Física moderna Livro-Texto - Unidade I

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Autor: Prof. Joares Junior
Colaboradores: Profa. Thais Cavalheri dos Santos
 Prof. José Carlos Morilla
Física Moderna
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Professor conteudista: Joares Junior
Professor com mais de 18 anos de experiência em ensino de Física. Possui bacharelado em Física pela Unesp, 
mestrado e doutorado em Física na área de concentração de Física Atômica e Molecular pelo Instituto Tecnológico 
de Aeronáutica – ITA. Possui diversos artigos publicados em periódicos especializados, tendo participado de vários 
congressos nacionais e internacionais. Atualmente realiza pesquisa em Física Molecular, Física Estatística Não Aditiva 
de Tsallis, Espectroscopia Molecular, Plasmas Frios e em Ensino de Física para Nível Superior.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
J95f Junior, Joares.
Física moderna / Joares Junior. São Paulo: Editora Sol, 2019.
128 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXV, n. 2-025/19, ISSN 1517-9230.
1. Dilatação do tempo. 2. Modelos atômicos. 3. Poço quadrado 
infinito. II. Título.
CDU 53
U501.56 – 19
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Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
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Unip Interativa – EaD
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Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
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 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
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 Kleber Nascimento
 Giovanna Oliveira
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Sumário
Física Moderna
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................8
Unidade I
1 RELATIVIDADE CLÁSSICA .................................................................................................................................9
1.1 Transformações de Galileu ............................................................................................................... 10
1.2 A velocidade da luz e o experimento de Michelson-Morley .............................................. 11
1.3 Os postulados de Einstein da relatividade restrita ................................................................. 13
1.4 Eventos ..................................................................................................................................................... 15
1.5 A relatividade da simultaneidade .................................................................................................. 16
2 A DILATAÇÃO DO TEMPO.............................................................................................................................. 16
2.1 Transformação de Lorentz ................................................................................................................ 20
2.2 Transformação relativística de velocidades ............................................................................... 25
2.3 Contração dos comprimentos ......................................................................................................... 27
2.4 O efeito Doppler para a luz .............................................................................................................. 28
2.5 Momento (linear) relativístico......................................................................................................... 29
2.5.1 Energia relativística ................................................................................................................................ 30
Unidade II
3 ORIGENS DA FÍSICA MODERNA E BASES EXPERIMENTAIS DA MECÂNICA QUÂNTICA ...........35
3.1 A radiação de corpo negro ............................................................................................................... 35
3.2 A hipótese de Planck ........................................................................................................................... 39
3.3 O efeito fotoelétrico ............................................................................................................................ 42
3.4 Raio X ........................................................................................................................................................ 48
3.5 Explicação de Einstein para a Lei de Duane-Hunt .................................................................. 51
4 O EFEITO COMPTON ........................................................................................................................................ 51
4.1 Dedução da equação de Compton ................................................................................................ 52
4.2 Tubos de Geissler e Crookes ............................................................................................................. 55
4.3 A descoberta do elétron .................................................................................................................... 56
4.4 O espectrômetro de massa ............................................................................................................... 58
4.5 A experiência de Millikan: quantização da carga elétrica ................................................... 58
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Unidade III
5 MODELOS ATÔMICOS .................................................................................................................................... 64
5.1 A descoberta do Próton ..................................................................................................................... 66
5.1.1 O modelo atômico de Thomson ........................................................................................................ 66
5.1.2 O modelo atômico de Rutherford .................................................................................................... 67
5.2 Espectros atômicos .............................................................................................................................. 69
6 O MODELO DE BOHR PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO ................................................................. 70
6.1 Regras de Quantização de Sommerfeld-Wilson ...................................................................... 77
6.2 O princípio da correspondência e o átomo de Bohr .............................................................. 78
6.3 Propriedades ondulatórias das partículas – Postulado de De Broglie ............................79
6.4 O experimento de Davisson-Germer e difração de elétrons .............................................. 82
6.5 A dualidade onda-partícula ............................................................................................................. 84
6.6 O princípio da incerteza de Heisenberg ...................................................................................... 85
Unidade IV
7 A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER EM UMA DIMENSÃO ..................................................................... 96
7.1 A interpretação de Born para as funções de onda ................................................................. 98
7.2 Separação das funções de tempo e espaço da função de onda ....................................... 99
8 O POÇO QUADRADO INFINITO .................................................................................................................102
8.1 O degrau de potencial ......................................................................................................................109
8.2 A barreira de potencial .....................................................................................................................115
8.3 Valores esperados e operadores ...................................................................................................117
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APRESENTAÇÃO
No começo do século XX, a grande maioria dos físicos acreditava que toda a estrutura teórica da Física 
estava pronta. Os fenômenos físicos poderiam ser explicados dentro das bases e leis estabelecidas por: 
Mecânica Clássica, com sua formulação Newtoniana, Lagrangiana ou Hamiltoniana; Termodinâmica e 
sua formulação estruturada na Mecânica Estatística de Boltzmann; e em toda a Teoria Eletromagnética 
sintetizada pelas leis de Maxwell.
Para ilustrar esse fato, citamos uma frase dita por Lord Kelvin (o mesmo das Leis da Termodinâmica): 
“[...] não há mais nada novo para ser descoberto em Física agora. Tudo que falta são medidas mais 
precisas... algumas casas decimais a mais [...]” (NUSSENSVEIG, 1998, p. 71).
Essa frase do grande Kelvin é um exemplo ímpar da situação da Física no início do século XX. No 
entanto, algumas questões fundamentais permaneciam sem respostas, tais como:
• Como o Sol produzia sua energia, já que essa estrela é a responsável por vários fenômenos físicos 
no planeta Terra e, é claro, em todo o Sistema Solar?
• Como a estrutura da matéria é organizada? Ou seja: o que seria realmente o átomo?
• Como essas questões poderiam ser explicadas em termos de duas interações fundamentais e 
conhecidas na época: Gravitação e Eletromagnetismo?
Se fizéssemos uma ilustração imaginando que os físicos estavam navegando por um mar de calmaria 
(as águas da Física Clássica), duas grandes nuvens carregadas começariam a aparecer no horizonte:
• o fenômeno de emissão de radiação por um corpo aquecido (e, na sequência, a catástrofe 
do ultravioleta);
• o fato de não se detectar o éter no experimento de Michelson-Morley.
A primeira das nuvens levaria ao início da Mecânica Quântica e a segunda, ao início da Teoria da 
Relatividade, que são as duas grandes teorias da Física Moderna.
