 6 
1.4.1 A TECLA [F] ............................................................................................................. 6 
1.4.2 TECLA [G], ............................................................................................................... 6 
1.4.3 TECLADO BRANCO ................................................................................................ 6 
1.5 LIMPEZA DE REGISTRO ........................................................................................... 7 
1.5.1 LIMPEZA TOTAL ( USANDO AS TECLAS [ON] E [-] ............................................ 7 
1.5.2 LIMPEZA DO VISOR ................................................................................................ 7 
1.5.3 LIMPEZA DOS REGISTROS ESTATÍSTICOS (“ 0 ” A “ 6 ”) .................................. 7 
1.5.4 LIMPEZA DE PROGRAM .......................................................................................... 7 
1.5.5 LIMPEZA DOS REGISTROS FINANCEIROS .......................................................... 7 
1.5.6 LIMPEZA DE TODOS OS REGISTROS ................................................................... 8 
1.6 TECLA [CHS] OU CHANGE SIGNAL ......................................................................... 8 
1.7 TECLA [STO] OU (STORE) ......................................................................................... 8 
1.8 TECLA [RCL] OU (RECOLL) ...................................................................................... 8 
1.9 TECLA [YX] ................................................................................................................... 8 
1.9.1 POTENCIAÇÃO ........................................................................................................ 9 
1.9.2 RADICIAÇÃO : ......................................................................................................... 9 
1.10 TECLA [1/X] .............................................................................................................. 9 
1.11 TECLA [%T] E [X><Y] ............................................................................................... 9 
1.12 TECLA [Δ%] ............................................................................................................. 10 
1.13 TECLA [%] ............................................................................................................... 11 
1.14 CÁLCULO EM CADEIA, ........................................................................................... 11 
2. FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA .................................................... 12 
2.1 CONCEITOS BÁSICOS ............................................................................................ 12 
2.2 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIAS BÁSICAS .......................................................... 12 
2.3 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA .......................................................................... 13 
2.4 APRESENTAÇÃO DAS TAXAS ................................................................................. 13 
2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ............................................................................... 14 
3. JUROS SIMPLES ........................................................................................................ 15 
3.1 OPERAÇÕES DE JUROS SIMPLES ......................................................................... 15 
3.2 JUROS EXATO E JURO COMERCIAL ..................................................................... 19 
3.3 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES .................................................................. 20 
3.4 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS .................................................................................. 21 
4. JUROS COMPOSTOS .................................................................................................. 24 
4.1 CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS ................................................................... 24 
4.2 VALOR FUTURO (FV) OU MONTANTE (M) ............................................................ 24 
4.3 DIFERENÇA ENTRE OS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS .................... 25 
4.4 FUNÇÃO “C” NA HP 12C, TECLAS [STO] E [EEX] ................................................ 25 
4.5 VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C) ............................................................... 26 
4.6 PRAZO (N) .................................................................................................................. 27 
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4.7 FUNÇÃO [FRAC] E [INTG] ....................................................................................... 27 
4.8 TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS ................................................. 28 
4.9 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS ........................................................... 29 
4.10 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS ................................................................................. 29 
5. OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS ...................................................................... 32 
5.1 TAXAS EQUIVALENTES .......................................................................................... 32 
5.1.1 PROGRAMA PARA TAXA EQUIVALENTE COM HP 12C .................................... 33 
5.2 TAXA OVER EQUIVALENTE ..................................................................................... 34 
5.3 TAXA ACUMULADA DE JUROS (COM TAXAS VARIÁVEIS) ................................. 35 
5.4 TAXA MÉDIA DE JUROS ........................................................................................... 36 
5.5 TAXA REAL DE JUROS ............................................................................................. 36 
5.6 EXERCÍCIOS SOBRE TAXAS JUROS ...................................................................... 38 
6. DESCONTOS ................................................................................................................ 39 
6.1 DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU “POR DENTRO” ........................................ 39 
6.2 DESCONTO BANCÁRIO, OU COMERCIAL OU “POR FORA ................................. 39 
6.3 OPERAÇÕES COM UM CONJUNTO DE TÍTULOS: ................................................. 40 
6.3.1 PRAZO MÉDIO DE UM CONJUNTO DE TÍTULOS ................................................ 41 
6.4 DESCONTO COMPOSTO ......................................................................................... 42 
6.4.1 RELAÇÃO EM TAXAS DEDESCONTO SIMPLES E COMPOSTO ...................... 42 
6.5 EXERCÍCIOS SOBRE DESCONTO .......................................................................... 43 
7. SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS ................................................................. 44 
7.1 VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO “POSTECIPADA” ........... 44 
7.2 VALOR D PRESTAÇÃO DE UMA SÉRIE “POSTECIPADA” ................................... 45 
7.3 NÚMERO DE PRESTAÇÕES DE UMA SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO 
“POSTECIPADA” ......................................................................................................... 45 
7.4 CÁLCULO DA TAXA DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO UNIFORME 
“POSTECIPADA” ......................................................................................................... 46 
7.5 SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS “ANTECIPADOS” ...................................... 46 
7.5.1 FÓRMULAS PARA SÉRIE DE PAGAMENTOS ANTECIPADOS ........................... 46 
7.5.1.1 FÓRMULA DO VALOR PRESENTE .................................................................... 46 
7.5.1.2 FÓRMULA DA PRESTAÇÃO .............................................................................. 46 
7.6 VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME ......................................................... 47 
7.7 EXERCÍCIO SOBRE SÉRIES DE UNIFORME DE PAGAMENTOS ......................... 48 
8. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS ........... 49 
8.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ................................................ 49 
8.2 SISTEMA PRICE (OU FRANCÊS) DE AMORTIZAÇÃO ........................................... 49 
9. APLICABILIDADE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................. 50 
9.1 TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR) E VALOR PRESENTE LÍQUIDO (NPV) 
 ....................................................................................................................................... 50 
9.2 VALOR DA PRESTAÇÃO DE LEASING ................................................................... 51 
9.3 FORMAÇÃO DO PREÇO DE VENDA PELO CONCEITO DO VALOR ATUAL ....... 52 
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................... 53 
 
 
 
 
 
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1. FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C 
 
Neste capítulo serão abordadas as principais funções da calculadora HP-12C, ou 
seja, estaremos mostrando os conceitos básicos relevantes ao desenvolvimento 
da matemática financeira. 
 
1.1 TECLA [ON] 
 
Tem a função de ligar e desligar a calculadora, porém, se a calculadora 
permanecer ligada sem uso, será desligada automaticamente entre 7 e 8 minutos 
aproximadamente. 
 
1.2 TECLA [ . ] 
 
Esta tecla permite que a calculadora opere em dois padrões de moeda, o 
brasileiro e padrão dólar. Vamos considerar o seguinte exemplo: 
 
R$ 1.425,56 (padrão brasileiro) 
US$ 1,425.56 (padrão dólar) 
 
Esta conversão será feita da seguinte forma: 
 
a) mantenha a calculadora desligada; 
b) pressione a tecla [.] e segure; 
c) pressione a tecla [ON] e solte. 
 
Se a calculadora estiver no padrão brasileiro passara para o padrão do dólar e 
vice-versa. 
 
1.3 TESTES DE FUNCIONAMENTO 
 
A calculadora HP-12C possui três testes de verificação quanto ao seu 
funcionamento, uma espécie de controle de qualidade, que permite ao usuário 
uma maior confiabilidade do produto. 
 
1.3.1 TESTE Nº 1 (usando as tecla [ON] e [x]). 
 
Procedimentos: 
1) mantenha calculadora desligada; 
2) pressione a tecla [ON] e segure; 
3) pressione a tecla [x] e segure; 
4) solte a tecla [ON]; 
5) solte a tecla [x]. 
 
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Ao final do procedimento aparecerá no visor a palavra “running” piscando, 
significando que a calculadora está executando o TESTE Nº 1. E em alguns 
segundos aparecerá no visor o seguinte: 
 
 
 
 
 
 
 
Se aparecer a mensagem “ERRO 9” significa que a calculadora precisa de 
reparos, mas se o resultado for exatamente o resultado do TESTE Nº 1, a 
calculadora estará pronta para o uso. 
 
1.3.2 TESTE Nº 2 (usando as tecla [ON] e [+]). 
 
Procedimento: 
1) mantenha a calculadora desligada; 
2) pressione a tecla [ON] e segure; 
3) pressione a tecla [+] e segure; 
4) solte a tecla [ON]; 
5) solte a tecla [+]; 
6) pressione e solte qualquer tecla, exceto a tecla [ON]. 
 
Na verdade o TESTE Nº 2 é muito semelhante ao TESTE Nº 1, diverge na 
duração de execução, que é indeterminado, portanto, para completar o teste é 
necessário cumprir o procedimento nº “6”, logo após aparecerá o seguinte: 
 
 
 
 
 
Se você pressionar a tecla [ON] o teste será interrompido. 
 
1.3.3 TESTE Nº 3 (usando as teclas [ON] e [:]) 
 
Procedimento: 
 
1) mantenha a calculadora desligada; 
2) pressione a tecla [ON] e segure; 
3) pressione a tecla [:] e segure; 
4) solte a tecla [ON]; 
5) solte a tecla [:]. 
6) Pressione todas as teclas da esquerda para direita , de cima para 
baixo, ou seja, a 1ª tecla a ser pressionada será a tecla [n] e a 
última será a tecla [+]. Lembre-se, deve-se pressionar todas as 
- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 
8 
- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 
8 
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teclas inclusive a tecla [ON] e a tecla [enter] será pressionada 
duas vezes, tanto na linha 3, bem como na linha 4. 
 
Após o procedimento concluído , aparecerá no visor o nº “12”, assim como nos 
testes anteriores, a calculadora estará pronta para o uso. Mas se procedimento 
não for realizado corretamente, aparece à expressão “ERRO 9”. Neste caso a 
calculadora necessita de conserto. 
 
 
 
 
1.4 TECLADO 
 
O teclado da calculadora HP-12C, é multiuso, ou seja, uma mesma tecla poderá 
ser utilizada de três maneiras. 
 
