PC_2019-2_EP02_Polinomios_Analise de Sinal_GABARITO

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EP 02 – 2019-2 – Gabarito – Polinômios – Análise de Sinais Pré-Cálculo 
 
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Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
CEDERJ 
Gabarito – EP 02 
Pré-Cálculo 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 1: Fatore os polinômios a seguir e estude o seu sinal. Quando possível, apresente as 
conclusões na forma de intervalo, isto é, escreva as conclusões como um único intervalo ou como 
união de intervalos disjuntos (intervalos disjuntos não têm pontos em comum). 
a) 𝑝(𝑥) =
1
2
𝑥3 − 𝑥2 +
1
2
𝑥 − 1 b) 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 12 
c) 𝑠(𝑥) = 3𝑥4 + 14𝑥3 + 14𝑥2 − 8𝑥 − 8. 
Resolução: 
a) 𝑝(𝑥) =
1
2
𝑥3 − 𝑥2 +
1
2
𝑥 − 1. 
Note que, 𝑝(𝑥) =
1
2
𝑥3 − 𝑥2 +
1
2
𝑥 − 1 =
1
2
(𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2), ou seja, 𝑝(𝑥) =
1
2
𝑞(𝑥), 
onde 𝑞(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2 é um polinômio com coeficientes inteiros. 
As possíveis raízes racionais de 𝑞(𝑥) são inteiras, pois 𝑞(𝑥) é mônico (o coeficiente do termo de 
maior grau é 1) e estão entre os divisores do termo independente −2, que são: −1 , +1 , −2 , +2. 
Calculando os valores de 𝑞(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que somente 𝑥 = 2 é raiz de 
𝑞(𝑥) , pois 𝑞(2) = 23 − 2 ∙ 22 + 2 − 2 = 8 − 8 + 2 − 2 = 0 
e 𝑞(−1) ≠ 0 , 𝑞(1) ≠ 0 e 𝑞(−2) ≠ 0 , portanto 𝑥 = 2 é a única raiz de 𝑝(𝑥) . 
Dividindo 𝑞(𝑥) por 𝑥 − 2 obtemos (𝑥2 + 1), logo, 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥2 + 1) . 
Portanto, 𝑝(𝑥) =
1
2
𝑞(𝑥) =
1
2
 (𝑥 − 2)(𝑥2 + 1) . 
Como 𝑥2 + 1 ≥ 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ , então o sinal de 𝑝(𝑥) depende somente do sinal de 𝑥 − 2. 
Logo, 
𝑝(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 > 2 ⟺ 𝑥 ∈ (2 , +∞ ). 
𝑝(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 − 2 < 0 ⟺ 𝑥 < 2 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , 2) . 
𝑝(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 2 . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 12 
Vamos, inicialmente, buscar as raízes reais do polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 12 . 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 12, que são: 
−1 , +1 , −2 , +2 , −3 , +3 , −4 , +4 , −6 , +6 , −12 , +12 . 
 
EP 02 – 2019-2 – Gabarito – Polinômios – Análise de Sinais Pré-Cálculo 
 
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Calculando os valores de 𝑞(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que 
𝑞(−1) = (−1)3 + 3(−1)2 + 4(−1) + 12 = −1 + 3 − 4 + 12 = 10 ≠ 0 . Logo, −1 não é raiz 
desse polinômio. 
𝑞(1) = 13 + 3 ∙ 12 + 4 ∙ 1 + 12 = 1 + 3 + 4 + 12 = 20 ≠ 0 . Logo, 1 não é raiz desse polinômio. 
𝑞(−2) = (−2)3 + 3(−2)2 + 4(−2) + 12 = −8 + 12 − 8 + 12 = 8 ≠ 0 . Logo, −2 não é raiz 
desse polinômio. 
𝑞(2) = 23 + 3 ∙ 22 + 4 ∙ 2 + 12 = 8 + 12 + 8 + 12 = 40 ≠ 0 . Logo, 2 não é raiz desse 
polinômio. 
𝑞(−3) = (−3)3 + 3(−3)2 + 4(−3) + 12 = −27 + 27 − 12 + 12 = 0 . Logo, −3 é raiz desse 
polinômio. 
Dividindo 𝑞(𝑥) por 𝑥 − (−3) = 𝑥 + 3 , obtemos, 𝑥2 + 4 . 
Portanto, 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 12 = (𝑥 + 3)(𝑥2 + 4) . 
Como 𝑥2 + 4 ≥ 4 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ , então esse polinômio nunca se anula, não tem raízes reais. 
Assim, 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥 + 12 = (𝑥 + 3)(𝑥2 + 4) é a fatoração de 𝑞(𝑥) em ℝ . 
Como 𝑥2 + 4 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ , então o sinal do polinômio 𝑞(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥2 + 4) , depende 
apenas do sinal do fator linear 𝑥 + 3 . 
Portanto, 
𝑞(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 + 3 > 0 ⟺ 𝑥 > −3 ⟺ 𝑥 ∈ (−3 , +∞ ). 
𝑞(𝑥) < 0 ⟺ 𝑥 + 3 < 0 ⟺ 𝑥 < −3 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −3) . 
𝑞(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 + 3 = 0 ⟺ 𝑥 = −3 . 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) 𝑠(𝑥) = 3𝑥4 + 14𝑥3 + 14𝑥2 − 8𝑥 − 8 
A fatoração do polinômio 
)( xs
 envolve o estudo de raízes racionais e 
)( xs
 tem também raízes 
irracionais. Para fazer o estudo do sinal desse polinômio será preciso ordenar as raízes encontradas. 
É um exercício bem completo, acompanhe todos os passos dessa resolução. 
Vamos, inicialmente, buscar as raízes reais do polinômio 𝑠(𝑥) = 3𝑥4 + 14𝑥3 + 14𝑥2 − 8𝑥 − 8. 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente 8 , que são: 
−1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4 , −8 , +8. 
Calculando os valores de 𝑠(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que 
𝑠(−1) = 3(−1)4 + 14(−1)3 + 14(−1)2 − 8(−1) − 8 = 3 − 14 + 14 + 8 − 8 = 3 ≠ 0 . Logo, 
−1 não é raiz desse polinômio. 
𝑠(1) = 3 ∙ 14 + 14 ∙ 13 + 14 ∙ 1 − 8 ∙ 1 − 8 = 3 + 14 + 14 − 8 − 8 = 15 ≠ 0 . Logo, 1 não é raiz 
desse polinômio. 
 
