CÁLCULO NUMÉRICO

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1a Questão 
 
 
Toda medida Física apresenta um erro inerente. Dois erros são muito utilizados 
para avaliar o afastamento de um valor, supostamente, correto. Suponha que ao 
medir o diâmetro do eixo de um motor, um técnico encontrou o valor 35,42 mm. 
Ao examinar o manual do motor, a informação é de que o diâmetro deste eixo é de 
35,50 mm. Qual o erro percentual desta medição: 
 
 
 
1,08% 
 
8% 
 0,23% 
 0,08% 
 
0,35% 
 
 4a Questão 
 
 
 
 
 
2 
 -7 
 
3 
 
-3 
 -11 
 
 
 
 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 
1a Questão 
 
 
 
 
 
 
2 
 
3 
 
-3 
 
-11 
 -5 
 
 
 3a Questão 
 
 
As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o 
comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da 
velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em 
Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, 
entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica 
f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS 
AFIRMAR: 
 
 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação 
sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece 
informação sobre a angulação da reta. 
 
O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a 
angulação da reta. 
 
O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece 
informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal. 
 
O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece 
informação sobre a angulação da reta. 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Em cálculo numérico é necessário o conhecimentos de várias 
funções. Por exemplo, que função é definida pela sentença: 
função f definida de R em R na qual a todo x pertencente ao 
domínio R associa o elemento yde valor igual 
a ax2+bx+cx (onde a  R*, b e c  R) 
 
 
 
Função exponencial. 
 
Função afim. 
 
Função logaritma. 
 
Função linear. 
 Função quadrática. 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 + 1, calcule f(-1/4). 
 
 
 17/16 
 
2/16 
 
16/17 
 
9/8 
 
- 2/16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Sendo f e g funções de R em R, definida por f(x) = 3x - 4 e g(x) = 4x -3 calcule f(3) 
+g(2) . 
 
 
 
 6 
 
14 
 
 9 
 
 7 
 10 
 
 
 7a Questão 
 
 
Uma vendedora recebe R$ 1000,00 de salário fixo, mais R$ 0,05 para cada real faturado nas 
vendas. Sendo x o valor em reais correspondente às vendas mensais da referida vendedora, 
expresse seu salário em função de x. 
 
 
 
1000 - 0,05x 
 
50x 
 1000 + 0,05x 
 
1000 
 
1000 + 50x 
 
 
 
1a Questão 
 
 
 
 
 
 
-3 
 
3 
 
2 
 
-11 
 -5 
 
 
 2a Questão 
 
 
Seja f uma função de R em R, definida por f(x) = x2 - 1, calcule f(1/2). 
 
 
 - 3/4 
 
3/4 
 
- 4/3 
 
4/3 
 
- 0,4 
 
 4a Questão 
 
 
Arredonde para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536 
 
 
 
3,141 
 
3,14159 
 3,1416 
 
3,1415 
 
3,142 
 
 5a Questão 
 
 
Uma loja vende um produto por R$50,00, cada unidade, e cobra a taxa de R$5,00 pela 
entrega, independentemente da quantidade comprada pelo cliente. Determine a expressão 
do valor total a ser pago em reais, V(x), em função da quantidade x comprada incluindo a 
taxa de entrega. 
 
 
 
V(x) = 50x + 5 
 
V(x) = 50(x+5) 
 V(x) = 50x +5 
 
V(x) = 55 
 
V(x) = x50 + 5 
 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
 
 
3 
 
-11 
 
2 
 -7 
 
-3 
 
 7a Questão 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 2x - 7, calcule f(2). 
 
 
 
-11 
 
3 
 
-7 
 
2 
 -3 
 
 
 8a Questão 
 
 
O número binário (10000111101)2 tem representação na base decimal igual a: 
 
 
 
1086 
 1085 
 
10860 
 
10085 
 
1084 
 
 1a Questão 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. 
Qual o erro absoluto associado? 
 
 
 
1,008 m2 
 
99,8% 
 
0,2% 
 
0,992 
 0,2 m2 
 
 
 6a Questão 
 
 
Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da 
posição, velocidade e aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através 
de operações matemáticas denominas de derivação e integração. Entre os diversos métodos 
numéricos para se obter a integral definida de uma função, podemos citar, 
com EXCEÇÃO de: 
 
 
 
Método do Trapézio. 
 
Regra de Simpson. 
 
Extrapolação de Richardson. 
 Método da Bisseção. 
 
Método de Romberg. 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x3 - 9x + 3 utilizando o Método 
da Bisseção. Realize 2 iterações. Intervalo inicial de x0=0 e x1=0.5. Após a realização das 
iterações diga o valor encontrado para x3. 
 
 
 
1 
 
0,4 
 
0.25 
 0, 375 
 
0.765625 
 
 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e a determinação de intervalos 
sucessivos em torno da raiz xR . Os expoentes numéricos indicam a sequência 
de iteração. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido com: 
 
 
 Ponto fixo 
 Gauss Jacobi 
 Bisseção 
 Newton Raphson 
 Gauss Jordan 
1a Questão 
 
 
Em que intervalo numérico abaixo a função f(x) = x3-8x+1 possui pelo menos uma raiz real? 
 