 
1.4.1 A TECLA [f] 
 
A tecla [f] (amarelo) possui duas funções básicas: 
 
? 1ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] poderemos acessar 
todas as funções em amarelo da calculadora; 
? 2ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] seguida de um 
número, será apresentado à quantidade casas decimais a ser 
mostrada no visor. 
 
Veja o exemplo: 
 
Digite o número 2,428571435 e siga os procedimentos: 
 
Procedimento 
(teclas) 
Visor 
[f] e [9] 2,428571435
[f] e [8] 2,42857144 
[f] e [7] 2,4285714 
[f] e [6] 2,428571 
[f] e [5] 2,42857 
[f] e [4] 2,4286 
[f] e [3] 2,429 
[f] e [2] 2,43 
[f] e [1] 2,4 
[f] e [0] 2, 
[f] e [9] 2,428571435
 
 
 
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1.4.2 TECLA [g] 
 
Através da tecla ou prefixo [g] é possível acessar todas as funções em AZUL. 
 
1.4.3 TECLADO BRANCO 
 
Todas as teclas possuem em sua superfície informações em branco, na verdade 
tudo o que é mostrado em branco nas teclas, não necessita de função auxiliar, 
como vimos para funções em amarelo e azul. 
 
 
1.5 LIMPEZA DE REGISTRO 
 
Apresentaremos as principais formas de executar a limpeza dos registros ou 
informações, que são armazenadas no teclado ou memórias da calculadora. 
 
1.5.1 LIMPEZA TOTAL ( usando as teclas [on] e [-] ) 
 
Procedimento: 
1) mantenha a calculadora desligada; 
2) pressione a tecla [ON] e segure; 
3) pressione a tecla [-] e segure; 
4) solte a tecla [ON]; 
5) solte a tecla [-]. 
 
Após a execução desta seqüência de procedimentos, deve aparecer a expressão“PR ERROR” indicado que todos os dados armazenados nos registros inclusive 
os programas foram apagados, ou seja, a calculadora ficará zerada. Portanto, 
devemos tomar muito cuidado ao executar este procedimento. 
 
1.5.2 LIMPEZA DO VISOR 
 
A utilização desta função é muito simples, basta pressionar a tecla [CLx] e o visor 
será limpo. 
 
1.5.3 LIMPEZA DOS REGISTROS ESTATÍSTICOS (“ 0 ” a “ 6 ”) 
 
Com a seqüência de teclas [f] [∑] estaremos processando a limpeza dos registros 
estatísticos, ou seja, estaremos limpando os registros armazenados nas teclas [1], 
[2], [3], [4], [5] e [6]. 
 
1.5.4 LIMPEZA DE PROGRAM 
 
Procedimento: 
1) pressionar [f] [P/R] para entrar no modo de programação; 
2) pressionar [f] [PRGM] para limpar o programa; 
3) pressionar [f] [P/R] ou [ON] para sair do modo de programação. 
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Este procedimento se faz necessário, devido a grande dificuldade de elaboração 
de um programa, ou seja, um programa não pode ser destruído sem a menor 
proteção. 
 
1.5.5 LIMPEZA DOS REGISTROS FINANCEIROS 
 
Registros Financeiros: 
a) [n] prazo; 
b) [ i ] taxa; 
c) [PV] Present Value ou Valor Presente; 
d) [PMT] Periodic Payment ou Prestação; 
e) [FV] Future Value ou Valor Futuro. 
 
A limpeza dos registros é feita através da seqüência de teclas [f] [FIN]. 
 
 
1.5.6 LIMPEZA DE TODOS OS REGISTROS 
 
Com seqüência de teclas [f] [REG] é possível apagar todos os registros, ou seja, 
de “0” a “9”, “.0” a “.9” e os registros financeiros, ficando apenas os programas 
sem serem apagados. 
 
1.6 TECLA [CHS] ou CHANGE SIGNAL 
 
Esta tecla serve basicamente para trocar o sinal de um número, ou seja, trocar o 
sinal negativo para o positivo e vice-versa. 
 
1.7 TECLA [STO] ou (STORE) 
 
Esta serve para guardamos valores nas memórias. A HP possui 20 memórias 
diretas; “0” a “9” = 10 e “.0” a “.9” = 10. 
 
Para introduzir um número na memória é muito simples. 
 
Vamos considerar que o numero 145 deve ser guardado na memória, e que 
decidimos guardar na memória “5” . Como fazer?. 
 
Procedimento: 
1) digite o número 145; 
2) digite [STO]; 
3) digite [5]. 
 
1.8 TECLA [RCL] ou (RECOLL) 
 
Esta tecla serve para recuperar os números guardados nas memórias. Vamos 
verificar sua aplicação com base nos dados do item 1.7. 
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Procedimento: 
1) digitar [RCL]; 
2) digitar [5]. 
 
1.9 TECLA [YX] 
 
 
Esta tecla pode ser utilizada tanto para efetuarmos operações de potenciação e 
como de radiciação. 
 
 
 
 
 
1.9.1 Potenciação 
 
 
 
 
 
1.9.2 Radiação 
 
 
[:] [yx] 
 
1.9.2 Radiciação : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.10 TECLA [1/x] 
 
Esta tecla é normalmente utilizada para demonstrar o inverso de um número. 
 
 
 
 
 
 
a) 1,056 
 
1,05 [ENTER] 
6 [yx] 
1,340096... 
b) 23 
 
2 [ENTER] 
3 [yx] 
8 
c) 1,045 270/360 
 
1,045 [ENTER] 
270 [ENTER] 
360 [:] [yx] 
1,033564... 
a) 9 = 9
1
2 
 
9 [ENTER] 
1 [ENTER] 
2 [:] [yx] 
3 
b) 275 3 = 27 
3
5 
 
27 [ENTER] 
3 [ENTER] 
5 [:] [yx] 
7,224674... 
c) ( , )1 0 630 + 360 = 1,6 36030 
 
1,6 [ENTER] 
360 [ENTER] 
30 [:] [yx] 
281,474977... 
a) 1/8 
 
8 [ENTER] 
[1/x] 
0,125 
b) 1,05 112 
 
1,05 [ENTER] 
12 [1/x] [yx] 
1,0004074 
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1.11 TECLA [%T] e [x><y] 
 
A tecla [%T] é usada para calcular o percentual de um total, e a tecla [x><y] 
recupera o valor base de cálculo. 
 
a) Uma pessoa possui os seguintes gastos mensais: 
 
• Moradia R$ 450,00 
• educação R$ 500,00 
• combustível R$ 150,00 
• alimentação R$ 200,00 
• lazer R$ 250,00 
 Total R$ 1.550,00 
 
 
 
 
Determinar quanto representa percentualmente cada valor em relação ao total dos 
gastos. 
 
Solução: 
 
 1.550 [ENTER] 
450 [%T] 29,03% 
[x><y] 500 [%T] 32,26% 
[x><y] 150 [%T] 9,68% 
[x><y] 200 [%T] 12,90% 
[x><y] 250 [%T] 16,13% 
 100,00% 
 
1.12 TECLA [Δ%] 
 
Esta tecla nos ajuda a calculamos a diferença percentual entre dois números. 
 
a) Considere que um produto possui um preço de R$ 132,75 
em jan/XX, em fev/XX o preço desse produto passou para 
R$ 155,71. Qual foi o percentual de aumento desse 
produto? 
 
Dados: 
Preço jan/XX: R$ 132,75 
Preço fev/XX: R$ 155,71 
 
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Solução: 
132,75 [ENTER] 
155,71 [Δ%] 
17,30% 
 
b) No mês de março/XX o preço do produto passou para R$ 
141,00. Qual foi o percentual de desconto? 
 
Dados: 
Preço fev/XX: R$ 155,71 
Preço mar/XX: R$ 141,00 
 
 
Solução 
155,71 [ENTER] 
141,00 [Δ%] 
-9,45% 
 
 
 
1.13 TECLA [%] 
 
Esta tecla serve exclusivamente para o calculo de percentagem. 
 
a)Calcular 5% de R$ 10.450,00 
 
Solução: 
10.450 [ENTER] 
5% [%] 
R$ 522,50 
 
1.14 CÁLCULO EM CADEIA 
 
a) soma 
25,82 + 1.852,25 + 156,68 = 2.034,75 
25,82 [ENTER] 1852,25 [+] 156,68 [+] 2.034,75 [STO] 1 
 
b) subtração 
250 – 91,82 – 5,81 = 152,37 
250 [ENTER] 91,82 [-] 5,81 [-] 152,37 [STO] 2 
 
c) multiplicação 
21 x 18,41 x 1,0562 = 408,34 
21 [ENTER] 18,41 [x] 1,0562 [x] 408,34 [STO] 
 
d) divisão 
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1.750,25 : 1,08 = 1.620,60 
1.750,25 [ENTER] 1,08 [:] 1.620,60 [STO] 5 
 
e) adição, subtração, multiplicação e divisão 
(memória 1) – (memória 2) x (memória 3) : (memória .5) 
[RCL] 1 
[RCL] 2 [-] 
[RCL] 3 [x] 
[RCL] .5 [:] 
 
474,30 
 
Observação: 
 
? As demais funções e teclas da calculadora HP-12C, serão 
demonstradas com aplicações práticas dos conceitos de 
matemática financeira. 
 
 
2. FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
2.1 CONCEITOS BÁSICOS 
 
A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor 
do dinheiro no tempo. (prof. Carlos Shinoda). 
 
A matemática financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro com 
tempo nas aplicações e pagamentos de empréstimo (prof. Samuel Hazzan e 
Prof. José Nicolau Pompeu). 
 
A matemática financeira tem como objetivo principal à transformação e 
manuseio de fluxos de caixa, com a aplicação das taxas de juros de cada período, 
para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo (prof. Abelardo de Lima 
Puccini). 
 
A matemática financeira tem como objetivo principal, estudar o valor do 
dinheiro em função do tempo. (prof. Anísio Costa Castelo Branco). 
 