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𝑠(−2) = 3(−2)4 + 14(−2)3 + 14(−2)2 − 8(−2) − 8 = 48 − 112 + 56 + 16 − 8 = 0 . Logo, 
−2 é raiz desse polinômio. 
Dividindo 𝑠(𝑥) por 𝑥 − (−2) = 𝑥 + 2 , obtemos, 3𝑥3 + 8𝑥2 − 2𝑥 − 4 . 
Portanto, 𝑠(𝑥) = 3𝑥4 + 14𝑥3 + 14𝑥2 − 8𝑥 − 8 = (𝑥 + 2)( 3𝑥3 + 8𝑥2 − 2𝑥 − 4). 
Vamos agora buscar as raízes do polinômio 𝑠1(𝑥) = 3𝑥
3 + 8𝑥2 − 2𝑥 − 4 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio, 𝑠1(𝑥) = 3𝑥
3 + 8𝑥2 − 2𝑥 − 4 , são os divisores do 
termo independente −4 , que são: −1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4. Como −1 e + 1 não são raízes de 
𝑠(𝑥) então também não são raízes de 𝑠1(𝑥) . De fato, como 𝑠(𝑥) = (𝑥 + 2)𝑠1(𝑥) então o valor 
de 𝑥 que anular 𝑠1(𝑥) , anula também 𝑠(𝑥) . 
Vamos testar −2 e + 2 . Calculando: 
 𝑠1(−2) = 3(−2)
3 + 8(−2)2 − 2(−2) − 4 = −24 + 32 + 4 − 4 = 8 ≠ 0 . Logo, −2 não é raiz 
desse polinômio. 
 𝑠1(2) = 3 ∙ 2
3 + 8 ∙ 22 − 2 ∙ 2 − 4 = 24 + 32 − 4 − 4 = 48 ≠ 0 . Logo, 2 não é raiz desse 
polinômio. 
Vamos testar −4 e + 4 . Calculando: 
 𝑠1(−4) = 3(−4)
3 + 8(−4)2 − 2(−4) − 4 = −192 + 128 + 8 − 4 = −60 ≠ 0 . Logo, −4 não é 
raiz desse polinômio. 
 𝑠1(4) = 3 ∙ 4
3 + 8 ∙ 42 − 2 ∙ 4 − 4 = 192 + 128 − 8 − 4 = 308 ≠ 0 . Logo, 4 não é raiz desse 
polinômio. 
Vamos verificar agora, as possíveis raízes racionais de 𝑠1(𝑥) . 
As possíveis raízes racionais "não inteiras" do polinômio 𝑠1(𝑥) = 3𝑥
3 + 8𝑥2 − 2𝑥 − 4 são os 
divisores do termo independente −4 , que são: −1 , +1 , −2 , +2 , −4 , +4, divididos pelos 
divisores do coeficiente do termo de maior grau, diferentes de −1 e + 1, que são: −3 , +3 . As 
possíveis raízes racionais "não inteiras" são: 
−
1
3
 , + 
1
3
 , −
2
3 
 , + 
2
3
 , −
4
3
 , + 
4
3
 
Calculando os valores de 𝑠1(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que 
 𝑠1 (−
1
3
) = 3 ∙ (−
1
3
)
3
+ 8 ∙ (−
1
3
)
2
− 2 ∙ (−
1
3
) − 4 = −3 ∙
1
33
+ 8 ∙
1
32
+
2
3
− 4 = −
23
9
≠ 0 . Logo, 
−
1
3
 não é raiz desse polinômio. 
 