 
 (0, 0.5) 
 
(1, 1.5) 
 
(0.5, 1) 
 
(1.5, 2) 
 
(-0.5, 0) 
 
 2a Questão 
 
 
Seja h uma função contínua, real de variável real. Sabe-se que h(-1) = 4; h(0) = 0; h(1) = 
8. Seja uma função g definida como g(x) = h(x) - 2. Sobre a equação g(x) = 0 pode-se 
afirmar que: 
 
 
 
não tem raízes reais 
 tem uma raiz 
 
nada pode ser afirmado 
 pode ter duas raízes 
 
tem três raízes 
 
 
 3a Questão 
 
 
Usando um método iterativo para buscar a raiz da equação f(x) = 0 são 
encontrados os valores: x1= 2,79 x2 = 2,75 x3= 2,74 x4 
= 2,735 x5=2,734. Considerando que o critério de parada é obter um valor para a 
raiz cujo erro absoluto seja menor que 0,01, qual o maior valor que pode ser adotado 
para a raiz ? 
 
 
 x4 
 x2 
 
x5 
 
x3 
 
x1 
 
 4a Questão 
 
 
Deseja-se buscar a raiz de uma equação f(x) =0 no intervalo [1,5] . Pelo método da 
bisseção o intervalo a ser testado para a raiz na 1ª iteração deve ser escolhido como: 
 
 
 [1,3] se f(1). f(3) < 0 
 
[1,3] se f(1). f(3) > 0 
 
[3,5] se f(3). f(5) > 0 
 
 [1,2 ] se f(1). f(2) < 0 
 
 [2,5] se f(2).f(5) >0 . 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Cálculo Numérico e Programação Computacional estão intimamente relacionados, 
pois este segundo procedimento, com suas metodologias de programação 
estruturada, é ideal para a execução de rotinas reiteradas. Com relação a este 
contexto, NÃO podemos afirmar: 
 
 
 
A programação estruturada consegue através da decomposiçãode um problema 
melhorar a confiabilidade do mesmo. 
 
A programação estruturada tem como essência a decomposição do problema, com o 
objetivo de facilitar o entendimento de todos os procedimentos. 
 A programação estruturada apresenta estruturas de cálculo sem que as mesmas 
contenham rotinas repetitivas. 
 
A programação estruturada se desenvolve com a decomposição do problema em 
etapas ou estruturas hierárquicas. 
 
A programação estruturada é uma forma de programação de computadores básica 
que tem como um dos objetivos facilitar o entendimento dos procedimentos a serem 
executados. 
 
 
 6a Questão 
 
 
A teoria da Computação Numérica se baseia em estabelecer rotinas reiteradas de cálculos 
matemáticos com o intuito de se obter solução aproximada ou mesmo exata para um 
determinado problema. Neste contexto, é ideal que uma rotina de cálculo seja 
implementada em um computador, sendo utilizadas algumas estruturas lógicas básicas. Com 
relação a estas estruturas, NÃO PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
 
As estruturas repetitivas, sequenciais e seletivas utilizam com frequência os 
"pseudocódigos" para expressarem as ações a serem executadas. 
 Estruturas repetitivas representam ações que se repetem um número indeterminado 
de vezes. Em pseudocódigo podem ser representadas pela palavra inglesa "until". 
 
Estruturais repetitivas representam ações condicionadas a um critério de parada, às 
vezes determinado em pseudocódigo pela palavra inglesa "while". 
 
Estruturas sequenciais representam ações que seguem a outras ações 
sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra. 
 
Estruturas seletivas são aquelas que possuem ações que podem ser realizadas ou 
não. No pseudocódigo estas estruturas são representadas diversas vezes pela 
palavra inglesa "if". 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Suponha a função contínua, definida por f(x) = x3 -10 . Marque o intervalo em que existe 
pelo menos uma raiz real da equação f(x) = 0. 
 
 
 [2,3] 
 
 [0,1] 
 
[-2,-1] 
 
[1,2] 
 
[-1,0] 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Analisando a função y = 3x4 - 1 , usando o teorema de Bolzano, a conclusão 
correta sobre suas raízes no intervalo [ -1, 0 ] é: 
 
 
 tem nº ímpar de raízes pois f(-1) .f(0) < 0 
 
tem nº ímpar de raízes pois f(-1) .f(0) > 0 
 
não tem raízes nesse intervalo 
 
tem nº par de raízes pois f(-1) .f(0) < 0 
 
tem nº par de raízes pois f(-1) .f(0) > 0 
1a Questão 
 
 
A substituição de um processo infinito por um finito resulta num erro como o que acontece em 
0,435621567...= 0,435. Esse erro é denominado: 
 
 
 De truncamento 
 
Relativo 
 
De modelo 
 
Absoluto 
 
Percentual 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Suponha um polinômio P(x) = x18 - 3x6 + 1. Sobre a equação P(x) = 0, é possível afirmar 
que existe ao menos uma raiz real em qual dos intervalos abaixo? 
 
 
 
(2,5; 3) 
 (0; 1) 
 
(1,5; 2) 
 
(3; 4) 
 
(4, 5) 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Considere a função f(x) = x^3 - 2x e o intervalo [1, 3]. Utilizando o método da falsa 
posição, qual o valor da raiz após a primeira iteração. 
 
