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NOTAS DE AULA: TOPOLOGIA GERAL
DANIEL PELLEGRINO
Suma´rio
1. Introduc¸a˜o 2
2. Um pouco sobre Teoria de Conjuntos e Lo´gica 2
2.1. Notac¸o˜es e terminologia 2
2.2. Algumas convenc¸o˜es 2
2.3. O Axioma da Escolha e o Lema de Zorn 2
3. Espac¸os Me´tricos 4
4. Espac¸os Topolo´gicos 6
5. Vizinhanc¸as 8
6. Bases e sub-bases 10
7. Func¸o˜es cont´ınuas 12
8. Subespac¸os e topologia relativa 13
9. Homeomorfismos 15
10. Espac¸os produto e topologias fracas 18
11. Espac¸os Quocientes 20
12. Convergeˆncia de sequeˆncias 21
13. Redes 23
14. Filtros 27
15. ————-Co´pia da primeira prova do curso————– 29
16. Espac¸os T0, T1, T2 e T3 30
17. Conjuntos compactos 31
17.1. O Teorema de Tychonoff 34
18. Uma aplicac¸a˜o do Teorema de Tychonoff a` Ana´lise Funcional: O Teorema de Banach-
Alaoglu-Bourbaki 35
19. Teorema da Extensa˜o de Tietze 37
20. Compactificac¸a˜o de Alexandrov 41
21. Compactificac¸a˜o de Stone-Cech 43
21.1. Espac¸os completamente regulares 43
21.2. Compactificac¸a˜o de Stone-Cech 44
22. ———————————-Co´pia da segunda prova do curso—————————- 46
23. Topologias em espac¸os de func¸o˜es 47
23.1. Topologia da convergeˆncia pontual 47
23.2. Topologia compacto-aberta 47
23.3. Topologia da convergeˆncia uniforme 47
23.4. Topologia da convergeˆncia compacta 49
24. Homotopias 50
25. Grupos Fundamentais 53
26. Semina´rio: O Teorema de Baire 55
Refereˆncias 56
1
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1. Introduc¸a˜o
Essas notas de aula na˜o teˆm pretensa˜o alguma em relac¸a˜o a` originalidade. Seu conteu´do e´ baseado
em livros cla´ssicos de Topoloigia Geral e e´ direcionado a um curso introduto´rio, com certa tendeˆncia
a`s aplicac¸o˜es da topologia a` Ana´lise Funcional.
2. Um pouco sobre Teoria de Conjuntos e Lo´gica
Um curso de Topologia Geral, invariavelmente, comec¸a com uma introduc¸a˜o a` Teoria de Conjuntos.
Em nosso curso, supomos um conhecimento “ingeˆnuo” da Teoria de Conjuntos. Um tratamento formal
e´ algo muito interessante, pore´m dif´ıcil e delicado, feito em Lo´gica Matema´tica, e na˜o e´ nosso objetivo
seguir por esse caminho. Apesar de nosso tratamento ingeˆnuo a` Teoria de Conjuntos, parece-me
necessa´rio comentar sobre algumas convenc¸o˜es adotadas e tambe´m sobre o Axioma da Escolha e suas
consequeˆncias.
2.1. Notac¸o˜es e terminologia.
• O conjunto dos nu´meros naturais sera´ considerado como N = {1, 2, 3, ...}.
• Os termos func¸a˜o e aplicac¸a˜o signifiacam a mesma coisa.
• Toda definic¸a˜o e´ suposta tacitamente como algo do tipo ”se e somente se”, mesmo quando isso
na˜o for explicitamente mencionado.
2.2. Algumas convenc¸o˜es. Se A e´ uma colec¸a˜o vazia, e´ razoa´vel e, acima de tudo, u´til, conven-
cionarmos que
⋃
A∈A
A = φ. Por outro lado, um pouco de reflexa˜o nos leva a concordar que, se temos
um conjunto ”universo”X, e A = φ ⊂ P(X), enta˜o ⋂
A∈A
A = X. Entretanto vamos prefirir na˜o definir⋂
A∈A
A quando A e´ uma colec¸a˜o vazia.
2.3. O Axioma da Escolha e o Lema de Zorn. Embora a formac¸a˜o de um matema´tico muitas
vezes passe longe de um curso de Lo´gica Formal, e´ bom que (pelo menos) saibamos que a matema´tica
que usamos possui, como alicerces, axiomas para a construc¸a˜o e manipulac¸a˜o de conjuntos. Esses
axiomas sa˜o conhecidos como Axiomas de Zermelo-Fra¨nkel (ZF).
O Axioma da Escolha (AE) garante a existeˆncia de um conjunto escolha E, que possui exatamente
um elemento de cada conjunto de uma famı´lia A de conjuntos na˜o vazios. Precisamente:
Axioma 2.1. (Axioma da Escolha). Dada uma colec¸a˜o A de conjuntos na˜o-vazios e disjuntos, existe
um conjunto E que possui exatamente um elemento em comum com cada conjunto pertencente a A.
Em outras palavras, para cada A ∈ A , o conjunto E ∩A tem apenas um elemento.
Seu enunciado parece bobo, pore´m e´ indispensa´vel em va´rios resultados da matema´tica moderna.
Muita controve´rsia sempre cercou o Axioma da Escolha. Para conjuntos finitos, o AE na˜o e´ necessa´rio,
pois pode ser obtido a partir de outros axiomas de (ZF). Entretanto, para conjuntos infinitos, a`s
vezes certos resultados so´ podem ser obtidos por interme´dio do AE. No passado, alguns matema´ticos
famosos relutavam em aceita´-lo, e a matema´tica ”sem o Axioma da Escolha”deu origem a` matema´tica
construtiva.
Pessoalmente, na˜o acho que o ponto central seja se o axioma da escolha e´ aceita´vel ou na˜o. Acredito
que podemos evitar controve´rsias com a seguinte questa˜o:
• Queremos estudar matema´tica com ou sem o Axioma da Escolha?
Qualquer um dos caminhos certamente nos levara´ a problemas interessantes, e tentar modificar
algumas demonstrac¸o˜es para evitar o uso do AE, quando poss´ıvel, tambe´m a´ algo que me parece
interessante.
Bom, atualmente o Axioma da Escolha faz parte da lista de axiomas da maioria dos matema´ticos,
e na˜o seremos no´s que faremos diferente.
Um resultado equivalente ao AE e´ o “menos inofensivo” Lema de Zorn (LZ), que veremos a seguir.
Apesar aparentemente menos natural, ele e´ obtido a partir dos nossos axiomas, e portanto podemos
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usa´-lo sem hesitac¸a˜o! E´ bom que saibamos, entretanto, que essa equivaleˆncia e´ apenas uma dentre
numerosas outras conhecidas. Curiosamente, va´rios resultados que foram obtidos como consequeˆncias
do AE, posteriormente mostraram-se equivalentes ao AE. Esse e´ mais um ponto muito interssante a
respeito do AE: mesmo sendo aparentemente inofensivo, ele e´ equivalente a muitos resultados forte-
mente na˜o intuitivos. Por exemplo, o Teorema da Boa-Ordenac¸a˜o, que afirma que qualquer conjunto
pode ser bem-ordenado, e´ equivalente ao AE.
Nesse curso, precisaremos apenas do Lema de Zorn. O LZ e´ pec¸a fundamental na construc¸a˜o de
va´rios teoremas dos mais diversos ramos da matema´tica. E´ claro que por ser equivalente ao AE,
toda demonstrac¸a˜o que usa o LZ poderia usar o AE no seu lugar. Entretanto, curiosamente, o LZ
parece ter mais fa´cil aplicac¸a˜o em algumas situac¸o˜es, e se consagrou em va´rias demonstrac¸o˜es de
resultados cla´ssicos: Teorema de Hahn-Banach e Teorema de Bishop-Phelps, na Ana´lise Funcional, a
demonstrac¸a˜o de que todo espac¸o vetorial possui uma base de Hamel, na A´lgebra Linear, Teorema de
Tychonoff, em Topologia Geral, etc.
Para enunciar o Lema de Zorn, precisamos de uma nomenclatura adequada.
Seja P um conjunto munido de uma relac¸a˜o de ordem parcial ≤.
Dizemos que Q ⊂ P e´ totalmente ordenado se para quaisquer q1, q2 ∈ Q tivermos que q1 ≤ q2
ou q2 ≤ q1. Dizemos ainda que um elemento p ∈ P e´ cota superior para um conjunto R ⊂ P se para
todo r ∈ R tivermos r ≤ p. Um elemento m ∈ P e´ dito maximal se sempre que x ∈ P for tal que
m ≤ x, tivermos x = m. Por fim, dizemos que um P e´ indutivo se para todo subconjunto R ⊂ P,
totalmente ordenado, existe uma cota superior pR ∈ P .
Agora, podemos enunciar o Lema de Zorn:
Lema 2.2. (Lema de Zorn). Todo conjunto parcialmente ordenado, indutivo, na˜o-vazio, admite um
elemento maximal.
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3. Espac¸os Me´tricos
Definic¸a˜o 3.1. Um espac¸o me´trico e´ um par ordenado (M,d) formado por um conjunto M e uma
func¸a˜o d :M ×M → R satisfazendo, para quaisquer x, y, z em M :
a) d(x, y) ≥ 0,
b) d(x, x) = 0 e d(x, y) = 0 implica x = y,
c) d(x, y) = d(y, x),
d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
A func¸a˜o d e´ chamada me´trica em M . Se todas as condic¸o˜es acima sa˜o satisfeitas com a excec¸a˜o
da segunda parte do item (b), dizemos que d e´ uma pseudome´trica e (M,d) e´ um espac¸o pseu-
dome´trico. Quando na˜o houver du´vidas quanto a` natureza de d, escreveremos apenas M no lugar de
(M,d).
Exemplo 3.2. A reta com a func¸a˜o d(x, y) = |x− y| , o Rn com a func¸a˜o d(x, y) =
√
n∑
i=1
(xi − yi)2
sa˜o exemplos de espac¸os me´tricos.
Exemplo 3.3. Qualquer conjunto X pode ser munido de uma me´trica. Por exemplo, a func¸a˜o
d(x, y) = 1 se x 6= y e d(x, y) = 0 se x = y e´ uma me´trica em X, chamada me´trica discreta.A noc¸a˜o de me´trica nos abre o caminho para definirmos continuidade sob um ponto de vista mais
abstrato do que estamos acostumados no ca´lculo:
Definic¸a˜o 3.4. Se (M,d1) e (N, d2) sa˜o espac¸os me´tricos, uma func¸a˜o f : M → N e´ cont´ınua em
x ∈M se para cada ε > 0, existir um δ > 0 tal que d2(f(x), f(y)) < ε sempre que d1(x, y) < δ.
Uma forma equivalente e tambe´m u´til de se definir continuidade sera´ dada adiante, com a noc¸a˜o de
conjunto aberto.
Definic¸a˜o 3.5. Seja (M,d) um espac¸o me´trico e x um ponto de M Para ε > 0, definimos
(1) Ud(x, ε) = {y ∈M ; d(x, y) < ε},
que e´ chamado de bola de raio ε em torno de x. Sempre que na˜o houver possibilidade de confusa˜o,
escreveremos U(x, ε) no lugar de Ud(x, ε).
Se E e F sa˜o subconjuntos de M, definimos a distaˆncia entre E e F como sendo
d(E,F ) = inf{d(x, y);x ∈ E e y ∈ F}.
Se E possui apenas um ponto, e´ comum escrever d(x, F ) no lugar de d({x}, F ). Agora, imitando (1),
definimos
Ud(E, ε) = {y ∈M ; d(E, y) < ε}.
Perceba que com as noc¸o˜es introduzidas acima, podemos dizer que uma func¸a˜o f :M → N e´ cont´ınua
em x ∈ M se para cada ε > 0, existir um δ > 0 tal que f(Ud(x, δ)) ⊂ Ud(f(x), ε). Essa observac¸a˜o
e a pro´xima definic¸a˜o de conjunto aberto, nos dara˜o uma caracterizac¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua que nos
servira´ como modelo para a definic¸a˜o de func¸a˜o cont´ınua num contexto ainda mais geral.
Definic¸a˜o 3.6. Um conjunto E num espac¸o me´trico (M,d) e´ aberto se, e somente se, para cada
x ∈ E, existe um ε > 0 tal que U(x, ε) ⊂ E. Um conjunto e´ dito fechado se seu complementar for
aberto.
Exerc´ıcio 3.7. Mostre que um conjunto F e´ fechado se, e somente se, sempre que toda bola centrada
em x possuir pontos de F , isso implicar que x ∈ F.
Exerc´ıcio 3.8. Mostre que se F e´ um subconjunto fechado de um espac¸o me´trico, enta˜o, d(x, F ) =
0⇔ x ∈ F .
O seguinte teorema servira´ de refereˆncia para a definic¸a˜o abstrata de conjunto aberto no nosso curso
de Topologia Geral.
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Teorema 3.9. Os conjuntos abrtos em espac¸os me´tricos teˆm as seguintes propriedades:
a) Qualquer unia˜o de abertos e´ um conjunto aberto
b) Qualquer intersec¸a˜o finita de abertos e´ um conjunto aberto
c) M e o conjunto vazio sa˜o abertos.
Demonstrac¸a˜o: Exerc´ıcio.
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4. Espac¸os Topolo´gicos
Como dissemos, o Teorema 3.9 da sec¸a˜o anterior sera´ nosso modelo para uma definic¸a˜o mais abstrata:
Definic¸a˜o 4.1. Uma topologia em um conjunto X e´ uma colec¸a˜o τ de subconjuntos de X, chamados
conjuntos abertos, satisfazendo as seguintes propriedades:
a) Qualquer unia˜o de elementos de τ e´ um elemento de τ .
b) Qualquer intersec¸a˜o finita de elementos de τ pertence a τ .
c) X e o conjunto vazio pertencem a τ .
Dizemos que (X, τ) e´ um espac¸o topolo´gico, que naturalmente abreviaremos para X quando na˜o
houver possibilidade de confusa˜o.
