Relatorio Ondas Estacionárias docx

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Universidade Federal do Amazonas 
Instituto de Ciências Exatas 
Departamento de Física 
 
 
 
 
 
 
1. Conceitos relacionados 
 
Frequência, Período, ondas senoidais, interferência.  
2. Objetivos 
 
●Estudar as características das ondas estacionárias através da ressonância em cordas vibrantes. 
3. Teoria 
Em uma corda onde duas ondas senoidais com a mesma amplitude e o mesmo comprimento de onda                                 
se propagam em sentidos opostos, a interferência mútua produz uma onda estacionária 
Uma onda estacionária é caracterizada por ter uma forma que não se move, ou seja, ela tem uma forma                                     
estática, pois devido a interferência os pontos de máximo e mínimo não variam no tempo. Outra característica                                 
desse tipo de onda é a existência de pontos chamado de ​nós​, os quais ficam constantemente imóveis, enquanto                                   
isso o ponto médio entre dois nós é chamado de ​antinós, ​onde a onda tem amplitude é máxima. 
A equação de descrever uma onda estacionária é dada por: 
Equação 1 
 
Sendo que essa equação é obtida somando a equação de duas ondas iguais que se propagam numa                                 
corda em sentidos contrários, assim as grandezas a seguir são iguais para as essas duas ondas: amplitude                                 
máxima frequência angular ω, número de onda k, período T, e velocidade v.ym   
As relações entres essas grandezas são descritas pelas seguintes equações:  
 
 
Equação 2 
  
Equação 3 
  
1 
 
Equação 4 
 
Equação 5 
 
 
Com τ sendo a tensão aplicada na corda com densidade linear μ. 
Diferente de um onda senoidal progressiva, em um onda estacionária a amplitude varia com a posição.                               
Na onda da equação 1, a amplitude é zero para valores de kx tais que sen(kx) = 0. Esses valores são dados pela                                             
relação: 
Equação 6 
 com n=0,1,2,3,4,.... 
Utilizando a equação 3: 
Equação 7 
 com n=0,1,2,3,4,....​ ​Sendo o número de nós. 
Quando uma onda estacionária é gerada existe uma ressonância em que a corda ressoa numa dada                               
frequência, essas frequências em que a corda ressoa são conhecidas como frequências de ressonância, se a                               
corda for posta para oscila numa frequência que não seja uma frequência de ressonância a corda não formará                                   
uma onda estacionária.  
Em uma corda de comprimento L que possui extremidades fixas, terá as frequências de ressonância                             
calculadas por: 
Equação 8 
 com n=0,1,2,3,4,.... 
Quando n=1, é obtida menor frequência de oscilação a qual é chamada de modo fundamental ou                               
primeiro harmônico, quando n=2 o modo de oscilação é chamado de segundo harmônico, e assim por diante. 
4. Material 
1 motor vibrador, 1 porta peso, 3 massas, 1 polia, 1 barbante, 1 régua milimétrica com dois cursores, 2 
grampos duplos, 1 haste de 1m, 1 tripés e 4 grampos. 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
5. Esquema de montagem experimental 
 
 
 
Imagem 1 
 
6. Procedimento 
 
6.1 – Prenda a polia na haste a aproximadamente 60 cm acima da mesa. 
6.2 – Determine o comprimento e a massa do barbante, e anote. 
6.3 – Coloque uma das massas no porta peso é meça na balança, anote a massa total, e coloque o porta peso 
com a massa no barbante como mostra o esquema. 
6.4 – Ligue o motor vibrador, aumentando a frequência até achar uma onda estacionária. 
6.5 – Meça a distância entre os dois nós, e anote. 
6.6 – Acrescente mais uma massa e repita os procedimentos a partir do passo 6.3. 
7. Tratamento de dados 
A partir dos dados obtidos começamos calculando a densidade linear da corda cujo o comprimento é                               
2,26m e massa de 3,3g (0,0033 kg). 
 μ ≅0, 0146 kg/mμ = l
m = 2,26 m
0,0033 kg 0 
 
Com restante dos dados foi criado uma tabela para cada uma das massas: 
Tabela 1 
Massa 1 (g) Número de ventres Comprimento de um ventre(cm) 
30,4 2 83,5 
 3 52,7 
3 
 
 5 35 
 
Tabela 2 
Massa 2 (g) Número de ventres Comprimento de um ventre(cm) 
50,7 2 87,1 
 3 60,3 
 5 36,4 
 