Nesta disciplina, estudaremos os fundamentos da Relatividade Restrita e da Mecânica Quântica.
Estudaremos os conceitos e as consequências da Teoria da Relatividade Restrita de Einstein 
baseados em:
• relatividade do conceito de espaço e tempo;
• postulados da relatividade;
• contração de Lorentz;
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• dilatação do tempo;
• transformações relativísticas;
• massa de repouso;
• energia relativística.
Ao terminar esse percurso de estudos, você deverá ser capaz de ampliar os conceitos de 
movimentos relativos, compreender a dilatação temporal e a contração espacial; além de descrever 
os efeitos relativísticos.
INTRODUÇÃO
Os conceitos de relatividade já eram conhecidos na Física Clássica e foram bastante discutidos, 
principalmente por Newton e Galileu.
Com os conceitos de referencial inercial, Newton estabeleceu as bases das transformações das leis 
da Física.
Contudo, um fato experimental que contrariava a essência dessas transformações foi descoberto por 
Michelson-Morley: a velocidade da luz é a mesma para todos os observadores.
Assim, dava-se início a uma revolução na forma de entender conceitos que antes pareciam tão 
simples e estavam enraizados na compreensão do universo.
A Teoria da Relatividade de Einstein nos explicou sobre a simultaneidade de medidas e os conceitos 
de espaço e tempo que, na abordagem newtoniana, eram absolutos, e passaram então a ser relativos.
A relatividade permitiu compreender com uma nova lente as estruturas fundamentais do Universo.
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Unidade I
1 RELATIVIDADE CLÁSSICA
Galileu foi o primeiro a desenvolver os conceitos de movimento relativo. Esse conceito está 
intimamente vinculado às leis de Newton da Mecânica. Pensemos na Lei da Inércia (enunciada por 
Newton, mas proposta por Galileu). Imaginemos que estamos em um carro no banco da frente e, sobre 
o painel, encontra-se uma moeda.
Como a moeda localiza-se no painel (bem liso) do carro, conosco, estamos um em relação ao outro 
em repouso. Porém alguém de fora do carro, parado na estrada, diria que nós e a moeda estaríamos em 
movimento, uma vez que, para essa pessoa, nossa posição muda com o tempo.
Se nosso carro continuar com velocidade constante, e em linha reta, não veremos movimento da 
moeda em relação a nós.
Suponha agora que todo o carro esteja fechado, todas as janelas escuras, apenas a luz interna acesa. 
A moeda sobre o painel continuará parada em relação a nós.
Essa situação não difere se estivermos em uma sala de uma casa e a moeda sobre a mesa, observaríamos 
o mesmo fenômeno, a moeda estaria parada em relação a nós.
Voltemos à situação do carro, se ele continua em movimento retilíneo e uniforme, para nós e a 
moeda é como se estivéssemos parados.
Todavia, agora o carro começa lentamente a fazer uma curva para a direita. Como nossas janelas 
estão fechadas e a curva é suave, não conseguímos (imagine dessa forma) perceber que o carro está 
fazendo tal movimento (por causa de nossa massa).
No entanto, a moeda que está no painel começa a deslizar (lembre-se de que o painel está liso). 
Como estamos no carro, com a moeda, mas não somos capazes de distinguir que ele está fazendo uma 
curva (portanto acelerado), o que explicaria o movimento, aparente “fantasmagórico” da moeda?
Esse tipo de problema era explicado por Newton com o conceito de referencial inercial e não inercial. 
De forma simplificada, um referencial inercial é aquele que permite distinguir a Lei da Inércia. No caso 
da moeda, esse referencial seria aquele de uma pessoa fora do carro e parado na pista.
Para essa pessoa a moeda deslizaria, pois teria que continuar seu movimento por inércia (em linha reta) 
assim, quando o carro faz a curva, a moeda permanece em linha reta.
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Unidade I
Para nós que estamos dentro do carro, teríamos que usar o conceito de força fictícia. Trata-se de 
uma força que “surge” quando somos referenciais acelerados. Na situação da moeda no carro, essa força 
seria chamada de “força centrífuga”.
Essas questões sobre referenciais inerciais ou não são a essência da relatividade de Galileu ou Clássica.
Mas existe um referencial inercial melhor que o outro?
O princípio da relatividade newtoniana responde a esse questionamento.Ele pode ser enunciado 
da seguinte forma: todo referencial que esteja se movendo com velocidade constante em relação a um 
referencial inercial também é um referencial inercial. As leis de Newton são invariantes em todos os 
referenciais inerciais (TIPLER; LLEWELLYN, 2006).
Para entendermos a transformação de velocidades de um observador ao outro, considere a situação: 
dois carros A e B se movimentam na mesma direção, mas em sentidos opostos, em uma estrada em 
linha reta. A velocidade do carro A é de 60 Km/h e a do carro B 80 Km/h (medidos em relação ao solo). 
O módulo da velocidade relativa de aproximação de A para B será de 140 km/h.
 Lembrete
Para encontrarmos o módulo da velocidade relativa, temos que somar 
os módulos das velocidades se os móveis estiverem em sentidos opostos.
1.1 Transformações de Galileu
Considere um ponto P no espaço cartesiano, como mostrado na figura a seguir.
O O’
x
x x’x’ut
z
z’
z’ = z
y’ = y
R
R’
y
y’
P u
→
Figura 1 – Referencial cartesiano e as transformações de Galileu
O ponto P, no referencial inercial R, é determinado pelas coordenadas (x, y, z).
Agora veja outro referencial R’ que se move com velocidade u constante na direção e sentido do 
eixo X. Para o referencial R’, a posição do mesmo ponto P é determinada pelas coordenadas (x’, y’, z’). 
Como o referencial R’ possui movimento apenas no eixo X, temos que: y= y’ e z= z’.
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O deslocamento do referencial R’ em relação ao R é dado por:
Dx = u . t (eq. 1.1)
Logo x = x’ + Dx → x’ = x + u . t → x’ = x - u . t (eq. 1.2)
Agora se o ponto P se mover com velocidade v para o referencial R, teremos:
dx
v
dt
= (eq. 1.3)
Voltando à equação 1.2, podemos escrever a velocidade do ponto P em relação ao referencial R’, 
bastando derivar no que se refere ao tempo (dividir pelo intervalo) a equação 1.2:
( )d u.tdx' dx
v v u
dt dt dt
→ ′= − = − (eq. 1.4)
Mas, há algo de fundamental nessa derivação com relação ao tempo. Nós consideramos que para os 
dois referenciais, a derivada no tempo opera da mesma forma, ou seja:
dt = dt’ → Dt = Dt’ (eq. 1.5)
A equação 1.5 supõe algo que, no nosso cotidiano de baixa velocidade, é quase elementar. Um 
evento qualquer que ocorra terá nos referenciais R e R’ o mesmo intervalo de duração.