Exerc´ıcio 4.2. Seja X um conjunto. Seja τc a colec¸a˜o de todos os subconjuntos U de X tais que
X − U e´ enumera´vel ou e´ X. Verifique que τc e´ uma topologia em X.
Exemplo 4.3. Se (M,d) e´ um espac¸o me´trico, o Teorema 3.9 nos garante que o conjunto formado
pelos abertos de M forma uma topologia em M, chamada topologia me´trica τd.
Sempre que (X, τ) for um espac¸o topolo´gico e sua topologia τ for uma topologia me´trica τd para uma
me´trica d em X, dizemos que (X, τ) e´ um espac¸o topolo´gico metriza´vel .
Se X e´ um conjunto qualquer, a colec¸a˜o de todos os subconjuntos de X, que de agora em diante
sera´ denotada por P(X), e´ uma topologia em X, chamada topologia discreta. Uma outro topologia
”patolo´gica”e´ a topologia τ = {X,φ}, chamada de topologia trivial.
Exerc´ıcio 4.4. Mostre que (X,P(X)) e´ um espac¸o metriza´vel.
Exerc´ıcio 4.5. Mostre que se X tem mais de um elemento, (X, τ), com τ = {X,φ}, na˜o e´ metriza´vel.
Novamente, seguindo o que foi feito na sec¸a˜o anterior, definimos:
Definic¸a˜o 4.6. Se X e´ um espac¸o topolo´gico e E ⊂ X, dizemos que E e´ fechado se e somente se
X − E e´ aberto.
Aplicando as leis de De Morgan, temos:
Teorema 4.7. Se F e´ uma colec¸a˜o de conjuntos fechados em um espac¸o topolo´gico X, enta˜o:
a) Qualquer intersec¸a˜o de elementos de F e´ ainda um elemento de F ,
b) Qualquer unia˜o finita de elementos de F pertence a F ,
c) X e φ sa˜o elementos de F .
Demonstrac¸a˜o. Feita em sala.
Definic¸a˜o 4.8. Se X e´ um espac¸o topolo´gico e E ⊂ X, o fecho de E em X e´ o conjunto
E = ∩{K ⊂ X;K e´ fechado e E ⊂ K}.
Note que o fecho de um conjunto e´ uma intersec¸a˜o de fechados, e portanto e´ um conjunto fechado.
Tambe´m denotamos E por ClX(E).
Lema 4.9. Se A ⊂ B, enta˜o A ⊂ B.
Demonstrac¸a˜o. E´ claro que B ⊂ B. Como A ⊂ B, temos A ⊂ B. Logo B e´ um conjunto fechado
contendo A e da´ı A ⊂ B.
Teorema 4.10. A operac¸a˜o A→ A em um espac¸o topolo´gico X tem as seguintes propriedades:
a) E ⊂ E
b)
(
E
)
= E
c)A ∪B = A ∪B
d) φ = φ
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 7
e) E e´ fechado em X se e somente se E = E.
Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que (c) vale, e deixar o resto como exerc´ıcio (feito na sala). Logo
A∪B e´ fechado e conte´m A∪B. Da´ı A ∪B ⊂ A∪B. Por outro lado, como A ⊂ A∪B e B ⊂ A∪B,
temos, pelo lema anterior, que A ⊂ A ∪B e B ⊂ A ∪B, e o resultado segue.
Definic¸a˜o 4.11. Se X e´ um espac¸o topolo´gico e E ⊂ X, o interior de E em X e´ o conjunto
int(E) = ∪{G ⊂ X;G e´ aberto e G ⊂ E}.
Note que o interior de um conjunto e´ uma unia˜o de abertos, e portanto e´ um conjunto aberto.
Exerc´ıcio 4.12. Mostre que int(E) = X −X − E e que X − E = int(X − E).
Lema 4.13. Se A ⊂ B, enta˜o int(A) ⊂ int(B).
Demonstrac¸a˜o. E´ claro que int(A) ⊂ A. Como A ⊂ B, temos int(A) ⊂ B. Logo int(A) e´ um
conjunto aberto contido em B e consequentemente int(A) ⊂ int(B).
Teorema 4.14. A operac¸a˜o A→ int(A) em um espac¸o topolo´gico X tem as seguintes propriedades:
a) int(A) ⊂ A.
b) int(int(A)) = A.
c) int(A ∩B) = int(A) ∩ int(B).
d) int(X) = X.
e) A e´ aberto em X se e somente se int(A) = A.
Demonstrac¸a˜o. Similar a` anterior.
Definic¸a˜o 4.15. Se X e´ um espac¸o topolo´gico e E ⊂ X, a fronteira de E e´ o conjunto
FrX(E) = E ∩ (X − E).
Quando na˜o houver possibilidades de du´vidas, escreveremos simplesmente Fr(E). Claramente, a fron-
teira de um conjunto qualquer e´ sempre um conjunto fechado.
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5. Vizinhanc¸as
Definic¸a˜o 5.1. Se X e´ um espac¸o topolo´gico e x ∈ X, uma vizinhanc¸a de x e´ um conjunto U
contendo um conjunto aberto V, com x ∈ V . A colec¸a˜o Ux de todas as vizinhanc¸as de x e´ chamada de
sistema de vizinhanc¸as de x.
Teorema 5.2. O sistema de vizinhanc¸as de x em um espac¸o topolo´gico X tem as seguintes pro-
priedades:
a) Se U ∈ Ux, enta˜o x ∈ U.
b) Se U, V ∈ Ux, enta˜o U ∩ V ∈ Ux
c) Se U ∈ Ux, enta˜o existe um V ∈ Ux, tal que U ∈ Uy para cada y ∈ V.
d) Se U ∈ Ux e U ⊂ V , enta˜o V ∈ Ux.
e) G ⊂ X e´ aberto se e somente se G conte´m uma vizinhanc¸a de cada um de seus pontos.
Demonstrac¸a˜o. Fa´cil. vamos mostrar (e). Se G e´ aberto, o pro´prio G e´ uma vizinhac¸a de seus
pontos (veja definic¸a˜o de vizinhanc¸a). Reciprocamente, se para cada x em G existe uma vizinhac¸a Vx
de x, contida em G, temos que G =
⋃
x∈G
int(Vx).
Exerc´ıcio 5.3. Mostre que se cada ponto x de um conjunto X e´ associado a uma colec¸a˜o na˜o-vazia
Ux de subconjuntos de X satisfazendo a), b), c) e d) do teorema anterior, a colec¸a˜o
τ = {G ⊂ X; para cada x em G, x ∈ U ⊂ G para algum U ∈ Ux}
e´ uma topologia para X, e cada colec¸a˜o Ux e´ o sistema de vizinhanc¸as de x.
Definic¸a˜o 5.4. Uma base de vizinhanc¸as em x em um espac¸o topolo´gico X e´ uma subcolec¸a˜o
Bx,Bx ⊂ Ux, tendo a propriedade que cada U ∈ Ux conte´m algum V ∈ Bx. Assim, Ux pode ser
determinado por Bx da seguinte forma:
Ux = {U ⊂ X;V ⊂ U para algum V ∈ Bx}.
Uma vez escolhida uma base de vizinhanc¸as em x, seus elementos sa˜o chamados vizinhanc¸as ba´sicas.Exemplo 5.5. Em qualquer espac¸o topolo´gico, as vizinhanc¸as abertas de x formam uma base de
vizinhanc¸as em x.
Teorema 5.6. Seja X um espac¸o topolo´gico e para cada x em X, seja Bx uma base de vizinhanc¸as
em x. Enta˜o:
a) Se V ∈ Bx, enta˜o x ∈ V.
b) Se V1, V2 ∈ Bx, enta˜o existe um V3 ∈ Bx tal que V3 ⊂ V1 ∩ V2.
c) Se V ∈ Bx, enta˜o existe um V0 ∈ Bx, tal que se y ∈ V0, enta˜o existe um W ∈ By com W ⊂ V.
d) G ⊂ X e´ aberto se e somente se G conte´m uma vizinhanc¸a ba´sica de cada um de seus pontos.
Demonstrac¸a˜o. Fa´cil. Vamos mostrar (c) e (d).
(c) Seja V ∈ Bx ⊂ Ux. Existe, portanto, V1 ∈ Bx ⊂ Ux com V1 ⊂ V . Podemos encontrar V0 aberto
com V0 ⊂ V1. Se y ∈ V0, existe W ∈ By com W ⊂ V0 ⊂ V.
A demonstrac¸a˜o de (d) tambe´m e´ fa´cil. Com efeito, se G e´ aberto, o pro´prio G e´ uma vizinhac¸a de
seus pontos, e existe uma vizinhanc¸a ba´sica de cada um de seus pontos, contida em G. Reciprocamente,
se para cada x em G existe uma vizinhac¸a ba´sica Vx de x, contida em G, temos que G =
⋃
x∈G
int(Vx).
Exerc´ıcio 5.7. Mostre que se para cada ponto x de um conjunto X, e´ associada uma colec¸a˜o na˜o-
vazia Bx, de subconjuntos de X, satisfazendo (a),...,(c) do teorema anterior, com (d) usada para definir
abertos, teremos uma topologia em X, na qual os Bx sa˜o uma base de vizinhanc¸as de x.
Teorema 5.8. Seja X um espac¸o topolo´gico e suponha que uma base de vizinhanc¸as tenha sido fixada
em cada x ∈ X. Enta˜o
a) G ⊂ X e´ aberto se e somente se G conte´m uma vizinhanc¸a ba´sica de cada um de seus pontos.
b) F ⊂ X e´ fechado se e somente se cada ponto x /∈ F tem uma vizinhanc¸a ba´sica disjunta de F .
c) E = {x ∈ X; cada vizinhanc¸a ba´sica de x intercepta E}
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 9
d) int(E) = {x ∈ X; alguma vizinhanc¸a ba´sica de x esta´ contida em E}
e) Fr(E) = {x ∈ X; cada vizinhanc¸a ba´sica de x intercepta E e X − E}.
Demonstrc¸a˜o.
a) E´ parte do Teorema 5.6.
b) Consequ¨eˆncia imediata de (a), se lembrarmos que um conjunto e´ fechado precisamente quando
seu complementar e´ aberto.
c) Lembre que E = ∩{K ⊂ X;K e´ fechado e E ⊂ K}. Se alguma vizinhanc¸a ba´sica U de x
na˜o intercepta E, enta˜o x ∈ int(U) e E ⊂ X − int(U). Como X − int(U) e´ fechado, segue que
E ⊂ X − int(U). Logo x /∈ E. Da´ı
E ⊂ {x ∈ X; cada vizinhanc¸a ba´sica de x intercepta E}.
Reciprocamente, se x /∈ E, enta˜o X − E e´ um conjunto aberto contendo x, e portanto conte´m uma
vizinhanc¸a ba´sica de x. Portanto essa vizinhanc¸a ba´sica na˜o pode interceptar E.
d) int(E) = ∪{G ⊂ X;G e´ aberto e G ⊂ E}. Logo
int(E) = X −X − E
= X − {x ∈ X; cada vizinhanc¸a ba´sica de x intercepta X − E}
= {x ∈ X; existe uma vizinhanc¸a ba´sica de x que na˜o intercepta X − E}
= {x ∈ X; existe uma vizinhanc¸a ba´sica de x contida em E}
e)
Fr(E) = E ∩X − E
= {x ∈ X; cada vizinhanc¸a ba´sica de x intercepta E}
∩{x ∈ X; cada vizinhanc¸a ba´sica de x intercepta X − E}
= {x ∈ X; cada vizinhanc¸a ba´sica de x intercepta E e X − E}.
Teorema 5.9. (Crite´rio de Hausdorff) Para cada x ∈ X, seja B1x uma base de vizinhanc¸as de x para
uma topologia τ1 em X, e seja B2x uma base de vizinhanc¸as em x para uma topologia τ2 em X. Enta˜o
τ1 ⊂ τ2 se e somente se para cada x ∈ X, dado B1 ∈ B1x, existe um B2 ∈ B2x tal que B2 ⊂ B1.
Demonstrac¸a˜o. Suponha τ1 ⊂ τ2. Seja B1 ∈ B1x. Enta˜o, como B1 e´ vizinhanc¸a de x em (X, τ1), x
esta´ contido em algum elemento B de τ1, com B ⊂ B1. Como τ1 ⊂ τ2, temos que B ∈ τ2 e portanto
B e´ vizinhanc¸a de x em (X, τ2). Logo existe B2 ∈ B2x tal que B2 ⊂ B e da´ı B2 ⊂ B1.
Reciprocamente, se B ∈ τ1, enta˜o B conte´m algum B1 ∈ B1x para cada x ∈ B. Logo B conte´m
algum B2 ∈ B2x para cada x em B. Da´ı B ∈ τ2.¤
O teorema anterior pode ser pensado da seguinte forma:
Pequenas vizinhanc¸as fazem grandes topologias. Isso e´ intuitivo, pois quanto menores sa˜o as viz-
inhanc¸as em um espac¸o, mais fa´cil e´ para um conjunto conter vizinhanc¸as de todos os seus pontos.
Assim, e´ mais fa´cil que o conjunto seja aberto.
Definic¸a˜o 5.10. Um ponto de acumulac¸a˜o de um conjunto A em um espac¸o topolo´gico X e´ um
ponto x ∈ X tal que cada vizinhanc¸a (ou equivalentemente, cada vizinhanc¸a ba´sica) de x conte´m algum
ponto de A, diferente de x. O conjunto A′ formado por todos os pontos de acumulac¸a˜o de A e´ chamado
derivado de A.
Proposic¸a˜o 5.11. A = A ∪A′.
Demonstrac¸a˜o. Do Teorema 5.8 (c), segue que A′ ⊂ A e, como A ⊂ A, segue que A ∪ A′ ⊂ A. Por
outro lado, se x ∈ A, enta˜o cada vizinhanc¸a de x intercepta A. Portanto, ou x esta´ em A ou cada
vizinhanc¸a de x intercepta A em pontos diferentes de x. Da´ı x ∈ A ∪A′.
