Projeto de Veios de Redutores

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Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 1
6. Carregamento dos veios do redutor 
 
1. Determinação das forças nos engrenamentos das transmissões do redutor; 
2. Determinação das forças em consola; 
3. Construção do esquema de carregamento dos veios. 
 
Os veios dos redutores estão sujeitos a dois tipos de deformações: por flexão e por 
torção. A deformação por torção surge devido à acção de momentos torsores, 
provenientes do motor, por um lado, que são contrabalançados pelos momentos de 
resistência da máquina executiva. A deformação por flexão é causada pelos momentos 
das forças nas engrenagens ou parafuso sem-fim da transmissão fechada, associadas ao 
efeito das forças em consola das transmissões abertas e uniões de veios. 
 
6.1 - Determinação das forças nos engrenamentos das transmissões do redutor 
 
 Para a projecção de muitos accionamentos usam-se redutores com engrenagens 
cilíndricas helicoidais, cujos dentes têm ângulo de inclinação β = 8 ... 16º; também se 
usam redutores cónicos com dentes curvilíneos sendo β = 35º; os redutores de parafuso 
sem-fim têm ângulo de perfil 2⋅α = 40º, na secção axial (fig. 13.11). O ângulo de pressão 
no engrenamento é α = 20º. 
 Nas figuras 6.1 ... 6.3 são dados esquemas de forças no engrenamento de 
transmissões cilíndricas, cónicas e de parafuso sem-fim, para diferentes direcções do 
ângulo de inclinação dos dentes (ou da hélice da rosca do parafuso sem-fim) e diferentes 
sentidos de rotação do motor. O ponto de aplicação das forças é escolhido como estando 
no plano médio da roda dentada (ou parafuso sem-fim). 
 
 
 
a) Inclinação de dentes para esquerda na roda movida e para a direita ao pinhão 
 
 
 
b) Inclinação dos dentes para direita na roda movida e esquerda no pinhão 
 
Fig. 6.1 – Esquemas de forças em engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais 
 
 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 2
 
 
a) 
 
Direcção das linhas dos dentes na roda movida - esquerda 
Direcção das linhas dos dentes no pinhão - direita 
 
b) 
 
 
Direcção das linhas dos dentes na roda movida - direita 
Direcção das linhas dos dentes no pinhão - esquerda 
Fig. 6.2 - Esquemas de forças no engrenamento de transmissões cônicas com dentes rectos e curvilíneos 
 
 
a) 
 
 
Parafuso com rosca esquerda 
 
b) 
 
Parafuso com rosca direita 
Fig. 6.3 - Esquemas de forças nas transmissões de parafuso sem-fim/coroa 
 
Os valores das forças são determinados usando fórmulas adequadas (tabela 6.1, 
pp.97). Note-se que �1 e T1 têm o mesmo sentido mas T2 e �2 têm sentidos 
opostos. 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 3
 
Tabela 6.1 – Forças no engrenamento para transmissões fechadas (redutores) 
Valor da força, em N 
Tipo de transmissão 
Força no 
engrenamento Pinhão (parafuso 
sem-fim) 
Roda movida 
Tangencial 
 
 
21 tt FF = 
 
2
3
2
2
102
d
TFt
⋅⋅
=
 
 
Radial 
 
 
21 rr FF = β
α
cos
22
tgFF tr ⋅= Cilíndrica com dentes helicoidais 
Axial 
21 aa FF = βtgFF ta ⋅= 22 
 
Tangencial 
 
 
21 tt FF = 
2
3
2
2 857,0
102
e
t d
TF
⋅
⋅⋅
=
 
Radial 
rtr FF γ⋅= 11 12 ar FF = Cónicas com dentes 
curvilíneos Axial 
ata FF γ⋅= 11 12 ra FF = 
 
Tangencial 
 1
3
1
1
102
d
TFt
⋅⋅
=
 
2
3
2
2
102
d
TFt
⋅⋅
=
 
Radial 
21 rr FF = αtgFF tr ⋅= 22 De parafuso sem-fim 
Axial 2t1a FF = 12 ta FF = 
 
Notas: Os momentos são expressos em N⋅m, os diâmetros em mm, as forças em N. Os 
valores dos coeficientes de forças radial e axial são, respectivamente: 
γr = (0,44⋅cos δ1 – 0,7⋅sen δ1) 
γa = (0,44⋅sen δ1 + 0,7⋅cos δ1) 
 δ1 - é o ângulo do cone primitivo do pinhão 
 
6.2 - Determinação das forças em consola 
 
 Para a projecção de accionamentos empregam-se transmissões dentadas abertas 
cilíndricas e cónicas, com dentes rectos. Também se usam transmissões por correias e 
transmissões por cadeias. Estes elementos fazem surgir cargas em consola nas 
extremidades salientes dos veios. Similarmente, as uniões de veios que ligam as 
extremidades tanto o motor ao redutor como este aos restantes veios da máquina causam 
o surgimento de cargas em consola. 
 O esquema de forças no engrenamento de transmissões dentadas abertas com 
dentes rectos assemelha-se ao esquema para transmissões fechadas, à excepção da 
ausência da força axial Fa nas transmissões com dentes rectos. O ângulo de pressão é de 
20º. 
 
 Quando há uniões, ou transmissões com elemento flexível a posição das forças em 
consola determina-se tendo em conta a posição da transmissão com elemento flexível. 
Porém, também se usa um procedimento para as forças em consola provenientes das 
uniões de veios Funi e elementos de outros tipos de transmissão colocados nas 
extremidades dos veios Fab, cujo efeito se faz sentir sobre os apoios. A tabela 6.2 mostra 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 4
as fórmulas para a determinação das forças em consola. 
 