 
 
0,55 
 
1,85 
 
1,00 
 1,14 
 
1,56 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere uma função real de R em R denotada por f(x). Ao se representar a função f(x) 
num par de eixos xy. percebe-se que a mesma intercepta o eixo horizontal x. Quanto a este 
ponto, é correto afirmar que: 
 
 
 
É o valor de f(x) quando x = 0 
 
É a abscissa do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 
É a ordenada do ponto em que a derivada de f(x) é nula 
 É a raiz real da função f(x) 
 
Nada pode ser afirmado 
 
 
 6a Questão 
 
 
Sejam os vetores u = (0,2), v = (-2,5) e w = (x,y) do R2. Para que w = 3u + v, devemos 
ter x + y igual a: 
 
 
 
5 
 2 
 
18 
 
10 
 9 
 
 
1a Questão 
 
 
Determine, utilizando o método de newton-raphson, qual a raiz da equação f(x) = 3x4-x-
3 utilizando x0 = 1. Aplique duas iterações do método e indique a raiz encontrada. (Utilize 
quatro casas decimais para as iterações) 
 
 
1.9876 
 1.0800 
 
1.0245 
 
1.0909 
 
1.0746 
 
 2a Questão 
 
 
Considere a função f(x) = ex - 10 e o intervalo (0, 3). Utilizando o método de Newton Raphson, 
com uma única iteração, determine aproximadamente a raiz real da equação f(x) =0 no intervalo 
considerado. 
Dados: x0 = 2 / e2 = 7,3875 
 
 
 
3,104 
 
3,254 
 
2.154 
 2,854 
 2,354 
 
 3a Questão 
 
 
Considere a função polinomial f(x) = 4x3 - 5x. Existem vários métodos iterativos para se 
determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson - Método das 
Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 1, a próxima iteração (x1) será: 
 
 
 1,143 
 2,143 
 
3,243 
 
1,243 
 
2,443 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Qual método procura a aproximação para o valor da raiz usando a derivada da função? 
 
 
 
 
Bisseção 
 Newton Raphson 
 
Gauss Jordan 
 
Ponto fixo 
 
Gauss Jacobi 
 
 
 5a Questão 
 
 
Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva. 
 
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como: 
 
 
 
 
Gauss Jordan 
 Newton Raphson 
 
Bisseção 
 
Gauss Jacobi 
 
Ponto fixo 
 
 6a Questão 
 
 
Considere a equação x3 - 3x2 + 3x - 3 = 0. É possível afirmar que existe uma raiz real desta 
equação em que intervalo? 
 
 
 
(1, 2) 
 (-2, -1) 
 
(0, 1) 
 
(-1, 0) 
 (2, 3) 
 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
O método do ponto fixo, é um método que permite encontrar as raízes de uma equação f(X) 
através de: 
 
 
 
 
Uma expressão que seja uma das possíveis derivadas de f(x). 
 
Uma reta tangente à expressão f(x). 
 Um sistema linear das possíveis expressões de baseadas em f(x). 
 
Uma aproximação da reta tangente f(x). 
 Uma expressão fi(x) baseada em f(x). 
 
 
 8a Questão 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o 
gráfico que corresponde aos MÉTODO DO PONTO FIXO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1a Questão 
 
 
Utilize o Método de Newton para encontrar a sua raiz aproximada x2 na função f(x) = 2 - 
3ln(x) dado x0=0,5. 
 
 
 
1,67 
 1,77 
 
1,70 
 
1,17 
 
1,87 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de 
Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a 
realização da iteração diga o valor encontrado para x1. 
 
 
 2 
 
-2 
 
1.75 
 
-1 
 
1 
 
 
 3a Questão 
 
 
No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os 
métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos. 
 
 
 
no método direto o número de iterações é um fator limitante. 
 
não há diferença em relação às respostas encontradas. 
 
Os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para 
o problema 
 
o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não. 
 o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não 
conseguir. 
 
 
 4a Questão 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes(zeros) de funções reais, indique o 
gráfico que corresponde aos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
O método de Newton-Raphson utiliza a derivada f´(x) da função f(x) para o cálculo da raiz 
desejada. No entanto, existe um requisito a ser atendido: 
 
 
 
A derivada da função não deve ser positiva em nenhuma iteração intermediária. 
 
A derivada da função deve ser negativa em todas as iterações intermediárias. 
 
A derivada da função não deve ser negativa em nenhuma iteração intermediária. 
 A derivada da função não deve ser nula em nenhuma iteração intermediária. 
 
A derivada da função deve ser positiva em todas as iterações intermediárias. 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir 
de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente 
pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das 
abscissas." Esse método é conhecido como: 
 
 
 Método de Newton-Raphson 
 
Método do ponto fixo 
 
Método de Pégasus 
 
Método da bisseção 
 
Método das secantes 
 
 
 7a Questão 
 
 
Uma equação f(x) = 0 é resolvida por um método iterativo. Dois valores consecutivos, a 
quinta e sexta iterações, valem, respectivamente 1,257 e 1,254. Considerando como critério 
de parada o erro absoluto igual a 0,01, marque a afirmativa correta. 
 
 
 O valor 1,254 pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) = 0, 
uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. 
 
O valor 1,254 não pode ser escolhido para ser a raiz aproximada da equação f(x) 
= 0, uma vez que 1,257 - 1,254 = 0,003 < 0,01. 
 
É verdade que f(1,257) - f(1,254) = 0,01 
 
É verdade que f(0) = 1,254 
 
Qualquer um dos dois valores pode ser arbitrado para ser raiz aproximada da 
equação f(x) = 0. 
 
1a Questão 
 
 
Para resolvermos um sistema de equações lineares através do método de Gauss-Jordan, nós 
representamos o sistema usando uma matriz e aplicamos operações elementares até que ela 
fique no seguinte formato: Obs: Considere como exemplo uma matriz 3X3. Considere que * 
representa um valor qualquer. 
 