 
Tabela 3 
Massa 3 (g) Número de ventres Comprimento de um ventre(cm) 
71,1 2 86,9 
 3 58,6 
 4 44,2 
 
 
Considerando a aceleração da gravidade como 9,8 m/s², foi calculando a força peso das massas, ou                               
seja, a força de tensão aplicada no barbante por cada massa. 
Equação 9 
 
Massa 1 = 0,0304*9,8 = 0,29792 Nτ  
Massa 2 = 0,0507*9,8 = 0,49686 Nτ  
Massa 3 = 0,0711*9,8 = 0,69678 Nτ  
Tendo a densidade linear e tensão aplicada na corda, calculamos a velocidade de propagação da onda                               
usando a equação 5. 
 
Massa 1 ≅14, m/s v = √ 0,29792 N0,00146kg/m 3     
Massa 2​ ≅18, m/s v = √ 0,49686 N0,00146 kg/m 4   
Massa 3 ​ ≅21, m/s v = √ 0,69678 N0,00146 kg/m 8  
Sabendo a velocidade de propagação da onda e que um ventre é ​𝜆​/2, calculamos a frequência usando a                                   
equação 4 e os dados das tabelas 1,2, e 3 convertidos para o S.I.  
Equação 10 
 
Para a massa 1 temos: 
, 5 Hz f 3, 5 Hz f 0, 1 Hzf 1 = 1,67m
14,3m/s = 8 5 2 = 1,054m
14,3m/s = 1 5 3 = 0,7m
14,3m/s = 2 4 
Para a massa 2 temos: 
0, 9 Hz f 5, 0 Hz f 5, 4 Hzf 1 = 1,742m
18,4m/s = 1 5 2 = 1,206m
18,4m/s = 1 3 3 = 0,728m
18,4m/s = 2 3 
Para a massa 3 temos: 
4 
 
2, 7 Hz f 8, 4Hz f 4, 1 Hzf 1 = 1,738m
21,8m/s = 1 5 2 = 1,172m
21,8m/s = 1 6 3 = 0,884m
21,8m/s = 2 7 
Resumindo os dados obtidos em uma única tabela obtemos:  
 
Tabela 4 
Velocidade 1 
(m/s) Massa 1 (kg) 
Número de 
ventres 
Comprimento de um 
ventre(m) 
Comprimento de 
onda (m) Frequência (Hz) 
14,283909 0,0304 2 0,835 1,67 8,55 
 Tesão 1 (N) 3 0,527 1,054 13,55 
 0,29792 5 0,35 0,7 20,41 
Velocidade 2 
(m/s) Massa 2 (kg) 
Número de 
ventres 
Comprimento de um 
ventre(m) 
Comprimento de 
onda (m) Frequência (Hz) 
18,446512 0,0507 2 0,871 1,742 10,59 
 Tesão 2 (N) 3 0,603 1,206 15,30 
 0,49686 5 0,364 0,728 25,34 
Velocidade 3 
(m/s) Massa 3 (kg) 
Número de 
ventres 
Comprimento de um 
ventre(m) 
Comprimento de 
onda (m) Frequência (Hz) 
21,84465 0,0711 2 0,869 1,738 12,57 
 Tesão 3 (N) 3 0,586 1,172 18,64 
 0,69678 4 0,442 0,884 24,71 
 
Utilizando a equação 8 verificamos como calcular o primeiro harmônico, para isso calculamos a                           
frequência de ressonância para n=2,3,4, e depois calculamos a diferença entre elas: 
f 2 = 2 *
v
2L =
v
L 
f 3 = 3 *
v
2L = 2
3 * vL 
f 4 = 4 *
v
2L = 2 *
v
L 
 
( ) =f 3 − f 2 = 2
3 * vL −
v
L =
v
L 2
3 − 1 = v2L f 1 
 
(2 ) =f 4 − f 3 = 2 *
v
L − 2
3 * vL =
v
L − 2
3 = v2L f 1 
Assim como a diferença de duas frequências harmônicas consecutivas resulta no harmônico                       
fundamental, podemos determinar o primeiro harmônico para a massa 1, 2, 3, utilizando os dados da tabela 4.  
Para a massa 1:  
3, 5 , 5 Hz f 1 = f 3 − f 2 = 1 5 − 8 5 = 5 
Para a massa 2:  
5, 0 0, 9 , 1 Hz f 1 = f 3 − f 2 = 1 3 − 1 5 = 4 7 
Para a massa 3:  
8, 4 2, 7 , 7 Hz f 1 = f 3 − f 2 = 1 6 − 1 5 = 6 0 
5 
 