Se derivarmos novamente em relação ao tempo a equação 1.4 (dividir pelo intervalo de tempo 
novamente), teremos:
( )d udv' dv
a a
dt dt dt
= − ′→ = (eq. 1.6)
Isso significa que para os dois sistemas de referência a aceleração do ponto P é igual, ou seja, os dois 
sistemas mediram a mesma força resultante. Assim, as leis da mecânica newtoniana não se modificam 
quando verificadas em relação a sistemas de referência inerciais.
1.2 A velocidade da luz e o experimento de Michelson‑Morley
No final do século XIX, Maxwell sintetizou as leis do eletromagnetismo em um conjunto de quatro 
equações chamadas de equações de Maxwell.
Esse conjunto de equações previu a existência de ondas que seriam constituídas de campos elétricos 
e magnéticos chamadas de ondas eletromagnéticas.
Porém, o próprio Maxwell já tinha determinado que suas equações não eram invariantes em relação 
às transformadas de Galileu.
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Unidade I
Um fato interessante era que as equações de Maxwell previam a velocidade de propagação dessas 
ondas, que era a velocidade de propagação da luz.
No entanto, a alta velocidade de propagação da luz era explicada considerando que ela se propagava 
em um meio (que Aristóteles denominou) de éter. Esse meio teria algumas propriedades diferentes. Ele 
deveria ser muito rígido para que a luz se propagasse em alta velocidade, mas não apresenta resistência 
ao movimento dos planetas ao redor do Sol.
Assim a luz teria uma velocidade de propagação nesse meio (éter) chamada de “c”. Agora suponha 
outro referencial R’ se movendo com velocidade v em relação ao éter.
Para o referencial R’, a velocidade da luz deveria ser, de acordo com as transformações de Galileu, 
igual a:
c’ = c + v (eq. 1.7)
O problema com esse meio de propagação da luz (éter) é que ele não apresentava propriedades que 
pudessem ser medidas diretamente. Todas as tentativas de fazer e provar a existência do éter falharam.
Nesse contexto, Michelson e Morley (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009) fizeram um experimento 
em 1887 que iniciaria uma nova compreensão da mecânica.
Um esquema do experimento proposto por eles pode ser visto a seguir.
Fonte de luz
Espelhos Espelhos
Ocular
Anteparo
Lâmina de vidro 
espelhada
Lâmina de vidro 
não espelhada
Figura 2 – Esquema do experimento de Michelson-Morley
A ideia do experimento era tentar mostrar a existência do éter. Para isso, eles consideraram que se o 
universo vazio fosse preenchido com éter, a Terra, ao se deslocar por ele, o arrastaria.
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Assim, a velocidade da luz seria medida com valores diferentes (de acordo com as transformadas por 
Galileu) caso ela se propagasse a favor ou contra esse arrasto do meio (velocidade v).
Se a luz se propagasse no sentido contrário ao do arrasto do éter, ele deveria ser medido com uma 
velocidade menor, como se o éter a atrasasse. Tal efeito é semelhante a um barco que viaja com sentido 
oposto ao da correnteza do rio. Essa o atrasa, diminuindo a sua velocidade.
Michelson (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2009) percebeu que, embora a velocidade de arrasto fosse 
pequena para ser medida diretamente, a relação 
2v
c
 
  
 poderia ser medida por interferência da luz.
O objetivo do experimento era medir essa relação em relação ao equipamento. Isso equivaleria a 
mostrar que a Terra estaria em movimento no éter, o que exibiria sua existência.
O equipamento mostrado na figura anterior é na essência um interferômetro.
No experimento, um raio de luz proveniente de uma lâmpada de sódio (fonte de luz) se divide em 
duas partes ao alcançar a lâmina parcialmente refletora, fracionando o raio de luz em duas partes: I e II.
Assim um dos raios (I) faria a trajetória na direção imaginada do éter até outro espelho para ser 
refletido. Esse tempo de ida e volta seria Dt1.
O outro raio (II) deslocar-se-ia na direção perpendicular à da velocidade de propagação do éter até 
ser refletido por outro espelho. Esse tempo de ida e volta seria Dt2.
Se o éter existisse, os tempos Dt1 e Dt2 seriam diferentes. Então quando esses raios se combinassem 
poderiam se interferir de forma construtiva e destrutiva. Essas interferências gerariam franjas 
claras e escuras.
Como o experimento estava montado em uma base que poderia ser girada, dependendo do giro 
haveria deslocamento nas franjas de interferência.
Após realizarem diversas medidas, Michelson e Morley concluíram que não havia diferença entre os 
dois intervalos.
O experimento que inicialmente foi proposto para mostrar a existência do éter indicou que esse 
meio não tem efeito algum mensurável e não há razão de supor sua existência.
1.3 Os postulados de Einstein da relatividade restrita
Em 1905, Albert Einstein publicou uma série de artigos e em especial um que discutia a eletrodinâmica 
de corpos em movimento.
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 Saiba mais
Para saber mais sobre os artigos publicados de Einstein, consulte:
MOREIRA, I. C. 1905: um ano miraculoso. Física na escola, v. 6, n. 1, 2005. 
Disponível em: <http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol6/Num1/1905-ildeu.pdf>. Acesso em: 29 nov. 2018.
Nesse artigo ele propõe um princípio de relatividade mais geral, que se aplica às leis de Newton, 
como as equações de Maxwell.
O princípio de relatividade de Einstein estava baseado nos dois postulados a seguir:
• Postulado 1: as Leis da Física são as mesmas em todos os referenciais inerciais.
• Postulado 2: a velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em todas as direções e em todos 
os referenciais inerciais, qualquer que seja o movimento da fonte.
 Observação
Postulado é uma proposição que se admite verdadeira sem a necessidade 
de ser provada matematicamente.
O postulado 1 é uma generalização da relatividade de Galileu, pois além das leis da mecânica, ele 
inclui todas as leis da Física.
Com relação ao postulado 2, Einstein afirmava que o formulou baseado em considerações 
eletromagnéticas e não através do experimento de Michelson-Morley.
Uma consequência importantíssima desses postulados é que a velocidade da luz é a mesma para 
todos os observadores, independentemente do movimento relativo da fonte e do observador.