Tabela 6.2 – Forças em consola (exteriores aos redutores) 
Valor da força, em N Tipo de 
transmissão 
aberta 
Direcção 
da força Pinhão Roda movida 
Tangencial 
 
 
21 tt FF = 
 
 
2
3
2
2
102
d
TFt
⋅⋅
=
 
Cilíndrica 
com dentes 
rectos Radial 21 rr FF = αtgFF tr ⋅= 22 
Tangencial 
 
 
 
21 tt FF = 
 
 
2
3
2
2 857,0
102
e
t d
TF
⋅
⋅⋅
=
 
Radial 
 
111 cos36,0 δ⋅⋅= tr FF 12 ar FF = 
 
Cónicas 
com dentes 
rectos 
Axial 11t1a senF36,0F �⋅⋅= 12 ra FF = 
Por correias 
planas Radial 2
senF2F 10ab
�
⋅⋅=
 
 
Por correias 
trapezoidais Radial 2
senzF2F 10ab
�
⋅⋅⋅=
 
 
Por correias 
multi-V Radial 2
senF2F 10ab
�
⋅⋅=
 
 
Por cadeias Radial ti0ab FkF2F ⋅+⋅= ; 
ki = 1,15 para inclinação até 
40º; 
ki = 1,05 para inclinação de 
40 até 40º 
Uniões de 
veios Radial Veio de alta velocidade Veio de baixa velocidade 
 111uni T125...T50F ⋅⋅= 22 125 TFuni ⋅= - redutor 
de engrenagens 
22 250 TFuni ⋅= - redutor 
de parafuso sem-fim 
 
Notas: 
1. Os momentos são expressos em N⋅m, os diâmetros em mm, as forças em N. Os valores 
dos diâmetros são expressos em mm. As forças nas uniões dependem do tipo de união 
mas o seu valor é, inicialmente, aproximado usando as fórmulas dadas. O valor real só 
pode ser determinado após a escolha da união. O índice “ab” indica as forças em consola 
sobre os veios, que surgem numa transmissão aberta. Nalgumas transmissões esta força 
indica-se como Fveio ou Fr (de “resultante”, não “radial”). Para transmissões com elemento 
flexível são simplesmente as forças resultantes nos ramais do elemento flexível, mas para 
engrenagens podem ser decompostas em forças radiais e tangenciais. 
2. T2, para as transmissões por engrenagens abertas, é o momento torsor no veio da 
máquina executiva onde está montada a roda dentada, em N·m; T1 e T2, para as uniões, 
são os momentos torsores nos veios de entrada e de saida do redutor, respectivamente, 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 5
em N·m; d2 é o diâmetro divisor da engrenagem cilíndrica movida, em mm; de2 é o diâmetro 
divisor externo da roda dentada cónica movida, em mm; δ1 é o ângulo do cone divisor do 
pinhão, em graus. 
 
 
6.3 – Esquema de carregamento dos veios do redutor 
 
 O esquema de carregamento dos veios destina-se a auxiliar a determinação das 
forças nos engrenamentos dos pares do redutor, as forças em consola da transmissões 
abertas, e uniões de veios, as reacções nos apoios e as direcções dos momentos 
torsorese velocidades angulares dos veios. 
 O esquema de carregamento dos veios deve ser feito em papel milimétrico de 
formato A4. Também se pode utilizar o desenho assistido por computador para auxiliar na 
execução desta tarefa, mas a impressão é feita utilizando o formato A4. O esquema de 
carregamento deve conter: 
 
 - o nome do esquema, no topo; 
 - o esquema de forças nos veios e elementos da transmissão, em isometria; 
 - a indicação do sistema de coordenadas utilizado, com os eixos X, Y e Z 
 - legenda, forma 2a, figura 14.1; 
 - tabela de forças, momentos e parâmetros cinemáticos das transmissões; 
 (ver os exemplos das figuras 6.4 ... 6.6). 
 A ordem recomendada para a construção dos esquemas de forças é a seguinte: 
1. Designa-se a disposição dos elementos do esquema de forças segundo o esquema 
cinemático do accionamento (dado na tarefa); 
2. Coloca-se, arbitrariamente, a representação dos eixos axonométricos X, Y e Z, sob 
ângulos mútuos de 120º; os vectores das forças no engrenamento, as forças em 
consola e as reacções nos apoios dependem das direcções do eixos escolhidos. É 
possível usar cores para alguns efeitos. 
3. Desenham-se os veios, apoios, par(es) do redutor, elementos das transmissões 
abertas e uniões de veios utilizando símbolos convencionais (tabela 6.3). As 
dimensões dos elementos desenhados são arbitrárias mas devem observar-se as 
proporções entre eles (por exemplo, no par em engrenamento deve ser óbvia qual 
é a roda maior). É preciso marcar os apoios com letras A e B (para o veio de 
entrada), C e D para o segundo veio e assim por diante, etc. 
 
 
 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 6
Tabela 6.3 – Símbolos convencionais 
 