 
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 𝑠1 (
1
3
) = 3 ∙ (
1
3
)
3
+ 8 ∙ (
1
3
)
2
− 2 ∙ (
1
3
) − 4 = 3 ∙
1
33
+ 8 ∙
1
32
 − 
2
3
− 4 = −
11
3
≠ 0 . Logo, 
1
3
 não é 
raiz desse polinômio. 
 𝑠1 (−
2
3
) = 3 ∙ (−
2
3
)
3
+ 8 ∙ (−
2
3
)
2
− 2 ∙ (−
2
3
) − 4 = −3 ∙
8
33
+ 8 ∙
4
32
+
4
3
− 4 = 0 . Logo, −
2
3
 é raiz 
desse polinômio. 
Dividindo 𝑠1(𝑥) por 𝑥 − (−
2
3
) = 𝑥 +
2
3
 , obtemos, 3𝑥2 + 6𝑥 − 6 . 
Portanto, 𝑠1(𝑥) = 3𝑥
3 + 8𝑥2 − 2𝑥 − 4 = (𝑥 +
2
3
 ) (3𝑥2 + 6𝑥 − 6 ). 
Buscando as raízes de 𝑠2(𝑥) = 3𝑥
2 + 6𝑥 − 6 : 
𝑥 = 
−6±√(6)2−4.3.(−6) 
2.3
 = 
−6±√108 
6
=−6±6√3 
6
= −1 ± √3 . 
Portanto, a fatoração do polinômio 𝑠2(𝑥) é: 
𝑠2(𝑥) = 3𝑥
2 + 6𝑥 − 6 = 3 (𝑥 − (−1 − √3 )) (𝑥 − (−1 + √3 )) 
Assim, 
𝑠(𝑥) = 3𝑥4 + 14𝑥3 + 14𝑥2 − 8𝑥 − 8 = 3(𝑥 + 2) (𝑥 +
2
3
 ) (𝑥 − (−1 − √3 )) (𝑥 − (−1 + √3 )) 
Para analisar o sinal do polinômio 𝑠(𝑥) , devemos analisar o sinal dos fatores lineares: 
𝑥 + 2 , 𝑥 +
2
3
 , 𝑥 + 1 + √3 , 𝑥 + 1 − √3 e depois multiplicar os sinais. 
Vamos fazer a tabela de sinais do polinômio 𝒔(𝒙) , mas para isso é preciso ordenar os números 
reais: −2 , −
2
3
 , −1 − √3 , − 1 + √3 , que são as raízes do polinômio 𝑠(𝑥) . 
Temos que: 
3 > 1 ⟺ √3 > √1 ⟺ √3 > 1 ⟺ √3 − 1 > 0 . 
Os números −2 , −
2
3
 , −1 − √3 são todos negativos e −2 < −
2
3
 . 
Vamos comparar −2 e − 1 − √3 . 
−1 − √3 < −2 ⟺ 2 < 1 + √3 ⟺ 2 − 1 < √3 ⟺ 1 < √3 . 
Como a última afirmação da direita é verdadeira, então pelas equivalências a afirmação −1 −
 √3 < −2 também é verdadeira. 
Portanto, −1 − √3 < −2 < −
2
3
 < −1 + √3 
 
 
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Tabela de sinais do polinômio 𝒔(𝒙), para 𝒙 ≤ −𝟐: 
 
 
 
 
 
 
 
Continuação da tabela, 𝑥 > −2 
 
Concluímos, portanto, que: 
𝑠(𝑥) = 3𝑥4 + 14𝑥3 + 14𝑥2 − 8𝑥 − 8 > 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −1 − √3 ) ∪ (−2 , −
2
3
 ) ∪
 (−1 + √3 , +∞ ). 
𝑠(𝑥) = 3𝑥4 + 14𝑥3 + 14𝑥2 − 8𝑥 − 8 < 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−1 − √3 , −2) ∪ ( −
2
3
 , −1 + √3 ) . 
𝑠(𝑥) = 3𝑥4 + 14𝑥3 + 14𝑥2 − 8𝑥 − 8 = 0 ⟺ 𝑥 ∈ { −2 , −
2
3
 , −1 − √3 , −1 + √3 } . 
________________________________________________________________________________ 
 