 
2.2 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIAS BÁSICAS 
 
CAPITAL ( C ) ou VALOR PRESENTE ( VP ) ou Presente Value ( PV ) ou 
PRINCIAL ( P ): é o recurso financeiro transacionado na data focal zero de uma 
terminada operação financeira. 
 
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Algumas palavras ou expressões, também podem ser associadas a este conjunto 
de definições apresentadas, como por exemplo: investimento inicial, valor 
aplicado, etc. 
 
JURO ( J ): é a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta 
remuneração pode ocorrer a partir de dois pontos de vista: 
 
a) de quem pagar: neste caso, o juro pode serchamado de despesa financeira, 
custo, prejuízo, etc. 
b) de quem recebe: podemos entendem como sendo; rendimento, receita 
financeira, ganho, etc. 
 
TAXA ( i ): é o coeficiente obtido da relação dos juros ( J ) com o capital ( C ), que 
pode ser representado em forma percentual ou unitária. A terminologia “ i “ vem do 
inglês interest, que significa juro. 
 
PRAZO ou TEMPO ou PERÍODOS ( n ): é o tempo necessário que um certo 
capital ( C ) seja aplicado a uma taxa ( i ) necessita para produzir um montante ( M 
) . Neste caso, o período pode ser inteiro ou fracionário, vejamos um exemplo: 
 
a) período inteiro : 1 dia; 1 mês comercial ( 30 dias ), 1 ano comercial ( 360 dias 
), etc. 
b) período fracionário: 3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. 
 
Podemos também considerar como período inteiro, quando usamos a expressão 
do tipo: 1 período de 15 dias, 1 período de 30 dias, etc. 
 
 
MONTANTE ( M ) ou VALOR FUTURO ( VF ) ou Future Value ( FV ) ou SOMA ( S 
): é quantidade monetária acumulada resultante de uma transação financeira após 
um determinado de tempo. 
 
2.3 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA 
 
Definimos fluxo de caixa como movimentação de recursos monetários (entradas e 
saídas de caixa) de uma empresa ou de uma transação financeira em especial, 
dentro de um período de tempo. 
 
(+) entradas 
 
 
 
 tempo (n) 
 (-) saídas 
 
 
 
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14
2.4 APRESENTAÇÃO DAS TAXAS 
 
As taxas podem ser apresentadas de duas formas, a forma percentual e decimal 
ou unitária, veja um exemplo. 
 
EXEMPLO Nº 1 Faça a transformação das seguintes taxas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO 
 
Podemos definir como regime de capitalização os métodos pelo qual os capitais 
são remunerados. Os regimes de capitalização podem ser “SIMPLES” e “ 
COMPOSTO” ou método de capitalização linear e exponencial, respectivamente. 
Vejamos um exemplo; 
 
EXEMPLO Nº 2 : Seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% 
a.m. durante 3 meses. Qual o valor acumulado no final de cada período pelos 
regimes de capitalização simples e composta? 
 
Regime de Capitalização Simples 
N Capital 
Aplicado 
Juros de cada período Valor 
Acumulado 
1 R$ 
1.000,00 
R$ 1.000,00 x 10% = R$ 
100,00 
R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00
2 R$ 
1.000,00 
R$ 1.000,00 x 10% = R$ 
100,00 
R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.200,00
3 R$ 
1.000,00 
R$ 1.000,00 x 10% = R$ 
100,00 
R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.300,00
 
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
 M = R$ 1..300,00 
 
 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 
 
Taxa 
percentual 
Taxas 
decimal ou 
Unitária 
25% 
5% 
1,5% 
0,5% 
 0,025 
 0,02 
 0,0018 
 15 
- Na HP-12C, poderemos usar as 
taxas na forma percentual. 
 
- Nas fórmulas, somente poderemos 
usar as taxas na forma decimal ou 
unitária. 
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15
 
 
C = R$ 1.000,00 
 
 
Regime de Capitalização Composta 
N Capital 
Aplicado 
Juros de cada período Valor 
Acumulado 
1 R$ 
1.000,00 
R$ 1.000,00 x 10% = R$ 
100,00 
R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00
2 R$ 
1.100,00 
R$ 1.100,00 x 10% = R$ 
110,00 
R$ 1.000,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00
3 R$ 
1.210,00 
R$ 1.210,00 x 10% = R$ 
121,00 
R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.331,00
 
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 M = R$ 1..331,00 
 
 C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00 
 
 
 
C = R$ 1.000,00 
 
 
 3. JUROS SIMPLES 
 
Podemos entender como juros simples, o sistema de capitalização linear, 
conforme foi demonstrado no item 2.3 (regimes de capitalização). 
 
No Brasil, a aplicabilidade dos sistemas de capitalização simples ocorre 
basicamente nas situações em que os períodos não são inteiros. 
 
3.1 OPERAÇÕES DE JUROS SIMPLES 
 
Faremos várias operações envolvendo juros simples, ou seja, efetuaremos 
cálculos de juros, capital, taxa e montante. Para melhor facilitar a compreensão, 
dividimos as fórmulas em três grupos. 
 
Nº 1º Grupo de Fórmulas Significado 
1 J = FV – PV Fórmula de juros 
2 FV = PV + J Fórmula do montante ou valor futuro 
3 PV = FV – J Fórmula do capital ou valor presente 
 
 
 
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16
 
EXEMPLO Nº 3 : Qual o valor juros resultante de uma operação onde foi investido 
um capital de R$ 1.250,18, e que gerou um montante de R$ 1.380,75? 
 
Dados: 
PV = R$ 1.250,18 
FV = R$ 1.380,75 
J = ? 
 
Solução 1: 
J = 1.380,75 – 1.250,18 
J = R$ 130,57 
 
EXEMPLO Nº 4 : Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 
durante um determinado tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a 
importância aplicada foi de R$ 1.568,78? 
 
Dados: 
J = R$ 78,25 
PV = R$ 1.568,78 
FV = ? 
 
Solução 1: 
FV = 1.568,78 + 78,25 
FV = R$ 1.647,03 
 
EXEMPLO Nº 5 : Qual o valor do investimento de gerou um regate de R$ 
1.500,00, sabendo-se que o rendimento deste investimento foi de R$ 378,25? 
 
Dados: 
FV = R$ 1.500,00 
J = R$ 378,25? 
PV = ? 
 
Solução 1: 
PV = 1.500,00 – 378,25 
PV = R$ 1.121,75 
 
Nº 2º Grupo de Fórmulas Significado 
4 J = PV x i x n Fórmula de juros simples 
5 PV = J / i x n Fórmula do capital ou valor presente 
6 i = J / PV x n Fórmula da Taxa 
7 n = J / PV x i Fórmula do prazo 
 
EXEMPLO Nº 6 : Determine o juro obtido com um capital de R$ 1.250,23 durante 
5 meses com a taxa de 5,5% ao mês. 
 
HP-12C (Solução 2) 
 
1380,75 [ENTER] 
1250,18 [-] 
R$ 130,57 
HP-12C (Solução 2) 
 
1568,78 [ENTER] 
78,25 [+] 
R$ 1.647,03 
HP 12C (Solução 2) 
 
1500 [ENTER] 
378,25 [-] 
R$ 1.121,75 
Matemática Financeira com HP-12C 
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17
Dados: 
PV = R$ 1.250,23 
n = 5 meses ou 150 dias 
i = 5,5% a.m. 
 
Solução: 
J = 1.250,23 x ,055 x 5 
J = R$ 343,81 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 7: Qual foi o capital que gerou rendimentos de R$ 342,96 durante 11 
meses, a uma taxa de 2,32% a.m? 
 
Dados: 
PV = ? 
i = 2,5% ao mês 
n = 11 meses 
J = R$ 342,96 
 
Solução 1: 
PV = 342,96 / 0,025 x 11 
PV = 342,96 / 0,275 
PV = R$ 1.247,13 
 
 
EXEMPLO 8 : Pedro pagou ao Banco Panamericano S/A a importância de R$ 
2,14 de juros por um dia de atraso sobre uma prestação de 537,17. Qual foi a taxa 
mensal de juro aplicado pelo banco? 
 
Dados: 
J = R$ 2,69 
n = 1 dia 
PV = R$ 532,17 
i = ? 
 
Solução 1: 
 
HP 12C (Solução 2) 
 
1250,23 [ENTER] 
0,055 [x] 
5 [x] 
R$ 343,81 
HP 12C (Solução 3) 
 
1250,23 [ENTER] 
5,5 [%] 
5 [x] 
R$ 343,81 
HP 12C (Solução 4) 
 
[f] FIN 
1250,23 [CHS] [PV] 
150 [n] 
66 [i] 
[f] INT 
R$ 343,81 
HP 12C (Solução 2) 
 
342,96 [ENTER] 
0,025 [ENTER] 
11 [x] [:] 
R$ 1.247,13 
HP 12C 
2,14 [ENTER] 
537,17 [ENTER] 
1 [x] [:] 
100 [x] 
30 [x] 
 
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i = 2,14 / 537,17 x 1 
i = 2,14 / 537,17 
i = 0,003984 x 100 
i = 0,3984% ao dia 
imensal = 0,3984 x 30 
imensal = 11,95% ao mêsEXEMPLO 9 : Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 1.500,00 que 
gerou rendimentos de R$ 351,00? 
 
Dados: 
n = ? 
PV = R$ 1.500,00 
i = 1,8% ao mês 
J = R$ 351,00 
 
Solução 1: 
n = 351 / 1.500 x 0,018 
n = 351 / 27 
n = 13 meses 
 
Nº 3º Grupo de Fórmulas Significado 
8 FV = PV ( 1 + i x n ) Fórmula do montante ou valor futuro
9 PV = FV / ( 1 + i x n ) Fórmula do capital ou valor presente 
10 i(ac) = { ( FV / PV ) –1} x 100 Fórmula da taxa acumulada 
 
EXEMPLO 10 : Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 105.000,00 
aplicados em um CDB de 90 dias, a uma taxa de 1,92% ao mês. 
 