10 DANIEL PELLEGRINO
6. Bases e sub-bases
Definic¸a˜o 6.1. Se (X, τ) e´ um espac¸o topolo´gico, uma base para τ (a`s vezes dizemos base para X) e´
uma colec¸a˜o B ⊂ τ tal que
τ =
{ ⋃
B∈C
B; C ⊂ B
}
.
Em palavras, todo aberto da topologia pode ser representado como unia˜o de abertos da base.
Exerc´ıcio 6.2. Seja (X, τ) um espac¸o topolo´gico e B ⊂ (X, τ). Mostre que B e´ uma base para X se e
somente se sempre que G e´ um aberto em X e p ∈ G, enta˜o existe um B ∈ B tal que p ∈ B ⊂ G.
Exemplo 6.3. Na reta real, a colec¸a˜o de todos os intervalos abertos e´ uma base para a topologia usual.
Mais geralmente, num espac¸o me´trico M , a colec¸a˜o de todas as bolas abertas centradas em pontos de
M, e´ uma base para M .
Teorema 6.4. B e´ uma base para uma topologia em X se e somente se
a) X =
⋃
B∈B
B e
b) sempre que B1 e B2 esta˜o em B, com p ∈ B1 ∩B2, existe um B3 em B tal que
p ∈ B3 ⊂ B1 ∩B2.
Demonstrac¸a˜o. Se B e´ uma base para uma topologia em X, (a) segue claramente, pois X e´ aberto,
e portanto X =
⋃
B∈C
B com C ⊂ B. Mas ⋃
B∈B
B ⊂ X = ⋃
B∈C
B ⊂ ⋃
B∈B
B.
(b) tambe´m segue fa´cil, pois como B1 e B2 esta˜o em B, sa˜o abertos, assim como B1 ∩ B2. Logo
B1 ∩B2 ∈ τ e p ∈ B1 ∩B2. Assim, temos B1 ∩B2 =
⋃
B∈C
B com C ⊂ B, e segue que existe B3 ∈ B, com
p ∈ B3 ⊂ B1 ∩B2.
Reciprocamente, suponha que X e´ um conjunto e B e´ uma colec¸a˜o de subconjuntos de X com as
propriedades (a) e (b).
Seja τ =
{ ⋃
B∈C
B; C ⊂ B
}
. Enta˜o a unia˜o de elementos de τ ainda pertence a τ. Ale´m disso, se
B1 ⊂ B e B2 ⊂ B sa˜o tais que
⋃
B∈B1
B e
⋃
B∈B2
C sa˜o elementos de de τ, enta˜o
( ⋃
B∈B1
B
)
∩
( ⋃
C∈B2
C
)
=
⋃
B∈B1
⋃
C∈B2
(B ∩ C) .
Mas, por (b) note que intersec¸a˜o (finita) de elementos de B e´ ainda unia˜o de elementos de B. Logo
intersec¸a˜o finita de elementos de τ ainda pertence a τ.
Finalmente X ∈ τ por (a) e φ ∈ τ , pois φ e´ a unia˜o de elementos da subcolec¸a˜o vazia de B. Logo, τ
e´ uma topologia para X, e, pela definic¸a˜o de τ, segue que B e´ uma base para a topologia τ em X.¤
O pro´ximo terorema mostra que a diferenc¸a essencial entre as noc¸o˜es de base de vizinhanc¸as em
cada ponto e base para a topologia de X esta´ no fato de que as bases de vizinhanc¸as na˜o sa˜o formadas
necessariamente por conjuntos abertos.
Teorema 6.5. Se B e´ uma colec¸a˜o de abertos em X, B e´ uma base para X se e somente se para cada
x ∈ X, a colec¸a˜o Bx = {B ∈ B;x ∈ B} e´ uma base de vizinhanc¸as em x.
Demonstrac¸a˜o. Suponha que B e´ uma base para X. Para cada x em X, considere Bx = {B ∈
B;x ∈ B}. E´ claro que os elementos de Bx sa˜o vizinhanc¸as de x. Seja U uma vizinhanc¸a de x.
Enta˜o x ∈ int(U) e, como int(U) e´ uma unia˜o de elementos de B, existe algum B em B tal que
x ∈ B ⊂ int(U). Logo B ∈ Bx e B ⊂ U . Da´ı conclu´ımos que Bx e´ base de vizinhanc¸as em x.
Reciprocamente, suponha que B e´ uma colec¸a˜o de abertos em X e para cada x, Bx = {B ∈ B;x ∈ B}
e´ uma base de vizinhanc¸as em x. Enta˜o B ⊃ ⋃
x∈X
Bx. Seja U um aberto de X. Para cada p em U, existe
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 11
um elemento Bp de Bp ⊂ B tal que p ∈ Bp ⊂ U . Logo U =
⋃
p∈U
Bp e portanto U e´ unia˜o de elementos
de B. Da´ı conclu´ımos que B e´ base para X. ¤
Podemos tambe´m descrevera topologia com uma colec¸a˜o menor que uma base:
Definic¸a˜o 6.6. Uma sub-base C para uma topologia em X e´ uma colec¸a˜o de subconjuntos de X cuja
unia˜o e´ igual a X. A topologia gerada por uma sub-base C e´ definida como a colec¸a˜o τ definida por
τ = {
⋃
B∈S
B;S ⊂ F}, e com F = {
n⋂
j=1
Sj ;n ∈ N, Sj ∈ C}
formada por todas as unio˜es de intersec¸o˜es finitas de elementos de C .
Exerc´ıcio 6.7. Mostre que τ definida acima e´ de fato uma topologia. Sugesta˜o: Mostre que F e´ base
para τ usando o Teorema 6.4.
Exerc´ıcio 6.8. Se {τα} e´ uma famı´lia de topologias em X, mostre que
⋂
τα e´ uma topologia em X.
Verifique se, em geral,
⋃
τα e´ uma topologia.
Exerc´ıcio 6.9. Seja {τα} uma famı´lia de topologias em X. Mostre que existe uma u´nica menor topolo-
gia contendo todos os τα e uma u´nica maior topologia contida nos τα (menor topologia significa uma
topologia que conte´m todas as topologias τα e que esta´ contida em qualquer topologia que as conte´m.
Por outro lado, maior topologia significa uma topologia que esta´ contida em cada topologia τα, tal
que conte´m toda topologia que esta´ contida em cada τα). Sugesta˜o: mostre que se A =
⋃
τα, enta˜o
B = {∩A∈CA; C ⊂ A e C e´ finito} e´ base para uma topologia τ (use o Teorema 6.4). Em seguida,
mostre que qualquer topologia que conte´m A deve necessariamente conter τ. Da´ı, obtenha a unicidade.
Exerc´ıcio 6.10. Mostre que se B e´ uma base para uma topologia em X, enta˜o essa topologia coincide
com a intersec¸a˜o de todas as topologias que conte´m B. Prove o mesmo para uma sub-base.
12 DANIEL PELLEGRINO
7. Func¸o˜es cont´ınuas
Definic¸a˜o 7.1. Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos e seja f : X → Y uma func¸a˜o. Enta˜o f e´ cont´ınua
em x0 ∈ X se e somente se para cada vizinhanc¸a V de f(x0) em Y , existir uma vizinhanc¸a U de x0
em X tal que f(U) ⊂ V. Dizemos que f e´ cont´ınua em X se f for cont´ınua em cada ponto de X.
Exerc´ıcio 7.2. Mostre que na definic¸a˜o acima podemos trocar “vizinhanc¸a” por “vizinhanc¸a ba´sica”.
Exerc´ıcio 7.3. Mostre que na definic¸a˜o acima podemos trocar “vizinhanc¸a” por “aberto”
O pro´ximo teorema nos da´ caracterizac¸o˜es bastante u´teis de func¸o˜es cont´ınuas:
Teorema 7.4. Se X e Y sa˜o espac¸os topolo´gicos e f : X → Y e´ uma func¸a˜o, as seguintes afirmac¸o˜es
sa˜o equivalentes:
a) f e´ cont´ınua,
b) para cada aberto H em Y , temos que f−1(H) e´ aberto em X,
c) para cada fechado K em Y , temos que f−1(K) e´ fechado em X
d) para cada E ⊂ X, f(ClX(E)) ⊂ ClY (f(E)).
Demonstrac¸a˜o.
(a) ⇒ (b). Se H e´ aberto em Y , enta˜o para cada x ∈ f−1(H), H e´ uma vizinhanc¸a de f(x). Pela
continuidade de f , existe uma vizinhanc¸a V de x tal que f(V ) ⊂ H. Logo V ⊂ f−1(H). Conclu´ımos
que f−1(H) conte´m uma vizinhanc¸a de cada um de seus pontos, e portanto f−1(H) e´ aberto.
(b)⇒ (c). Se K e´ fechado em Y , enta˜o f−1(Y −K) e´ aberto em X. Enta˜o
f−1(K) = X − f−1(Y −K)
e portanto f−1(K) e´ fechado em X.
(c)⇒ (d). Seja K um fechado em Y , com f(E) ⊂ K. Pela parte (c), temos que f−1(K) e´ fechado
em X e conte´m E. Enta˜o ClX(E) ⊂ f−1(K). Da´ı f(ClX(E)) ⊂ K. Como isso vale para qualquer
conjunto fechado K contendo f(E), temos que
f(ClX(E)) ⊂ ClY (f(E)).
(d) ⇒ (a). Seja x ∈ X e seja V uma vizinhanc¸a aberta de f(x). Defina E = X − f−1(V ) e
U = X − ClX(E).
Como, por hipo´tese, f(ClX(E)) ⊂ ClY (f(E)), temos que x ∈ U . De fato, se fosse x /∈ U , ter´ıamos
x ∈ ClX(E) e da´ı
(2) f(x) ∈ f(ClX(E)) ⊂ ClY (f(E)).
Mas
f(E) = f(X − f−1(V )) ⊂ Y − V
e V e´ aberto. Da´ı Y − V e´ fechado e, pela definic¸a˜o de fecho, ClY (f(E)) ⊂ Y − V. Como f(x) ∈ V ,
temos que f(x) /∈ ClY (f(E)) (isso contradiz (2)). Logo x ∈ U.
Ale´m disso, f(U) = f(X − ClX(E)) ⊂ f(X − E) = f(f−1(V )) = V e f e´ cont´ınua.¤
Teorema 7.5. Se X,Y e Z sa˜o espac¸os topolo´gicos e f : X → Y e g : Y → Z sa˜o func¸o˜es cont´ınuas,
enta˜o g ◦ f : X → Z e´ cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o. Se H e´ aberto em Z, (g ◦ f)−1 (H) = f−1(g−1(H)) e´ aberto em X, e portanto g ◦ f
e´ cont´ınua. ¤
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 13
8. Subespac¸os e topologia relativa
Um subconjunto de um espac¸o topolo´gico herda a topologia de maneira bastante natural:
Definic¸a˜o 8.1. Se (X, τ) e´ um espac¸o topolo´gico e A ⊂ X, a colec¸a˜o τ ′ = {G ∩ A;G ∈ τ} e´ uma
topologia em A, chamada topologia relativa. Um subconjunto A de um espac¸o topolo´gico (X, τ),
com a topologia relativa, e´ chamado subespac¸o.
Sempre que usarmos uma topologia num subconjunto de um espac¸o topolo´gico, assumiremos que
essa e´ a topologia relativa (a menos que se diga algo em contra´rio).
Exemplo 8.2. A reta, pensada como o eixo x do plano, herda a topologia do R2.
Exemplo 8.3. Os inteiros, como subespac¸o da reta, herdam a topologia discreta (onde todos os sub-
conjuntos sa˜o abertos).
Teorema 8.4. Seja A um subespac¸o de um espac¸o topolo´gico X. Enta˜o,
a) H ⊂ A e´ aberto em A se e somente se H = G ∩A, com G aberto em X,
b) F ⊂ A e´ fechado em A se e somente se F = K ∩A, com K fechado em X,
c) Se E ⊂ A, enta˜o ClA(E) = A ∩ ClX(E),
d) Se x ∈ A, enta˜o V e´ uma vizinhanc¸a de x em A se e somente se V = U ∩ A, onde U e´ uma
vizinhanc¸a de x em X,
e) Se x ∈ A, e se Bx e´ uma base de vizinhanc¸as para x em X, enta˜o {B ∩ A;B ∈ Bx} e´ uma base
de vizinhanc¸as para x em A,
f) Se B e´ base para X, enta˜o {B ∩A;B ∈ B} e´ base para A.
Demonstrac¸a˜o. (a) e´ imediato da definic¸a˜o da topologia relativa.
(b) Se F e´ fechado em A, enta˜o F = A − C com C aberto em A. Logo F = A − (A ∩D) com D
aberto em X. Da´ı F = A ∩ (X −D). Como X −D e´ fechado em X, basta fazer X −D = K.
Reciprocamente, se F = K ∩A, com K fechado em X, enta˜o
A− F = A− (K ∩A) = A ∩ (X −K).
Como X −K e´ aberto em X, segue que A− F e´ aberto em A e consequentemente F e´ fechado em A.
c) Note que
ClA(E) = ∩{K ⊂ A;K e´ fechado em A e E ⊂ K}
= ∩{A ∩ F ; F e´ fechado em X e E ⊂ A ∩ F}
= ∩{A ∩ F ; F e´ fechado em X e E ⊂ F}
= A ∩ (∩{F ⊂ X;F e´ fechado em X e E ⊂ F})
= A ∩ ClX(E).
d) Seja V vizinhanc¸a de x em A. Enta˜o existe um aberto U0 de A tal que x ∈ U0 ⊂ V. Mas
U0 = U ∩A, com U aberto em X. Da´ı
V = [U ∪ (V − U)] ∩A
e como U ∪ (V − U) e´ vizinhanc¸a de x em X, uma das implicac¸o˜es esta´ provada.