 −∞ < 𝑥 < −1 − √3 𝑥 = −1 − √3 −1 − √3 < 𝑥 < −2 𝑥 = −2 
𝑥 + 1 + √3 − − − − 0 + + + + + 
𝑥 + 2 − − − − − − − − − − − 0 
𝑥 +
2
3
 − − − − − − − − − − − 
𝑥 + 1 − √3 − − − − − − − − − − − 
Produto dos 
sinais 
+ + + + 0 − − − − − 0 
 −2 < 𝑥 < −
2
3
 𝑥 = −
2
3
 −
2
3
< 𝑥 < −1 + √3 𝑥 = −1 + √3 −1 + √3 < 𝑥 < +∞ 
𝑥 + 1 + √3 + + + + + + + + + + + + + + 
𝑥 + 2 + + + + + + + + + + + + + + 
𝑥 +
2
3
 − − − − 0 + + + + + + + + + 
𝑥 + 1 − √3 − − − − − − − − − − 0 + + + + 
Produto dos 
sinais 
+ + + + 0 − − − − − 0 + + + + 
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Exercício 2: Analise o sinal da expressão 𝐸(𝑥) =
𝑥3+𝑥2+𝑥+1
1−𝑥3
 . 
Resolução: 
Vamos fatorar o numerador 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 . 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente, 1 , que são: 
−1 , +1 . 
Calculando os valores de 𝑝(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que, 
𝑝(−1) = (−1)3 + (−1)2 + (−1) + 1 = −1 + 1 − 1 + 1 = 0 . Logo, 𝑥 = −1 é raiz do polinômio 
𝑝(𝑥). Dividindo 𝑝(𝑥) por 𝑥 − (−1) = 𝑥 + 1 , obtemos 𝑥2 + 1 . 
Portanto, 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)( 𝑥2 + 1). 
Como 𝑥2 + 1 ≥ 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ , então esse polinômio é irredutível nos reais e 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)( 𝑥2 + 1 ) está completamente fatorado em ℝ . 
Vamos fatorar o denominador 𝑞(𝑥) = 1 − 𝑥3 = −𝑥3 + 1 . 
As possíveis raízes inteiras desse polinômio são os divisores do termo independente, 1 , que são: 
−1 , +1. 
Calculando os valores de 𝑞(𝑥) nessas possíveis raízes, verificamos que, 
𝑞(1) = −(1)3 + 1 = −1 + 1 = 0 . Logo, 𝑥 = 1 é raiz do polinômio 𝑞(𝑥) = −𝑥3 + 1. 
Dividindo 𝑞(𝑥) por 𝑥 − 1 , obtemos 𝑥2 + 𝑥 + 1 . 
Assim, 𝑞(𝑥) = −𝑥3 + 1 = −(𝑥 − 1)( 𝑥2 + 𝑥 + 1) = (1 − 𝑥)( 𝑥2 + 𝑥 + 1) . 
Como o discriminante do trinômio do segundo grau 𝑥2 + 𝑥 + 1 , ∆ = (1)2 − 4.1.1 < 0 , então 
𝑥2 + 𝑥 + 1 é irredutível em ℝ e sendo o coeficiente do termo 𝑥2 , positivo, então 
𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ . Portanto, a fatoração de 𝑞(𝑥) é 𝑞(𝑥) = (1 − 𝑥)( 𝑥2 + 𝑥 + 1). 
Assim, 𝐸(𝑥) =
𝑥3+𝑥2+𝑥+1
1−𝑥3
=
(𝑥+1)( 𝑥2+1 ) 
(1−𝑥)( 𝑥2+𝑥+1)
 
Vamos fazer a tabela dos sinais para 𝐸(𝑥) . Como já mostramos anteriormente, 
 𝑥2 + 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ 𝑒 𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 , ∀ 𝑥 ∈ ℝ 
 
 
 
 
 
 
 (−∞, −1) −1 (−1, 1) 1 (1, ∞) 
𝑥 + 1 − − − − 0 + + + + 
+
 + + + + 
 𝑥2 + 1 + + + + + + + + + 
+
 + + + + 
1 − 𝑥 + + + + + + + + + 0 − − − − 
 𝑥2 + 𝑥 + 1 + + + + + + + + + 
+
 + + + + 
𝐸(𝑥) =
(𝑥 + 1)( 𝑥2 + 1 ) 
(1 − 𝑥)( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
 − − − − 0 + + + + 𝑛𝑑 − − − − 
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Assim: 
𝐸(𝑥) =
𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
1 − 𝑥3
=
(𝑥 + 1)( 𝑥2 + 1 ) 
(1 − 𝑥)( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
> 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−1 , 1) 
𝐸(𝑥) =
𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
1 − 𝑥3
=
(𝑥 + 1)( 𝑥2 + 1 ) 
(1 − 𝑥)( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
< 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −1) ∪ (1 , +∞) 
𝐸(𝑥) =
𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
1 − 𝑥3
=
(𝑥 + 1)( 𝑥2 + 1 ) 
(1 − 𝑥)( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
= 0 ⟺ 𝑥 = −1 
𝐸(𝑥) =
𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 1
1 − 𝑥3
=
(𝑥 + 1)( 𝑥2 + 1 ) 
(1 − 𝑥)( 𝑥2 + 𝑥 + 1)
 não pode ser calculado em 𝑥 = 1 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: Diga para que valores de 𝑥 ∈ ℝ , a expressão 𝐸(𝑥) =
√𝑥3+2𝑥2+3𝑥+2
𝑥−1
 pode ser 
calculada. 
Resolução: 
A expressão 𝐸(𝑥) =
√𝑥3+2𝑥2+3𝑥+2
𝑥−1
 pode ser calculada para ∀ 𝑥 ∈ ℝ , tal que, 
(I) 
0232 23 +++ xxx
, pois para que a raiz quadrada possa ser calculada é preciso que o 
radicando seja positivo ou nulo, e 
(II) 
01 −x
, pois o denominador não pode se anular. 
Resolvendo (I): 
Vamos fatorar o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 2. 
Buscando as raízes de 𝑝(𝑥). 
As possíveis raízes inteiras da equação são os divisores do termo independente 2 , que são 
±1 , ±2. Testando , 𝑥 = −1 , obtemos 𝑝(−1) = (−1)3 + 2(−1)2 + 3(−1) + 2 = 0. Assim, 𝑥 =
−1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Dividindo o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 2 por 𝑥 + 1 obtemos 𝑥2 + 𝑥 + 2 e 
𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 2 = (𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 2) 
Note que 𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 + 2 nunca se anula, pois o discriminante 
∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 12 − 4 ∙ 1 ∙ 2 = −7 < 0 e 𝑥2 + 𝑥 + 2 > 0 , para 
IR x
, pois o coeficiente de 
 𝑥2 é 
01 
. 
Portanto, o sinal do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 2 = (𝑥 + 1)(𝑥2 + 𝑥 + 2) depende 
apenas, do sinal de 
1+x
. 
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Logo, 
𝑝(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 + 1 > 0 ⟺ 𝑥 > −1 ⟺ 𝑥 ∈ (−1 , +∞ ). 
𝑝(𝑥) = 0 ⟺ 𝑥 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 = −1 . 
Portanto, 𝑝(𝑥) ≥ 0 ⟺ 𝑥 + 1 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≥ −1 ⟺ 𝑥 ∈ [−1 , +∞) . 
Resolvendo (II): 
𝑥 − 1 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 1 
De (I) e (II), concluímos que 𝑥 ∈ [−1 , +∞) 𝑒 𝑥 ≠ 1 
Portanto, concluímos que a expressão 𝐸(𝑥) =
√𝑥3+2𝑥2+3𝑥+2
𝑥−1
 pode ser calculada para 
𝑥 ∈ [−1 , 1) ∪ (1 , +∞) . 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 4: Encontre os valores de 𝑥 ∈ ℝ para os quais é possível calcular a expressão 
𝐸(𝑥) =
√(𝑥 − 2)5 (𝑥 + 3)4
4 − √(𝑥 − 4)(𝑥 + 2)
 