4. Escolhe-se a direcção da hélice das engrenagens (ou parafuso sem-fim). Nas 
engrenagens cilíndricas com dentes helicoidais escolhe-se a direcção esquerda 
para os dentes do pinhão (e, portanto, a direita para a roda movida); nas 
engrenagens cónicas com dentes curvilíneos o pinhão deve ter dentes inclinados 
para a direita (e, portanto, a roda movida deve ter inclinação para a esquerda). A 
direcção dos filetes do parafuso sem-fim e da coroa é para a direita (ver as figuras 
6.1 ... 6.3 – b) 
5. Determina-se a direcção de rotação e dos veios de alta e baixa velocidade do 
redutor, ω1 e ω2, de acordo com a direcção de rotação do motor. A direcção de 
rotação do motor deve ser escolhida de tal modo que a rotação do veio executivo 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 7
confira o movimento que se requer do mecanismo. Se o mecanismo tiver 
movimento reversível então o sentido de rotação dos veios de alta e baixa 
velocidade pode se arbitrado. Nos accionamentos de redutor cónico com pinhão de 
dentes inclinados para a direita a direcção de rotação do veio deve ter sentido 
horário, se o veio for observado do lado do vértice do cone divisor do pinhão (fig. 
6.2). A força axial que surge no pinhão Fa1 é direccionada no sentido da base do 
cone divisor o que evita a gripagem dos dentes durante o funcionamento. 
6. Determina-se a direcção das forças no engrenamento do par do redutor segundo a 
direcção da linha helicoidal escolhida e a rotação dos veios. No pinhão (ou parafuso 
sem-fim) estas forças são Ft1, Fr1, Fa1 e na roda movida Ft2, Fr2 e Fa2 (veja as figuras 
6.1 ... 6.3). As forças Ft1 e Ft2 são direccionadas de tal modo que os seus 
momentos possam equilibrar os torques T1 e T2 aplicados aos veios do redutor, 
tanto da parte do motor e como da reacção da máquina (repare-se que as 
interacções entre os elementos da transmissões são substituidas por forças e por 
isso Ft1 é a força tangencial com que a roda 2 reage à roda 1 e não a força que o 
torque T1 imprime sobre a roda 2). Assim, Ft1 tem sentido contrário ao da rotação 
do pinhão e Ft2 tem o sentido de rotação da roda movida. 
7. Determinam-se os sentidos das forças em consola nas extremidades salientes dos 
veios (figuras 6.4 ... 6.6) 
 a) O sentidos das forças das transmissões abertas determinam-se de modo 
similar ao das transmissões dos redutores; 
 b) As forças em consola das transmissões por correia e por cadeia Fab são 
perpendiculares ao eixo geométrico do veio em consideração e são dispostas 
em função da posição da transmissão no esquema cinemático do 
accionamento, podendo ser verticais, horizontais ou inclinadas sob qualquer 
ângulo em relação ao plano horizontal. Se a tarefa do projecto especificar uma 
transmissão inclinada sob um ângulo θ (fig 6.4), a força Fab deve ser 
decomposta nas componentes Fy (vertical) e Fx (horizontal). Os seus valores 
numéricos determinam-se usando relações trigonométricas (fig. 8.1). 
 c) A força em consola de uniões de veios Funi é perpendicular ao eixo do veio 
mas a sua direcção relativamente a Ft pode ser qualquer, dependendo da 
imprecisão de montagem da união. Por isso, recomenda-se que o sentido da 
força na união seja tal que constitua o pior caso de carregamento dos veios, 
isto é, a força na união é escolhida de forma a piorar ao máximo o efeito das 
outras forças. Assim, é comum escolher-se para Funi um sentido contrário ao da 
força tangencial Ft o que aumenta a deformação do veio. 
 
 
 
 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 8
 
�
Fig. 6.4 – Esquema de forças num redutor - cilíndrico
�
�
Parâmetros Pinhão Roda Movida 
Ft 754 
Fr 279 
Fa 126 
Fun Fab 198 799 
T (N⋅m) 15,8 60,4 
ω
 (rad/s) 99,48 24,87 
EXEMPLO DE ESQUEMA DE FORÇAS NUM REDUTOR – CILÍNDRICO 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 9
 
Fig. 6.5 – Esquema de forças num redutor - cónico
EXEMPLO DE ESQUEMA DE FORÇAS NUM REDUTOR – CÓNICO 
 
 
 
 
 
Parâmetros Pinhão Roda Movida 
Ft 1650 
Fr 579 121 
Fa 121 579 
Fab Funi 561 1558 
T (N⋅m) 36,6 155,2 
ω (rad/s) 75,4 16,6 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 10
 
�
�
�
 
�
Fig. 6.6 – Esquema de forças num redutor – parafuso sem fim/coroa 
�
�
�
�
�
Trans. PSF Trans. ECDR Parâmetros 
PSF R.Coroa Pinhão R.Movida
Ft 390 1862 4400 
Fr 678 1602 
Fa 1862 390 − − 
Funi 143 − − − 
T (N⋅m) 8,2 176,2 176,2 1160 
ω (rad/s) 97,40 3,60 3,60 0,51 
�
EXEMPLO DE ESQUEMA DE FORÇAS NUM REDUTOR – PARAFUSO SEM 
FIM/COROA 
 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 11
 
8. Determinam-se os sentidos das forças de reacção dos apoios, na direcção radial. 
Para os veios de alta e baixa velocidade as reacções devem ser posicionadas de 
forma a serem opostas aos sentidos das forças tangenciais (Ft1, Ft2 ) e às forças 
radiais (Fr1, Fr2) do redutor. Os pontos de aplicação das reacções nos apoios 
situam-se tipicamente a meio da largura de cada apoio. As reacções devidas às 
forças em consola são somadas às reacções devida às forças no interior do 
redutor. As reacções são representadas pela letra R, com um índice. O índice 
comporta o nome do apoio e a direcção do eixo da reacção, segundo o sistema de 
coordenadas escolhido. São exemplos deste tipo de designação: RAx, RBy, RCz, etc. 
9. Determina-se a direcção da soma das reacções nos apoios como soma geométrica 
da reacções radiais nos planos vertical e horizontal, usando o método do 
paralelogramo ou relações trigonométricas. O índice da soma da reacções contém 
apenas a designação do apoio, por exemplo, RA, RB. 
10. Compõe-se a tabela de resultados. A forma da tabela depende do tipo de 
transmissões que compõem o accionamento, tal como nos exemplos 6.4 ... 6.6. 
 
 
7. Cálculo projectivo dos veios. Composição do esboço do redutor 
As actividades do cálculo projectivo dos veios dos veios e composiçãoesquemática 
do redutor podem ser alistadas como se segue: 
1 – Escolha dos materiais dos veios; 
2 – Escolha das tensões admissíveis à torção; 
3 – Determinação do parâmetros geométricos dos escalões dos veios; 
4 – Escolha preliminar dos apoios (rolamentos); 
5 – Composição do esboço do redutor. 
 