Por outro lado, suponha que V = U ∩ A e x ∈ V, onde U e´ vizinhanc¸a de x em X. Enta˜o, existe
um conjunto B aberto em X tal que x ∈ B ⊂ U. Logo x ∈ B ∩A ⊂ U ∩A = V . Como B ∩A e´ aberto
em A, segue que V e´ vizinhanc¸a de x em A.
e) Seja x ∈ A e V uma vizinhanc¸a de x em A. Pelo item (d), V = A ∩ U com U vizinanc¸a
de x em X. Como Bx e´ base de vizinhanc¸as de x em X, existe B ∈ Bx tal que x ∈ B ⊂ U. Logo
x ∈ A ∩B ⊂ A ∩ U = V. Da´ı {B ∩A;B ∈ Bx} e´ base de vizinhanc¸as de x em A.
f) Exerc´ıcio.
Definic¸a˜o 8.5. Se f : X → Y e A ⊂ X, denotaremos por f | A a restric¸a˜o de f a A, ou seja, a
func¸a˜o de A em Y dada por (f | A)(a) = f(a) para cada a em A.
14 DANIEL PELLEGRINO
Proposic¸a˜o 8.6. Se A ⊂ X e f : X → Y e´ cont´ınua, enta˜o (f | A) : A→ Y e´ cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o. Se H e´ aberto em Y, enta˜o (f | A)−1(H) = f−1(H) ∩ A, e este conjunto e´ aberto
na topologia relativa de A.¤
O pro´ximo resultado e´ uma espe´cie de rec´ıproca da proposic¸a˜o anterior:
Teorema 8.7. Se X = A ∪ B, com A e B abertos (ou ambos fechados) em X, e f : X → Y uma
func¸a˜o tal que (f | A) e (f | B) sa˜o cont´ınuas, enta˜o f e´ cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o. Suponha A e B abertos e H e´ aberto em Y . Como
f−1(H) = (f | A)−1(H) ∪ (f | B)−1(H),
e como (f | A) e (f | B) sa˜o cont´ınuas, temos que (f | A)−1(H) e (f | B)−1(H) sa˜o abertos em A e B,
respectivamente. Como A e B sa˜o abertos em X, segue que (f | A)−1(H) e (f | B)−1(H) sa˜o tambe´m
abertos em X (verifique!) Da´ı f−1(H) e´ aberto em X, pois e´ unia˜o de abertos.¤
Exerc´ıcio 8.8. Suponha Y ⊂ Z e f : X → Y. Mostre que f e´ cont´ınua se e somente se f vista como
func¸a˜o de X em Z e´ cont´ınua.
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.115
9. Homeomorfismos
Na passagem de X para sua imagem f(X) por uma func¸a˜o cont´ınua f , perdemos informac¸a˜o de
duas formas. A primeira delas no aˆmbito de conjuntos: f(X) tera´ menos (precisamente, na˜o tera´
mais) pontos que X. A segunda perda e´ topolo´gica: para cada aberto de f(X), existe um aberto em X
associado a ele, mas f na˜o leva necessariamente abertos em abertos. Func¸o˜es cont´ınuas bijetivas, que
levam abertos em abertos tem um papel importante em topologia, e sa˜o chamadas de homeomorfismos.
Vamos definir, entretanto, homeomorfismo de uma maneira diferente, mas a seguir veremos que as
noc¸o˜es coincidem.
Definic¸a˜o 9.1. Se X e Y sa˜o espac¸os topolo´gicos, f : X → Y e´ bijetiva e f−1 e´ cont´ınua, dizemos
que f e´ um homeomorfismo e que X e Y sa˜o homeomorfos.
Se f : X → Y e´ apenas injetiva, mas f : X → f(X) e´ um homeomorfismo, dizemos que f e´ um
mergulho (embedding, em ingleˆs) de X em Y, e que X esta´ mergulhado em Y por f.
O pro´ximo resultado nos deixa a` vontade para escolher dentre va´rias definic¸o˜es equivalentes de
homeomorfismos:
Teorema 9.2. Se X e Y sa˜o espac¸os topolo´gicos e f : X → Y e´ bijetiva, as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o
equivalentes:
a) f e´ um homeomorfismo,
b) se G ⊂ X, enta˜o f(G) e´ aberto em Y se e somente se G e´ aberto em X,
c) se F ⊂ X, enta˜o f(F ) e´ fechado em Y se e somente se F e´ fechado em X,
d) se E ⊂ X, f(ClX(E)) = ClY (f(E)).
Demonstrac¸a˜o.
(a) ⇒ (b). Seja G aberto em X. Enta˜o, f(G) coincide com (f−1)−1(G), que e´ aberto em Y, pois
f−1 e´ cont´ınua.
Analogamente, se f(G) e´ aberto em Y , enta˜o, como f e´ cont´ınua, temos que G = f−1(f(G)) e´
aberto em X.
(b)⇒ (a). Claro, pois se G e´ aberto em X, enta˜o (f−1)−1(G) coincide com f(G), que e´ aberto em
Y. Da´ı f−1 e´ cont´ınua
Analogamente, se H e´ aberto em Y , enta˜o H = f(G) para algum G em X. Por hipo´tese, como H
e´ aberto, temos que G e´ aberto. Da´ı f−1(H) = G (aberto), e portanto f e´ cont´ınua..
(a)⇒ (c). Seja F fechado em X. Enta˜o, f(F ) coincide com (f−1)−1(F ), que e´ fechado em Y, pois
f−1 e´ cont´ınua.
Analogamente, se f(F ) e´ fechado em Y , enta˜o, como f e´ cont´ınua, temos que F = f−1(f(F )) e´
fechadoo em X.
(c) ⇒ (a). Claro, pois se F e´ fechado em X, enta˜o (f−1)−1(F ) coincide com f(F ), que e´ fechado
em Y. Da´ı f−1 e´ cont´ınua.
Analogamente, se H e´ fechado em Y , enta˜o H = f(G) para algum G em X. Por hipo´tese, como H
e´ fechado, temos que G e´ fechado. Da´ı f−1(H) = G (fechado), e portanto f e´ cont´ınua.
(a)⇒ (d) Como f e´ cont´ınua, temos
(3) f(ClX(E)) ⊂ ClY (f(E)).
Como f−1 e´ cont´ınua, temos f−1(ClY (f(E))) ⊂ ClX(f−1(f(E))). Da´ı, “aplicando f”, temos
(4) ClY (f(E)) ⊂ f(ClX(E)).
De (3) e (4) segue o resultado.
(d)⇒ (a). Como f(ClX(E)) ⊂ ClY (f(E)), temos que f e´ cont´ınua. Resta-nos provar a continuidade
de f−1.
Como ClY (f(E)) ⊂ f(ClX(E)) para todo E, escolha G em Y e E = f−1(G). Da´ı segue que
ClY (f(f−1(G))) ⊂ f(ClX(f−1(G))).
Aplicando f−1, temos
f−1(ClY (G)) ⊂ ClX(f−1(G))
16 DANIEL PELLEGRINO
e portanto f−1 e´ cont´ınua e temos um homeomorfismo. ¤
Espac¸os topolo´gicos homeomorfos, em topologia, sa˜o pensados como iguais. Se denotarmos a pro-
priedade “X homeomorfo a Y ” por X ∼ Y , a relac¸ao ∼ sera´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia em qualquer
conjunto formado por espac¸os topolo´gicos, pois:
• X ∼ X,
• se X ∼ Y, enta˜o Y ∼ X,
• se X ∼ Y e Y ∼ Z, enta˜o X ∼ Z.
Para provar que dois espac¸os topolo´gicos na˜o sa˜o homeomorfos, e´ comum procurarmos alguma
propriedade topolo´gica que algum deles satisfac¸a e o outro na˜o. Precisamente, uma propriedade
topolo´gica e´ uma propriedade de espac¸os topolo´gicos que, se X a possui, enta˜o todos espac¸os home-
omorfos a X tambe´m possuem.
Exerc´ıcio 9.3. A func¸a˜o caracter´ıstica de um subconjunto A de um conjunto X e´ a func¸a˜o (denotada
por 1A) de X em R que assume o valor 1 en pontos de A e o valor zero nos outros pontos de X.
Mostre que 1A e´ cont´ınua em A se e somente se A e´ aberto e fechado em X.
Exerc´ıcio 9.4. Mostre que X e´ possui a topologia discreta (τ = P(X)) se e somente se para qualquer
espac¸o topolo´gico Y e f : X → Y , f e´ cont´ınua.
Exerc´ıcio 9.5. Mostre que X tem a topologia trivial se e somente se sempre que Y for um espac¸o
topolo´gico toda func¸a˜o f : Y → X for cont´ınua.
Exerc´ıcio 9.6. Mostre que se f : X → Y e´ tal que f−1(A) e´ aberto para cada A aberto de uma
sub-base da topologia de Y , enta˜o f e´ cont´ınua. A rec´ıproca vale?
Exerc´ıcio 9.7. Se f e g sa˜o func¸o˜es cont´ınuas de X em R, mostre que o conjunto dos pontos para os
quais f(x) = g(x) e´ um conjunto fechado.
Exerc´ıcio 9.8. Se f e´ uma func¸a˜o de um espac¸o topolo´gico X no plano R2, podemos associar a f as
func¸o˜es coordenadas f1 e f2, cada uma de X em R. Mostre que uma func¸a˜o f : X → R2 e´ cont´ınua
se e somente se as suas func¸o˜es coordenadas sa˜o cont´ınuas.
Exerc´ıcio 9.9. Mostre que a reta R e´ homeomorfa aos intervalos abertos.
Exerc´ıcio 9.10. Mostre que em R, todos intervalos fechados e limitados sa˜o homeomorfos.
Exerc´ıcio 9.11. Mostre que “ser metriza´vel” e´ uma propriedade topolo´gica.
Exerc´ıcio 9.12. Mostre que ”ter cardinalidade ℵ” e´ uma propriedade topolo´gica.
Em um espac¸o vetorial X, a`s vezes temos uma forma de comparar a proximidade entre vetores
arbitra´rios. Tomando a reta e o valor absoluto como modelo, definimos uma norma em um espac¸o
vetorial X como uma func¸a˜o ‖.‖ : X → R que satisfaz as seguintes propriedades:
i) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ para quaisquer x, y em X.
ii) ‖x‖ = 0⇔ x = 0.
iii) ‖λx‖ = |λ| ‖x‖ para todo λ no corpo de escalares de X e para todo x em X.
Um espac¸o vetorial munido de uma norma e´ chamado espac¸o vetorial normado (evn). Se X e
Y sa˜o evn, uma func¸a˜o T de X em Y e´ chamada operador linear se
• T (a+ b) = T (a) + T (b),
• T (λa) = λT (a),
para quaisquer a, b em X e λ real.
Um operador linear T de X em Y e´ definido como limitado quando existe M tal que ‖T (x)‖ ≤
M ‖x‖ , para todo x em X. Note que aqui abusamos um pouco da notac¸a˜o, usando o mesmo s´ımbolo
para normas em X e Y .
Exerc´ıcio 9.13. Mostre que um operador linear e´ limitado se e somente se sup{‖T (x)‖ ;x ∈ X, ‖x‖ =
1} <∞
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 17
Exerc´ıcio 9.14. Mostre que para um operador linear T de X em Y , as seguintes afirmac¸o˜es sa˜o
equivalentes:
a) T e´ cont´ınuo em algum x0 em X,
b) T e´ uniformemente cont´ınuo em X,
c) T e´ limitado.
Exerc´ıcio 9.15. Recorde as definic¸o˜es que precedem o Exerc´ıcio 9.13 e mostre que, se X e´ um espac¸o
vetorial normado de dimensa˜o infinita, existem operadores lineares T : X → R que na˜o sa˜o cont´ınuos.
18 DANIEL PELLEGRINO
10. Espac¸os produto e topologias fracas
Nesta sec¸a˜o vamos definir uma topologia natural no produto cartesiano de espac¸os topolo´gicos.
Definic¸a˜o 10.1. Seja Xα um conjunto para cada α em Γ. O produto cartesiano dos conjuntos Xα
e´ o conjunto ∏
α∈Γ
Xα =
{
x : Γ→ ⋃
α∈Γ
Xα;x(α) ∈ Xα para cada α ∈ Γ
}
,
que denotamos simplesmente por
∏
Xα se na˜o houver possibilidade de confusa˜o em relac¸a˜o ao conjunto
de ı´ndices. Na pra´tica, o valor de x(α) e´ denotado por xα.
A func¸a˜o piβ :
∏
Xα → Xβ , definida por piβ(x) = xβ, e´ chamada a β-e´sima projec¸a˜o.
Se cada Xα e´ um espac¸o topolo´gico, vamos definir, em
∏
Xα, uma topologia de modo que seja
compat´ıvel com algumas exigeˆncias. Queremos, por exemplo, que a topologia em R × R seja a
topologia usual do R2.
Poder´ıamos pensar em definir uma topologia para
∏
Xα simplesmente tomando
∏
Uα (com Uα
aberto em Xα) como base. Entretanto essa topologia, chamada de “box topology” gera muitos
abertos, e na˜o e´ ta˜o interessante na pra´tica. A seguinte definic¸a˜o e´ mais u´til:
Definic¸a˜o 10.2. A topologia produto (ou topologia de Tychonoff) em
∏
Xα e´ obtida tomando
como base os conjuntos da forma
∏
Uα, onde(a) Uα e´ aberto em X para cada α,
(b) Uα = Xα, exceto para uma quantidade finita de ı´ndices.
Note que (a) pode ser substitu´ıda por
(a)′Uα ∈ Bα, para cada α, onde Bα e´ uma base (fixa) para a topologia de Xα, para cada α.
Note que
∏
Uα com Uα = Xα exceto para α = α1, ..., αn, pode ser escrito como∏
Uα = pi−1α1 (Uα1) ∩ ... ∩ pi−1αn (Uαn).