Resolução: 
Três condições devem ser satisfeitas para encontrarmos os valores de 𝑥 ∈ ℝ para os quais é 
possível calcular 𝐸(𝑥) . 
(I) O radicando (𝑥 − 2)5 (𝑥 + 3)4 ≥ 0 
(II) O radicando (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≥ 0 . 
(III) O denominador 4 − √(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≠ 0 
Precisamos encontrar a solução de cada condição e depoisfazer a interseção das três soluções. 
Resolvendo cada condição: 
(I) (𝑥 − 2)5 (𝑥 + 3)4 ≥ 0 
Como a potência de (𝑥 − 2) é ímpar, sabemos que: 
(𝑥 − 2)5 > 0 ⟺ 𝑥 − 2 > 0 ⟺ 𝑥 > 2 ; 
(𝑥 − 2)5 < 0 ⟺ 𝑥 − 2 < 0 ⟺ 𝑥 < 2 ; 
(𝑥 − 2)5 = 0 ⟺ 𝑥 − 2 = 0 ⟺ 𝑥 = 2 ; 
Como a potência de (𝑥 + 3) é par, sabemos que: 
 (𝑥 + 3)4 > 0 ⟺ 𝑥 + 3 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −3 ; 
 (𝑥 + 3)4 = 0 ⟺ 𝑥 + 3 = 0 ⟺ 𝑥 = −3 . 
 
 
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Tabela de sinais de (𝑥 − 2)5 (𝑥 + 3)4: 
 
 
 
 
 
A solução de (I) é 𝑆1 = {−3} ∪ [2 , +∞) 
II) (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≥ 0 
 −∞ < 𝑥 < −2 𝑥 = −2 −2 < 𝑥 < 4 
4=x
 4 < 𝑥 < +∞ 
𝑥 − 4 − − − − − − − − − 0 + + + + 
𝑥 + 2 − − − − 0 + + + + + + + + + 
(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) + + + + 0 − − − − 0 + + + + 
 
A solução de (II) é 𝑆2 = (−∞ , −2] ∪ [4 , +∞) 
III) 4 − √(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≠ 0 ⟺ √(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≠ 4 ⟺ (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) ≠ 16 
Vamos resolver a equação de segundo grau: (𝑥 − 4)(𝑥 + 2) = 16 
(𝑥 − 4)(𝑥 + 2) = 16 ⟺ 𝑥2 + 2𝑥 − 4𝑥 − 8 = 16 ⟺ 𝑥2 − 2𝑥 − 24 = 0 ⟺ 
𝑥 = 
2±√(−2)2−4.1.(−24) 
2.1
 = 
2±√4+96 
2
= 
2±√100 
2
=
 2±10 
2
 ⟹ 𝑥 = −4 ou 𝑥 = 6. 
Resolução de (III) é 𝑆 3 = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≠ −4 𝑒 𝑥 ≠ 6 }. 
Para visualizar melhor a interseção das 3 soluções, vamos visualizar cada uma na reta real: 
𝑺𝟏 = {−3} ∪ [2 , +∞) 𝑺𝟐 = (−∞ , −2] ∪ [4 , +∞) 𝑺 𝟑 = { 𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≠ −4 𝑒 𝑥 ≠ 6 } 
𝑺𝟏: 
𝑺𝟐: 
𝑺 𝟑: 
𝑺𝟏 ∩ 𝑺𝟐 ∩ 𝑺 𝟑: 
Portanto, concluímos que a expressão 𝐸(𝑥) =
√(𝑥−2)5 (𝑥+3)4
4− √(𝑥−4)(𝑥+2)
 pode ser calculada para 
𝑥 ∈ {−3} ∪ [4, 6) ∪ (6, +∞) . 
________________________________________________________________________________ 
 −∞ < 𝑥 < −3 𝑥 = −3 −3 < 𝑥 < 2 𝑥 = 2 2 < 𝑥 < +∞ 
(𝑥 − 2)5 − − − − − − − − − 0 + + + + 
 (𝑥 + 3)4 + + + + 0 + + + + + + + + + 
(𝑥 − 2)5 (𝑥 + 3)4 − − − − 0 − − − − 0 + + + + 
 