Dados: 
FV = ? 
PV = R$ 105.000,00 
i = 1,92% ao mês 
n = 90 dias ou (3 meses) 
 
Solução 1: 
FV = 105.000 ( 1 + 0,0192 x 3 ) 
FV = 105.000 ( 1 + 0,0576) 
FV = 105.000 ( 1,0576 ) 
FV = R$ 111.048,00 
 
 
 
 
 
 
HP 12C (Solução 2) 
 
351,00 [ENTER] 
1500 [ENTER] 
0,018 [x] [:] 
13 meses 
HP 12 C (Solução 2) 
 
105000 [ENTER] 
1 [ENTER] 
0,0192 [ENTER] 
3 [x] [+] [x] 
R$ 111.048,00 
HP 12 C (Solução 3) 
 
[f] FIN 
105000 [CHS] [PV] 
90 [n] 
1,92 [ENTER] 12 [x] [n] 
[f] INT [+] 
R$ 111.048,00 
 
HP 12 C (Solução 4) 
 
105000 [ENTER] 
1,92 [%] 3 [x] [+] 
R$ 111.048,00 
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EXEMPLO 11 : Determine o valor da aplicação em um Título de Renda Fixa, cujo 
valor de resgate bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 3 meses, sabendo-
se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês. 
 
Dados: 
PV = ? 
FV = R$ 84.248,00 
i = 1,77% ao mês. 
n = 3 meses 
 
Solução 1: 
 
PV = 84.248 / ( 1 + 0,0177 x 3 ) 
PV = 84.248 / ( 1 + 0,0531 ) 
PV = 84.248 / ( 1,0531 ) 
PV = R$ 80.000,00 
 
 
EXEMPLO 12 : Joaquim emprestou R$ 15,00 de Salim. Após 6 meses Salim 
resolveu cobrar sua dívida. Joaquim efetuou um pagamento de R$ R$ 23,75 a 
Salim. Qual foi a taxa de juros acumulados nesta operação? Qual foi a taxa 
mensal de juros? 
 
Dados: 
PV = R$ 15,00 
FV = R$ 23,75 
n = 6 meses 
i(ac) = ? 
imensal = ? 
 
Solução 1: 
i(ac) = {(23,75/15) –1} x 100 
i(ac) = {1,5833 –1} x 100 
i(ac) = 0,5833 x 100 
i(ac) = 58,33% a.p. ou (ao semestre) 
 
imensal = 58,33 : 6 
imensal = 9,72% a.m. 
 
 
3.2 JUROS EXATO E JURO COMERCIAL 
 
Quando falamos em juro exato, estamos na verdade nos referindo aos dias do 
calendário, ou seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada 
HP 12C ( Solução 2) 
 
84248 [ENTER] 
1 [ENTER] 
0,0177 [ENTER] 
3 [x] [+] [:] 
R$ 80.000,00 
HP 12C (Solução 2) 
 
23,75 [ENTER] 
15 [:] 
1 [-] 100 [x] 
58,33% a.p. 
 
6 [:] 
9,72% a.m. 
HP 12C (Solução) 
 
15 [ENTER] 
23,75 [Δ%] 
58,33% a.p. 
 
6 [:] 
9,72% a.m. 
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20
mês. Como por exemplo: janeiro (31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias), desta forma, 
um ano pode ter 364 ou 365 dias. 
No caso do juro comercial devemos considerar sempre um mês de 30 dias, e 
sendo assim, um ano comercial vai ter sempre ter sempre 360 dias. 
 
EXEMPLO 13 : Uma prestação no valor de R$ 1.500,00 venceu em 01/02/01 
sendo quitada em 15/03/01, com a taxa de 60% ao ano. Determine os juros exato 
e comercial pago nesta operação. 
 
Dados: 
PV = R$ 1.500,00 
i = 60% ao ano 
Vencimento da Prestação: 01/02/01 
Data do Pagamento: 15/03/01 
 
Solução: 
[f] 6 
01.022001 [ENTER] 
15.032001 [g] [ΔDYS] 
42 dias 
 
a) J.E. = ( 1.500 x 0,6 x 42 )/ 365 = R$ 103,56 
b) J.C. = ( 1.500 x 0,6 x 42 )/360 = R$ 105,00 
 
 
3.3 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES 
 
Considerar o ano comercial ( 360 dias) 
 
1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 
5.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é 
de 3,5% ao mês? Resposta: R$ 875,00 
 
2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros 
de R$ 2756,31. Determine a taxa correspondente. 
Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês 
 
3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um 
rendimento de R$ 1.147,25. Pergunte-se: Qual a taxa anual 
correspondente a essa aplicação? 
Resposta: 0,049028% ao dia ou 17,65% ao ano 
 
4) Sabendo-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma 
aplicação de R$ 9.750, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que 
calcule o prazo. 
Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos 
 
HP 12C (Solução 2) 
 
1500 [ENTER] 
0,6 [x] 
42 [x] [365] [:] 
R$ 103,56 
 
1500 [ENTER] 
0,6 [x] 
42 [x] [360] [:] 
R$ 105,00 
 
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5) Qual o capital que, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 
em um ano? 
Resposta: R$ 2.827,38 
 
6) Um empréstimo de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no 
final de 152 dias. Calcular mensal de juros. 
Resposta: 5,32% ao mês 
 
7) Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ 
21.150,00, feita de 3,64% ao mês, pelo prazo de 72 dias. 
Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66 
 
8) Calcular o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, 
pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% ao mês. 
Resposta: R$ 9.834,51 
 
9) Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de 
R$ 56.737,59, sabendo-se que a taxa de juros é 2,8% ao mês e que 
faltam 3 meses para o seu vencimento. 
Resposta: R$ 52.340,95 
 
10) Em quanto tempo um capital aplicado a 2,95% ao mês dobra o seu 
valor? Resposta: 33 meses e 27 dias 
 
 3.4 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS 
 
OS EXERCÍCIOS DE REFORÇOS TÊM COMO OBJETIVO PRINCIPAL, COMPLEMENTAR OS 
EXEMPLOS APRESENTANDOS EM SALA DE AULA E OS EXERCÍCIOS PRATICADOS PELOS 
ALUNOS. 
 
1) Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 
24% ao ano, durante sete meses. 
Resposta: R$ 8.400,00 
 
2) Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 
11.200,00. Determinar a taxa anual. 
Resposta: 60% ao ano. 
 
3) Durante 155 dias, certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. 
Sabendo-se que a taxa de juros é de 4% ao mês, determinar o valor do 
capital aplicado. 
Resposta: R$ 53.204,42 
 
4) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00, resultantes 
da aplicação de certo capital à taxa de 42% ao ano., durante 13 meses? 
Resposta: R$ 31.271,48 
 
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5) Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente 
a um empréstimo de R$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 
27% ao semestre? 
Resposta: R$ 156.500,00 
 
6) Em quanto tempo um capital de R$ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, 
gera um montante de R$ 1.000,00? 
Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses 
 
7) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado do dia 19/06/XX e resgatado em 
20/01/XX. Sabendo-se que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, 
calcular o valor dos juros, considerando-se o número de dias efetivos entre 
as duas datas. 
Resposta: R$ 16.722,22 
 
8) Uma empresa aplicou R$ 2.000,00 no dia 15/07/XX e resgatou essa 
aplicação no dia 21/07/XX por R$ 2.018,00. Qual foi a taxa mensal de 
rendimento proporcionada por essa operação? 
Resposta: 4,5% ao mês. 
 
9) Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante 
dois anos e três meses, produz um montante de R$ 600.000,00. 
Resposta: R$ 281.162,14 
 
10) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00, aplicado à taxa de 5% 
ao mês, produz R$ 18.600,00 de juros? 
 Resposta: 9,3 meses, ou279 dias 
 
 
11) Obteve-se um empréstimo de R$ 10.000,00, para ser liquidado por R$ 
14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual cobrada 
nessa operação? 
Resposta: 66% ao ano. 
 
12) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor? 
Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses. 
 
13) A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual 
à ¼ do seu valor? 
Resposta: 2,5% ao mês. 
 
14) Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o 
prazo da aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, 
calcular o valor do montante. 
Resposta: R$ 220.720,00 
 
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23
15) Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzirá juros de R$ 
62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao mês? 
Resposta: 128 dias. 
 
16) Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ 
798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de 15% ao 
trimestre. 
Resposta: R$ 420.000,00 
 
17) A aplicação de R$ 35.600,00 gerou um montante de R$ 58.028,00 no final 
de nove meses. Calcular a taxa anual. 
Resposta: 84% ao ano. 
 
18) Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que 
a taxa de juros é de 5% ao mês e o prazo de oito meses, calcular o valor 
dos juros. 
Resposta: R$ 285,71 
 
19) Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 450.000,00, 
por 225 dias, à taxa de 5,6% ao mês. 
Resposta: R$ 639.000,00 
 
20) Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 
174 dias, produziu um montante de R$ 543.840,00. 
Resposta: R$ 400.000,00 
 
21) Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ 80.000,00 e resgatado por 
R$ 117.760,00 no final de oito meses. Calcular a taxa mensal de juros. 
Resposta: 5,9% ao mês. 
 
22) Em que prazo uma aplicação de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 
614.000,00 à taxa de 7,2% ao mês? 
Resposta: 3,167 meses ou 95 dias. 
 
23) A que taxa anual devo aplicar um capital de R$ 275.000,00 para obter juros 
de 177.320,00 no final de 186 dias? 
Resposta: R$ 124,8% ao ano. 
 
A lista de exercícios de reforço, foi extraída do livro do professor José 
Dutra Vieira Sobrinho (MATEMÁTICA FINANCEIRA, 5ª edição, Editora 
Atlas). 
 
 
 
 
 
 
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24
4. JUROS COMPOSTOS 
 
4.1 CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS 
 
Podemos entender os juros compostos, como sendo o que popularrmente 
chamamos de juros sobre juros. Observe novamente a demonstração do regime 
de capitalização composta. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é 
conhecido por cálculo exponencial de juros. 
 