Enta˜o, a topologia produto e´ precisamente a topologia que tem como sub-base a colec¸a˜o {pi−1α (Uα);α ∈
A, Uα e´ aberto em Xα} ou ainda {pi−1α (Uα);α ∈ A, Uα ∈ Bα, com Bα base de Xα}. De agora em diante,
a topologia de
∏
Xα sera´ sempre a topologia produto, exceto se algo for mencionado em contra´rio.
E´ interessante notar que no caso de produtos cartesianos finitos, a topologia produto coincide com a
”box topology ”.
Exemplo 10.3. Seja Y o conjunto de todas as func¸o˜es f : X → R, onde X e´ um conjunto qualquer.
Podemos interpretar Y como sendo Y =
∏
α∈XZα, com Zα = R para todo α.
Um elemento da base da topologia produto de Y e´ algo do tipo:
U = pi−1α1 (Uα1) ∩ ... ∩ pi−1αn (Uαn)
com Uαj , j = 1, ..., n, elementos da base (natural) da topologia de R. Assim, cada Uαj e´ um intervalo
de raio δj centrado num certo bj e
(5) U = {g ∈ Y ; |g(αj)− bj | < δj , para j = 1, ..., n}.
Lembre-se que o Teorema 6.5 diz que se B e´ uma colec¸a˜o de abertos em Y , B e´ uma base para Y se
e somente se para cada y ∈ Y , a colec¸a˜o By = {B ∈ B; y ∈ B} e´ uma base de vizinhanc¸as em y.
Seja f : X → R uma func¸a˜o. Uma base de vizinhanc¸as de f sera´, portanto, formada por abertos
como U, definidos como em (5), que conte´m f . Note que conjuntos U, que conte´m f, va˜o necessaria-
mente conter conjuntos da forma:
U = {g ∈ Y ; |g(αj)− f(αj)| < εj , para j = 1, ..., n}.
De modo mais simplificado, uma base de vizinhanc¸as de f e´ dada por
(6) U(f ;x1, ..., xn; ε1, ..., εn) = {g ∈ Y ; |g(xj)− f(xj)| < εj , para j = 1, ..., n}.
Ainda de modo mais econoˆmico e mais simples, podemos escrever
U(f ;F ; ε) = {g ∈ Y ; |g(x)− f(x)| < ε, para x ∈ F},
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 19
onde F varia pelos subconjuntos finitos de R e ε varia dentre os reais positivos.
Definic¸a˜o 10.4. Sejam X e Y espac¸os topolo´gicos e f : X → Y. Dizemos que f e´ uma aplicac¸a˜o
aberta (fechada) quando para cada aberto (fechado) A de X, temos que f(A) e´ aberto (fechado) em Y .
Teorema 10.5. piβ :
∏
Xα → Xβ e´ cont´ınua e aberta, mas na˜o necessariamente fechada.
Demonstrac¸a˜o. Note que pi1 : R2 → R na˜o e´ fechada. De fato, o conjunto
F = {[1, 2]× {0}} ∪ {[1/2, 1]× {1}} ∪ {[1/3, 1/2]× {2}} ∪ {[1/4, 1/3]× {3}} ∪ ...
e´ fechado, mas pi1(F ) = (0, 2].
Por outro lado, se Uβ e´ aberto em Xβ , temos que pi−1β (Uβ) =
∏
Uα com Uα = Xα se α 6= β. Assim,
pela definic¸a˜o da topologia produto, segue que piβ e´ cont´ınua. Resta-nos verificar que e´ uma aplicac¸a˜o
aberta. Se A e´ aberto em
∏
Xα, temos que A e´ unia˜o dos elementos da base. Assim,
A =
⋃
λ
(
pi−1α1,λ(Uα1,λ) ∩ ... ∩ pi−1αnλ,λ(Uαnλ,λ)
)
.
Logo
piβ(A) =
⋃
λ
piβ
(
pi−1α1,λ(Uα1,λ) ∩ ... ∩ pi−1αnλ,λ(Uαn,λ)
)
.
Da´ı conclu´ımos que piβ(A) e´ Xβ ou piβ(A) e´ uma unia˜o de abertos de Xβ . Em todo caso, piβ(A) e´
aberto.¤
Teorema 10.6. Uma aplicac¸a˜o f : X → ∏Xα e´ cont´ınua se e somente se piα ◦f e´ cont´ınua para cada
α.
A seguir, introduzimos o conceito de topologia fraca.
Definic¸a˜o 10.7. Sejam X um conjunto, Xα espac¸os topolo´gicos com fα : X → Xα func¸o˜es, para cada
α ∈ Γ. A topologia fraca induzida em X pela colec¸a˜o {fα} e´ a topologia que tem como sub-base a
famı´lia {f−1α (Uα);Vα e´ aberto em Xα, α ∈ Γ}.
Exerc´ıcio 10.8. A topologia produto e´ a topologia fraca em
∏
Xα induzida pelas projec¸o˜es piβ.
Exerc´ıcio 10.9. Se X tem a topologia fraca induzida pela colec¸a˜o {fα}, com fα : X → Xα , mostre
que f : Y → X e´ cont´ınua se e somente se fα ◦ f e´ cont´ınua para cada α.
Exerc´ıcio 10.10. A topologia fraca induzida em X pela colec¸a˜o de todos os operadores lineares
cont´ınuos de X em R tem um papel importante na Ana´lise Funcional. Sejam X um espac¸o veto-
rial normado, X∗ = {f : X → R operadores lineares cont´ınuos} e X∗∗ = {f : X∗ → R operadores
lineares cont´ınuos}. Seja B o conjunto formado pelas aplicac¸o˜es T : X∗ → R tais que existe x em
X para o qual T (f) = f(x). A topologia fraca em X∗ induzida por B e´ chamada, em Ana´lise Fun-
cional, de topologia fraca estrela. Por que a topologia fraca estrela na˜o pode ter mais abertos que
a topologia fraca em X∗ induzida por X∗∗?
20 DANIEL PELLEGRINO
11. Espac¸os Quocientes
A noc¸a˜o de espac¸o quociente e´ semelhante a` de topologia fraca. Se Y e´ um conjunto qualquer
e (Xα)α∈Γ sa˜o espac¸os topolo´gicos, a topologia forte τ(fα) induzida por uma colec¸a˜o de func¸o˜es
fα : Xα → Y e´ definida por
τ(fα) = {G ⊂ Y ; f−1α (G) e´ aberto em Xα para todo α ∈ Γ}.
Perceba que qualquer topologia em Y, para a qual todas as fα sa˜o cont´ınuas, deve necessariamente
estar contida na topologia forte τ(fα) .
Exerc´ıcio 11.1. Verifique que τ(fα) e´ de fato uma topologia.
Definic¸a˜o 11.2. Se X e´ um espac¸o topolo´gico, Y e´ um conjunto qualquer e g : X → Y e´ uma func¸a˜o
sobrejetiva, enta˜o a colec¸a˜o τg de subconjuntos de Y definida por
τg = {G ⊂ Y ; g−1(G) e´ aberto em X}
e´ uma topologia em Y , chamada topologia quociente induzida por g em Y. Quanto Y e´ munido de
alguma topologia quociente, dizemos que Y e´ um espac¸o quociente e g e´ a aplicac¸a˜o quociente.
Teorema 11.3. Se X e Y sa˜o espac¸os topolo´gicos e f : X → Y e´ cont´ınua e aberta (ou fechada),
enta˜o a topologia τ de Y coincide com a topologia τf .
Demonstrac¸a˜o. Suponha que f seja cont´ınua e aberta. E´ claro que τ ⊂ τf . Mas, se U ∈ τf , segue
que f−1(U) e´ aberto em X. Mas, como f e´ aberta, U = f(f−1(U)) e´ aberto na topologia τ . Da´ı
conclu´ımos que as topologias sa˜o iguais.¤
O resultado fundamental a respeito de topologias quociente e´ o seguinte:
Teorema 11.4. Seja Y um espac¸o topolo´gico munido da topologia quociente induzida pela aplicac¸a˜o
sobrejetiva f : X → Y. Enta˜o, para um espac¸o topolo´gico arbitra´rio Z e g : Y → Z qualquer, temos
que g e´ cont´ınua se e somente se g ◦ f : X → Z e´ cont´ınua.
Demonstrac¸a˜o. Se g e´ cont´ınua, e´ claro que g ◦ f tambe´m e´, pois composta de func¸o˜es cont´ınuas e´
ainda uma func¸a˜o cont´ınua (Teorema 7.5).
Reciprocamente, suponha que g ◦ f e´ cont´ınua. Seja U um aberto em Z. Enta˜o
(g ◦ f)−1(U) = f−1(g−1(U))
e´ aberto em X. Como Y e´ munido da topologia quociente, e como f−1(g−1(U)) e´ aberto, segue que
g−1(U) e´ aberto em Y . Da´ı conclu´ımos que g e´ cont´ınua.¤
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 21
12. Convergeˆncia de sequeˆncias
Definic¸a˜o 12.1. Uma sequeˆncia (xn) em um espac¸o topolo´gico X converge para x ∈ X (xn → x)
quando para cada vizinhanc¸a U de x, existir um inteiro positivo n0 tal que n ≥ n0 implica xn ∈ U .
E´ claro que na definic¸a˜o acima, podemos substituir “vizinhanc¸a” por “vizinhanc¸a ba´sica”.
Exemplo 12.2. Se (X, d) e´ um espac¸o me´trico, enta˜o xn → x se e somente se d(xn, x)→ 0.
Exemplo 12.3. Em RR, a sequeˆncia fn converge a f se e somente se fn(x) → f(x) para cada x
real. De fato, suponha fn → f . Enta˜o, para cada x0 real, considere F = {x0} e a vizinhanc¸a ba´sica
U(f, F, ε) = {g ∈ RR; |g(x0)− f(x0)| < ε} de f . Logo, existe n0 natural tal que n ≥ n0 implica
fn ∈ U(f, F, ε). Da´ı, n ≥ n0 ⇒ |fn(x0)− f(x0)| < ε e fn(x0)→ f(x0).
Reciprocamente, suponha fn(x)→ f(x) para cada x real. Seja U(f, F, ε) uma vizinhanc¸a ba´sica de
f . Como F e´ finito, temos F = {x1, ..., xr}. Podemos enta˜o encontrar um n0 suficientemente grande
de modo que n ≥ n0 ⇒ |fn(xj)− f(xj)| < ε para cada j = 1, ..., r. Portanto, n ≥ n0 ⇒ fn ∈ U(f, F, ε)
e fn → f.
Definic¸a˜o 12.4. Um espac¸o topolo´gico satisfaz o primeiro axioma da enumerabilidade quando
cada x ∈ X possui uma base enumera´vel de vizinhanc¸as.
Como, em espac¸os me´tricos, as bolascentradas em x com raio racional formam uma base de vizin-
hanc¸as ao redor de x, os espac¸os me´tricos sempre satisfazem o primeiro axioma da enumerabilidade.
Teorema 12.5. Se X satisfaz o primeiro axioma da enumerabilidade e E ⊂ X, enta˜o x ∈ E se e
somente se existe uma sequeˆncia (xn) em E que converge para x.
Demonstrac¸a˜o Seja x ∈ E. Seja {Un;n = 1, 2, ...} uma base enumera´vel de vizinhanc¸as de x.
Substituindo Un por
n⋂
k=1
Uk, se necessa´rio, podemos supor
U1 ⊃ U2 ⊃ ....
Como Un 6= φ para cada n, escolhemos xn ∈ Un ∩E. Obtemos, portanto, uma sequeˆncia (xn) contida
em E, convergindo para x.
Reciprocamente, suponha que (xn) e´ uma sequeˆncia contida em E e xn → x. Enta˜o, pela definic¸a˜o
de convergeˆncia, cada vizinhanc¸a de x conte´m o rabo da sequeˆncia (xn) e portanto intercepta E, e
x ∈ E.
Corola´rio 12.6. Sejam X e Y espac¸os que satisfazem o primeiro axioma da enumerabilidade. Enta˜o
a) U ⊂ X e´ aberto se e somente sempre que xn → x ∈ U, enta˜o existe n0 tal que n ≥ n0 ⇒ xn ∈ U.
b) F ⊂ X e´ fechado se e somente se sempre que (xn) ⊂ F e xn → x, enta˜o x ∈ F .
c) f : X → Y e´ cont´ınua se e somente se sempre que xn → x em X, enta˜o f(xn)→ f(x) em Y.
Demonstrac¸a˜o.
(a). Se U ⊂ X e´ aberto e xn → x ∈ U, como U e´ vizinhanc¸a de x, existe n0 ∈ N tal que xn ∈ U
para todo n ≥ n0.
Por outro lado, suponha que sempre que xn → x ∈ U, enta˜o existe n0 tal que n ≥ n0 ⇒ xn ∈ U.
Suponha, por contradic¸a˜o, que U na˜o seja aberto. Existe, enta˜o, um ponto x ∈ U que na˜o e´ interior.
Dada uma base enumera´vel de vizinhanc¸as {Un;n = 1, 2, ...} de x, podemos supor, como no Teorema
12.5, U1 ⊃ U2 ⊃ ..... Para cada n, existe xn ∈ Un − U e portanto, xn → x e na˜o existe n0 tal que tal
que n ≥ n0 ⇒ xn ∈ U (absurdo).
As demonstrac¸o˜es de (b) e (c) sa˜o deixadas como exerc´ıcio.
O resultado anterior nos mostra que em espac¸os que satisfazem o primeiro axioma da enumerabili-
dade, a convergeˆncia por meios de sequeˆncias caracteriza completamente os abertos e os fechados, ou
seja, descrevem a topologia. E´ natural que a` primeira vista imaginemos que isso acontece com qualquer
espac¸o topolo´gico, mas o exemplo a seguir mostram que isso em geral na˜o e´ verdade.
22 DANIEL PELLEGRINO
Exemplo 12.7. Considere X = RR com a topologia produto e
E = {f ∈ RR; f(x) = 0 ou 1 e f(x) = 0 apenas finitas vezes}.
Seja g ∈ RR a func¸a˜o identicamente nula. Enta˜o, se U(g) e´ uma vizinhanc¸a ba´sica de g, temos
U(g) = {h ∈ RR; |h(y)− g(y)| < ε se y ∈ F}
para algum conjunto finito F ⊂ R e algum ε > 0.