 
 
1 0 0 | * 
1 1 0 | * 
1 1 1 | * 
 1 1 1 | * 
0 1 1 | * 
0 0 1 | * 
 1 0 0 | * 
0 1 0 | * 
0 0 1 | * 
 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
0 0 1 | * 
 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
1 1 1 | * 
 
 
 2a Questão 
 
 
Uma maneira de resolver um sistema linear é utilizando a eliminação de Gauss. Este método 
pode ser resumido como: 
 
 
 
Encontrar uma matriz equivalente com (n-1) linhas 'zeradas'. 
 Determinar uma matriz equivalente não inversível 
 
Determinar uma matriz equivalente com determinante nulo 
 Encontrar uma matriz equivalente escalonada 
 
Determinar uma matriz equivalente singular 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considere um sistema linear 2 x 2, isto é, duas equações e duas incógnitas. Ao fazer a 
representação no plano cartesiano xy tem-se duas retas concorrentes. A respeito deste 
sistema podemos afirmar que: 
 
 
 
nada pode ser afirmado. 
 apresenta uma única solução 
 
apresenta ao menos uma solução 
 
não apresenta solução 
 
apresenta infinitas soluções 
 
 
 4a Questão 
 
 
Os sistemas lineares com duas equações e duas incógnitas apresentam uma interpretação 
geométrica para as diversas possibilidades de solução. Assinale a opção incorreta. 
 
 
 
O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas 
coincidentes 
 O sistema linear 2 x 2 possível e indeterminado é representado por duas retas 
coincidentes 
 
O sistema linear 2 x 2 nem sempre tem solução 
 O sistema linear 2 x 2 possível e determinado é representado por duas retas 
paralelas 
 
O sistema linear 2 x 2 impossível é representado por duas retas paralela 
 
 
 5a Questão 
 
 
Os valores de x1,x2 e x3 são: 
 
 
 
 -1, 3, 2 
 
2,-1,3 
 
1,-2,3 
 
-1,2, 3 
 
1,2,-3 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Resolva o sistema de equações abaixo e enconte x1 e x2: 
5x1 + 4x2 = 180 
4x1 + 2x2 = 120 
 
 
 
 x1 = 20 ; x2 = 20 
 
x1 = 18 ; x2 = 18 
 x1 = -10 ; x2 = 10 
 
x1 = -20 ; x2 = 15 
 
x1 = 10 ; x2 = -10 
 
 7a Questão 
 
 
Dado o seguinte sistema linear: 
x + y + 2z = 9 
2x + 4y -3z = 1 
3x + 6y - 5z = 0 
Determine utilizando o método de Gauss -Jordan os valores de x, y e z. 
 
 
 
x=3, y=1, z=2. 
 x=-3, y=1, z=-2. 
 
x=2, y=4, z=6. 
 x=1, y=2, z=3. 
 
x=-2, y=4, z=-6. 
 
 
 8a Questão 
 
 
Em Cálculo Numérico possuímos o Método de Lagrange para a interpolação polinomial de 
funções quando conhecemos alguns pontos das mesmas. Considerando este método como 
referência, determine o "polinômio" que melhor representa os pontos (1,3), (4,9), (3,7) e 
(2,5). 
 
 
 
y=x3+1 
 y=2x+1 
 
y=2x-1 
 
y=2x 
 
y=x2+x+1 
1a Questão 
 
 
A Pesquisa Operacional é uma forte ferramenta matemática que se utiliza basicamente de 
sistemas lineares para "modelar" uma determinado contexto em que temos um problema 
físico, econômico, financeiro etc. Entre as opções oferecidas a seguir, identifique qual método 
numérico PODE ser utilizado para a resolução de sistemas lineares. 
 
 
 Método de Gauss-Jordan. 
 
Método da bisseção. 
 
Método do ponto fixo. 
 Método de Newton-Raphson. 
 
Método da falsa-posição. 
 
 
 2a Questão 
 
 
O sistema de equações lineares abaixo pode ser representado em uma matriz estendida 
como: 
2x+3y-z = -7 
x+y+z = 4 
-x-2y+3z = 15 
 
 
 1 0 0 | -7 
 0 1 0 | 4 
 0 0 1 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
 1 2 3 | 15 
 
 2 3 1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 2 3 -1 | -7 
 1 1 1 | 4 
-1 -2 3 | 15 
 
 2 1 1 | -7 
 3 1 -2 | 4 
-1 1 3 | 15 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
 
Resolva o sistema de equações abaixo e encontre x e y: 
3x - 2y = - 12 
5x + 6y = 8 
 
 
 
 x = - 2 ; y = -5 
 
x = 5 ; y = -7 
 x = -2 ; y = 3 
 
x = 2 ; y = -3 
 
x = 9 ; y = 3 
 
 
 4a Questão 
 
 
A resolução de sistemas lineares pode ser feita a partir de métodos diretos ou iterativos. Com 
relação a estes últimos é correto afirmar, EXCETO, que: 
 
 
 
Apresentam um valor arbitrário inicial. 
 Sempre são convergentes. 
 
Existem critérios que mostram se há convergência ou não. 
 As soluções do passo anterior alimentam o próximo passo. 
 
Consistem em uma sequência de soluções aproximadas 
 
 
 5a Questão 
 
 
Marque o item correto sobre o Método Eliminação de Gauss: 
 
 
 
Utiliza o conceito de matriz quadrada. 
 É utilizado para a resolução de sistema de equações lineares. 
 
É utilizado para encontrar a raiz de uma função. 
 Nenhuma das Anteriores. 
 
É utilizado para fazer a interpolação de dados. 
 