Por exemplo, considere uma fonte de luz e dois referenciais O e O’. Ela está em repouso em relação 
a O. Mas o observador O’ está em movimento em direção à fonte com velocidade v. Qual seria então a 
velocidade de um raio de luz medida pelo observador O’?
Na Mecânica Clássica, essa velocidade seria dada pela soma: c + v.
No entanto, de acordo com os postulados de Einstein, os dois observadores O e O’ mediram a mesma 
velocidade c para o raio de luz emitido pela fonte. Essa afirmação é contrária ao nosso senso comum. 
Ela desafia a nossa intuição.
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O fato é que nossas concepções cotidianas sobre velocidades são válidas quando elas são muito 
menores que a velocidade da luz.
1.4 Eventos
De forma simplificada, um evento é um fenômeno que acontece. Por exemplo: uma pedra que cai, o 
acender de uma lâmpada, uma explosão.
Um observador, para descrever um evento, pode atribuir à sua ocorrência três coordenadas espaciais, 
por exemplo: x, y e z, e uma temporal.
O mesmo evento pode ser estudado por vários observadores diferentes, cada um em seu 
referencial inercial.
Quando um observador descreve eventos que estão distantes dele, é necessário levar em 
consideração o tempo que ele demorou para obter a informação. Ou seja, deve-se preocupar com a 
sincronização dos relógios.
Uma maneira de criar um sistema de coordenadas espaciais e temporal a um referencial inercial é 
imaginarmos uma rede infinita tridimensional de réguas e de relógios.
Lembremos que é preciso que haja a sincronização desses relógios. A informação da sincronização 
será transmitida por um pulso eletromagnético.
Uma forma desse sistema de coordenadas é mostrada na sequência.
Figura 3 – Referencial inercial formado por uma rede tridimensional de réguas e com relógios em cada vértice
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Unidade I
O observador, para fazer a sincronização dos relógios, dispõe de infinitos ajudantes. Cada um 
deles se dirige a um vértice do sistema tridimensional. Em t= 0 um pulso luminoso é disparado 
pelo observador na origem do sistema. O ajudante que esteja, por exemplo, no eixo X, a uma 
distância r do observador, irá ajustar o seu relógio para o instante 
r
t
c
= .
Para um dado evento, o observador poderá indicar as coordenadas usando as réguas mais próximas 
do evento e o intervalo usando os relógios mais próximos.
1.5 A relatividade da simultaneidade
Para entendermos a simultaneidade, imaginemos que dois eventos independentes ocorram 
simultaneamente para a observadora Júlia (J). Suponha que outra observadora, Francine (F), esteja se 
movendo com velocidade v em relação à Júlia.
Para Francine, os dois eventos são simultâneos, assim como para Júlia o foram?
A resposta, de forma geral, é não.
Mas qual das observadoras está certa? Na verdade, não podemos afirmar quem está certa ou errada.
Os postulados da relatividade implicam a relatividade da simultaneidade, assim: dois eventos que 
são simultâneos em um referencial não são simultâneos em nenhum outro referencial inercial que 
esteja em movimento em relação ao primeiro.
Podemos afirmar que a simultaneidade é um conceito relativo que depende do movimento do observador.
Se a velocidade relativa da Francine em relação à Júlia é muito menor que a da luz, as diferenças de 
simultaneidade são tão pequenas que não podem ser observadas.
2 A DILATAÇÃO DO TEMPO
Se duas observadoras estão se movendo uma em relação a outra e medem um intervalo entre 
dois eventos encontram resultados diferentes. Isso se deve ao fato de que as separações espaciais e 
temporais são interdependentes.
Para entendermos esse conceito, imaginemos a seguinte experiência:
Júlia está em um trem, com ela há um relógio, uma lanterna, um detector e um espelho. Esse trem 
move-se com uma velocidade v. Vamos supor que os trilhos sejam horizontais.
Júlia fixa o espelho no teto do trem. Esse teto está a uma altura h da posição da Júlia. Assim, ao ligar 
sua lanterna dirigindo o raio de luz para o espelho, esse raio emitido reflete no espelho e é detectado 
no mesmo local.
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FÍSICA MODERNA
O intervalo entre a emissão (evento 1) e a recepção (evento 2) será:
0
2h
t
c
D = (eq. 1.8)
Como os dois eventos (a emissão do raio e sua detecção na volta) ocorrem no mesmo local, Júlia 
precisaria do nosso sistema tridimensional (espaço) e temporal de um único relógio.
O relógio C é mostrado duas vezes na figura a seguir:
Dt0
Evento 1 Evento 2
M
B
C
C
Espelho
h
Figura 4 – Relógio e eventos que acontecem no mesmo local para a observadora Júlia
Agora, pensemos como os dois eventos seriam medidos por Francine, que ficou parada na estação 
(lembre-se de que Júlia e todo o seu experimento estavam a bordo de um trem com velocidade v).
Como todo o experimento se move com o trem, o percurso do pulso luminoso será dado pela 
composição de movimentos.
Para Francine, os dois eventos (evento 1, emissão do raio de luz; e 2, detecção após a reflexão) 
ocorrem em locais diferentes (lembre-se de que o equipamento se deslocou com o trem enquanto 
a luz se propagava).
Portanto, para medir o intervalo entre os dois eventos, Francine precisará de dois relógios (um para 
cada situação) sincronizados: C1 e C2.
Através do postulado da relatividade, o raio de luz se propaga com a mesma velocidade para as duas 
observadoras: Francine e Júlia.
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Unidade I
A distância que a luz viaja para Francine é 2L (L na ida até o espelho no teto e L na volta pela 
reflexão), conforme figura a seguir.
Evento 1 Evento 2
L L
v Dt
C
Dt0
C
Espelho
h
B B
Figura 5 – Relógio e eventos que acontecem em locais diferentes para a observadora Francine
O intervalo medido por Francine entre esses dois eventos será:
2L
t
c
D = (eq. 1.9)
Para determinarmos a medida de L, faremos:
2 2
2 2 2t tL v. h L v. h
2 2
D D   = + → = +      
 (eq. 1.10)
Assim, podemos escrever o intervalo entre os dois eventos medidos por Francine, lembrando que 
0t .c h
2
D
= (eq. 1.8)
( ) ( )222 222 0 0t .ctt t .cv. t2 v.2 v. h 22 222L 4 4t
c c c c
DDD     DD++ +        
D = = = = →
( ) ( )22 0
1
t v. t t .c
c
→ D = D + D elevando ao quadrado ambos os lados da igualdade:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2
22 2 2 2 2 20
0 02 2 2 2
t c1 v t v
t v. t t .c t t t t
c c c c
DD D = D + D → D = + → D = D + D →
  
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FÍSICA MODERNA
22
2 2 2 0 0
02 2 2
2 2
t tv
1 t t t t
c v v1 1
c c
  D D
− D = D → D = → D =      − −      
 (eq. 1.10)
A equação 1.10 mostra a relação do intervalo medido por Júlia (Dt0) e aquele medido por 
Francine (Dt).