Seja h a func¸a˜o tal que h(x) = 0 para x ∈ F e 1 para x /∈ F . Temos que h ∈ U(g) ∩ E. Portanto,
g ∈ ClXE. Por outro lado, se (fn) e´ uma sequeˆncia em E e An = {x ∈ R; fn(x) = 0}, temos que cada
An e´ finito.
Se fn → ϕ ∈ RR, vimos anteriormente que fn(x) → ϕ(x) para todo x ∈ R. Logo, como cada fn e´
nula num conjunto finito An e igual a 1 no seu complementar, ϕ sera´ nula, na melhor das hipo´teses,
em um conjunto enumera´vel. Logo ϕ 6= h e o Teorema 12.5 na˜o e´ va´lido nesse contexto.
Exerc´ıcio 12.8. Para a reta com a topologia τ = {φ,R}, estude a convergeˆncia da sequeˆncia ( 1n ).
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 23
13. Redes
Vimos na sec¸a˜o anterior que, em geral, sequeˆncias na˜o descrevem bem as topologias. Por exemplo,
o Exemplo 12.7 mostra que na˜o e´ sempre poss´ıvel caracterizar os fechados de um espac¸o topolo´gico
por meio de sequeˆncias. De fato, vimos que podemos encontrar um ponto de acumulac¸a˜o de um
conjunto F ⊂ X sem que exista uma sequeˆncia (xn) em F convergindo para esse ponto. Ha´ duas
generalizac¸o˜es cla´ssicas do conceito de sequeˆncia, que consertam essa limitac¸a˜o das sequeˆncias: redes
e filtros. O conceito de redes originou-se com trabalhos de Moore-Smith e o conceito de filtros deve-se
a E. Cartan.
Definic¸a˜o 13.1. Um conjunto Λ e´ dito conjunto dirigido quando existe uma relac¸a˜o ≤ em Λ satis-
fazendo:
a) λ ≤ λ para todo λ ∈ Λ,
b) se λ1 ≤ λ2 e λ2 ≤ λ3, enta˜o λ1 ≤ λ3,
c) se λ1, λ2 ∈ Λ, enta˜o existe algum λ3 ∈ Λ tal que λ1 ≤ λ3 e λ2 ≤ λ3.
Dizemos que a relac¸a˜o ≤ e´ uma direc¸a˜o para o conjunto Λ. A`s vezes dizemos que a relac¸a˜o ≤
dirige o conjunto Λ. Note que na˜o se exige a propriedade anti-sime´trica, ou seja, se λ1 ≤ λ2 e λ2 ≤ λ1
na˜o se tem necessariamente que λ1 = λ2.
Note se X e´ um conjunto com mais de um elemento, a relac¸a˜o x ≤ y para quaisquer x, y em X,
dirige X, mas na˜o e´ anti-sime´trica.
Definic¸a˜o 13.2. Uma rede em um conjunto X e´ uma func¸a˜o P : Λ → X, onde Λ e´ um conjunto
dirigido. O ponto P (λ) e´ usualmente denotado por xλ, e no´s usualmente falamos ”a rede (xλ)λ∈Λ”se
isso na˜o causar confusa˜o.
Definic¸a˜o 13.3. Uma subrede de uma rede P : Λ → X e´ a composic¸a˜o P ◦ ϕ : M → X, onde
ϕ :M → Λ e´ uma func¸a˜o de um conjunto dirigido M em Λ, que satisfaz as seguintes propriedades:
a) ϕ(µ1) ≤ ϕ(µ2) sempre que µ1 ≤ µ2 (ϕ e´ crescente)
b) para cada λ em Λ, existe um µ ∈M tal que λ ≤ ϕ(µ) (ϕ e´ cofinal em Λ).
Para µ ∈M , o ponto P ◦ϕ(µ) e´ em geral escrito como xλµ , e escrevemos ”a subrede (xλµ) de (xλ)”.
A definic¸a˜o de convergeˆncia em redes e´ naturalmente modelada pela definic¸a˜o de convergeˆncia em
sequeˆncias:
Definic¸a˜o 13.4. Seja (xλ)λ∈Λ uma rede em um espac¸o topolo´gico X. Dizemos que (xλ) converge
para x ∈ X (escrevemos xλ → x) se para cada vizinhanc¸a U de x, existir algum λ0 ∈ Λ tal que λ ≥ λ0
implica xλ ∈ U . Logo, xλ → x se e somente se cada vizinhanc¸a de x tem um ”rabo”de (xλ).
Dizemos que uma rede (xλ) esta´ em um conjunto A se xλ ∈ A para todo λ. Se xλ esta´ em A para
todo λ ≥ λ0, dizemos que (xλ) esta´ residualmente (ou eventualmente) em A. Quando para cada
λ0 existe um λ ≥ λ0 tal que xλ ∈ A, dizemos que (xλ) esta´ frequentemente em A. Quando (xλ) esta´
frequentemente em cada vizinhanc¸a de x, dizemos que x e´ ponto de acumulac¸a˜o da rede (xλ).
Exerc´ıcio 13.5. Uma rede na˜o pode estar residualmente em dois conjuntos disjuntos.
Note que em ambas as definic¸o˜es acima podemos nos restringir a uma base de vizinhanc¸as de x.
Exerc´ıcio 13.6. Se uma rede (xλ) converge para x, mostre que x e´ ponto de acumulac¸a˜o dessa rede.
Exemplo 13.7. Seja X um espac¸o topolo´gico, x ∈ X e Λ uma base de vizinhanc¸as de x em X. A
relac¸a˜o de ordem U1 ≤ U2 ⇔ U2 ⊂ U1 dirige o conjunto Λ. Portanto, se tomarmos um xU ∈ U
para cada U ∈ Λ, temos uma rede (xU ) em X. Note que xU → x. De fato, dada uma vizinhanc¸a V
de x, podemos encontrar U0 ⊂ V para algum U0 em Λ. Enta˜o U ≥ U0 implica U ⊂ U0 e portanto
xU ∈ U ⊂ V.
Exemplo 13.8. O conjunto N dos naturais positivos com sua ordem natural e´ um conjunto dirigido.
Enta˜o toda sequeˆncia (xn) em N e´ uma rede.
Note que toda subsequeˆncia de uma sequeˆncia (xn) e´ uma subrede. Entretanto, na˜o ha´ garantia de
que uma subrede de (xn) seja uma subsequeˆncia. Uma subrede pode ter mais ı´ndices que a pro´pria
rede!
24 DANIEL PELLEGRINO
Exemplo 13.9. A colec¸a˜o P de todas as partic¸o˜es finitas do intervalo fechado [a, b] em subintervalos
fechados e´ um conjunto dirigido, quando munido da relac¸a˜o A1 ≤ A2 ⇔ (A2 refina A1). Enta˜o, se
f e´ uma func¸ao de [a, b] tomando valores na reta real, podemos definir a rede PI : P → R definindo
PI(A) como a soma inferior de Riemann de f na partic¸a˜o A. De modo semelante, podemos definir
PS : P → R como a soma superior de Riemann de f na partic¸a˜o A. A convergeˆncia dessas duas redes
para um nu´mero c significa que
b∫
a
f(x)dx = c.
Exemplo 13.10. Seja (M,ρ) um espac¸o me´trico, com x0 ∈ M . Enta˜o M − {x0} e´ um conjunto
dirigido se considerarmos a relac¸a˜o x < y ⇔ ρ(y, x0) < ρ(x, x0). Enta˜o se f : M → N e´ uma func¸a˜o
com N sendo um espac¸o me´trico, a restric¸a˜o de f a M −{x0} e´ uma rede em N . Vamos verificar que
essa rede converge a z0 em N se e somente se limx→x0 f(x) = z0 no sentido usual.
De fato, suponha que a rede converge para z0. Seja U uma vizinhanc¸a de z0 em N . Enta˜o,como
a rede converge para z0, existe y0 em M tal que x > y0 implica f(x) ∈ U. Em outras palavras,
ρ(x, x0) < ρ(y0, x0) implica f(x) ∈ U. Da´ı, limx→x0 f(x) = z0.
Reciprocamente, se limx→x0 f(x) = z0, enta˜o dada uma vizinhanc¸a U de z0, existe uma vizinhanc¸a
V de x0 tal que x ∈ V implica f(x) ∈ U . Escolha ε (suficientemente pequeno) de modo que a bola de
centro x0 e raio ε esteja em V . Escolha y0 nessa bola. Logo, se x > y0, enta˜o ρ(x, x0) < ρ(y0, x0) e
portanto x ∈ V e f(x) ∈ U. Consequentemente, a rede f :M → N converge para z0.
Definic¸a˜o 13.11. Dizemos que um espac¸o topolo´gico X e´ um espac¸o de Hausdorff se para cada
x1 e x2, elementos distintos de X, existem abertos disjuntos que separam x1 e x2.
Teorema 13.12. Um espac¸o topolo´gico e´ um espac¸o de Hausdorff se e somente se toda rede nesse
espac¸o converge para no ma´ximo um ponto.
Demonstrac¸a˜o. Seja X um espac¸o de Hausdorff e a1, a2 elementos distintos em X. Existem,
portanto, abertos U1 e U2, disjuntos, contendo x1 e x2, respectivamente. Como uma rede na˜o pode
estar eventualmente em dois conjuntos disjuntos, segue que uma rede na˜o pode convergir para dois
valores distintos.
Reciprocamente, suponha que X na˜o e´ Hausdorff. Existem, portanto, dois elementos distintos, x1
e x2 em X tais que sempre que V1 e´ vizinhanc¸a de x1 e V2 e´ vizinhanc¸a de x2, temos que V1 ∩ V2 = φ.
Sejam U1 e U2 as famı´lias de vizinhanc¸as de x1 e x2, respectivamente. No conjunto U1×U2 consideramos
a direc¸a˜o (V1, V2) ≥ (W1,W2) ⇔ V1 ⊂ W1 e V2 ⊂ W2. Considere uma rede P : U1 × U2 → X dada
por P (V1, V2) = xV1,V2 , onde xV1,V2 e´ escolhido em V1 ∩ V2. Mostraremos que essa rede converge para
x1 e para x2. Sejam, portanto, dadas vizinhanc¸as V1 de x1 e V2 de x2. Enta˜o (A,B) ≥ (V1, V2), temos
xA,B ∈ A ∩B ⊂ V1 ∩ V2 e consequentemente a rede converge para os dois valores. ¤
Exerc´ıcio 13.13. Se um espac¸o e´ Hausdorff, mostre que toda sequeˆncia converge para, no ma´ximo,
um ponto.
Exerc´ıcio 13.14. Se toda sequeˆncia em um espac¸o topolo´gico converge para no ma´ximo um elemento,
podemos concluir que ele e´ Hausdorff? Justifique.
Sugesta˜o. Pense no Exerc´ıcio 4.2 com X = R.
Exerc´ıcio 13.15. Mostre que se (xλ) converge para x, cada subrede de (xλ) converge para x.
Teorema 13.16. Uma rede tem um ponto de acumulac¸a˜o y se e somente se ela possui uma subrede
que converge para y.
Demonstrac¸a˜o. Seja y um ponto de acumulac¸a˜o de (xλ)λ∈Λ. Defina
M = {(λ,U);λ ∈ Λ, U e´ uma vizinhanc¸a de y tal que xλ ∈ U},
e considere a relac¸a˜o ≤ como segue:
(λ1, U1) ≤ (λ2, U2)⇔ λ1 ≤ λ2 e U2 ⊂ U1.
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 25
Note que ≤ e´ uma direc¸a˜o para M. Defina ϕ : M → Λ por ϕ(λ,U) = λ. Enta˜o ϕ e´ obviamente
crescente e cofinal em Λ, e portanto define uma subrede de (xλ). Seja U0 uma vizinhanc¸a de y e seja
λ0 tal que xλ0 ∈ U0. Enta˜o (λ0, U0) ∈M e
(λ,U) ≥ (λ0, U0)⇒ U ⊂ U0.
Logo (λ,U) ≥ (λ0, U0)⇒ xλ ∈ U ⊂ U0. Da´ı a subrede definida por ϕ converge para y.
Para provar a outra implicac¸a˜o, suponha que ϕ : M → Λ seja uma aplicac¸a˜o crescente e cofinal,
dando origem a uma subrede de (xλ) que converge para y. Enta˜o, para cada vizinhanc¸a U de y, existe
um uU ∈M tal que u ≥ uU implica xϕ(u) ∈ U.
Sejam U uma vizinhanc¸a de y e λ0 ∈ Λ fixos, arbitra´rios. Como ϕ(M) e´ cofinal em Λ, existe
u0 ∈ M tal que ϕ(u0) ≥ λ0. Mas, tambe´m existe um uU ∈ M tal que u ≥ uU implica xϕ(u) ∈ U.
Escolha u∗ ∈M tal que u∗ ≥ u0 e u∗ ≥ uU . Enta˜o λ∗ = ϕ(u∗) ≥ ϕ(u0) ≥ λ0. Assim xλ∗ = xϕ(u∗) ∈ U,
pois u∗ ≥ uU . Logo, para qualquer vizinhanc¸a U de y e qualquer λ0 ∈ Λ, existe algum λ∗ ≥ λ0 tal que
xλ∗ ∈ U. Segue que y e´ um ponto de acumulac¸a˜o de (xλ).¤
Corola´rio 13.17. Se uma subrede de (xλ) tem y como ponto de acumulac¸a˜o, enta˜o (xλ) tambe´m.
Demonstrac¸a˜o. Basta observar que uma subrede de uma subrede e´ ainda uma subrede, e aplicar o
teorema anterior.¤
O pro´ximo resultado caracteriza o fecho de um conjunto com a noc¸a˜o de redes:
Teorema 13.18. Se E ⊂ X, enta˜o x ∈ E se e somente se existe uma rede (xλ) em E com xλ → x.