 Os principais critérios de capacidade de trabalho utilizados para a projecção dos 
veios dos redutores são a resistência mecânica e a resistência à fadiga. Os veios estão 
sujeitos a deformações complexas, por influência da torção, flexão e tracção 
(compressão). Porém, a tensão devida aos esforços de tracção/compressão é muito 
menor que as tensões devidas aos momentos torsores e flectores. Assim, é escusado 
considerar o efeito dos esforços de tracção/compressão no cálculo dos veios. 
 O cálculo dos veios dos redutores faz-se em duas (ou mais) etapas. A primeira 
etapa é para o cálculo projectivo (aproximado), que se baseia na resistência dos veios à 
torção pura e a segunda para o cálculo testador. No cálculo testador verifica-se a 
resistência à flexão e à torção. Este cálculo determina a resistência do veio à fadiga e 
considera a concentração de tensões devida à forma do veio. O parâmetro de cálculo 
mais importante é o coeficiente de segurança à fadiga. 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 12
 
 
7.1 Escolha dos materiais do veio 
 
 Os veios dos redutores são geralmente feitos de aços de construção temperáveis, 
sendo tanto aços de médio teor de carbono como aços de liga. Os aços típicos são os 
aços aço 45 e 40X. Porém, deve-se ter em consideração que os aços podem ser de 
diferentes composições e que não é muito conveniente escolher aços com alto teor de 
carbono ou aços de alto teor de liga para os veios devido à sensibilidade à concentração 
das tensões. Os aços de alta qualidade só devem ser usados quando o elemento solidário 
(por exemplo, engrenagem no veio-pinhão) precisa de alta resistência. Os veios podem 
ser feitos de aços de baixo teor de carbono mas as superfícies de trabalho dos mesmos 
devem ser endurecidas por cementação ou outro procedimento. 
 
 
7.2 Escolha das tensões admissíveis à torção 
 
 Para o cálculo aproximado dos veios usa-se a torção pura, sem consideração do 
efeito da flexão, concentradores de tensões ou o carácter variável das cargas. Como meio 
de compensar esta grande aproximação, o valor da tensão admissível é grandemente 
reduzido: 
 
 [τ] = (10) 12 ... 15 (20) MPa – para veios de redutores e análogos; 
 [τ] = 20 ... 30 MPa – para veios de transmissão. 
 
Os menores valores de tensões admissíveis são para veios de alta velocidade e vice-
versa. 
 
 
7.3 Determinação dos parâmetros geométricos dos escalões dos veios 
 
 Os veios de redutores constituem corpos cilíndricos escalonados. A quantidade e as 
dimensões dos escalões dependem da quantidade e dimensões das peças que se 
montam sobre o veio. A figura 7.1 mostra diversos veios. A constituição dos veios não é 
feita segundo recomendações estritas mas sim modelada com base em construções 
existentes. O cálculo projectivo do veio permite determinar os parâmetros de orientação 
para os comprimentos “l” e diâmetros “d” de cada escalão dos veios. Para efectuar a 
escolha dos parâmetros geométricos usa-se a tabela 7.1. 
 
 
Fig. 7.1 a) - Veio de alta velocidade – PSF 
 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 13
 
Fig. 7.1 b) Veio de alta velocidade – Engrenagem cilíndrica 
 
 
Fig. 7.1 c) Veio de alta velocidade – Engrenagem cónica 
 
 
Fig. 7.1 d) Veio de baixa velocidade 
 
Fig. 7.1 – Parâmetros geométricos dos escalões dos veios 
 
 
Tabela 7.1 – Dimensões recomendadas para escalões dos veios de redutores 
monoescalonares, em mm 
Escalão do 
veio e seus 
parâmetros 
d e � 
 
Veio-pinhão cónico 
(fig. 7.1 c) 
Veio-pinhão 
cilíndrico (fig. 
7.1 b) 
Veio-parafuso 
sem-fim (fig. 
7.1 a) 
Veio da roda 
movida (fig. 
7.1 d) 
1º
 - sob o 
elemento da 
transmissão 
aberta ou 
semi-união 
d1 [ ]3
3
1 2,0
10
τ⋅
⋅
=
Td
 
onde : T – é o 
momento torsor 
no veio, em 
N·m 
(obtido da 
tabela de 
resultados do 
cálculo 
cinemático) 
[τ] – é a 
tensão 
tangencial 
admissível 
reduzida 
 1� 
1� =(0,8 ...1,5)⋅d1 – 
sob a roda 
estrelada; 
1� = (1...1,5)⋅d1 
– sob o pinhão; 
1� = 
(1...1,5)⋅d1 – 
sob a semi-
união; 
1� =(1,2 
...1,5)⋅d1 – sob 
a polia; 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 14
Escalão do 
veio e seus 
parâmetros 
d e � 
 
Veio-pinhão cónico 
(fig. 7.1 c) 
Veio-pinhão 
cilíndrico (fig. 
7.1 b) 
Veio-parafuso 
sem-fim (fig. 
7.1 a) 
Veio da roda 
movida (fig. 
7.1 d) 
2º
 - sob a 
tampa com 
vedante e 
rolamento 
d2 
tdd ⋅+= 212 - só 
sob o vedante 
tdd ⋅+= 212 
 2� 
42 6,0 d⋅≈� - só 
sob o vedante 22
5,1 d⋅≈� 
 22 25,1 d⋅≈� 
3º - sob o 
pinhão ou 
roda movida 
d3 
rdd ⋅+= 2,343 ; é 
possível que 
d3 ≤ dfe1 
rdd ⋅+= 2,323 ; 
é possível que 
d3 ≤ dfe1; 
para d3 > da1 
adopta-se 
d3 = da1 
rdd ⋅+= 2,323 
 3� 
3� obtém-se 
graficamente, na 
composição 
esboçada do 
redutor 
 