Regime de Capitalização Composta 
N Capital 
Aplicado 
Juros de cada período Valor 
Acumulado 
1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 
100,00 
R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 
1.100,00 
2 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 
110,00 
R$ 1.000,00 + R$ 110,00 = R$ 
1.210,00 
3 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 
121,00 
R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 
1.331,00 
 
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 M = R$ 1.331,00 
 
C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00 
 
 
 
C = R$ 1.000,00 
 
 
4.2 VALOR FUTURO (FV) ou MONTANTE (M) 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 14: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa 
de 4% ao mês, durante 5 meses. 
 
Dados: 
FV = ? 
PV = R$ 5.000,00 
i = 4% ao mês 
n = 5 meses 
 
 
 
FV = PV ( 1 + i ) n 
Solução 1 
 
FV = 5.000 ( 1 + 0,04) 5 
FV = 5.000 ( 1,04 ) 5 
FV = 5.000 (1,216653...) 
FV = R$ 6.083,26 
Solução 2 (HP 12C) 
 
5000 [ENTER] 
1 [ENTER] 
0,04 [+] 
5 [yx] [x] 
R$ 6.083,26 
Solução 3 (HP 12C) 
 
[f] FIN 
5000 [CHS] [PV] 
4 [i] 
5 [n] 
[FV] 
R$ 6.083,26 
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25
 
 
4.3 DIFERENÇA ENTRE OS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS 
 
EXEMPLO 15: Calcular o montante de um capital de R$ 50.000,00, aplicado à 
taxa de 15% ao mês, para 29 dias, 30 dias e 31 dias, pelos regimes de juros 
simples e juros compostos. 
 
Juros Simples 
a. n = 29 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 29 ) = R$ 57.250,00 ( J. Simples > J. 
Compostos ) 
 30 
 
b. n = 30 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 30 ) = R$ 57.500,00 ( J. Simples = J. 
Compostos ) 
 30 
 
c. n = 31 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 31 ) = R$ 57.750,00 ( J. Simples < J. 
Compostos ) 
 30 
Juros Compostos 
a) n = 29 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 29/30 = R$ 57.232,75 
b) n = 30 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 30/30 = R$ 57.500,00 
c) n = 31 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 31/30 = R$ 57.768,50 
 
4.4 FUNÇÃO “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX] 
 
Com a seqüência de teclas [STO] [EEX] aparecerá no visor da calculadora HP 
12C a letra “C”. Se a letra “C” não estiver aparecendo no visor, a HP-12C faz esse 
cálculo com base na chamada “convenção linear”, em que os juros são calculados 
de acordo com o regime de capitalização composta para períodos inteiros e de 
acordo com o regime de capitalização simples para períodos fracionários. Vamos 
comprovar: 
 
EXEMPLO 16: Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.450.300,00, 
aplicado à taxa de 15% ao ano, durante 3,5 anos. 
 
Dados: 
PV = R$ 1.450.300,00 
i = 15% ao ano 
n = 3,5 anos. 
 
 
 
 
 
 
Solução 1: 
 
FV = 1.450.300 (1 + 0,15) 3,5 
R$ 2.365.376,56 
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26
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que existe uma diferença de R$ 5.777,83, vejamos o por quê? 
 
1º PASSO: determinar o valor futuro para o período de 3 anos (período inteiro) 
pelo regime de juros compostos. 
 
FV (3 anos) = 1.450.300 (1,15) 3 = R$ 2.205.725,01 
 
2º PASSO: determinar o valor dos juros correspondentes a meio ano (período 
fracionário) pelo regime de juros simples. 
 
J (meio ano) = ( 1.450.300 x 0,15 x 180 ) / 360 = R$ 165.429,38 
 
3º PASSO: determinar o valor futuro total (3,5 anos) 
 
FV (3,5 anos) = R$ 2.205.725,01 + R$ 165.429,38 = R$ 2.371.154,39 
 
4.5 VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C) 
 
 
 
 
EXEMPLO 17: No final de dois anos, o Sr. Carlos deverá efetuar um pagamento 
de R$ 2.000,00 referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, 
mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: 
Qual o valor emprestado? 
 
Dados: 
FV = R$ 2.000,00 
i = 4% ao mês 
n = 24 meses 
PV = ? 
 
 
 
 
 
 
Usando a HP 12C com “C” no visor. 
 
[f] FIN 
1450300 [CHS] [PV] 
15 [i] 
3,5 [n] 
FV 
R$ 2.365.376,56 
Usando a HP 12C sem “C” no visor. 
 
[f] FIN 
1450300 [CHS] [PV] 
15 [i] 
3,5 [n] 
FV 
R$ 2.371.154,39 
Solução 1 
 
PV = 2.000 / (1 + 0,04) 24 
PV = 2.000 / (1,04) 24 
PV = 2.000 / 2,563304... 
PV = R$ 780,24 
Solução 2 
 
PV = 2.000 x 1 / (1 + 0,04) 24 
PV = 2.000 x 1 / (1,04) 24 
PV = 2.000 x 1 / 2,563304... 
PV = 2.000 x 0,390121... 
PV = R$ 780,24 
 
PV = FV / ( 1 + i ) n 
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4.6 PRAZO (n) 
 
 ou 
 ou n = 
 
 
 
 
EXEMPLO 18: Em que prazoum empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado 
em um único pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 
3% ao mês. 
 
Dados: 
n = ? 
PV = R$ 24.278,43 
FV = R$ 41.524,33 
i = 3% ao mês 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 3: (HP 12C) 
 
2000 [ENTER] 
1 [ENTER] 
0,04 [+] 
24 [yx] [:] 
R$ 780,24 
 
Solução 4: (HP 12C) 
[f] FIN 
2000 [CHS] [FV] 
4 [i] 
24 [n] 
PV 
R$ 780,24 
 
n = LN(FV) LN(PV)LN(1 i)
−
+ 
 
LN( )
LN(1 i)
FV
PV+
Solução 1: 
 
n = LN(41.524,33) – LN(24.278,43) 
 LN (1,03) 
n = 10,634035... – 10,097344... 
 0,029559... 
 
n = 0,536691... 
 0,029559... 
n = 18,156731... meses 
Solução 2: 
 
n = {LN(41.524,33) / LN(24.278,43)} 
 LN (1,03) 
n = LN (1,710338) 
 LN (1,03) 
 
n = 0,536691... 
 0,029559... 
n = 18,156731... meses 
Solução 3: (HP 12C) 
 
41.524,33 [g] LN 
24.278,43 [g] LN [-] 
1,03 [g] LN [:] 
n = 18,156731... 
Solução 4: (HP 12C) 
 
41.524,33 [ENTER] 
24.278,43 [:] [g] LN 
1,03 [g] LN [:] 
n = 18,156731... 
Solução 5: (HP 12C) 
 
[f] FIN 
41524,33 [CHS] [FV] 
24278,43 [PV] 
3 [i] 
[n] 
19 meses 
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28
4.7 FUNÇÃO [FRAC] e [INTG] 
 
Através da função [FRAC] é possível eliminar a parte inteira de um número e 
manter a parte a parte fracionária. 
 
Através da função [INTG] é possível eliminar a parte fracionária de um número e 
manter a parte inteira. 
 
Vamos comprovar: 
 
Tomando como base o Exemplo 18, temos que o prazo foi de 18,156731...meses, 
observe que existe uma parte fracionária, que neste caso representa a quantidade 
de dias. Para calculamos a quantidade de dias, basta multiplicar a parte 
fracionária por 30 (mês comercial). 
 
Solução Única. 
 
Estando com o número 18,156731... no visor da calculadora HP 12C, observar o 
procedimento a seguir: 
 
[g] FRAC 30 [x] 
4,701928 dias 
no caso de dias, poderemos arredondar o número para maior, então poderemos 
dizer que a resposta do Exemplo 18, seja 18 meses e 5 dias. 
 
Para o mesmo Exemplo 18, poderemos eliminar a parte fracionária e ficar com a 
parte inteira, fazendo a seqüência teclas: [g] INTG. 
 
4.8 TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 19: A loja “Arrisca tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor 
de R$ 10.210,72, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 
14.520,68 no final de 210 dias. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? 
 
Dados: 
i = ? 
PV = R$ 10.210,72 
FV = R$ 14.520,68 
n = 210 dias 
 
 
 
 
i ={ ( )FVPV QQ/QT – 1} x 100 
Onde: 
QQ = Quanto eu Quero 
QT = Quanto eu Tenho 
Solução 2: 
 
14520,68
 [ENTER] 
10210,72 [:] 
30 [ENTER] 210 [:] 
[yx] 
1 [-] 100 [x] 
5,16% ao mês 
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29
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.9 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS 
 
1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de 
um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês. 
 Resposta: R$ 144.504,39 
 
2) Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no 
final de dois anos. Calcular as taxas mensal e anual desse empréstimo. 
Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano. 
 
3) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição 
financeira é de 12,486%, determinar qual o prazo em que um empréstimo 
de R$ 20.000,00 será resgatado por R$ 36.018,23. 
Resposta: 5 trimestres (ou 15 meses). 
 
4) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 18,00% ao ano, para ter R$ 
1.000.000,00 ao final de 19 meses? 
Resposta: R$ 769.461,37 
 
4.10 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS 
 
1) Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700.000,00 que será liquidado, 
de uma só vez, no final de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 
25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser 
quitado.Resposta: R$ 1.708.984,38 
 
2) Em que prazo uma aplicação de 374.938,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera 
um resgate de R$ 500.000,00. Resposta: 9 meses 
 
3) Um terreno está sendo oferecido por R$ 4.500,00 à vista ou R$ 1.500,00 de 
entrada e mais uma parcela de R$ 3.500,00, no final de 6 meses. Sabendo-
se que no mercado a taxa média para aplicação em títulos de renda 
prefixada gira em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto 
Solução 1: 
 
i = {(14.520,68 / 10.210,72 ) 30/210 – 1} x 100 
i = {(14.520,68 / 10.210,72 ) 30/210 – 1} x 100 
i = {(1,422101...) 0,142857 – 1} x 100 
i = {(1,422101...) 0,142857 – 1} x 100 
i = {1,051592 – 1} x 100 
i = {0,051592) x 100 
i = 5,16% ao mês. 
Solução 3: 
 
10210,72 [CHS] [PV] 
14520,68 [FV] 
7 [n] 
[i] 
5,16% ao mês. 
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de Renda já computado), determinar a melhor opção para um interessado 
que possua recursos disponíveis para comprá-lo. 
Resposta: A melhor opção é comprá-lo a prazo 
 
4) A que taxa de juros um capital aplicado pose ser resgatado, no final de 17 
meses, pelo dobro do seu valor? Resposta: 4,162% ao mês. 
 
5) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, 
se aplicado a 3,755% ao mês. Resposta: 11 meses. 
 
6) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante 
de R$ 820.000,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros. 
Resposta: R$ 396.288,79 
 
7) Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos 
de 3% ao mês, ou aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros 
simples de 5% ao mês? Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao 
mês. 
 
8) No fim quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica 
o seu valor: 
a) no regime de capitalização composta; (Resposta: 35,35 meses) 
b) no regime de capitalização simples. (Resposta: 75 meses) 
 
9) Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 580,00, à taxa de 17,5% 
ao ano, pelo prazo de 213 dias? 
Resposta: 638,07 
 
10) Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 
181 dias, produziu um montante de R$ 5.000,00 Resposta: R$ 3.584,32 
 
11) A aplicação de R$ 211.009,90 proporcionou um resgate de R$ 322.033,58 
no final de seis meses. Determinar as taxas mensal e anual dessa 
operação. Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano. 
 
12) Certa aplicação rende 0,225% ao dias. Em que prazo um investidor poderá 
receber o dobro da sua aplicação? 
Resposta: 308 dias 
 
13) A aplicação de R$ 280,00 proporcionou um rendimento de R$ 240,00 no 
final de 208 dias. Determinar a taxa diária, mensal, trimestral e anual de 
juros. Resposta: 0,0741% a.d; 2,25% a.m; 6,9% a.t. e 16,67% a.a. 
 
14) Em 154 dias uma aplicação rendeu 21,43%. Calcular as taxas mensal e 
anual equivalente. Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a. 
 
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31
15) Um banco cobra 20% a.a. de juros (além da correção monetária) numa 
operação de capital de giro. Quanto cobrará para uma operação em 182 
dias? (considerar o ano como sendo 360 dias). Resposta: 9,66% a.p. 
 
16) Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar R$ 2.000,00 à 
taxa de 15% ao ano? E qual a taxa mensal equivalente? 
Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m. 
 
17) Um certificado de Depósito Bancário (CDB) equivalente a 500 dólares 
rende juros de 15% ao ano. Sendo o seu prazo de 243 dias, calcular ovalor 
de resgate (em dólar), antes do Imposto de Renda. 
Resposta: US$ 549,47 
 
18) Qual foi a taxa mensal de juros apurada por um investidor, para uma 
aplicação de R$ 10.000,00 efetuada no dia 13 de março de 2001, cujo valor 
de resgate em 08 de junho de 2001 foi de R$ 10.968,42? 
Resposta: 3,24% a.m. 
 
19) Qual é o número de dias necessário para que uma aplicação de R$ 
1.000,00 produza um valor de resgate de R$ 3.000,00, se a taxa de juros 
contratual for de 4,8% ao mês? 
Resposta: 703 dias 
 
20) Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois meses e valor de 
resgate de R$ 10.000,00. Determinar seu valor de emissão para que seja 
garantida ao investidor uma rentabilidade de 10% ao ano, no regime de 
juros compostos. 
Resposta: R$ 9.842,40 
 
 
 
 
 
Os exercícios dos itens 4.9 e 4.10 foram parcialmente extraídos e adaptados , do 
livro do professor José Dutra Vieira Sobrinho, Matemática Financeira, 5ª 
edição, Editora Atlas e dos Professores Samuel Hazzan e José Nicolau 
Pompeu, Matemática Financeira – métodos quantitativos, 4ª edição, Editora 
Atual 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32
5. OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS 
 
No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é 
empregada de várias formas, ou seja, vários conceitos são abordados em várias 
situações. Mostraremos as aplicabilidades das taxas de juros do pondo vista da 
matemática financeira. 
 
5.1 TAXAS EQUIVALENTES : 
 
 As taxas são equivalentes se, quando aplicadas a um mesmo capital, por 
um mesmo período, geram o mesmo rendimento. 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
i(EQ) = Taxa Equivalente; ic = Taxa Conhecida; QQ = Quanto eu Quero; QT = 
Quanto eu Tenho. 
 
Exemplo 20: Calcular a equivalência entre as taxas. 
 
Taxa Conhecida Taxa Equivalente para: 
a) 79,5856% ao ano 1 mês 
b) 28,59% ao trimestre 1 semestre 
c) 2,5% ao mês 105 dias 
d) 0,5% ao dia 1 ano 
e) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i(eq) ={ ( 1 + ic)QQ/QT – 1} x 100 
Solução 1: 
 
a) i(EQ) = { ( 1 + 0,7958) 30/360 – 1} x 100 = 5% ao mês 
b) i(EQ) = { ( 1 + 0,2859) 180/90 – 1} x 100 = 65,35% ao trimestre 
c) i(EQ) = { ( 1 + 0,025) 105/30 – 1} x 100 = 9,03% ao período 
d) i(EQ) = { ( 1 + 0,005) 360/1 – 1} x 100 = 502,26% ao ano 
e) i(EQ) = { ( 1 + 0,25) 365/360 – 1} x 100 = 25,39% ao ano (exato) 
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33
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C 
 
[ f ] [ P/R ] 
[ f ] [ PRGM ] 
[ X<> Y] 
[ : ] 
[ X<> Y] 
[ 1 ] 
[ 0 ] 
[ 0 ] 
[ : ] 
[ 1 ] 
[ + ] 
[ x<>y ] 
[ yx ] 
[ 1 ] 
[ - ] 
[ 1 ] 
[ 0 ] 
[ 0 ] 
[ x ] 
[ f ] [ P/R ] 
 
UTILIZANDO O PROGRAMA 
 
27 [ENTER] 
360 [ENTER] 
30 [R/S] 
 
 
 
 
 
 
Solução 2 (HP 12C) 
 
a) 1,7958 [ENTER] 30 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 5% ao mês 
b) 1,2859 [ENTER] 180 [ENTER] 90 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 65,35% ao trimestre 
c) 1,025 [ENTER] 105 [ENTER] 30 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 9,03% ao período 
d) 1,005 [ENTER] 360 [ENTER] 1 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 502,26% ao ano 
e) 1,25 [ENTER] 365 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 25,39% ao ano (exato) 
Este programa foi extraído do livro do professor Carlos Shinoda, matemática financeira para usuários 
do Excel, 2ª edição, editora Atlas. 
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34
 
 
5.2 TAXA OVER EQUIVALENTE: A taxa over equivalente, é uma taxa usada pelo 
mercado financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil, normalmente é 
multiplicada por 30 (conversão de mercado financeiro). Nas empresas em geral, é 
utilizada para escolher a melhor taxa para investimento. 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
 
TOE = taxa over equivalente 
i = taxa de juros conhecida 
QQ = nº de dias efetivos da operação 
QT = nº de dias referente à taxa conhecida ( ic ) 
ndu = nº de dias úteis no período da operação. 
 
Exemplo 21: Calcular a taxa over equivalente para uma taxa de 80% ao ano, para 
uma aplicação de 30 dias, considerando 19 dias úteis. 
 
Dados: 
ic = 80% 
QQ = 30 dias 
QT = 360 dias 
ndu = 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TOE ={ [( 1 + ic) QQ/QT – 1] 1/ ndu } x 3.000 
Solução 1 
 
TOE ={ [ ( 1 + 0,80) 30 / 360 ] 1 / 19 - 1 } x 3.000 
TOE ={ [ ( 1 ,80) 0,083333.... ] 0,052632 - 1 } x 3.000 
TOE ={ [ 1 ,050202... ] 0,052632 - 1 } x 3.000 
TOE ={ 1 ,002581... - 1 } x 3.000 
TOE = 0,002581... x 3.000 
TOE = 7,74% ao mês. 
Solução 2 (HP 12C) 
 
1 [ENTER] 0,8 [+] 
30 [ENTER] 360 [:] [yx ] 
19 [1/x] [yx] 
1 [-] 3000 [x] 
7,74% ao mês 
 
Solução 3 (HP 12C) 
 
100 [CHS] [PV] 
80 [i] 
30 [ENTER] 360 [:] [n] 
[FV] 
100 [-] (5,02% a.p) 
 [i] 
1 [ENTER] 19 [:] [n] 
 [FV] 
100 [-] (0,258134 % a.d.u.) 
30 [x] (7,74% a.m) 
 
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35
 
 
5.3 TAXA ACUMULADA DE JUROS (com taxas variáveis): 
 
A taxa acumulada de juros com taxas variáveis e normalmente utilizada em 
situações de correções de contratos, como por exemplo atualização de alugueis, 
saldo devedor da casa própria, etc. 
 
 
 
 
 
Exemplo 22: Com base na tabela abaixo, calcular a variação do IGPM-FGV 
acumulada durante os meses de jan/2001 a maio/2001. 
Últimas variações dos índices de inflação: 
 IGPM+FGV INPC+IBG
E 
IGPDI+FGV IPC+FIPE IPCA+IBGE
Maio/2000 - -0,05 0,67 - 0,01
Junho/200 0,85 0,30 0,93 0,18 0,23
Julho/2000 1,57 1,39 2,26 1,40 1,61
Agosto/2000 2,39 1,21 1,82 1,55 1,31
Setembro/2000 1,16 0,43 0,69 0,27 0,23
Outubro/2000 0,38 0,16 0,37 0,01 0,14
Novembro/2000 0,29 0,29 0,39 -0,05 0,32
Dezembro/2000 0,63 0,55 0,76 0,25 0,59
Janeiro/2001 0,62 0,77 0,49 0,36 0,57
Fevereiro/2001 0,23 0,49 0,34 0,11 0,46
Março/2001 0,56 0,46 0,80 0,51 0,38
Abril/2001 1,00 0,84 1,13 0,61 0,58
Maio/2001 0,86 - - 0,17 -
Acumulado no ano 3,31 2,60 2,79 1,79 2,00
Acumulado 12 meses 11,04 7,07 11,16 5,52 6,61
 
Dados: 
IGMP (jan/2001) = 0,62% 
IGMP (fev/2001) = 0,23% 
IGMP (mar/2001) = 0,56% 
IGMP (abr/2001) = 1,00% 
IGMP (mai/2001) = 0,86% 
 
 
 
 
 
 
i(ac) = [(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) ... (1 + in) – 1] x 100 
Solução 2 (HP 12C) 
 
1 ,0062 [ENTER] 
1,0023 [x] 
1,0056 [x] 
1,01 [x] 
1,0086 [x] 
1 [-] 100 [x] 
3,31% ao período. 
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36
 
 
 
 
 
 
 
 
5.4 TAXA MÉDIA DE JUROS 
 
A taxa média de juros tem como base teórica, o conceito de estatística da média 
geométrica. É normalmente usada para calcular a média de um conjunto de taxas. 
 