Demonstrac¸a˜o. Se x ∈ E, enta˜o cada vizinhanc¸a U de x intercepta E em pelo menos um ponto xU .
Enta˜o (xU ) e´ uma rede contida em E convergindo para x (veja 13.7).
Reciprocamente, se (xλ) e´ uma rede contida em E que converge para x, enta˜o cada vizinhanc¸a de
y intercepta E (em um rabo de (xλ)) e portanto x ∈ E.¤
Corola´rio 13.19. Um subconjunto F de um espac¸o topolo´gico X e´ fechado se e somente se sempre
que (xλ) ⊂ F com xλ → x, enta˜o x ∈ F.
Exerc´ıcio 13.20. Seja f : X → Y uma func¸a˜o. Mostre que f e´ cont´ınua em um ponto x0 ∈ X se e
somente se
xλ → x0 ⇒ f(xλ)→ f(x0).
Exerc´ıcio 13.21. Se f : X → Y e´ uma func¸a˜o cont´ınua e A e B sa˜o abertos em X e Y , respectiva-
mente, com f(A) ⊂ B, mostre que f(A) ⊂ B.
Teorema 13.22. Uma rede (xλ) no espac¸o produto X =
∏
α∈A
Xα converge para x se e somente se para
cada α ∈ A, piα(xλ)→ piα(x) em Xα.
Demonstrac¸a˜o. Se xλ → x em
∏
α∈A
Xα, enta˜o, como piα e´ cont´ınua, piα(xλ) → piα(x) para cada
α ∈ A.
por outro lado, suponha que piα(xλ)→ piα(x) para cada α ∈ A. Seja
pi−1α1 (Uα1) ∩ ... ∩ pi−1αn (Uαn)
uma vizinhanc¸a ba´sica de x no espac¸o produto. Enta˜o, como em particular, piαi(xλ) → piαi(x), para
cada i = 1, ..., n existe um λi tal que sempre que λ ≥ λi, temos piαi(xλ) ∈ Uαi . Escolhendo λ0 ≥ λi,
i = 1, ..., n, temos que piαi(xλ) ∈ Uαi para todo i = 1, ..., n sempre que λ ≥ λ0. Portanto
λ ≥ λ0 ⇒ xλ ∈ pi−1α1 (Uα1) ∩ ... ∩ pi−1αn (Uαn)
e consequentemente (xλ) converge para x no espac¸o (xλ) no espac¸o produto X =
∏
α∈A
Xα. ¤
26 DANIEL PELLEGRINO
No caso em que Xα = X para todo α, note que o conjunto de todas as func¸o˜es de A em X (munido
com a topologia produto), que e´ naturalmente visto como
∏
α∈A
Xα com Xα = X, tem a seguinte
propriedade:
Uma rede (fλ) converge para f se e somente se fλ(α)→ f(α) para cada α ∈ A.
Definic¸a˜o 13.23. Uma rede (xλ) em um conjunto X e´ dita ultrarede (ou rede universal) quando
para cada subconjunto E de X, ou (xλ) esta´ residualmente em E ou residualmente em X − E.
Proposic¸a˜o 13.24. Se uma ultrarede tem um ponto de acumulac¸a˜o, enta˜o ela converge para esse
ponto.
Demonstrac¸a˜o. Seja (xλ)λ∈Γ uma ultrarede em X e x0 um ponto de acumulac¸a˜o de (xλ)λ∈Γ. Enta˜o,
dado U um aberto contendo x0 e λ0 ∈ Γ, temos que existe λ ≥ λ0 tal que xλ∈ U. Como (xλ) e´ ultrarede,
para U existe um certo λ1 tal que
(i) λ ≥ λ1 ⇒ xλ ∈ U ou
(ii) λ ≥ λ1 ⇒ xλ ∈ X − U.
Como sabemos que existe algum λ ≥ λ1 tal que xλ ∈ U , segue que vale (i) e portanto xλ → x.
Teorema 13.25. Se (xλ) e´ uma ultrarede em X e f : X → Y , enta˜o (f(xλ)) e´ uma ultrarede em Y .
Demonstrac¸a˜o. Se A ⊂ Y , enta˜o f−1(A) = X − f−1(Y −A). Pela definic¸a˜o de ultrarede, temos que
(xλ) esta´ residualmente em f−1(A) ou f−1(Y −A). Portanto (f(xλ)) esta´ residualmente em A ou em
Y −A, e consequentemente e´ uma ultrarede.
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 27
14. Filtros
Uma outra forma de se estudar convergeˆncia em espac¸os topolo´gicos e´ atrave´s do conceito de filtros.
Definic¸a˜o 14.1. Um filtro F em um conjunto X e´ uma colec¸a˜o na˜o-vazia contida em P(X) tal que
a) φ /∈ F ,
b) se F1 e F2 sa˜o elementos de F , enta˜o F1 ∩ F2 ∈ F ,
c) se F ∈ F e F ⊂ G, enta˜o G ∈ F .
Uma subcolec¸a˜o F0 ⊂ F e´ uma base para o filtro F se cada elemento de F conte´m algum elemento
de F0.
Proposic¸a˜o 14.2. Uma colec¸a˜o qualquer C de subconjuntos na˜o-vazios de X e´ uma base para algum
filtro de X se sempre que C1, C2 ∈ C, tivermos que C1 ∩ C2 ∈ C.
Demonstrac¸a˜o. Seja F = {F ⊂ X;F ⊃ C para algum C ∈ C}. Temos que φ /∈ F , e se F1 e F2
sa˜o elementos de F , enta˜o existem C1 e C2 em C tais que C1 ⊂ F1 e C2 ⊂ F2. Logo C1 ∩ C2 ∈ C e
C1 ∩C2 ⊂ F1 ∩F2. Logo F1 ∩F2 ∈ F . Finalmente, como o item (c) da definic¸a˜o de filtro e´ obviamente
va´lido para F , segue que F e´ um filtro.¤
Exemplo 14.3. Note que se X e´ um espac¸o topolo´gico e x∈ X, o conjunto das vizinhanc¸as de x,
denotado por Ux, e´ um filtro em X. Ale´m disso, qualquer base de vizinhanc¸as de x e´ uma base para o
filtro Ux. Esse filtro sera´ chamada de filtro de vizinhanc¸as de x.
Observac¸a˜o 14.4. Note que as condic¸o˜es (a) e (b) nos restringem bastante a “quantidade de elemen-
tos” dos filtros, pois como φ /∈ F , o item (b) nos diz que se F1 ∩F2 = φ, enta˜o pelo menos um desses
conjuntos na˜o pertence a F .
Definic¸a˜o 14.5. Um filtro F em um espac¸o topolo´gico X converge para x se Ux ⊂ F (notac¸a˜o
F → x).
Exemplo 14.6. Considere X = {a, b, c} com a topologia τ = {φ, {a, b}, X}. O conjunto F = {{a}, {a, b}, {a, c}, X}
e´ um filtro em X. Ale´m disso, perceba que F → a.
Definic¸a˜o 14.7. Um filtro F e´ um ultrafiltro se na˜o existe nenhum outro filtro que o contenha
estritamente.
Exemplo 14.8. O filtro F do Exemplo 14.6 e´ um ultrafiltro.
Teorema 14.9. Um filtro F e´ um ultrafiltro se e somente se para cada E ⊂ X tivermos E ∈ F ou
X − E ∈ F .
Demonstrac¸a˜o. Seja F um ultrafiltro e E ⊂ X. Se existir F0 ∈ F tal que F0 ∩ E = φ enta˜o
F0 ⊂ (X − E). Da´ı, para todo F ∈ F , temos que F ∩ (X − E) 6= φ. Portanto, conclu´ımos que
F ∩ (X − E) 6= φ para todo F ∈ F
ou
F ∩ E 6= φ para todo F ∈ F .
Suponha, enta˜o, que F ∩E 6= φ para todo F ∈ F . Assim, o conjunto {F ∩E;F ∈ F} e´ uma base para
um filtro G. Mas esse filtro conte´m E = X ∩ E e F ⊂ G. Como F e´ um ultrafiltro, segue que E ∈ F .
Se supusermos que F ∩(X−E) 6= φ para todo F ∈ F , de modo ana´logo, conclu´ımos que X−E ∈ F .
Agora vamos supor que F e´ um filtro tal que para cada E ⊂ X temos E ∈ F ou X −E ∈ F . Se G
e´ um filtro que conte´m estritamente F , enta˜o para algum A ∈ G, temos que A /∈ F . Mas, nesse caso
X −A ∈ F ⊂ G. Da´ı temos um absurdo, pois tanto A como seu complementar estara˜o em G. Logo F
e´ ultrafiltro. ¤
Observac¸a˜o 14.10. Perceba que num filtro (ou ultrafiltro) F na˜o podemos ter ao mesmo tempo E ∈ F
e X − E ∈ F , pois se isso ocorresse, ter´ıamos φ = E ∩ (X − E) ∈ F .
Teorema 14.11. Todo filtro F esta´ contido em algum ultrafiltro.
28 DANIEL PELLEGRINO
Demonstrac¸a˜o. Seja C a colec¸a˜o de todos os filtros que conte´m F . Em C, consideremos a relac¸a˜o
de ordem parcial F1 ≤ F 2 ⇔ F 1 ⊂ F 2. Note que qualquer subconjunto totalmente ordenado {Fλ
;λ ∈ Λ} tem ⋃
λ∈Λ
Fλ ∈ C como cota superior. Assim, C e´ um conjunto indutivo e na˜o vazio, pois F ∈ C.
Pelo Lema de Zorn, temos que C admite um elemento maximal, que e´ obviamente um ultrafiltro que
conte´m F . ¤
As noc¸o˜es de filtro e rede teˆm uma relac¸a˜o muito forte. Rigorosamente, tudo que puder ser provado
ou enunciado usando-se redes, podera´ ser paralelamente provado ou enunciado usando-se filtros, e
vice-versa. Entretanto, em determinadas ocasio˜es um ou outro conceito pode parecer mais natural,
e assim e´ interessante conhecer um pouco de ambos. A seguinte definic¸a˜o e os pro´ximos exerc´ıcios
deixam claro como fazer a ligac¸a˜o formal entre esses dois conceitos:
Definic¸a˜o 14.12. Se (xλ)λ∈Λ e´ uma rede em X, o filtro gerado pela base C formada pelos conjuntos
Bλ0 = {xλ;λ ≥ λ0}, λ0 ∈ Λ, e´ chamado filtro gerado por (xλ)λ∈Λ.
Se F e´ um filtro em X, seja ΛF = {(x, F );x ∈ F ∈ F}. Enta˜o ΛF e´ um conjunto dirigido pela
relac¸a˜o
(x1, F1) ≤ (x2, F2)⇔ F2 ⊂ F1
e a aplicac¸a˜o P : ΛF → X dada por P (x, F ) = x e´ uma rede em X, chamada de rede gerada por F.
Exerc´ıcio 14.13. Um filtro F , em um espac¸o topolo´gico X, converge para x ∈ X se e somente se a
rede gerada por F converge para x.
Exerc´ıcio 14.14. Uma rede (xλ), em um espac¸o topolo´gico X, converge para x ∈ X se e somente se
o filtro gerado por ela converge para x.
O seguinte resultado nos sera´ u´til no decorrer do curso:
Proposic¸a˜o 14.15. A rede gerada por um ultrafiltro e´ uma ultrarede.
Demonstrac¸a˜o. Seja F um ultrafiltro. Enta˜o, seja P : ΛF → X a rede gerada por F .
Seja E ⊂ X. Como F e´ ultrafiltro, temos que E ∈ F ou X −E ∈ F . No primeiro caso, se (x, F ) ≥
(x,E), temos P (x, F ) = x ∈ F ⊂ E e consequentemente a rede P : ΛF → X esta´ eventualmente em
E.
No segundo caso, se (x, F ) ≥ (x,X − E), temos P (x, F ) = x ∈ F ⊂ X − E e consequentemente a
rede P : ΛF → X esta´ eventualmente em X − E. Logo, a rede P : ΛF → X e´ uma ultrarede.
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 29
15. ————-Co´pia da primeira prova do curso————–
Primeira Prova de Topologia Geral
Programa de Mestrado em Matema´tica-UFCG
Professor: Daniel Pellegrino
Data: 06/05/2005
Durac¸a˜o: 2 horas
Aluno:
Resolva apenas duas das 3 questo˜es:
1. Seja X um conjunto. Seja τc a colec¸a˜o de todos os subconjuntos U de X tais que X − U e´
enumera´vel ou e´ X.
a) Verifique que τc e´ uma topologia em X.
b) Para X = R, estude a convergeˆncia da sequeˆncia (1, 2, 1, 2, 1, 2, ...). Converge? Na˜o converge?
c) Para um X = R com a topologia τc, existe alguma sequeˆncia em X que converge para mais de
um ponto? Demonstre o que afirmar.
d) Deˆ exemplo de um espac¸o topolo´gico onde cada sequeˆncia que converge, converge para apenas um
ponto, mas, por outro lado, existem redes (ou filtros) que convergem para mais de um ponto. Justifique
sua resposta (na˜o e´ necessa´rio exibir a rede (ou filtro), mas apenas justificar a sua existeˆncia).
e) Sejam X e Z espac¸os topolo´gicos e Y ⊂ Z com a topologia induzida. Mostre que f : X → Y e´
cont´ınua se e somente se g : X → Z dada por g(x) = f(x) e´ cont´ınua.