Para o exemplo citado, foi mostrada a dilatação do tempo. Observe que a velocidade do trem v é 
menor que c (nada pode viajar mais rápido que a luz no vácuo). Logo, o denominador da equação 1.10 
é menor que 1, isso significa que: Dt > Dt0.
Como a velocidade da luz é a mesma para os dois observadores, temos que o intervalo medido entre 
dois eventos por observadores que se encontrem em movimento relativo será diferente.
O intervalo entre os dois eventos que ocorrem no mesmo local (Júlia) é chamado de intervalo de 
tempo próprio.
Através da expressão da dilatação do tempo, podemos afirmar que o intervalo medido no referencial 
em que os eventos ocorrem em locais diferentes é maior.
O interessante é a conclusão a que Francine chega ao comparar seu intervalo para os dois eventos 
com aquele medido por Júlia (tempo próprio). Para Francine, é como se o relógio da Júlia estivesse se 
atrasando. Lembre-se de que um relógio está atrasado quando marca menor intervalo de tempo.
Para Francine, é como se o relógio de Júlia estivesse ficando para trás, ou seja, atrasando-se, dilatando.
Na equação 1.10, definimos o parâmetro de velocidade β como:
v
c
β = (eq. 1.11)
e o fator de Lorentz γ como:
2
1
1
γ =
− β
 (eq. 1.12)
Então, a equação 1.10 pode ser escrita como:
Dt = γDt0 (eq. 1.13)
Utilizaremos como exemplo as duas situações a seguir:
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Unidade I
Tempo de gestação
Suponha que uma salamandra alpina, cujo tempo de gestação seja de aproximadamente três anos 
no ano 2000, foi colocada a bordo de uma espaçonave e enviada ao espaço com a velocidade de 0,8 c. 
Para uma equipe que acompanha a missão na Terra, qual o ano de nascimento do filhote?
Resolução: o tempo próprio está relacionado ao referencial da salamandra, no caso, a espaçonave. 
Para tanto, o tempo de gestação da salamandra será de três anos aproximadamente.
Para a equipe que acompanha a missão na Terra, o intervalo de tempo de gestação seria:
( )
0
22
2
t 3 anos
t 5
v 1 0,8
1
c
D
D = = ≈
  −
−  
 anos
Assim, para uma equipe na Terra, o filhote nasceu no ano 2005.
Tempo de vida do múon
O múon é uma partícula subatômica muito instável. Seu tempo de vida é o intervalo entre 
a sua produção (evento 1) e seu decaimento (evento 2). Para medidas com o múon estacionário 
usando relógios estacionários, o tempo de vida é de aproximadamente 2,2 µs. Esse intervalo de 
tempo é o tempo próprio. Um múon típico encontrado em raios cósmicos possui a velocidade em 
relação à Terra de 0,998 c. Então, para um referencial na Terra, qual seria o tempo de vida para 
esse múon?
Resolução: o tempo próprio é aquele medido no referencial do múon, ou seja, 2,2 µs.
Para um referencial na Terra, este tempo de vida seria:
( )
6
60
22
2
t 2,2.10
t 34,8.10 s 34,8 s
v 1 0,998
1
c
−
−DD = = ≅ ≅ µ
  −
−   
2.1 Transformação de Lorentz
A transformação de Lorentz é aquela que relaciona as coordenadas de um evento do referencial R (x, 
y, z e t) com as coordenadas do referencial R’ (x’, y’, z’ e t’) do mesmo evento.
Consideraremos que o referencial R’ se mova com velocidade constante v em relação ao 
referencial R.
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FÍSICA MODERNA
 Observação
Na figura 1 são mostrados os dois referencias. Nela, a velocidade do 
referencial R’ em relação a R foi chamada de u.
Para simplificar nosso estudo, vamos considerar que as origens dos dois referenciais (R e R’) sejam 
coincidentes em t=t’=0.
De acordo com Galileu, temos o conjunto de equações:
x’ = x – v . t; y’ = y, z’ = z e t’ = t (eq. 1.14 a) e,
x = x’ + v . t; y = y’, z = z’ e t = t’ (eq. 1.14 b).
As transformações de Galileu são sempre válidas quando a v<<c (quando a velocidade v é muito 
menor que c).
Portanto, precisamos nos lembrar de que essas transformações não são válidas quando consideramos 
um pulso de luz. Por exemplo, se esse pulso tem a velocidade v no referencial R’, ele não terá a velocidade 
v+c no referencial R.
De acordo com os postulados da relatividade, a velocidade da luz deverá ser a mesma para os dois 
referenciais. Precisamos então encontrar uma transformação tal que para a condição v<<c (velocidade v 
muito menor que c) se reduza à transformação de Galileu e também satisfaça o postulado da relatividade, 
de que a velocidade da luz é a mesma para todos os referenciais (observadores associados).
A mudança que satisfaz essas condições é conhecida como transformação de Lorentz. Assim, teremos 
para a situação considerada:
x’ = γ(x - v . t) (eq. 1.15a)
x = γ(x’ - v . t’) (eq. 1.15b)
Lembre-se de que o movimento dos dois referenciais ocorre apenas no eixo x, logo as condições para 
as outras coordenadas são mantidas:
y’ = y, z’ = z e y = y’, z = z’ (eq. 1.16)
Mas o que acontece com a relação temporal?
A relação entre as coordenadas de tempo é modificada pela introdução do fator γ (transformação 
de Lorentz), da seguinte forma:
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Unidade I
Substituindo x’ da equação 1.15 a na equação 1.15 b:
x’ = γ(x - v . t) → x = γ(x’ + v . t’) → x = γ[(γ(x - v . t)) + vt’] →
→ x = γ2x - γ2vt + γvt’→ x - γ2x + γ2vt = γvt’, dividindo por γv teremos:
x x
t t
v v
γ
= + γ −′
γ
 fatorando o termo x
v
, obteremos 
x 1
t t
v
 
= − γ + γ γ 
′ , simplificando o termo 
em parênteses:
2x 1
t t
v
 − γ
= + γ γ 
′ e colocando o γ termo em evidência:
2
2
1 x
t t
v
  − γ
= γ +  γ 
′
 
 (eq. 1.17)
Agora façamos o seguinte:
Como tudo está relacionado à velocidade da luz, suponha que uma lanterna seja acesa na origem de 
R em t=0. Como as origens estavam juntas em t=t’=0, essa lanterna também será acesa no referencial R’.