1a Questão 
 
 
A sentença "valor do módulo do quociente entre o erro absoluto e o número exato" expressa 
a definição de: 
 
 
 
 
Erro derivado 
 Erro relativo 
 Erro conceitual 
 
Erro absoluto 
 
Erro fundamental 
 
 
 2a Questão 
 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio que melhor se ajuste aos 
pontos dados. Suponha que você tenha que determinar por interpolação o polinômio P(x) 
que se ajuste aos pontos pontosA (1,2), B(-1,-1), C(3, 5).e D(-2,8). Qual dos polinômios 
abaixo pode ser P(x) 
 
 
 
Um polinômio do quinto grau 
 Um polinômio do terceiro grau 
 Um polinômio do quarto grau 
 
Um polinômio do décimo grau 
 
Um polinômio do sexto grau 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de 
uma comunidade em função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), 
nos quais "x" representa o tempo e "y" representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e 
(4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de uma função, que ramo do 
Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA. 
 
 
 Interpolação polinomial. 
 
Derivação. 
 
Integração. 
 
Determinação de raízes. 
 
Verificação de erros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que 
devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das 
funções descritas a seguir, qual é a mais adequada? 
 
 
 Função linear. 
 
Função cúbica. 
 
Função quadrática. 
 
Função exponencial. 
 
Função logarítmica. 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere o seguinte sistema linear: 
 
 
 
Utilizando o método da eliminação de Gauss Jordan, qual o sistema escalonado na forma reduzida? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Numa situação experimental, um engenheiro sabe que o carregamento distribuído sobre uma 
viga é um arco de parábola dado pela equação w(x) = a.x2 + b.x, onde x é dado em metros 
e W(x) em kN/m. A viga tem comprimento l = 2 m e, nas extremidades, o carregamento é 
zero. Além disso, no ponto médio da viga W vale 2 kN/m. Encontre a função para W(x) 
 
 
 W(x) = -2.x2 + 4x 
 
W(x) = x2 + 4x 
 
W(x) = 2.x2 + 4x 
 
 
W(x) = - x2 + 4x 
 
W(x) = -2.x2 + 2x 
 
 8a Questão 
 
 
Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje encontrar o polinômio 
P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método de Newton ou método de Lagrange. 
Qual o maior grau possível para este polinômio interpolador? 
 
 
 
grau 20 
 grau 30 
 grau 31 
 
grau 32 
 
grau 15 
1a Questão 
 
 
Em Cálculo Numérico, existem diversos métodos para a obtenção de raízes de uma equação 
através de procedimentos não analíticos. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica 
utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=6-x2 e x0=1,5, 
verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a 
resposta CORRETA. 
 
 
 
Há convergência para o valor -59,00. 
 Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz. 
 
Há convergência para o valor - 3475,46. 
 
Há convergência para o valor -3. 
 
Há convergência para o valor 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Considere o gráfico de dispersão abaixo. 
 
 
 
Analisando o gráfico acima, qual a curva que os pontos acima melhor se ajustam? 
 
 
 
 Y = a.log(bx) 
 Y = a.2-bx 
 Y = ax + 2 
 
Y = ax2 + bx + 2 
 
Y = b + x. ln(2) 
 
 3a Questão 
 
 
Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro 
absoluto e o erro relativo. 
 
 
 0,026 E 0,023 
 
0,023 E 0,026 
 
0,026 E 0,026 
 
0,023 E 0,023 
 0,013 E 0,013 
 
 4a Questão 
 
 
A interpolação polinomial consiste em encontrar um polinômio de grau igual ou menor que n 
que melhor se ajuste aos n +1 pontos dados. Existem várias maneiras de encontrá-lo, dentre 
as quais podemos citar: 
 
 
 o método de Lagrange 
 
o método de Raphson 
 
o método de Runge Kutta 
 o método de Pégasus 
 
o método de Euller 
 
 
 5a Questão 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique o gráfico 
que corresponde aos MÉTODO DAS SECANTES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Você é estagiário de uma empresa de engenharia que trabalha com testes em peças para 
grandes motores. Em um ensaio laboratorial você gera 10 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., 
(x9,f(x9))). Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses 
pontos. A respeito deste polinômio é verdade que: 
 
 
 
Nunca poderá ser do primeiro grau 
 
Poderá ser do grau 15 
 
Pode ter grau máximo 10 
 Será de grau 9, no máximo 
 
Sempre será do grau 9 
 
 
1a Questão 
 
 
Dado (n + 1) pares de dados, um único polinômio de grau ____ passa através dos dados (n + 1) pontos. 
 
 
 
n 
 
menor ou igual a n + 1 
 menor ou igual a n 
 
menor ou igual a n - 1 
 
n + 1 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Se u = (5,4,3) e v = (3,5,7), calcule u + 2v 
 
 
 
 
(13,13,13) 
 
(8,9,10) 
 (11,14,17) 
 
(10,8,6) 
 
(6,10,14) 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma 
estrutura de concreto. 
 
 
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo 
 
 
 
 Y = b + x. ln(a) 
 
Y = ax + b 
 
 Y = b + x. log(a) 
 Y = ax2 + bx + c 
 
Y = abx+c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Calcular pela regra do Trapézio usando 5 pontos e sabendo-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
5,125 
 3,985 
 
4,785 
 
7,970 
 
2,395 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Experimentos laboratoriais visando a obtenção de pares ordenados (x,y) e posterior 
interpolação de funções é uma das aplicações do Cálculo Numérico. Por exemplo, 
empiricamente foram obtidos os seguintes pontos (-3,9), (-2,4), (0,0), (3,9), (1,1) e (2,4) 
que devem fornecer uma função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. 
Das funções descritas a seguir, qual é a mais adequada? 
 
 
 
Função cúbica. 
 Função exponencial. 
 
Função linear. 
 Função quadrática. 
 