2. Responda os itens abaixo:
a) Defina func¸a˜o cont´ınua e homeomorfismo.
b) SeX e´ finito, e´ poss´ıvel definir um homeomorfismo entreX e um subconjunto pro´prio? Justifique.
c) Pode existir um conjunto X que seja homeomorfo a um subconjunto pro´prio? Caso positivo, deˆ
um exemplo e demonstre o que afirmar.
d) Sejam (X, τ) e (Y,P(Y )) espac¸os topolo´gicos. Mostre que se (X, τ) e´ homeomorfo a (Y,P(Y ))
enta˜o τ = P(X). E a rec´ıproca, vale?
e) Sejam (X, τ) e (Y, τ2) espac¸os topolo´gicos. Mostre que se (X, τ) e´ homeomorfo a (Y, τ2) enta˜o τ
tem a mesma cardinalidade de τ2 (exiba a func¸a˜o que corresponde τ e τ2 e mostre que e´ bijec¸a˜o). E a
rec´ıproca, vale?
f) Exiba espac¸os topolo´gicos (X, τ) e (Y, τ2) tais que X e Y teˆm a mesma cardinalidade, τ tem a
mesma cardinalidade de τ2 e X na˜o e´ homeomorfo a Y . Demosnstre o que afirmar!
3. Seja (X, τ) um espac¸o topolo´gico. Dizemos que D ⊂ X e´ denso em X se D = X. Um espac¸o
vetorial normado E e´ dito separa´vel se existir um subconjunto D ⊂ X denso e enumera´vel.
a) Mostre que D ⊂ X e´ denso se e somente se a intersec¸a˜o de cada aberto de X com D for na˜o
vazia.
b) Considere o espac¸o vetorial
l∞ = {(xj)∞j=1;xj ∈ R e sup ‖xj‖ <∞}
com a norma
∥∥(xj)∞j=1∥∥ = sup ‖xj‖ . Seja A = {(xj)∞j=1 ⊂ l∞;xj = 0 ou xj = 1, para cada j natural}.
Mostre que A na˜o e´ enumera´vel.
c) Mostre que l∞ na˜o e´ separa´vel. Sugesta˜o: use o item (b).
30 DANIEL PELLEGRINO
16. Espac¸os T0, T1, T2 e T3
Agora vamos restringir nosso estudo em alguns tipos especiais de espac¸os topolo´gicos. As topologias
mais interessantes, de alguma forma separam pontos atrave´s de abertos. Nessa direc¸a˜o, vamos definir
espcc¸os T0, T1 e espac¸os de Hausdorff.
Definic¸a˜o 16.1. Um espac¸o topolo´gico X e´ dito um espac¸o T0 (ou a topologia de X e´ T0) quando
para quaisquer pontos x e y, distintos, existe um aberto que conte´m um dos pontos e na˜o conte´m o
outro. Dizemos ainda que um espac¸o topolo´gico X e´ um espac¸o T1 (ou a topologia de X e´ T1) quando
para quaisquer pontos x e y, distintos, existe uma vizinhanc¸a de cada um dos pontos que na˜o conte´m o
outro. Por fim, lembremos que um espac¸o topolo´gico X e´ um espac¸o de Hausdorff se para cada x1
e x2, elementos distintos de X, existem abertos disjuntos que separam x1 e x2. Espac¸os de Hausdorff
tambe´m sa˜o chamados de espac¸os T2.
Como toda vizinhanc¸a conte´m um aberto, e´ claro que todo espac¸o T1 e´ tambe´m T0. Entretanto, a
rec´ıproca na˜o vale, pois X ={a, b} com a topologia τ = {φ, {a}} em X e´ um espac¸o T0 mas na˜o e´ um
espac¸o T1.
Exerc´ıcio 16.2. Mostre que uma pseudome´trica e´ uma me´trica se e somente se a topologia gerada
por ela e´ T0.
Exerc´ıcio 16.3. Um espac¸o topolo´gico e´ um espac¸o T1 se e somente se cada ponto e´ fechado.
Definic¸a˜o 16.4. Um espac¸o topolo´gico e´ dito regular se sempre que F e´ fechado e x /∈ F , existem
abertos disjuntos U e V com x ∈ U e F ⊂ V.
Exerc´ıcio 16.5. Deˆ exemplo de um espac¸o regular que na˜o e´ Hausdorff.
Como a intenc¸a˜o da definic¸a˜o de espac¸os regulares e´, de certa forma, refinar os conceitos de espac¸os
T1 e T2 (Hausdorff), dizemos que um espac¸o T1 que tambe´m e´ regular, e´ um espac¸o T3. Como em
espac¸os T1, os conjuntos unita´rios sa˜o fechados, temos que todo espac¸o T3 e´ Hausdorff.
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 31
17. Conjuntos compactos
Definic¸a˜o 17.1. Seja X um espac¸o topolo´gico. Um conjunto Y ⊂ X e´ compacto (em X) quando
sempre que Y ⊂
⋃
α∈Γ
Aα com cada Aα aberto em X, existirem α1, ..., αn tais que Y ⊂ Aα1 ∪ ...Aαn .
Note que, intuitivamente, quanto menos abertos possui uma topologia, mais fa´cil e´ para se encontrar
compactos. Podemos destacar doisa extremos:
Em uma topologia com uma quantidade finita de abertos, todo conjunto e´ compacto. Por outro lado,
para um conjunto X munido da topologia τ = P(X), temos que um subconjunto de X e´ compacto se
e somente se tem uma quantidade finita de elementos.
Conjuntos compactos teˆm propriedades especiais em espac¸os de Hausdorff. Um resultado importante
e´ o seguinte:
Teorema 17.2. Se X e´ um espac¸o de Hausdorff K e´ um compacto que na˜o conte´m um ponto x ∈ X,
enta˜o existem abertos disjuntos que os separam.
Demonstrac¸a˜o. Como X e´ Hausdorff, para cada y ∈ K, existem abertos disjuntos Ax,y e By,
contendo x e y, respectivamente, que separam x e y.Assim temos K ⊂
⋃
y∈K
By e, como K e´ compacto,
existem y1, ..., yn em K tais que
K ⊂
n⋃
j=1
Byj .
E´ claro que x ∈
n⋂
j=1
Ax,yj e que
n⋂
j=1
Ax,yj e
n⋃
j=1
Byj sa˜o abertos e disjuntos, e a demonstrac¸a˜o esta´
conclu´ıda. ¤
Exemplo 17.3. No Rn, os compactos sa˜o precisamente os subconjuntos fechados e limitados (veja
[2]).
Em geral, compactos na˜o sa˜o necessariamente fechados, mas em espac¸os de Hausdorff sim:
Teorema 17.4. Se X e´ um espac¸o de Hausdorff, enta˜o os compactos sa˜o fechados.
Demonstrac¸a˜o. Seja K um compacto num espac¸o de Hausdorff X. Para mostrar que K ;e fechado,
mostraremos que seu complementar e´ aberto. Se X−K for vazio, a demonstrac¸a˜o esta´ conclu´ıda. Caso
contra´rio, seja x ∈ X −K. Pelo Teorema 17.2, x e K podem ser separados por abertos e, portanto,
existe um aberto A tal que x ∈ A ⊂ X −K. Logo X −K e´ aberto. ¤
Exerc´ıcio 17.5. Deˆ exemplo de um compacto que na˜o e´ fechado. Sugesta˜o: Pense num espac¸o
topolo´gico com uma quantidade finita de abertos.
Exerc´ıcio 17.6. Exiba um espac¸o topolo´gico X que na˜o e´ Hausdorff, mas todo compacto em X e´
fechado. Sugesta˜o: Considere a reta com a topologia do Exemplo 4.2.
Exerc´ıcio 17.7. Seja X um espac¸o topolo´gico e B ⊂ X um subespac¸o. Se A ⊂ B e´ compacto em B
se e somente se A e´ compacto em X.
Exerc´ıcio 17.8. Mostre que se f : X → Y e´ cont´ınua e K e´ compacto em X, enta˜o f(K) e´ compacto
em Y .
Exerc´ıcio 17.9. Mostre que ”ser compacto ”e´ uma propriedade topolo´gica.
32 DANIEL PELLEGRINO
Exerc´ıcio 17.10. Lembre que em teoria de conjuntos, o Teorema de Cantor-Bernstein afirma que se
A e B sa˜o conjuntos e existem func¸o˜es injetivas f : A → B e g : B → A, enta˜o existe uma bijec¸a˜o
entre A e B. Para espac¸os topolo´gicos, o ana´logo seria:
“Se X pode ser mergulhado em Y e Y pode ser mergulhado em X, enta˜o X e Y sa˜o homeomorfos”.
Encontre um contra-exemplo. Sugesta˜o: Use [0, 1] e R.
Definic¸a˜o 17.11. Uma famı´lia E de subconjuntos de X tem a propriedade da intersec¸a˜o finita
se a intersec¸a˜o de qualquer subcolec¸a˜o finita de E e´ na˜o-vazia.
Os conceitos de rede e de conjuntos com a propriedade da intersec¸a˜o finita caracterizam conjuntos
compactos da seguinte forma:
Teorema 17.12. (Caracterizac¸o˜es de compactos) Para um espac¸o topolo´gico X, as seguintes afirmac¸o˜es
sa˜o equivalentes:
a) X e´ compacto,
b) cada famı´lia E de subconjuntos fechados de X com a propriedade da intersec¸a˜o finita tem
intersec¸a˜o na˜o-vazia,
c) cada rede em X tem um ponto de acumulac¸a˜o,
d) cada ultrarede em X converge.
Demonstrac¸a˜o.
(a)⇒(b). Se {Eα;α ∈ A} e´ uma famı´lia de conjuntos fechados de X com intersec¸a˜o vazia, enta˜o
{X − Eα;α ∈ A} e´ uma cobertura aberta de X. Com efeito,⋃
α∈A
(X − Eα) = X −
⋂
α∈A
Eα = X.
Como X e´ compacto, temos que existem α1, ..., αn tais que X =
n⋃
i=1
(X − Eαi) = X −
n⋂
i=1
Eαi . Logo
n⋂
i=1
Eαi = φ, e {Eα;α ∈ A} na˜o tem a propriedade da intersec¸a˜o finita.
(b)⇒(c). Seja (xλ)λ∈Γ uma rede em X. Considere a famı´lia de fechados{
{xλ;λ ≥ λ0}
}
λ0∈Γ
.
Tomando {xλ;λ ≥ λ1} ∩ .... ∩ {xλ;λ ≥ λn}, temos que existe β ∈ Γ com β ≥ λ1, ..., β ≥ λn e da´ı
conclu´ımos que
xβ ∈ {xλ;λ ≥ λ1} ∩ .... ∩ {xλ;λ ≥ λn}.
Portanto, a famı´lia de fechados
{
{xλ;λ ≥ λ0}
}
λ0∈Γ
possui a propriedade da intersec¸a˜o finita. Por
hipo´tese, temos enta˜o que existe
x ∈
⋂
λ0∈Γ
{xλ;λ ≥ λ0}.
Finalmente, para qualquer U aberto e α ∈ Γ, como x ∈ {xλ;λ ≥ α}, temos que existe λ ≥ α tal que
xλ ∈ U , e x e´ ponto de acumulac¸a˜o da rede (veja definic¸a˜o na Definic¸a˜o 13.4).
(c)⇒(d). Se (xλ) e´ uma ultrarede em X, em particular, (xλ) e´ uma rede e, por hipo´tese, tem ponto
de acumulac¸a˜o. Pela Proposic¸a˜o 13.24, segue que essa ultrarede e´ convergente.
(d)⇒(a). Seja F um ultrafiltro em X. A rede gerada por F e´, pela Proposic¸a˜o 14.15, uma ultrarede.
Por hipoo´tese, temos que essa ultrarede (rede) converge. Pelo Exerc´ıcio 14.14, segue que F tambe´m
converge. Logo, todo ultrafiltro F em X converge.
Suponhamos, por contradic¸a˜o, que X na˜o seja compacto. Escolha, enta˜o, um conjunto de abertos
U que formam uma cobertura de X, que na˜o possui subcobertura finita. Enta˜o X − (A1 ∪ ...An) 6= φ
para cada colec¸a˜o finita de abertos {A1, ..., An} em U . Fazendo uso da Proposic¸a˜o 14.2, temos que a
famı´lia de conjuntos
{X − (A1 ∪ ...An);n ∈ N e Aj ∈ U , j = 1, ..., n}
TOPOLOGIA- PERI´ODO 2005.1 33
forma uma base para um filtro F . Como todo filtro esta´ contido num ultrafiltro (veja Teorema 14.11),
segue que existe um ultrafiltro G que conte´m F . Mas, ja´ sabemos que todo ultrafiltro em X converge.
Assim, existe x ∈ X tal que G → x. Como os abertos de U cobrem X, existe um aberto U ∈ U
contendo x. Como U e´ vizinhanc¸a de x, e como G → x, segue que U ∈ G. Por construc¸a˜o, temos que
X − U ∈ F ⊂ G. Assim, U /∈ G (contradic¸a˜o). Logo X e´ compacto.¤
34 DANIEL PELLEGRINO
17.1. O Teorema de Tychonoff. O Teorema de Tychonoff, que veremos a seguir, e´ um resultado
central da topologia e, curiosamente, e´ equivalente ao Axioma da Escolha (mas essa equivaleˆncia na˜o
sera´ demonstrada nesse curso). A demonstrac¸a˜o do Teorema de Tychonoff, abaixo, pode parecer direta,
mas perceba que nela sera˜o usadas as caracterizac¸o˜es de compactos do Teorema 17.12, que fazem uso
do Lema de Zorn!
Teorema 17.13. (Teorema de Tychonoff) Seja {Xα}α∈Γ uma famı´lia de espac¸os topolo´gicos e
Y =
∏
α∈Γ
Xα. Um subconjunto na˜o vazio
∏
α∈Γ
Aα de Y e´ compacto se e somente se cada Aα e´ compacto.
Demonstrac¸a˜o. Como as projec¸o˜es piα sa˜o cont´ınuas, e como func¸a˜o cont´ınua leva compacto em
compacto, segue que se
∏
α∈Γ
Aα e´ compacto, enta˜o cada Aα e´ compacto.
Suponha, agora, que cada Aα e´ compacto. Seja (xλ)λ∈Λ uma ultrarede em Y . Enta˜o, pelo Teorema
13.25 segue, para cada α, temos que (piα(xλ))λ∈Λ e´ uma ultrarede emXα. Pelas caracterizac¸o˜es dos con-
juntos compactos, temos que cada (piα(xλ))λ∈Λ converge