Assim, a luz se propagará na forma de uma onda esférica para os dois referenciais. Para o observador 
relacionado ao referencial R, a equação de propagação da luz será:
x2 + y2 + z2 = c2t2 (eq. 1.18a)
e para o referencial R’ teremos:
x’2 + y’2 + z’2 = c2t’2 (eq. 1.18b)
 Observação
A equação de uma esfera centrada na origem, em coordenadas 
cartesianas, é:
x2 + y2 + z2 = R2
Lembrando que as equações 1.17a e 1.17b são compatíveis com o segundo postulado (a velocidade 
da luz ser a mesma para os dois referenciais).
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FÍSICA MODERNA
Todavia, a fim de que o primeiro postulado seja verdadeiro, a transformação γ deve alterar 1.15a 
para 1.15, o inverso b tem que ser verdadeiro e as transformações de Galileu têm que ser reduzidas para 
baixas velocidades.
Para determinarmos então o fator γ, faremos a substituição da equação 1.15a e 1.17 na equação 
1.18b, assim temos:
( )
2
2
2 2 2 2
2
1 x
x vt y z c t
v
   − γ  γ − + + = γ + →     γ     
′ ′
22 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 x x 1
x 2 xvt v t y z c t 2 c c
v v
′ ′
  − γ − γ
γ − γ + γ + + = γ + γ + γ   γ γ   
Reagrupando os termos de x2:
( )
2 2 22 2 2
4 2
c
x 1
v
 γ
γ − − γ 
γ  
 (eq. 1.19)
O mesmo poderia ter sido feito para os termos de t2 ou com o termo xt.
O coeficiente de x2 da equação 1.19 deve ser o mesmo de x2 da equação 1.18a, ou seja:
( ) ( )
2 2 2 22 22 2 2 2
4 2 4 2
c c
1 1 1 1
v v
 γ γ
γ − − γ = → − − γ = − γ 
γ γ  
 dividindo 1 - γ2
Reescrevemos:
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 4 2
4 2
c
1 1 c 1 v c c v
v
γ
− − γ = → −γ − γ = γ → −γ + γ = γ →
γ
→ γ2c2 = γ4c2 - γ4v2, fazendo a simplificação ÷ (γ2c2)
2 2 2
2 2
2 2 2
2
v v 1
1 1 1
c c v
1
c
 γ
= γ − → = γ − → γ = 
   −
 (eq. 1.20)
que é o fator da Transformação de Lorentz.
Se usarmos o fator γ no termo 
2
2
1− γ
γ
 da equação 1.17, teremos:
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2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
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2 2
1 1 1 1 1 c v c v c
1 1 1 1 1
1 1 c c c
v c v c v1
c c
− γ − − −
= − = − = − = − = − =
γ γ
− −−
2 2
2 2
1 v
c
− γ
= −
γ
 (eq. 1.21)
Logo, a transformação para t’ torna-se:
2 2
2 2 2
1 x v x vx
t t t t t t
v vc c
    − γ  = γ + → = γ − → = γ −        γ     
′ ′ ′ (eq. 1.22a)
Para a relação de t, podemos escrever:
2
vx'
t t
c
 = γ ′ +  
 (eq. 1.22b)
Assim, o conjunto de equações relacionadas com γ que refere-se às coordenadas do referencial R 
com as coordenadas do referencial R’ são:
( )
2
2
x v.t
x x v.t x
v
1
c
−
= γ − → =
−
′ ′ (eq. 1.23 a)
y’ = y (eq. 1.23 b)
z’ = z (eq. 1.23 c)
2
2 2
2
vx
t
vx ct t t
c v
1
c
−
 = γ − → =′ ′  
−
 (eq. 1.23 d)
O conjunto de equações 1.23 (a-d) é conhecido como transformações de Lorentz.
 Observação
Essas equações foram inicialmente desenvolvidas por H. Lorentz 
em sua teoria sobre elétrons e propostas bem antes de Einstein fazê-lo. 
No entanto, Lorentz supôs a velocidade v como sendo aquela relativa a 
um éter absoluto e forneceu uma interpretação diferente para elas.
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2.2 Transformação relativística de velocidades
Para obtermos as transformações relativísticas de velocidades, consideraremos que uma partícula 
esteja se movendo em relação a R com velocidade u, a qual possui as seguintes componentes:
x y z
dx dy dz
u ; u ; u
dt dt dt
= = =
 
utilizando as equações de transformações das coordenadas de posição e derivando-as, teremos:
x’ = γ(x - v . t) → dx’ = γ(dx - v . dt) (eq. 1.25 a)
y’ = y → dy’ = dy (eq. 1.25 b)
z’ = z → dz’ = dz (eq. 1.25 c)
2 2
vx vdx
t t dt dt
c c
′ ′   = γ − → = γ −      
 (eq. 1.25 d)
Usando o fato de que:
( )' ' x
x x
x
22 2
dx
dt v
dx v.dtdx' u vdtu u
vuvdx v dxdt' 1dt dt 1
dt cc c
 − γ −   −
= = = → =
    −γ − −      
 (eq. 1.26a)
de forma parecida, teremos para as outras componentes da velocidade da partícula:
y
y
x
2
u
u
vu
1
c
' =
 γ −  
 (eq. 1.26b)
z
z
x
2
u
u
vu
1
c
' =
 γ −  
 (eq. 1.26c)
O mesmo procedimento pode ser usado para obtermos a transformação de velocidades inversa. 
Faremos apenas a transformação do componente de velocidade do eixo x, usando as equações 1.15b e 
1.22b teremos:
x’ = γ(x’ + v . t’) → dx = γ(dx’ + vdt’) 
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Unidade I
'
'
2 2
vx vdx
t t dt dt
c c
  = γ + → = γ +     
′

′
 e usando:
( ) 'x
x x '' '
' x
22 2
dx
dt' v
dx vdt dx u vdtu u
dt vuvdx vdx 1dt dt' 1
cc c dt'
 + γ +   +
= = = → =
   
+γ + +   
′
′ ′
  
′

 (eq. 1.27a)
Para as outras coordenadas da velocidade, teremos a transformação inversa:
'
y
y '
x
2
u
u
vu
1
c
=
+
 (eq. 1.27b)
'
z
z '
x
2
u
u
vu
1
c
=
+
 (eq. 1.27c)
A equação 1.27a nos permite mostrar que as transformações de Lorentz se reduzem àquelas de Galileu 
para baixas velocidades. Para isso, considere que: u’x << c; v << c, assim o termo 
'
x
2
vu
0
c
→ , o que, na 
equação 
'
x
x '
x
2
u v
u
vu
1
c
+
=
+
, implica que: ux = u’x + v, o que é correspondente à transformação de Galileu.