4º - sob o 
rolamento d4 mmdd )4...2(54 += 24 dd = 
 4� 
4� determina-se 
graficamente 
1� =B – para 
rolamentos de 
esferas; 
1� =T para 
rolamentos de 
rolos cónicos 
 
5º
 - de 
encosto ou 
sob a rosca 
d5 
5d sob a rosca 
determina-se como 
função de 2d , 
segundo a tabela 
10.11 
Não se constrói 
 5� 45 4,0 d⋅≈� 
5� determina-
se 
graficamente 
Notas: 
 
1. Os valores das alturas dos ressaltos t, os valores aproximados dos chanfros f dos 
escalões e os raios de curvatura dos chanfros dos apoios dependem do valor do diâmetro do 
escalão d. 
 
d 17...24 25...30 32...40 42...50 52...60 62...70 71...85 
t 2 2,2 2,5 2,8 3 3,3 3,5 
r 1,6 2 2,5 3 3 3,5 3,5 
f 1 1 1,2 1,6 2 2 2,5 
 
 2. Para o diâmetro d1 da extremidade do veio de alta velocidade que se liga ao veio 
do motor por uma união, deve-se seguir a relação: medd ⋅= )2,1...8,0(1 , onde dme é o 
diâmetro do veio do rotor do motor eléctrico. 
 3. Os diâmetros d2 e d4 sob os rolamentos arredondam-se para valores 
correspondentes aos diâmetros dos anéis internos dos rolamentos d. 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 15
 4. Os diâmetros e comprimentos dos escalões (tal como d2 e d4 sob os rolamentos) 
arredondam-se para valores correspondentes aos números da série normalizada Ra40. 
 5. Para a construção definitiva dos escalões dos veios fazem-se considerações 
ulteriores sobre as dimensões e precisão dos diâmetros e comprimentos. 
 
 
7.4 Escolha preliminar dos rolamentos 
 
 A escolha racional do tipo de rolamento para as condições de trabalho do redutor é 
complexa e depende de uma série de factores tais como a potência do redutor, o tipo de 
transmissão, as proporções entre as forças no engrenamento, a frequência de rotações 
do anel interno do rolamento, o tempo de serviço exigido, o esquema de montagem e o 
custo. 
 A pré-escolha do rolamento para cada veio do redutor faz-se na seguinte ordem: 
1. Segundo a tabela 7.2, determina-se o tipo, a série e o esquema de montagem; 
2. Escolhe-se o tipo e dimensões do rolamento pelo valor do diâmetro do anel 
interno do rolamento “d”, que é igual ao diâmetro ”d2” e ”d4” nos escalões dos 
veios do rolamento (ver as figuras 7.1 a ... d); 
3. Transcrevem-se os parâmetros principais do rolamento: 
- geométricos: d – diâmetro do anel interno; 
 D - diâmetro do anel externo; 
B – largura do anel (para os rolamentos cónicos anotam-se as 
 dimensões axiaisT e c); 
- dinâmicos: Cr – capacidade de carga dinâmica; 
 C0 – capacidade de carga estática. 
 
 
 
Tabela 7.2 – Escolha preliminar dos apoios 
Transmissão 
Veio 
de ... 
veloc. 
Tipo de rolamento Série Ângulo de 
contacto 
Esquema 
de 
montagem 
Radial de esferas de uma fila 
para aw ≥200 mm 
Média 
(ligeira) - 
1 (com um 
apoio fixo) 
Alta 
Ligeira 
(média) 
 
 
 
Cilíndrica de 
dentes 
helicoidais 
Baixa 
Para 25,0≤
r
a
R
F
 - radial de 
esferas de uma fila; 
25,0>
r
a
R
F
 - De rolos cónicos, 
do tipo 7000 
Ligeira 
α=11...16º 
para o tipo 
7000 
3, dois 
apoios 
fixos, veio 
comprimido 
De rolos cónicos, do tipo 
7000 ou 27000, para n1<1500 
rpm Alta 
Radial-axial, de esferas, do 
tipo 46000, para n1≥1500 rpm 
Ligeira 
(média) 
4, dois 
apoios 
fixos, veio 
estendido 
Cónica 
Baixa 
De rolos cónicos, do tipo 
7000 
Ligeira 
α=11...16º 
para o tipo 
7000 
α=25...29º 
para o tipo 
27000 
α=26º para 
o tipo 
46000 
3, dois 
apoios 
fixos, veio 
comprimido 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 16
Transmissão 
Veio 
de ... 
veloc. 
Tipo de rolamento Série Ângulo de 
contacto 
Esquema 
de 
montagem 
Radial-axial, de esferas, tipo 
46000; de rolos cónicos, do 
tipo 27000; radial de esferas, 
de uma fila, para aw>160 mm 
2 (com um 
apoio fixo) 
Alta De rolos cónicos, do tipo 
7000 ou radial-axial de 
esferas, do tipo 36000, para 
aw≤ 160 mm 
Média 
De parafuso 
sem-fim 
Baixa 
De rolos cónicos, do tipo 
7000 
Ligeira 
α=11...16º 
para o tipo 
7000 
α=25...29º 
para o tipo 
27000 
α=12º para 
o tipo 
36000; 
α=26º para 
o tipo 
46000. 
3, dois 
apoios 
fixos, veio 
comprimido 
 