2−
 
 
4
 
3−
 
6
 
3−
 
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Exercício 5: Analise o sinal da expressão 𝐸(𝑥) =
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
 e diga para que valores de 𝑥 ∈ ℝ , a 
expressão 𝑬𝟏(𝑥) = √
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
 pode ser calculada. 
Resolução: 
Para que 𝑬𝟏(𝑥) = √
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
 possa ser calculada é preciso que: 
(I) O radicando, 𝐸(𝑥) =
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
 , seja positivo ou nulo, e 
(II) O denominador 
xx 22 −
não se anule. 
Resolvendo as duas restrições simultaneamente, precisamos fatorar o numerador 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 e 
o denominador 𝑥2 − 2𝑥 e impor que o denominador não se anule. 
Começando pelo mais simples, 𝑥2 − 2𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2). 
A segunda restrição é 𝑥2 − 2𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥(𝑥 − 2) ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑥 ≠ 2. 
Para fatorar o numerador, vamos encontrar as raízes da equação 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 = 0. 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente 1 , que são : −1 e + 1 . 
Testando 𝑥 = 1 , obtemos: 13 − 2 ∙ 12 + 1 = 1 − 2 + 1 = 0 . Logo, 𝑥 = 1 é raiz da equação. 
Dividindo 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 por 𝑥 − 1 encontramos 𝑥2 − 𝑥 − 1 e portanto, 
 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 = (𝑥 − 1)(𝑥2 − 𝑥 − 1) 
Assim, 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 = 0 ⟺ 𝑥 − 1 = 0 ou 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 ,. 
Analisando 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 : 
𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 
−(−1) ± √(−1)2 − 4.1. (−1)
2.1
 = 
1 ± √1 + 4 
2
=
1 ± √5 
2
 
Assim, 𝑥3 − 2𝑥2 + 1 = (𝑥 − 1) (𝑥 − (
1−√5
2
)) (𝑥 − (
1+√5
2
)). 
Portanto, o que queremos é que 
 (𝑥−1)(𝑥−(
1−√5
2
))(𝑥−(
1+√5
2
)) 
𝑥(𝑥−2)
 ≥ 0 e 𝑥 ≠ 0 e 𝑥 ≠ 2 . 
Vamos analisar o sinal da expressão 𝐸(𝑥) = 
 (𝑥−1)(𝑥−(
1−√5
2
))(𝑥−(
1+√5
2
)) 
𝑥(𝑥−2)
: 
Os valores de 𝑥 ∈ ℝ que anulam o numerador ou o denominador são: 
0 , 2 , 1 ,
1−√5
2
 ,
1+√5
2
. 
Ordenando esses números para incluir na tabela: 
1−√5
2
 < 0 < 1 < 
1+√5
2
 < 2 
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Tabela de sinais para 𝐸(𝑥) , para 𝑥 < 1: 
 −∞ < 𝑥 < 
1 − √5
2
 𝑥 =
1 − √5
2
 
1 − √5
2
< 𝑥 < 0 𝑥 = 0 0 < 𝑥 < 1 
𝑥 − 1 − − − − − − − − − − − − − − 
𝑥 − (
1 − √5
2
) − − − − 0 + + + + + + + + + 
𝑥 − (
1 + √5
2
) − − − − − − − − − − − − − − 
𝑥 − − − − − − − − − 0 + + + + 
𝑥 − 2 − − − − − − − − − − − − − − 
𝐸(𝑥) − − − − 0 + + + + 𝑛𝑑 − − − − 
Continuação da tabela, 𝑥 ≥ 1 
 𝑥 = 1 1 < 𝑥 < 
1 + √5
2
 𝑥 =
1 + √5
2
 
1 + √5
2
< 𝑥 < 2 𝑥 = 2 2 < 𝑥 < +∞ 
𝑥 − 1 0 + + + + + + + + + + + + + + 
𝑥 − (
1 − √5
2
) + + + + + + + + + + + + + + + 
𝑥 − (
1 + √5
2
) − − − − − 0 + + + + + + + + + 
𝑥 + + + + + + + + + + + + + + + 
𝑥 − 2 − − − − − − − − − − 0 + + + + 
𝐸(𝑥) 0 + + + + 0 − − − − 𝑛𝑑 + + + + 
Logo, o sinal da expressão 𝐸(𝑥) =
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
 é o seguinte: 
𝐸(𝑥) =
𝑥3 − 2𝑥2 + 1
𝑥2 − 2𝑥
 = 0 ⟺ 𝑥 =
1 − √5
2
 ou 𝑥 = 1 ou 𝑥 =
1 + √5
2
 
𝐸(𝑥) =
𝑥3 − 2𝑥2 + 1
𝑥2 − 2𝑥
> 0 ⟺ (
1 − √5
2
 , 0) ∪ ( 1 ,
1 + √5
2
) ∪ (2 , +∞) 
𝐸(𝑥) =
𝑥3 − 2𝑥2 + 1
𝑥2 − 2𝑥
< 0 ⟺ (−∞ ,
1 − √5
2
 ) ∪ (0 , 1) ∪ ( 
1 + √5
2
 , 2) 
𝐸(𝑥) =
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
 não pode ser calculada para 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2. 
Como queremos que 𝐸(𝑥) =
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
 ≥ 0 e 𝑥2 − 2𝑥 ≠ 0 então 
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𝑥 ∈ [
1−√5
2
 , 0) ∪ [1 ,
1+√5
2
) ∪ (2 , +∞). 
Logo, os valores de 𝑥 ∈ ℝ , para os quais a expressão 𝑬𝟏(𝑥) = √
𝑥3−2𝑥2+1
𝑥2−2𝑥
 pode ser calculada são 
os valores reais , tais que, 𝑥 ∈ [
1−√5
2
 , 0) ∪ [1 ,
1+√5
2
) ∪ (2 , +∞) . 
 