4, 1 8, 4 , 7 Hz f 1 = f 4 − f 3 = 2 7 − 1 6 = 6 0 
 
 
8. Discussão e conclusão 
Com base nos dados da tabela 4, observamos que quanto maior for o número de ventres da onda, maior                                     
será a frequência, e menor será o comprimento de onda. E que para um dado número de ventres, seaumentamos a tensão, aumentaremos a velocidade e frequência proporcionalmente. Isso porque como vimos na                           
equação 4 e 5, a frequência é diretamente proporcional a velocidade de propagação da onda, que por sua vez é                                       
diretamente proporcional a raiz quadrada da tensão.  
E como vimos na equação 8 as frequências são múltiplos inteiros da frequência do primeiro harmônico,                               
isso pode ser observado na massa 3, onde a diferença entre o quarto e o terceiro harmônico, é igual a diferença                                         
entre o terceiro e o segundo harmônico, que é igual ao primeiro harmônico 6,07 Hz. Assim como a diferença de                                       
duas frequências harmônicas consecutivas resulta no harmônico fundamental temos que o primeiro harmônico                         
da massa 1 é 5 Hz e da massa 2 é 4,75 Hz. 
Logo observamos que existe algum erro nos dados da massa 1, pois a frequência do seu primeiro                                 
harmônico é maior do que o da massa 2, o que é um absurdo pois ao observarmos a equação 8 temos que para                                             
o primeiro harmônico: 
/2Lf 1 = v   
Vemos que para um dado L, se aumentamos a velocidade a frequência do primeiro harmônico deve                               
aumentar. Assim como a velocidade da onda para a massa 1 é menor do que a da massa 2, era de se espera que                                               
a frequência do primeiro harmônico da massa 1 fosse menor do que a da massa 2.  
Para confirmar isso utilizamos o fato de que as frequências ressonantes são múltiplos inteiros da                             
frequência do primeiro harmônico. Assim multiplicando o primeiro harmônico da massa 1 por 5, devemos ter o                                 
quinto harmônico, mas obtemos o valor de 25 Hz, ou seja, obtemos um desvio de 22,5%, repetindo o mesmo                                     
processo para o cálculo dos outros harmônicos e também aplicando as outras massas obtemos as seguintes                               
tabelas. 
Tabela 5 
 Massa 1 
 Múltiplos do 1ª harmônico (Hz) Desvio percentual (%) 
2 harmônico 10 16,91 
3 harmônico 15 10,68 
5 harmônico 25 22,52 
 
Tabela 6 
 Massa 2 
 Múltiplos do 1ª harmônico (Hz) Desvio percentual (%) 
2 harmônico 9,42 11,04 
3 harmônico 14,13 7,62 
5 harmônico 23,55 7,06 
 
 
 
6 
 
 
 
Tabela 7 
 Massa 3 
 Múltiplos do 1ª harmônico (Hz) Desvio percentual (%) 
2 harmônico 12,14 3,41 
3 harmônico 18,21 2,30 
4 harmônico 24,28 1,74 
 
O motivo mais plausível para essa incoerência nos dados da massa 1, e consequentemente no                               
resultados dos cálculos, é que ocorreu algum erro durante a medição do ventre da onda, provavelmente foi                                 
algum erro de paralaxe.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
9. Material de apoio 
 
 
 
Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl. Fundamentos de física,  volume 2: Gravitação, Ondas e       
Termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 4ª ed. ISBN 85-216-1070-x. 
 
Lima Junior, P. et al. O laboratório de Mecânica: subsídios para o ensino de Física experimental. Apêndice A:                                   
Método numérico para propagação da incerteza, p. 87-93. Porto Alegre: IF-UFRGS, 2013. Disponível em:                           
http://www.if.ufrgs.br/cref/labmecanica/Lima_Jr_et_al_2013.pdf​. Acesso em 26 mar. 2017 
 
Nussenzveig, Herch Moysès. Curso de Física Básica – vol.2. São Paulo: Blucher,2014. 5ª ed. ISBN                             
978-85-212-0747-4. 
 
 
 
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