7.5 Composição do esboço do redutor 
 
 A composição do esboço do redutor determina as posições das rodas dentadas no 
par do redutor, elementos da transmissão aberta e uniões dos veios relativamente aos 
apoios. Nesta composição também se determinam os comprimentos entre os pontos de 
aplicação das reacções nos apoios do veios de alta e baixa velocidade do redutor, “lalta” 
(l�) e “lbaixa” (lT), respectivamente. Também se determinam as distâncias entre os pontos 
de aplicação das forças dos elementos da transmissão aberta ou uniões de veios e o 
ponto de aplicação da reacção no apoio mais próximo, que e designam “lab” (lo�) e “luni” 
(lM), respectivamente. Entre parênteses apresentam-se os símbolos usados em alguns 
desenhos. 
 A composição do esboço do redutor é feita a lápis numa folha de papel milimétrico 
de formato A1/A2, na escala 1:1, ou utilizando meios informáticos equivalentes. Usam-se 
linhas de contorno. A execução do esboço do redutor deve conter: 
- a representação do esboço do redutor em duas projecções; 
- tabelas de dimensões dos escalões dos veios, apoios e outras distâncias; 
- legenda principal, forma 1 (figs. 7.2 ... 7.4, A1 ... A18, tab. 14.1 ... 14.2). 
 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 17
 
Fig. 7.2 – Esboço do corpo redutor cilíndrico 
 
A ordem recomendada para a composição do esboço do redutor é a seguinte: 
 
1. Assinalam-se as disposições da projecção da composição segundo o esquema 
cinemático do accionamento e as dimensões máximas das rodas dentadas; 
2. Traçam-se linhas de projecção e as linhas de eixo dos veios. Nos redutores 
cilíndricos e de parafuso sem-fim os eixos dos veios são traçados à distância 
mútua igual à distância interaxial. Nos redutores cilíndricos os eixos são paralelos 
e nos redutores de parafuso sem-fim os eixos são cruzados em 90º. Nos 
redutores cónicos os eixos dos veios são concorrentes e fazem um ângulo de 90º 
(nas transmissões ortogonais). 
3. Desenha-se o par do redutor de acordo com os parâmetros geométricos obtidos 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 18
como resultado do cálculo projectivo das transmissões (ver as figuras 7.2 ... 7.4): 
 
a) para a roda dentada movida cilíndrica e pinhão: d1, d2, da1, da2, b1, b2 (v. 
tabela de resultados do cálculo projectivo e a figura 7.5 a) ); 
b) para rodas dentadas cónicas e pinhão cónico: Re, de1, de2, δ1, δ2, hae=mte, 
hf2 = 1,2⋅mte, b, b3 (v. tabela de resultados do cálculo projectivo e a figura 
7.5 b) ); 
c) para rodas-coroas e parte roscada dos parafusos sem-fim: dw2, daM2, b2, 
dw1, da1, df1, b1 e 2⋅δ (v. tabela de resultados do cálculo projectivo e a figura 
7.5 c) ); 
 
4. Para evitar o contacto da superfície da roda dentada com a parede interna do 
corpo do redutor durante o seu funcionamento, deve-se ter uma folga x = 8 ... 10 
mm entre o contorno interno das paredes e os órgãos rodantes (superfícies das 
engrenagens giratórias). A distância y desde o fundo do corpo do redutor até à 
superfície inferior das rodas (ou do parafuso-sem-fim) deve ser y ≥ 4⋅x, para 
todos os tipos de redutores. Os contornos dos corpos dos redutores cónicos 
devem ser simétricos em relação ao eixo do veio de alta velocidade (fig. 7.3). O 
O contorno real do corpo do redutor depende do esquema cinemático, das 
dimensões das peças da transmissão, do método de transporte, lubrificação,etc., 
e faz-se durante a elaboração da composição final (de construção) do redutor 
(figuras 10.5, 10.35...44, A1 ... A18) 
 
5. Desenham-se os escalões utilizando as dimensões d e l dos veios obtidas do 
cálculo projectivo dos veios (tabela 7.1) segundo os eixos marcados: 
 
a) para o redutor cilíndrico (fig. 7.2): os escalões dos veios desenham-se em 
sequência desde o 3º ao 1º; assim, o comprimento do 3º escalão l3 é 
obtido construtivamente como distância entre paredes opostas do redutor 
(ou seja, b1+x+x). 
b) para redutores cónicos (fig. 7.3): os escalões do veio de baixa velocidade 
desenham-se em sequência a partir do 5º escalão; assim, os 
comprimentos dos 5º e 3º escalões (l5 e l3) são obtidos construtivamente; o 
3º escalão, onde se monta a roda movida, deve estar no lado oposto à 
saída do veio com uma carga em consola, de forma minimizar o 
desequilíbrio na distribuição das forças pelos apoios. O desenho dos 
escalões dos veios de alta velocidade depende da posição dos rolamentos 
no 4º escalão: deve-se determinar o ponto de aplicação da reacção no 
apoio do rolamento mais próximo do pinhão usando a grandeza lalta; 
depois, indica-se a distância a2 ≥ 2,5⋅a1 (a1 é a distância do ponto de 
aplicação da força resultante na engrenagem ao apoio mais próximo e a2 é 
a distância entre apoios); depois acha-se o ponto de aplicação da reacção 
no segundo rolamento e determina-se a posição do rolamento. Os 
restantes escalões do veio de alta velocidade desenham-se de modo 
similar aos escalões do veio de baixa velocidade. 
c) para redutores de parafuso sem-fim/coroa (fig. 7.4): os escalões do veio 
de baixa velocidade desenham-se em sequência, a partir do 3º escalão 
até ao 1º escalão. O comprimento do 3º escalão obtém-se 
construtivamente, como distância entre paredes opostas do redutor (l3), 
que depende das dimensões do parafuso sem-fim. O desenho dos 
escalões do veio de alta velocidade depende da posição dos 2º e 4º 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 19
escalões, que se determina tendo em vista a construção dos rolamentos. 
Estes escalões são posicionados de tal modo que, na face interna do 
alojamento dos rolamento haja uma espessura S=(0,1 ... 02,)⋅D até à ao 
contorno interno do corpo do redutor que se situa perto das extremidades 
do dentes da roda-coroa. Este contorno é um arco que tem raio 
R=0,5⋅daM2 + x. O diâmetro do alojamento para o rolamento depende da 
dimensão do anel externo deste, que é extraído de tabelas de parâmetros 
de rolamentos. Os outros escalõesdesenham-se de modo análogo aos 
escalões do veio de baixa velocidade. 
 