Por último, vejamos se a mudança satisfaz o segundo postulado da relatividade. Então considere na 
equação 1.27a, que u’x = c, ou seja, a partícula seria um pulso de luz, então a velocidade no referencial 
R é dada por:
( )
'
2 2x
x x' 2 2
x
22 2
u v c v c v c v c v
u u c . c . c
v.c c c vvu c vc c vc11
cc c
+ + + + +
= → = = = = =
++ +++
Esses resultados nos mostram que as transformadas de Lorentz satisfazem os postulados da 
relatividade de Einstein.
Velocidades de elétrons
Dois elétrons são emitidos em direções opostas por átomos em uma amostra radioativa que está em 
repouso em um laboratório. Cada elétron possui a velocidade de 0,67 c medida por um observador no 
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FÍSICA MODERNA
referencial do laboratório. Qual é a velocidade de cada elétron medida pelo outro observador de acordo 
com as transformações de Lorentz da relatividade restrita?
Resolução: escolhendo que um elétron seja o referencial R, a amostra como sendo o referencial 
R’ (que se move em relação ao referencial R com velocidade 0,67c) e o outro elétron como sendo a 
partícula cuja velocidade no referencial R nós queremos encontrar. Com essas considerações e usando 
a equação 1.27a:
ux = 0.67c e v = 0.67c
( )
( )
'
x
x x' 2
x
22
0.67 0.67u v 0.67c 0.67c 1.34
u u .c c 0.92c
0.67c.0.67c 1.45vu 1 0.6711
cc
++ +
= → = = = ≅
+++
o que mostra que a velocidade de um elétron em relação ao outro não é maior que a velocidade da 
luz. Classicamente, teríamos: ux = 0.67c + 0.67c → ux = 1,34c.
2.3 Contração dos comprimentos
A contração dos comprimentos na verdade é um fenômeno vinculado à dilatação dos tempos.
O comprimento de um objeto no referencial em que o objeto está em repouso é chamado de 
comprimento próprio: Lp.
Para um referencial em que o objeto esteja se movendo, o comprimento na direção do movimento 
será menor que o comprimento próprio.
Façamos assim, considere uma barra em repouso em relação ao referencial da Francine (R’) com uma 
extremidade em x’2 e a outra extremidade em x’1. Para medir o comprimento Lp, a Francine terá que fazer 
a operação: Lp = x’2 - x’1.
No referencial da Júlia (R), a barra está se movendo para a direita (por exemplo) com velocidade v 
(a mesma da Francine, referencial R’). Para medir o comprimento da barra, a Júlia precisa medir 
a posição de uma extremidade x2 e da outra x1 no mesmo instante (caso ela o faça em instantes 
diferentes, não poderia determinar o comprimento).
Assim: x’2 - x’1 = Lp
x’2 = γ(x2 - vt); x’1 = γ(x1 - vt) subtraindo as duas equações:
x’2 - x’1 = γx2 - γvt - γx1 + γvt → x’2 - x’1 = γ(x2 - x1) →
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Unidade I
2
p
p p2
L v
L L L L 1 .L 
c
→ = γ → = → = −
γ
 (eq. 1.28)
Um fato deve ser ressaltado. Por exemplo, quando a Júlia mede o comprimento de uma régua que 
está com a Francine (que se move em relação à Júlia), ela determina um valormenor. O que a Francine 
diria a respeito disso? Para ela, quando a Júlia fez a sua medida de comprimento, olhando para as 
extremidades, essas medidas não foram simultâneas.
Comprimento de uma barra
Considere uma barra em repouso em relação a um referencial R’ (Francine). Este se movimenta em 
relação ao referencial R (Júlia) com velocidade de 0,8 c. Seja o comprimento da barra, para o referencial 
R’, igual a Lp= 2,0 m. Sabendo que a barra está alinhada com a direção de movimento, determine o 
comprimento da barra em relação ao referencial R.
Resolução: usando a equação 1.28, teremos:
( )22 2
p2 2 2
0,8cv 0,64.c
L 1 .L L 1 .2 L 1 .2 0,36.2 1,2m 
c c c
= − → = − → = − = =
 
2.4 O efeito Doppler para a luz
O efeito Doppler para a luz é diferente do efeito Doppler para as outras ondas.
 Observação
O efeito Doppler para o som é uma mudança na frequência medida pelo 
observador quando este e a fonte sonora estão em movimento relativo. Tal 
efeito depende de duas velocidades: a velocidade da fonte em relação ao 
ar e a velocidade do detector em relação ao ar, sendo o ar o meio pelo qual 
o som se propaga.
 Saiba mais
A fim de informações adicionais sobre o efeito Doppler, leia:
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física. 9. ed. v. 4. 
Rio de Janeiro: Gen-LTC, 2009.
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FÍSICA MODERNA
O efeito Doppler para as ondas eletromagnéticas depende apenas da velocidade relativa entre a 
fonte e o detector.
Considere f0 a frequência própria, ou seja, a frequência da onda eletromagnética medida por um observador 
para o qual a fonte esteja em repouso. Chamaremos de f a frequência medida por um observador que 
esteja se movendo em relação à fonte de ondas eletromagnéticas. Para esse movimento, temos duas 
possibilidades:
• o observador e a fonte estão em movimento relativo de aproximação:
0
1 v
f .f ; 
1 c
+ β
= β =
− β
 (eq. 1.29a)
Observe que se a distância entre fonte e observador estiver diminuindo (eles estão se aproximando) 
f > f0. Para a luz visível, esse seria um deslocamento para a cor azul do espectro, assim esta situação 
também é conhecida como desvio para o azul (blue-shift).
• o observador e a fonte estão em movimento relativo de afastamento:
0
1 v
f .f ; 
1 c
− β
= β =
+ β
 (eq. 1.29b)
Para o caso de a distância entre observador e fonte estar aumentando (eles estão se afastando), 
f < f0. Para a luz visível, esse seria um deslocamento para o vermelho, assim conhecido como desvio para 
o vermelho (red-shift).