Função logarítmica. 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes 
devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de 
integração conhecido como regra dos trapézios. A aplicação deste método consiste em 
dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = (b ¿ a)/n. 
Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida: 
 
 
 
Nunca se altera 
 
Varia, diminuindo a precisão 
 
Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão 
 Varia, aumentando a precisão 
 
Nada pode ser afirmado. 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Dada a função f através do tabelamento a seguir, complete a tabela, e calcule, 
aproximadamente, o valor de usando o método dos trapézios com 3 casas decimais. 
 
 
 
 
 
 13,900 
 
 13,000 
 
 13,857 
 
 13,017 
 
 13,500 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Considere o conjunto de instruções: If A > B then C = A x B Else C = A/B Se os valores de A e 
B são, respectivamente, 10 e 2, determine o valor de C após esse conjunto de instruções ser 
executado. 
 
 
 20 
 
5Qualquer valor entre 2 e 10 
 
0 
 
Indefinido 
 
(13,13,13) 
 
 
 2a Questão 
 
 
Dados os pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x20,f(x20)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha 
que se deseje encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas 
as seguintes afirmativas: 
 
 I - Pode ser de grau 21 
II - Existe apenas um polinômio P(x) 
III - A técnica de Lagrange permite determinar P(x). 
 
Desta forma, é verdade que: 
 
 
 Todas as afirmativas estão erradas 
 Apenas II e III são verdadeiras. 
 
 
 Todas as afirmativas estão corretas 
 
 Apenas I e III são verdadeiras 
 
 Apenas I e II são verdadeiras 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
A dedução do método da secante utiliza qual método para encontrar a raiz de uma função? 
 
 
 Semelhança de triângulos. 
 
Semelhança de retângulos. 
 
Semelhança de círculos. 
 
Semelhança de quadrados. 
 
Nenhuma das anteriores. 
 
 
 
 
1a Questão 
 
 
Ao medir uma peça de 100cm o técnico anotou com erro relativo de 0,3% . Qual o 
valor do erro absoluto? 
 
 
 
 0,03 cm 
 0,3 cm 
 
99,7 cm 
 
3 cm 
 
97 cm 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Suponha que uma pessoa esteja realizando a medição de um terreno utilizando uma fita 
métrica à Laser. Marque a opção que contém os erros que ela poderá cometer na execução 
desta atividade, na seguinte sequencia: ERRO DO OPERADOR, ERRO DO SISTEMA 
(PROCESSO) e ERRO ALEATÓRIO, respectivamente. 
 
 
 marcação errada por tremor de terra, mal posicionamento da trena, marcação 
errada por baterias fracas. 
 
marcação errada por baterias fracas, mal posicionamento da trena, marcação 
errada por radiação solar intensa. 
 
marcação errada por radiação solar intensa, marcação errada por baterias fracas, 
mal posicionamento da trena. 
 
Nenhuma das Anteriores 
 mal posicionamento da trena, marcação errada por baterias fracas, marcação 
errada por radiação solar intensa. 
 
 
 3a Questão 
 
 
O valor da integral de f(x) = 2/x3, variando no intervalo de 1 a 2, é igual a 7,5. Utilizando 
um método de integração numérica qualquer, foi encontrado o valor aproximado de 7,75. 
Determine, respectivamente, os erros absoluto e relativo desta aproximação. 
 
 
 0,50 e o,30 
 
0,25 e 0,30 
 0,25 e 0,03 
 
0,025 e 0,03 
 
0,03 e 0,25 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes 
devemos utilizar métodos numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de 
integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n 
retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida cujos 
limites de integração são 0 e 3, n = 10, cada base h do retângulo terá que valor? 
 
 
 0,3 
 
30 
 
0,5 
 Indefinido 
 
3 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 124 cm, mas o valor correto era 
114 cm. Qual o erro relativo desta medição? 
 
 
 
 
0,88 % 
 
8,1 % 
 0,81 % 
 
10% 
 8,8 % 
 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número 
real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é: 
 
 
 2 
 3 
 
1 
 
2,5 
 
indeterminado 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Com respeito a propagação dos erros são feitas trê afirmações: 
I - o erro absoluto na soma, será a soma dos erros absolutos das parcelas; 
II - o erro absoluto da multiplicação é sempre nulo. 
III - o erro absoluto na diferença é sempre nulo. 
É correto afirmar que: 
 
 
 apenas II é verdadeira 
 
apenas III é verdadeira 
 
todas são verdadeiras 
 apenas I é verdadeira 
 
todas são falsas 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Considere o valor exato x = 3,1415926536 e o valor aproximado x¿ = 3, 14, o erro absoluto 
neste caso é: 
 
 
 0,14 
 
0,1415926536 
 0.0015926536 
 
3,1416 
 
3,14 
1a Questão 
 
 
Trunque para quatro casas decimais, o valor x= 3,1415926536 
 
 
 
3,142 
 
3,14159 
 
3,141 
 3,1415 
 
3,1416 
 
 
 2a Questão 
 
 
Ao realizar uma medida o técnico encontrou o valor 12 cm, mas o valor correto era 
13 cm. Qual o erro relativo desta medição? 
 
 
 
0,77% 
 
0,83% 
 7,7% 
 
0,077% 
 
8,3% 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
A sentença: "Valor do modulo da diferença numérica entre um numero exato e sua 
representação por um valor aproximado" apresenta a definição de: 
 
 
 Erro absoluto 
 
Erro derivado 
 
Erro relativo 
 
Erro conceitual 
 
Erro fundamental 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Suponha que tenhamos um valor aproximado de 16700 para um valor exato de 16650. 
Marque o item que possui o erro absoluto, relativo e percentual respectivamente, 
 
 
 50 , 0.0003 , 0.3% 
 
Nenhum dos itens anteriores 
 
500 , 0.003 , 0.3% 
 
50 , 0.003 , 0.003% 
 50 , 0.003 , 0.3% 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Ao realizar uma medida o técnico anotou o valor 135 cm, mas o valor correto era 
125 cm. Qual o erro relativo desta medição? 
 