 
 
 
Onde, n = número de taxas analisadas. 
 
Exemplo 23: Com base nos dados do Exemplo 22, calcular a taxa média. 
 
Dados: 
IGMP (jan/2001) = 0,62% 
IGMP (fev/2001) = 0,23% 
IGMP (mar/2001) = 0,56% 
IGMP (abr/2001) = 1,00% 
IGMP (mai/2001) = 0,86% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5 TAXA REAL DE JUROS 
 
A taxa real juro nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a 
uma taxa de inflação ou custo de oportunidade. 
 
 
 
 
Solução 1: 
 
i(ac) = [(1 + 0,0062) x (1 + 0,0023) x (1 + 0,0056) x (1 + 0,01) x (1,0086) – 1] x 100 
i(ac) = [(1 ,0062) x (1,0023) x (1,0056) x (1,01) x (1,0086) – 1] x 100 
i(ac) = [1 ,033113... – 1] x 100 
i(ac) = [0 ,033113...] x 100 
i(ac) =3,31% ao período. 
 
i(media) = [(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) ... (1 + in) ] 1/ n – 1 x 100 
Solução 2 (HP 12C) 
 
1 ,0062 [ENTER] 
1,0023 [x] 
1,0056 [x] 
1,01 [x] 
1,0086 [x] 
5 [1/x] [yx] 
1 [-] 100 [x] 
0,65% ao mês. 
Solução 1: 
 
i (média) = [(1 + 0,0062)x(1 + 0,0023)x(1 + 0,0056)x(1 + 0,01)x(1,0086)] 1 / 5 –1 x 100 
i(média) = [(1 ,0062) x (1,0023) x (1,0056) x (1,01) x (1,0086)] 1 / 5 –1 x 100 
i(média) = [1 ,033113... ] 0,2 –1 x 100 
i(média) = 0,0065... x 100 
i(média) = 0,65% ao mês. 
 
ir = [(1 + ijuros ) / ( 1 + iinflação )] – 1 x 100 
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37
EXEMPLO 24: Uma aplicação durante o ano de 2000 rendeu 9,5% ao ano, 
sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de 5,8% ao ano. Determine a 
taxa real de juro. 
 
Dados: 
ir = ? 
ijuros = 9,5% ao ano 
iinflação = 5,8% ao ano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.6 EXERCÍCIOS SOBRE TAXAS JUROS 
 
1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
Reposta: 26,82% ao ano 
 
2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. 
Resposta: 4% ao mês.] 
 
3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia. 
Resposta: 101,22% ao ano. 
 
4) Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos. 
Resposta: 5% ao trimestre 
 
5) Uma determinada revista de informações financeira apresentou os 
seguintes taxas de CDI’s: Fev = 2,11%; Mar = 2,18%; Abr = 1,69%; Mai = 
1,63%; Jun = 1,60% e Jul = 1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se: 
 
a) Qual a taxa média no período? (Resposta: 1,82% ao mês) 
b) Qual a taxa acumulada no período? (Resposta: 11,41% ao período) 
 
6) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de 
giro no valor de R$ 80.000,00 por 3 meses, tendo que pagar no final R$ 
94.340,57. Qual a taxa média desta aplicação? 
Resposta: 5,65% ao mês. 
 
Solução 1: 
 
ir = [(1 + 0,095 ) / ( 1 + 0,058)] – 1 x 100 
ir = [(1,095 ) / ( 1,058)] – 1 x 100 
ir = [1,034972...] – 1 x 100 
ir = 0,034972... x 100 
ir = 3,50% ao ano. 
 
Solução 2 (HP 12C) 
 
1 [ENTER] 0,095 [+] 
1 [ENTER] 0,058 [+] [:] 
1 [-] 100 [x] 
3,5% ao ano. 
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7) O senhor “Dúvida”, pretende investir R$ 6.500.000,00 em uma aplicação no 
“Banco dos Palmeirenses S/A” que paga 45,5% ao ano por 30 dias corridos 
e correspondentes a 21 dias úteis, Suponha que o “Banco dos Corinthianos 
S/A” pague 45% ao ano por 33 dias corridos e correspondentes a 22 dias 
úteis. Você foi contratado como Gerente Financeiro(a), e encontra-se em 
período de experiência. Na sua opinião, qual dos dois seria o melhor para o 
aplicador? 
Resposta: Melhor taxa é do Banco dos Corinthianos 
 
8) Se o preço de um produto de dezembro de 1998 foi de R$ 3.000,00 e em 
janeiro de 1999 foi de R$ 3.300,00, o índice de preço correspondente foi de: 
Resposta: 10% ao período. 
 
9) Suponha que no mês base o preço médio de uma cesta básica seja de R$ 
50,00 e nos três meses subseqüente seja R$ 60,00, R$ 75,00 e 88,50, 
respectivamente. Obter a inflação acumulada. 
Resposta: 77% ao período. 
 
10) Um capital foi aplicado por 1 ano, à taxa de juros de 21% ao ano, e no 
mesmo período a inflação foi de 19% ano. Qual a taxa real de juros? 
Resposta: 1,68% ao ano. 
 
 
6. DESCONTOS 
 
A operação desconto pode ser descrita como sendo o custo financeiro do dinheiro 
pago em função da antecipação de recurso. 
 
6.1 DESCONTO RACIONAL SIMPLES ou “POR DENTRO”. 
 
 
 
Onde: 
DR = Desconto Racional; VN = Valor Nominal; VA = Valor Atual. 
 
EXEMPLO 25: Um título de valor nominal R$ 25.000,00 é descontado 2 meses 
antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o 
desconto racional? 
 
Dados: 
VN = R$ 25.000,00 
n = 2 meses 
i = 2,5% ao mês. 
DR = ? 
 
 
 
DR = VN - VA VA = VN / (1 + i DR = VN x i x n / (1 
Solução 1 
 
DR = 25.000 x 0,025 x 2 
 (1 + 0,025 x 2) 
 
DR = 1.250 
 1,05 
DR = R$ 1.190,48 
VA = 25.000 – 1.190,48 
VA = R$ 23.809,52 
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39
 
 
 
 
6.2 DESCONTO BANCÁRIO, ou COMERCIAL ou “POR FORA 
 
 
 
 
Onde: 
DB = Desconto Bancário; VN = Valor Nominal; VL = Valor Líquido. 
 
 
EXEMPLO 26: Um título de valor nominal R$ 25.000,00 é descontado 2 meses 
antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o 
desconto bancário? 
 
Dados: 
VN = R$ 25.000,00 
n = 2 meses 
i = 2,5% ao mês. 
DR = ? 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 27: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um 
banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. 
Sabendo-se que o banco cobra 1% a título de despesas administrativas e que o 
IOF é 0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador 
do título. Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa liquida de 
2,8% ao mês. Qual a melhor opção? 
 
Dados: 
VN = R$ 25.000,00 
n = 2 meses 
i = 2,5% ao mês 
iADM = 1% 
(IOF) = 0,0041% ao dia 
i= 2,8% a.m (empréstimo) 
 
VL = ? 
DB =? 
DIOF =? 
DB = VN . i . n VL = VN - DB 
Solução 1 
 
DB = 25.000 x 0,025 x 2 
DB = R$ 1.250,00 
 
VL = 25.000 – 1.250 
VL = R$ 23.750,00 
Solução 1 
 
VL = VN – DB - DIOF -DADM 
 
a) DB = 25.000 x ,025 x 2 = R$ 1.250,00 
b) DADM = 25.000 x 01 = R$ 250,00 
c) DIOF = 25.000 x 0,000041 x 60 = R$ 61,50 
 
VL = 25.000 – 1.250 – 250 – 61,50 
VL = R$ 23.438,50 
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DADM =? 
 
Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, então teremos: 
 
i = 25.000 – 23.438,50 = 1.561,50 = 3,12% ao mês 
25.000 x 2 50.000 
 
Ou seja, na verdade o empréstimo seria a melhor opção. 
 
6.3 OPERAÇÕES COM UM CONJUNTO DE TÍTULOS: 
 
EXEMPLO 28: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para 
serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual 
o valor líquido recebido pela empresa? 
 
 Borderô de Cobrança 
Duplicata Valor 
(R$) 
Prazo 
(vencimento) 
A 2.000,00 30 dias 
B 4.000,00 65 dias 
C 8.000,00 82 dias 
 
Solução 1 
a) DB = (2.000 x 0,03 x 30) / 30 = R$ 60,00 
b) DB = (4.000 x 0,03 x 65) / 30 = R$ 260,00 
c) DB = (8.000 x 0,03 x 82) / 30 = R$ 656,00 
Total R$ 976,00 
 
Valor Líquido Recebido: R$ 14.000 – 976,00 = R$ 13.024,00 
 
6.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulos 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 29: Com base nos dados do Exemplo 28, e utilizando-se do conceito 
do prazo médio, acha o valor líquido . 
 