________________________________________________________________________________ 
Exercício 6: Resolva em ℝ , as seguintes inequações: 
a) 
𝑥2−𝑥−1
𝑥2
< 
2
𝑥3
 b) 𝑥2 ≥ 
−2
 |𝑥|−1 
 
Resolução: 
a) Para que a inequação 
𝑥2−𝑥−1
𝑥2
< 
2
𝑥3
 possa ser resolvida é preciso que 𝑥 ≠ 0 , para que 
os denominadores não se anulem. 
𝑥2−𝑥−1
𝑥2
< 
2
𝑥3
 ⟹ 
𝑥2−𝑥−1
𝑥2
− 
2
𝑥3
< 0 ⟹ 
𝑥(𝑥2−𝑥−1)−2 
𝑥3
< 0 ⟹ 
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 2 
𝑥3
< 0 
_______________________________________________________________________________ 
OBSERVAÇÃO: um erro muito comum que os alunos cometem ao resolver esse tipo de inequação é 
“multiplicar em cruz”, escrevendo, por exemplo, 
𝑥2−𝑥−1
𝑥2
< 
2
𝑥3
 ⟹ (𝑥2 − 𝑥 − 1)𝑥3 < 2 𝑥2 
Aqui multiplicamos ambos os lados da inequação por 𝑥2 e por 𝑥3. 
Cuidado, isto só é correto sob certas condições: 𝑥2 > 0 e 𝑥3 > 0. Mas 𝑥3 > 0 ⟺ 𝑥 > 0. 
_______________________________________________________________________________ 
Vamos fazer uma tabela de sinais para e expressão 
𝑥3−𝑥2−𝑥−2 
𝑥3
. 
Para isso, vamos fatorar o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 2 . 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente −2 , que são −1 , +1 , −2 , +2. 
Testando 𝑥 = −1 , obtemos: (−1)3 − (−1)2 − (−1) − 2 = −3 ≠ 0 . Logo, 𝑥 = −1 não é raiz 
do polinômio 𝑝(𝑥). 
Testando 𝑥 = 1, obtemos: 13− 12 − 1 − 2 = −3 ≠ 0 . Logo, 𝑥 = 1 não é raiz do polinômio 𝑝(𝑥). 
Testando 𝑥 = 2, obtemos: 23 − 22 − 2 − 2 = 0. Logo, 𝑥 = 2 é raiz do polinômio 𝑝(𝑥) . 
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Dividindo 𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 2 por 𝑥 − 2 , obtemos 𝑥2 + 𝑥 + 1 e assim, 
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 − 2)( 𝑥2 + 𝑥 + 1 ). 
O trinômio do segundo grau 𝑥2 + 𝑥 + 1 não tem raízes reais, pois seu discriminante 
∆ = 12 − 4 ∙ 1 ∙ 1 = −3 < 0. Como o coeficiente de 𝑥2 é 1, positivo, então 𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 , 
 ∀ 𝑥 ∈ ℝ . 
Analisando o sinal da expressão: 
𝑥3−𝑥2−𝑥−2 
𝑥3
= 
(𝑥−2)( 𝑥2+𝑥+1 ) 
𝑥3
 
 −∞ < 𝑥 < 0 𝑥 = 0 0 < 𝑥 < 2 𝑥 = 2 2 < 𝑥 < +∞ 
𝑥 − 2 − − − − − − − − − 0 + + + + 
 𝑥2 + 𝑥 + 1 + + + + + + + + + + + + + + 
𝑥3 − − − − 0 + + + + + + + + + 
𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥 − 2 
𝑥3
 + + + + 𝑛𝑑 − − − − 0 + + + + 
 