 
 8 % 
 
7% 
 
0,074 % 
 
7,4 % 
 
0,08 % 
 
 
 6a Questão 
 
 
Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o valor 
aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir dessas informações, 
determine o erro relativo. 
 
 
 
 
0,30 
 
0,2667 
 
0,1266 
 
0,6667 
 0,1667 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Ao medir uma peça de 100cm o técnico anotou com erro relativo de 0,5% . Qual o 
valor do erro absoluto? 
 
 
 
5 cm 
 0,5 cm 
 
99,5 cm 
 
 95 cm 
 
0,05 cm. 
 
 
1a Questão 
 
 
Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e 
"y", tais como o tempo (variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o 
tempo (variável x) e o valor de um determinado índice inflacionário (variável y), entre 
outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam interpolar uma 
função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito 
através do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar: 
 
 
 As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) 
podem ser consideradas casos particulares da interpolação de Lagrange. 
 Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de 
Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y). 
 
Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" 
pontos. 
 
Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, 
precisamos de dois pontos (x,y). 
 
A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" 
pontos. 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Uma técnica importante de integração numérica é a de Romberg. Sobre este método é 
correto afirmar que: 
 
 
 
Só pode ser utilizado para integrais polinomiais 
 
É um método cuja precisão é dada pelos limites de integração 
 Tem como primeiropasso a obtenção de aproximações repetidas pelo método do 
trapézio 
 É um método de pouca precisão 
 
Tem como primeiro passo a obtenção de aproximações repetidas pelo método dos 
retângulos 
 
 
 4a Questão 
 
 
No método de Romberg para a determinação de uma integral definida de limites inferior e 
superior iguais a a e b, respectivamente, o intervalo da divisão é dado por hk = (a-b)/2 ^(k-
1). . Se a = 1, b = 0 e k =2, determine o valor de h. 
 
 
 
1/3 
 
1/4 
 
1/5 
 0 
 1/2 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Existem diversos métodos para a obtenção de uma integral definida, porém um deles aplica 
a regra do trapézio de forma repetida e "refina" a expressão obtida através da extrapolação 
de Richardson. Identifique nas opções a seguir o método que MAIS SE ADÉQUA ao 
descrito. 
 
 
 
Extrapolação de Richardson. 
 
Método da Bisseção. 
 
Método do Trapézio. 
 Regra de Simpson. 
 Método de Romberg. 
 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos 
numéricos para obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um 
destes processos, se baseia na sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se 
conjectura a existência de uma raiz ou algumas raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-
5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a ser adotado no método de 
investigação das raízes. 
 
 
 [2,3] 
 
[4,5] 
 
[5,6] 
 
[3,4] 
 
[4,6] 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que 
grau? 
 
 
 nunca é exata 
 
quarto 
 
segundo 
 
terceiro 
 primeiro 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um 
laboratório. Nesta análise concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam 
linearmente, ou seja, através de um polinômio P(x) do primeiro grau. Qual o número 
mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) por 
interpolação polinomial? 
 
 
 4 
 
5 
 
3 
 2 
 
1 
1a Questão 
 
 
O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, 
exigindo menos esforço computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros 
métodos através de cálculos sequenciais. As duas primeiras etapas são obtidas através 
R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações para a 
integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha 
R2,1 para a função f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas 
decimais. 
 
 
 
1,567 
 0,351 
 
1,053 
 
0,725 
 
0,382 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois 
intervalos, tem-se como resposta o valor de: 
 
 
 
0,3225 
 
0,2500 
 
0,2750 
 
0,3000 
 0,3125 
 
 
 3a Questão 
 
 
Na determinação de raízes de equações é possível utilizar o método iterativo conhecido 
como de Newton- Raphson. Seja a função f(x)= x4 - 5x + 2. Tomando-se x0 como ZERO, 
determine o valor de x1. SUGESTÃO: x1=x0- (f(x))/(f´(x)) 
 
 
 
0,6 
 0,4 
 
1,2 
 
0,8 
 
1,0 
 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento 
de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a 
Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo 
os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, 
podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de: 
 
 
 
Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos 
numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas. 
 Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não 
analíticos de obtenção do resultado. 
 
A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção 
de um algoritmo na resolução de um dado problema. 
 
Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar 
um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema. 
 
Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se 
pretende obter a solução numérica desejada. 
 
 
 
1a Questão 
 
 
Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados 
distintos no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do polinômio 
interpolador. Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio? 
 
 
 X
30 + 8X + 9 
 
X20 + 7X - 9 
 
X21 + 3X + 4 
 
X20 + 2X + 9 
 X
19 + 5X + 9 
 
 
 2a Questão 
 
 
Sendo f uma função de R em R, definida por f(x) = 3x - 5, calcule f(-1). 
 