 
Fig. 7.5 
 
6. No 2º e 4º escalões desenham-se os contornos dos rolamentos usando as 
dimensões d, D, B (T,c para rolamentos de rolos cónicos) segundo o esquema de 
montagem (ver a tabela 7.2). Para os rolamentos de rolos cónicos 
�
�
�
�
�
� −
⋅≈
23
1 dDh . Os contornos desenham-se com linha contínua grossa e as 
diagonais cruzadas com linha contínua fina. 
 
7. Determinam-se os comprimentos lalta e lbaixa entre os pontos de aplicação das 
reacções nos rolamentos dos veios de alta e baixa velocidade, respectivamente. 
A reacção radial R no rolamento considera-se aplicada no ponto de intersecção 
entre a normal traçada a partir do ponto médio da superfície de contacto do anel 
exterior com o corpo rodante e o eixo de rotação do veio (v. fig. 7.6). Se a 
superfície de contacto entre o corpo rodante e o anel exterior estiver inclinada, o 
ponto de aplicação da reacção no apoio localiza-se num plano diferente do plano 
que contém os lugares geométricos dos pontos médios das linhas de contacto 
entre os corpos rodantes e o anel externo do rolamento. Segundo o exposto: 
a) para rolamentos radiais o ponto de aplicação da reacção está no plano 
axial médio do rolamento; a distância entre apoios é determinada segundo 
o esquema da figura 7.6 c) por: BL −=� ; 
b) para rolamentos radiais-axiais o ponto de aplicação da reacção está 
deslocado do plano axial médio do rolamento; a distância “a” entre a face 
do anel externo do rolamento e o ponto de aplicação da reacção pode ser 
determinada usando as figuras 7.6 a) e b): 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 20
 �
�
�
�
�
�
⋅
+
+⋅= αtgDdBa
2
5,0 - para rolamentos de esferas de contacto 
angular unifilares 
 �
�
�
�
�
�
⋅
+
+⋅= e
DdTa
3
5,0 - para rolamentos de rolos, unifilares. 
 
 Onde: d, D, B, T – são diâmetros e larguras tabeladas do rolamento; 
 α - é o ângulo de contacto; 
 e – é o factor de carga axial (tabelado); 
 
Para a montagem dos rolamentos no esquema 3 (fig. 7.6 a) ), em que os 
rolamentos tendem a comprimir o veio (montagem em X) tem-se: 
 
 aL ⋅−= 2� 
 
Para a montagem dos rolamentos no esquema 4 (fig. 7.6 b) ), em que os 
rolamentos tendem a esticar o veio (montagem em O) tem-se: 
 
 aL ⋅+= 2� 
 
 Para montagem dos rolamentos segundo os esquema 2, a reacção do apoio 
que é composto por um par de rolamentos radiais-axiais de uma fila 
opostos, num dos lados (v. figs. 10.18, A6, A8)), está posicionada a meio 
do par de rolamentos. O outro apoio é flutuante e só tem reacção na 
direcção radial. A distância entre apoios vai da face do rolamento 
flutuante às faces de junção dos rolamentos axiais-radiais mas é reduzida 
no valor de meia largura do rolamento flutuante: 
 
 BL ⋅−= 5,0� 
 
8. Determinam-se os pontos de aplicação das forças em consola: 
 
a) para transmissões abertas – a força dos ramais das correias ou da cadeia 
sobre os veios (Fv ou Fab), força no engrenamento das transmissões por 
rodas dentadas Ftab, Faab e Frab são consideradas como tendo o seu ponto 
de aplicação a meio do comprimento do escalão da extremidade do veio 
em que se monta o cubo da polia, roda estrelada ou roda dentada, a uma 
distância lab do apoio mais próximo (figs. 7.2 ... 7.4); Os índices tab, aab e 
rab indicam tangencial, axial e radial na transmissão aberta, 
respectivamente; 
b) a força da união Funi está aplicada entre as semi-uniões (figs. 10.1...10.3); 
por isso, pode-se considerar que o ponto de aplicação da força Funi está 
situado a uma distância luni do apoio mais próximo igual ao comprimento 
em consola do veio, i.e., à distância que vai desde apoio dado à da face 
na extremidade do veio (figs. 7.2 ... 7.4). 
 
9. Colocam-se as dimensões necessárias na composição do esboço, preenche-se a 
tabela e a legenda principal. 
10. Compõe-se a tabela de resultados (tabela 7.3). 
 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 21
 
8 . Esquemas de cálculos dos veios dos redutores. 
 
As tarefas da composição dos esquemas de cálculo dos veios são: 
 
1. Determinação das reacções radiais nos apoios dos veios de alta e baixa 
velocidade; 
2. Composição das equações dos momentos flectores e torsores; 
3. Determinação das somas dos momentos flectores; 
4. Composição do esquema de carga dos rolamentos. 
 
Estas tarefas são desenvolvidas em duas etapas: 
 
1) determinação das reacções nos apoios para os apoios pré-seleccionados: o 
resultado desta etapa possibilita a execução do cálculo testador dos apoios. 
2) determinação das reacções nos apoios escolhidos, em função dos momentos 
flectores e torsores e dos esquemas de carregamento: 
 O resultado da 2ª etapa possibilita o cálculo testador dos veios à sua resistência. 
 
8.1 – Determinação das reacções nos apoios 
 
1. Desenham-se os eixos das coordenadas dos eixos para a orientação dos 
vectores de forças e momentos. 
2. Desenha-se o esquema de cálculo dos veios correspondente aos esquemas de 
carregamento dos veios do redutor (fig. 6.4 ... 6.6). 
3. Escrevem-se os dados de cálculo. 
 
a) forças: - no engrenamento dos pares do redutor, no pinhão (ou parafuso 
sem-fim) e rodas movidas – tangencial Ft, radial Fr e axial Fa. 
 