Solução 1: 
 
PM = (2000 x 30) + (4.000 x 65) + (8.000 x 82) 
 2000 + 4.000 + 8.000 
 
PM = 60.000 + 260.000 + 656.000 
 2000 + 4.000 + 8.000 
 
Pm = ( VN1 . n1 + VN2 . n2 + ... + VNn . nn )/ ( VN1 + VN2 + ... + VNn ) 
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41
PM = 976.000 
 14.000 
 
PM = 69,714286 dias.. 
 
 
Assim temos: 
 
DB = (14.000 x 0,03 x 69,714286...) / 30 
DB = R$ 976,00 
 
VL = 14.000 – 976,00 = R$ 13.024,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4 DESCONTO COMPOSTO 
 
O Desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante 
ou valor futuro. 
 
 
 
 
 
Onde: DC = Desconto composto. 
 
EXEMPLO 30: Uma duplicata no valor de R$ 18.000,00, 120 dias para o seuvencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito 
de desconto composto. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do 
desconto concedido. 
 
 
 
 
 
 
Solução 2 (HP 12C) 
 
[f] ∑ 
 
30 [ENTER] 2.000 [∑+] 
65 [ENTER] 4.000 [∑+] 
82 [ENTER] 8.000 [∑+] 
[g] [XW] 
69,714286 dias 
 
0,03 [x] 14.000 [x] 
30 [:] 
R$ 976,00 
 
[CHS] 14.000 [+] 
R$ 13.024,00 
PV = FV (1 – i)n 
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Dados: 
FV= R$ 18.000,00 
n = 120 dias (4 meses) 
i = 2,5% ao mês 
PV = ? 
DC = ? 
 
 
 
 
6.4.1 Relação em taxas de desconto simples e composto 
 
EXEMPLO 31: Efetuar o desconto de uma duplicata de R$ 100,00 na taxa de 
desconto fixa de 5% ao mês e calcular a taxa real simples e composta. 
 
Prazo em dias Prazo em meses 
Desconto 30 60 90 120 180 10 12 15 19 20 
Desconto 5 10 15 20 30 50 60 75 95 100 
Líquido 95 90 85 80 70 50 40 25 5 0 
Taxa 
simples 
5,26 5,56 5,88 6,25 7,14 10,0 12,5 20,0 100,0 0 
Taxa 
composta 
5,26 5,41 5,57 5,74 6,12 7,18 7,93 9,68 17,1 0 
 
6.5 EXERCÍCIOS SOBRE DESCONTO 
 
1) Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 2.000,00, 
com vencimento para 90 dias, à taxa 2,5% ao mês? 
Resposta: R$ 150,00 
 
2) Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias cujo 
valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00? 
Resposta: 3% ao mês. 
 
3) Calcular o valor líquido de um conjunto de duplicas descontas a 5% ao mês 
conforme o borderô a seguir: 
A 5.000 15 dias 
B 3.500 35 dias 
C 1.500 65 dias 
Resposta: R$ 9.508,33 
 
4) Uma duplicata de R$ 70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu 
vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,70% ao mês. 
Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente: 
Resposta: R$ 64.330,00 
Solução 1 
 
PV = 18.000 (1 – 0,025) 4 
PV = 18.000 (0,975) 4 
PV = 18.000 x 0,903688 
PV = R$ 16.266,38 
 
DC = 18.000 – 16.266,38 
DC = R$ 1.733,62 
Solução 1 (HP 12C) 
 
18.000 [ENTER] 
1 [ENTER] 
0,025 [-] 4 [yx] [x] 
R$ 16.266,38 
 
[CHS] 18.000 [+] 
R$ 1.733,62 
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43
 
5) Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no 
valor de R$ 9.800,00 que sofreu um desconto de R$ 548,50, à taxa de 32% 
ao ano. 
Resposta: 63 dias 
 
6) Calcular o valor do desconto concedido num Certificado de Depósito 
Bancário, de valor de resgate igual a R$ 200.000,00, sabendo-se que 
faltam 90 dias para o seu vencimento e que a taxa de desconto é de 3,8% 
ao mês. 
Resposta: R$ 21.944,57 
 
7. SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS 
 
Ate agora , estudamos situações envolvendo apenas dois pagamentos, ou seja, 
valor futuro (FV) e valor presente (PV). 
 
Neste capítulo, estudaremos operações envolvendo pagamentos periódicos. 
 
A série de pagamentos uniforme pode ser de dois tipos; POSTECIPADA e 
ANTECIPADA: 
 
7.1 VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO “POSTECIPADA” 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
PMT = prestação ou pagamentos. 
 
EXEMPLO 32: Determinaremos o valor de um financiamento a ser quitado através 
de quatro pagamentos mensais de R$ 5.000,00, vencendo a primeira parcela a 30 
dias da liberação dos recursos, sendo de 5,5 a.m. a taxa contratual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PV = PMT ( )
( ) .
1 1
1
+ −
+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
i
i i
n
n 
Matemática Financeira com HP-12C 
_______________________________________________________ 
Apostila de matemática Financeira –Prof. Wagner 
44
Dados: 
PV = ? 
n = 4 meses 
i = 5,5% ao mês. 
PMT = R$ 5.000,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.2 VALOR D PRESTAÇÃO DE UMA SÉRIE “POSTECIPADA” 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 33: Um eletrodoméstico é vendido a vista por R$ 1.200,00. Qual deve 
ser o valor da prestação na venda em três prestações mensais iguais e sem 
entrada, se o custo financeiro do lojista é de 4% ao mês? 
 
Dados: 
PV = R$ 1.200,00 
i = 4% ao mês 
n = 3 meses 
PMT = ? 
 
 
 
7.3 NÚMERO DE PRESTAÇÕES DE UMA SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO 
“POSTECIPADA” 
 
 
 
Solução 1 
 
PV = 5.000 
( , )
( , ) . ,
1 0 055 1
1 0 055 0 55
4
4
+ −
+
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ 
PV = 5.000 
( , )
( , ) . ,
1 055 1
1 055 0 055
4
4
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ 
 
PV = 5.000 
1 238825 1
1 238825 0 055
, ...
, ... ,
−⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥x 
 
PV = 5.000 
0 238825
0 068135
, ...
, ...
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ 
PV = 5.000 [ ]3 505150, ... 
PV = R$ 17.525,75 
Solução 3 (HP 12C) 
 
[f] FIN 
5000 [CHS] PMT 
4 [n] 
5,5 [i] 
PV 
R$ 17.525,75 
Solução 2 (HP 12C) 
 
5.000 [ENTER] 
1,055 [ENTER] 
4 [yx] 
1 [-] 
1,055 [ENTER] 
4 [yx] 
0,055 [x] [:] [x] 
R$ 17.525,75 
PMT = PV ( ) .
( )
1
1 1
+
+ −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
i i
i
n
n 
Solução 1 
PMT = 1.200 
( , ) . ,
( , )
1 0 04 0 04
1 0 04 1
3
3
+
+ −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ = 
R$ 532,42 
Solução 2 (HP 12C) 
 
[f] FIN 
1.200 [PV] 
3 [n] 
4 [i] 
PMT 
R$ 432,42 
n = LN PV PMT i
LN i
[ ( / ). ]
( )
1
1
−
+ 
Matemática Financeira com HP-12C 
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45
EXEMPLO 34: Com base nos dados do exemplo 32, achar o prazo da operação. 
 
Dados: 
PV = R$ 17.525,75 
PMT = R$ 5.000 
i = 5,5% ao mês 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.4 CÁLCULO DA TAXA DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO UNIFORME 
“POSTECIPADA” 
 
Para o cálculo da taxa de juros, aconselha-se usar somente a HP 12C, tendo em 
vista que o cálculo algébrico é muito complexo. 
 
EXEMPLO 35: Com base nos dados do Exemplo 33, achar a taxa de juros. 
 
Dados: 
PV = R$ 1.200,00 
n = 3 meses 
PMT = R$ 432,42 
i = ? 
 
 
 
 
 
 
7.5 SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS “ANTECIPADOS” 
 
Esta é uma metodologia aplicada em situações de financiamento com prestações 
ou pagamentos iguais e sem entrada. 
 
7.5.1 Fórmulas para série de pagamentos antecipados 
 
Solução 1 
 
n = - LN
LN
[ ( . , / . ). , ]
( , )
1 17 525 75 5000 0 055
1 0 055
−
+ 
n = - LN
LN
( , )
( , )
0 80721675
1 055
= 4 
Solução 2 (HP 12C) 
 
[f] FIN 
17.525,75 [PV] 
5.000 [CHS] [PMT] 
5,5 [i] 
n 
4 meses 
 
Solução 1: (HP 12C) 
 
[f] FIN 
1.200 [PV] 
432,42 [CHS] [PMT] 
2 [n] 
i 
4% ao mês. 
Matemática Financeira com HP-12C 
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46
Na HP 12C, o procedimento é semelhante ao efetuado nas séries de pagamentos 
postecipados, porém, a calculadora deve conter a expressão BEGIN no seu visor, 
para tanto, basta pressionar a seqüência teclas [g] [BEG] 
 
7.5.1.1 Fórmula do valor presente 
 
 
 
 
 
 
 
7.5.1.2 Fórmula da prestação 
 
 
 
 
 
 
7.6 VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 36: Qual é o montante que um poupador acumula em 12 meses, se ele 
aplicar R$ 1.500,00, à taxa de 4,5% ao mês, no final de cada mês? 
 
Dados: 
PMT = R$ 1.500,00 
i = 4,5% ao mês. 
n = 12 meses 
FV = ? 
 
Solução 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PV = PMT 1 1 1− +⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥ +
−( )
( )
i
i
x i
n
 
PMT = PV ( ) .
( )
1
1 1
1+
+ −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
−i i
i
n
n 
FV = PMT ( )1 1+ −⎡⎣⎢
⎤
⎦⎥
i
i
n
 
Solução 1: 
 
FV = 1.500 
( , )
,
1 0 045 1
0 045
12+ −⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ 
FV = 1.500 
0 695881
0 045
,
,
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ 
FV = 1.500 [ ]15 464032, 
FV = R$ 23.196,05 
Solução 2: 
 
[f] FIN 
1.500 [CHS] [PMT] 
4,5 [i] 
12 [n] 
[FV] 
R$ 23.196,05