 
 -8 
 -7 
 
2 
 
3 
 
-11 
 
 
 3a Questão 
 
 
as funções podem ser escritas como uma série infinita de potência. O cálculo do valor de sen(x) pode ser 
representado por: sen(x)= x - x^3/3! +x^5/5!+⋯ Uma vez que precisaremos trabalhar com um número finito 
de casas decimais, esta aproximação levará a um erro conhecido como: 
 
 
 erro booleano 
 
erro absoluto 
 erro de truncamento 
 
erro de arredondamento 
 
erro relativo 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Considere f (x) = x3 − 9x + 3. Considerando o teorema do valor intermediário, podemos afirmar que: 
 
 
 
Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) > 0 
 
Existe raiz no intervalo [-2,-1], pois f(-2) * f(-1) > 0 
 
Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) > 0 
 
Existe raiz no intervalo [-3,-2], pois f(-3) * f(-2) < 0 
 Existe raiz no intervalo [-4,-3], pois f(-4) * f(-3) < 0 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Dentre os métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais, indique 
o gráfico que corresponde aos MÉTODO DA BISSEÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
 
 
Newton-Raphson 
 Método de Euler 
 
Polinômio de Newton 
 
Método dos Trapézios Repetidos 
 
Método de Lagrange 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Na descrição do comportamento de sistemas físicos dinâmicos, frequentente utilizamos equações diferenciais 
que, como o nome nos revela, podem envolver derivadas de funções. Um método comum para resolução de 
equações diferenciais de primeira ordem é o Método de Euler, que gera pontos da curva aproximada que 
representa a resolução do sistema. Para gerarmos os pontos, utilizamos a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde "h" 
representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=1, gere o ponto da curva para 
k=1 e passo igual a 1. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
-2 
 
1 
 
0 
 
-1 
 2 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em 
uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o 
descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento 
matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c,onde "a", "b" e "c" representam números 
reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR: 
 
 
 
Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do 
tempo. 
 
O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica 
associada a função. 
 
Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos. 
 
A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal. 
 Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados 
vértice da parábola. 
1a Questão 
 
 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como 
solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), 
onde "h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da 
curva para k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
1 
 
-3 
 
0 
 3 
 
-2 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-
se que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por 
y=ex, determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
 
2,50 
 
3,00 
 
2,54 
 
1,00 
 1,34 
 
 
 
 
1a Questão 
O método da bisseção é uma das primeiras aquisições teóricas quando estudamos Cálculo 
Numérico e se baseia na sucessiva divisão de intervalo no qual consideramos a existência de 
raízes até que as mesmas (ou a mesma) estejam determinadas. Considerando a função 
f(x)= x3-3x2+4x-2, o intervalo [0,5], identifique o próximo intervalo a ser adotado no 
processo reiterado do método citado. 
 
 
 [3,5] 
 [0; 2,5] 
 
[2,5 ; 5] 
 
[0; 1,5] 
 
[3,4] 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Qual o resultado da seguinte operação: 
0,68723 x 10-1 - 0,4559 x 10-2 
 
 
 6,4164 x 10-2 
 
0,6416 x 10-1 
 
6,4164 x 10-3 
 
5,4164 x 10-3 
 
Nenhuma das anteriores. 
 
 
 3a Questão 
 
 
Dentre os conceitos apresentados nas alternativas a seguir, assinale aquela que NÃO pode 
ser enquadrada como fator de geração de erros: 
 
 
 
Uso de dados provenientes de medição: sistemáticos (falhas de construção ou 
regulagem de equipamentos) ou fortuitos (variações de temperatura, pressão) 
 Execução de expressão analítica em diferentes instantes de tempo. 
 
Uso de dados de tabelas 
 
Uso de rotinas inadequadas de cálculo 
 
Uso de dados matemáticos inexatos, provenientes da própria natureza dos números 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo 
numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares 
assinale a opção CORRETA. 
 
 
 Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares 
deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial 
escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema. 
 
Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário. 
 
O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de 
sistemas lineares. 
 
Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-
Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de 
iterações que o método de Gauss-Jacobi. 
 
Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o 
escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz 
identidade 
 
 
 7a Questão 
 
 
Em algumas modelagens físicas, nos deparamos com diversas situações em que devemos 
expressar condições de contorno através de equações lineares, que se organizam em um 
sistema. Considerando as opções a seguir, identifique aquela que NÃO se relaciona a 
relação destes sistemas. 
 
 
 
Método de Decomposição LU. 
 
Método de Gauss-Jacobi. 
 Método de Newton-Raphson. 
 
Método de Gauss-Jordan. 
 
Método de Gauss-Seidel. 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Suponha que você tenha determinado umas das raízes da função f(x) = 0 pelo método da bisseção e 
tenha encontrado o valor 1,010 mas o valor exato é 1,030. Assim, os erros absoluto e relativo valem, 
respectivamente: 
 
 
 
0,020 e 2,0% 
 2.10-2 e 1,9% 
 
3.10-2 e 3,0% 
 
0,030 e 3,0% 
 
0,030 e 1,9% 
1a Questão 
 
 
As equações diferenciais ordinárias (EDOs) têm grande aplicação nos diversos ramos da 
engenharia. Em algumas situações as EDOs precisam de um método numérico para resolvê-
las. Um dos métodos é o de Runge - Kutta de ordem " n". Em relação a este método são 
feitas as seguintes afirmações: 
I - é um método de passo dois 
II - há a necessidade de se calcular a função derivada 
III - não é necessário utilizar a série de Taylor 
É correto afirmar que: 
 
 
 todas estão erradas 
 
apenas II e III estão corretas 
 
todas estão corretas 
 
apenas I e III estão corretas 
 
apenas I e II estão corretas 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P- Q, 
se: 
 
 
 
 
a = b = c = d= e - 1 
 
 
2b = 2c = 2d = a + c 
 
b = a + 1, c = d= e = 4 
 
b - a = c - d 
 
 a x b = 6, a + 1 = b = c= d= e - 1 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. 
Qual o erro relativo associado? 
 
 
 1,008 m2 
 
99,8% 
 0,8% 
 
0,2 m2 
 
0,992