- forças em consola: em transmissões abertas com elemento 
flexível Fv (ou Fab) ou em pinhões de transmissões por 
engrenamento Ft1, Fr1 e Fa1 e em uniões de veios Funi; (figs. 6.4 ... 
6.6) 
 
 
 
b) parâmetros geométricos: - distâncias entre os pontos de aplicação das 
reacções nos apoios dos veios de alta e de baixa velocidade lalta e 
lbaixa. 
 
- distâncias entre os pontos de aplicação das forças em consola e 
as reacções no apoio mais próximo, para as forças nos elementos 
da transmissão e nas uniões de veios, lab (lv) e luni respectivamente 
(figs. 7.2 ... 7.4); 
 
- diâmetros dos cilindros primitivos do pinhão (parafuso sem-fim) ou 
coroa – d1 e d2 (v. a tabela dos parâmetros da transmissão, 4.5, 4.8 
ou 4.11); 
 
4. Determinam-se as reacções nos apoios nos planos vertical e horizontal, para os 
apoios pré-seleccionados; 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 22
5. Calcula-se a resultante das reacções radiais, como soma geométrica das 
reacções radiais calculadas para planos perpendiculares, utilizando fórmulas do 
tipo 22 AyAxA RRR += , onde Rax e Ray são as reacções radiais no apoio A nos 
planos XOZ e YOZ (horizontal e vertical), respectivamente. 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 23
 
Fig. 8.1 
 
 
8.2 – Construção dos diagramas dos momentos flectores e torsores 
 
 
1. Fazem-se cálculos para o plano vertical: 
a. Determinam-se as reacções nos apoios escolhidos, em correspondência com 
planos dos sistemas de forças (v. 11.3, p1); 
b. Determinam-se os valores dos momentos flectores, em correspondência com 
as direcções dos momentos flectores (v. 11.3, p2);. 
c. Desenham-se os diagramas dos momentos flectores usando uma escala 
para cada diagrama, mostrando os valores e a localização do momento 
máximo e momentos em pontos singulares; a escala µ, em N⋅m/mm, é 
escolhida de modo a ser conveniente para cada momento máximo que surge 
no plano dado e o seu valor é anotado no diagrama (v. figs. 8.1 ... 8.4). 
 
- forças em consola: em transmissões abertas com elemento flexível Fv (ou 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 24
Fab) ou em pinhões de transmissões por engrenamento Ft1, Fr1 e Fa1 e em 
uniões de veios Funi; (figs. 6.4 ... 6.6); 
 
2. Fazem-se cálculos para o plano horizontal,segundo os procedimentos usados 
para o plano vertical; 
3. Determina-se o momento torsor no veio (ver a tabela de resultados do cálculo 
cinemático do accionamento) e desenha-se o seu diagrama, usando uma escala. 
O sinal escolhe-se em função do sentido do momentos torsor relativamente à 
força tangencial Ft, quando visto a partir da extremidade em consola do veio de 
alta velocidade; 
4. Determina-se a resultante das reacções nos apoios (v. ponto 5 acima); 
5. Calculam-se os momentos flectores resultantes para o as secções mais 
carregadas dos veios por fórmulas do tipo 22 yxres MMM += , onde Mx e My são 
aos momentos flectores nos planos XOZ e YOZ (horizontal e vertical), 
respectivamente; 
6. Compõem-se os esquemas de carga do apoios (v. 9.3); 
7. Compõem-se as tabelas de resultados (figs. 8.1 ... 8.4). 
♦
 
 
 
 
 
Litter: 
Transmissão Veio 
de ... 
veloc. 
Tipo de rolamento Série Ângulo de 
contacto 
Esquema 
de 
montagem 
Cilíndrica de 
dentes 
angulares 
Alta Radial de esferas de uma fila 
para aw ≥200 mm 
Média 
(ligeira) 
- 1 (com um 
apoio fixo) 
 
Para 25,0≤
r
a
R
F
 - radial de 
esferas de uma fila; 
 
Ligeira 
(média) 
 
 
 
α=11...16º 
para o tipo 
7000 
3, dois 
apoios 
fixos, veio 
comprimido 
 Baixa 
25,0>
r
a
R
F
 - De rolos cónicos, 
do tipo 7000 
Ligeira 
Cónica Alta De rolos cónicos, do tipo 
7000 ou 27000, para n1<1500 
rpm 
Ligeira 
(média) 
α=11...16º 
para o tipo 
7000 
4, dois 
apoios 
fixos, veio 
estendido 
 Radial-axial, de esferas, do 
tipo 46000, para n1≥1500 rpm 
 α=25...29º 
para o tipo 
27000 
 
 Baixa De rolos cónicos, do tipo 
7000 
Ligeira α=26º para 
o tipo 
46000 
3, dois 
apoios 
fixos, veio 
comprimido 
De parafuso 
sem-fim 
Alta Radial-axial, de esferas, tipo 
46000; de rolos cónicos, do 
Média α=11...16º 
para o tipo 
2 (com um 
apoio fixo) 
Projecto dos veios do redutor Rui V. Sitoe - 2006 25
Transmissão Veio 
de ... 
veloc. 
Tipo de rolamento Série Ângulo de 
contacto 
Esquema 
de 
montagem 
tipo 27000; radial de esferas, 
de uma fila, para aw>160 mm 
7000 
 De rolos cónicos, do tipo 
7000 ou radial-axial de 
esferas, do tipo 36000, para 
aw≤ 160 mm 
 α=25...29º 
para o tipo 
27000 
3, dois 
apoios 
fixos, veio 
comprimido 
 Baixa De rolos cónicos, do tipo 
7000 
Ligeira α=12º para 
o tipo 
36000; 
α=26º para 
o tipo 
46000. 
 
 
Tabela com colunas misturadas (merged):