Assim, 
𝑥3−𝑥2−𝑥−2 
𝑥3
< 0 ⟺ 𝑥 ∈ (0 , 2) 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Para que a inequação 𝑥2 ≥ 
−2
 |𝑥|−1 
 possa ser resolvida é preciso que o denominador |𝑥| −
1 seja diferente de zero. Mas, 
|𝑥| − 1 ≠ 0 ⟺ |𝑥| ≠ 1 ⟺ 𝑥 ≠ −1 e 𝑥 ≠ 1 
Vamos usar a definição de |𝑥| para estudar a inequação 𝑥2 ≥ 
−2
 |𝑥|−1 
 . 
Temos que |𝑥| = {
𝑥 , 𝑥 ≥ 0
−𝑥 , 𝑥 < 0 
. Portanto, de 𝑥2 ≥ 
−2
 |𝑥|−1 
 , segue que: 
(I) Se 𝑥 ≥ 0 , então |𝑥| = 𝑥 e, 
𝑥2 ≥ 
−2
 |𝑥| − 1 
 ⟺ 𝑥2 ≥ 
−2
 𝑥 − 1 
 ⟺ 𝑥2 − 
−2
 𝑥 − 1 
≥ 0 ⟺ 
 𝑥2(𝑥 − 1) + 2 
 𝑥 − 1 
≥ 0 
 ⟺ 
 𝑥3−𝑥2+2 
 𝑥−1 
≥ 0 
Portanto, temos que resolver 
 𝒙𝟑−𝒙𝟐+𝟐 
 𝒙−𝟏 
≥ 𝟎 , para 𝒙 ≥ 𝟎 . 
Vamos fatorar o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 2 . 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente +2 , que são −1 , +1 , −2 , +2 . 
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Testando 𝑥 = −1 , obtemos: (−1)3 − (−1)2 + 2 = 0. Logo, 𝑥 = −1 é raiz do polinômio 𝑝(𝑥) . 
Dividindo 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 + 2 por 𝑥 + 1 , obtemos 𝑥2 − 2𝑥 + 2 . Assim, 
𝑥3 − 𝑥2 + 2 = (𝑥 + 1)(𝑥2 − 2𝑥 + 2). 
O trinômio do segundo grau 𝑥2 − 2𝑥 + 2 não tem raízes reais, pois seu discriminante 
∆ = (−2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 2 = −4 < 0. Como o coeficiente de 𝑥2 é 1, positivo, então 𝑥2 − 2𝑥 + 2 > 0, 
 ∀ 𝑥 ∈ ℝ . 
Analisando o sinal da expressão: 
 𝑥3−𝑥2+2 
 𝑥−1 
=
 (𝑥+1)(𝑥2−2𝑥+2) 
 𝑥−1 
 , para 𝑥 ≥ 0 . 
 
 
 
 
 
 
Logo, para 𝑥 ≥ 0 , temos que 
 𝑥3−𝑥2+2 
 𝑥−1 
 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ (1 , +∞) . 
(II) Se 𝑥 < 0 , então |𝑥| = −𝑥 e, 
𝑥2 ≥ 
−2
 |𝑥| − 1 
 ⟺ 𝑥2 ≥ 
−2
− 𝑥 − 1 
 ⟺ 𝑥2 ≥ 
2
 𝑥 + 1 
 ⟺ 𝑥2 − 
2
 𝑥 + 1 
≥ 0 ⟺ 
 
 𝑥2(𝑥 + 1) − 2 
 𝑥 + 1 
≥ 0 ⟺ 
 𝑥3 + 𝑥2 − 2 
 𝑥 + 1 
≥ 0 
Portanto, temos que resolver 
 𝑥3+𝑥2−2 
 𝑥+1 
≥ 0 , para 𝒙 < 𝟎 . 
Vamos fatorar o polinômio 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 2 . 
As possíveis raízes inteiras são os divisores do termo independente −2 , que são −1 , +1 , −2 , +2 . 
Testando 𝑥 = −1 , obtemos: (−1)3 + (−1)2 − 2 = −2 ≠ 0. Logo, 𝑥 = −1 não é raiz do 
polinômio 𝑞(𝑥) . 
Testando 𝑥 = 1 , obtemos: (1)3 + (1)2 − 2 = 0. Logo, 𝑥 = 1 é raiz do polinômio 𝑞(𝑥) . 
Dividindo 𝑞(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 2 por 𝑥 − 1 , obtemos 𝑥2 + 2𝑥 + 2 . Assim, 
𝑥3 + 𝑥2 − 2 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 2𝑥 + 2) 
O trinômio do segundo grau 𝑥2 + 2𝑥 + 2 não tem raízes reais, pois seu discriminante 
 𝑥 = 0 0 < 𝑥 < 1 𝑥 = 1 1 < 𝑥 < +∞ 
𝑥 + 1 + + + + + + + + + + 
𝑥2 − 2𝑥 + 2 + + + + + + + + + + 
𝑥 − 1 − − − − − 0 + + + + 
 𝑥3 − 𝑥2 + 2 
 𝑥 − 1 
 − − − − − 𝑛𝑑 + + + + 
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∆ = (2)2 − 4 ∙ 1 ∙ 2 = −4 < 0. Como o coeficiente de 𝑥2 é 1, positivo, então 𝑥2 + 2𝑥 + 2 > 0 , 
 ∀ 𝑥 ∈ ℝ . 
Analisando o sinal da expressão: 
 𝑥3+𝑥2−2 
 𝑥+1 
=
 (𝑥−1)(𝑥2+2𝑥+2) 
 𝑥+1 
 , para 𝑥 < 0 . 
 
 
 
 
 
Logo, para 𝑥 < 0 , temos que: 
 𝑥3+𝑥2−2 
 𝑥+1 
 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −1) 
E assim, observando as soluções de I) e II), temos que a solução do item b) é: 
 𝑥2 ≥ 
−2
 |𝑥|−1 
 ⟺ 𝑥 ∈ (−∞ , −1) ∪ (1 , +∞). 
 −∞ < 𝑥 < −1 𝑥 = −1 −1 < 𝑥 < 0 
𝑥 − 1 − − − − − − − − − 
𝑥2 + 2𝑥 + 2 + + + + + + + + + 
𝑥 + 1 − − − − 0 + + + + 
 𝑥3 + 𝑥2 − 2 
 𝑥 + 1 
 + + + + 𝑛𝑑 − − − −