2.5 Momento (linear) relativístico
Classicamente, a conservação do momento linear (quantidade de movimento) é válida para todos os 
referenciais inerciais, mas e em termos relativísticos?
De acordo com os postulados da Teoria da Relatividade de Einstein, teremos que modificar a expressão 
clássica que define o momento linear de tal forma que não alteremos o princípio de conservação de 
momento linear.
 Observação
Esse princípio afirma que para um sistema de partículas, a soma do 
momento linear antes de uma colisão é igual à soma do momento linear 
após a colisão.
A fim de que alcancemos esse objetivo, devemos fazer (para o movimento apenas em uma direção):
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Unidade I
2
2
mv
p mv
v
1
c
= γ =
−
 (eq. 1.30)
Momento de uma espaçonave
Uma espaçonave de massa igual a m= 60.000 kg foi lançada em direção a Júpiter. Após um certo 
tempo, ela alcança a velocidade v= 0,8 c (considere a variação de massa nesse intervalo de tempo 
desprezível). Qual é o momento da nave em relação à base de lançamento?
Resolução: usando a equação 1.30, teremos:
( ) ( )
( )
12
2 2
2 2
60.000 . 0,8cmv 48000c
p 24.10 kg.m / s
0,36v 0,8c1 1
c c
= = = =
− −
 
Observe que para o momento determinado com a expressão clássica teríamos achado o valor de:
p = mv = (60.000) . (0,8c) = 14,4 . 1012kg . m/s, que é menor que o valor relativístico.
2.5.1 Energia relativística
Da mesma forma que para o princípio da conservação de momento linear, precisamos encontrar 
uma expressão para a energia total que garanta a invariância da lei de conservação de energia quando 
fazemos transformações entre referenciais inerciais.
A energia relativística deve ser conservada para um sistema isolado (como na situação clássica) e 
precisa tender à forma clássica quando 
v
0
c
→ .
A energia total é dada por:
E = E0 + K → E = mc
2 + K (eq. 1.31a)
ou
2
2
2
2
mc
E mc E
v
1
c
= γ → =
−
 (eq. 1.31b)
onde o termo E0 = mc
2 é chamado de energia de repouso.
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FÍSICA MODERNA
Para o termo de energia cinética, podemos escrever:
K = mc2 (γ - 1) (eq. 1.31c)
Para a relação entre o momento linear e a energia total, temos:
E2 = (pc)2 + (mc2)2 (eq. 1.32)
 Resumo
Nesta unidade, estudamos os conceitos de relatividade restrita, vimos 
os dois postulados da relatividade geral: as leis da física devem ser idênticas 
em quaisquer referenciais inerciais e a velocidade da luz no vácuo tem o 
mesmo valor para todos os observadores. Esses dois postulados permitem 
concluir que, em geral, dois observadores não poderão afirmar sobre a 
simultaneidade de um mesmo evento.
Os postulados da relatividade levam a dois fenômenos, relevantes em 
velocidades próximas à da luz.
O primeiro é a dilatação do tempo. Ele indica que quando dois eventos 
ocorrem no mesmo local de um referencial inercial, o intervalo de tempo entre 
eles é chamado de tempo próprio. Se o intervalo de tempo desses eventos 
é medido em outro referencial, em movimento em relação ao primeiro, o 
resultado da medida é sempre maior que o intervalo de tempo próprio.
O segundo é a contração do comprimento. O comprimento de um corpo 
medido em um referencial em que o corpo se encontra em repouso é chamado 
de comprimento de repouso. Para um outro referencial, com relação ao qual 
o corpo se encontra em movimento, na direção do movimento, a medida do 
comprimento é sempre menor que o comprimento de repouso.
Matematicamente é o fator γ da transformação de Lorentz que permite 
calcular a dilatação do tempo e a contração do comprimento. Esse fator 
permite também realizar as transformações em sistemas de coordenadas e 
determinar a expressão relativística do momento linear e da energia total.
 Exercícios
Questão 1. Suponha que um astronauta com 35 anos sai da Terra, no dia 1º de janeiro de 2018, a 
bordo de uma espaçonave e enviada ao planeta Ross 128 b, que é o planeta mais próximo da Terra fora 
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do Sistema Solar, com a velocidade de 0,5 c. Decorridos exatamente 11 anos para o astronauta, ele chega 
ao planeta. Qual o ano em que ele chegou ao Ross 128b, para a equipe que o acompanha na Terra?
A) 2029.
B) 2018.
C) 2030.
D) 2025.
E) 2032.
Resposta correta: alternativa A.
Análise das alternativas
A) Alternativa correta.
Justificativa: 2029 é o ano de chegada para quem está na espaçonave. O tempo próprio é de 11 anos. 
Assim, o ano de chegada para quem está na espaçonave é 2018 + 11, que é 2029.
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: 2018 é o ano em que o astronauta saiu da Terra.
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: veja a solução.
O tempo próprio está relacionado ao referencial do astronauta, que, no caso, é a espaçonave. Para 
esse referencial, o tempo decorrido será de 11anos.
Para a equipe que acompanha a missão na Terra, o intervalo de tempo é:
( )
0
22
2
t 11 anos
t 12,7 anos
v 1 0,5
1
c
D
D = = ≈
  −−  
 
Assim, para a equipe, o astronauta chegou no ano 2029.
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D) Alternativa incorreta.
Justificativa: para que o ano de chegada fosse 2025, o astronauta deveria estar viajando a uma 
velocidade maior do que a da luz.
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: para chegar em 2032, o intervalo de tempo na Terra é de 14 anos. Com isso, a velocidade 
em que o astronauta deveria estar viajando é:
0
22
22
t 11 anos
t 14 anos
vv 11
cc
D
D = = =
 
−−  
2
2
11 anos v
1
14 anos c
= −
2
2
v
0,7857 1
c
= −
2
2
v
0,6173 1
c
= −
v
1 0,6173
c
= −
v
0,62
c
=
v = 0,62c
Questão 2. Considere uma barra em repouso em relação a um referencial R’, que se movimenta 
em relação ao referencial R com velocidade v. Considere que o comprimento da barra, no referencial 
R’, seja igual a Lp = 6,0 m. Considerando que a barra está alinhada na direção de movimento e que 
o comprimento da barra em relação ao referencial R seja L = 4,0 m, a velocidade do referencial R’ é 
(OBS: Considere a velocidade da luz igual a 3000.000 km/s):
A) 400.000 km/s.
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Unidade I
B) 300.000 km/s.
C) 112.000 km/s.
D) 223.600 km/s.
E) 0.
Resolução desta questão na plataforma.