Livro - Algebra Linear

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ÁLGEBRA LINEAR
Daniele Cristina Thoaldo
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Á
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G
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B
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A
 L
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A
R
D
an
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 C
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a 
Th
oa
ld
o
Curitiba
2016
Álgebra Linear
Daniele Cristina Thoaldo
Ficha Catalográfica elaborada pela Fael. Bibliotecária – Cassiana Souza CRB9/1501
T449a Thoaldo, Daniele Cristina
Álgebra linear/ Daniele Cristina Thoaldo. – Curitiba: Fael, 2016.
212 p.: il.
ISBN 978-85-60531-61-5
1. Álgebra linear. Título
CDD 512.5 
Direitos desta edição reservados à Fael.
É proibida a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa da Fael.
FAEL
Direção Acadêmica Francisco Carlos Sardo
Coordenação Editorial Raquel Andrade Lorenz
Revisão e Diagramação Editora Coletânea
Projeto Gráfico Sandro Niemicz
Capa Vitor Bernardo Backes Lopes
Imagem da Capa Shutterstock.com/marekuliasz/Gregory Johnston
Revisão de diagramação Evelyn Caroline dos Santos Betim
Sumário
 Carta ao aluno | 5
1. Matrizes | 7
2. Determinantes | 27
3. Sistemas de Equações Lineares | 47
4. Espaços Vetoriais Euclidianos | 73
5. Transformações lineares | 131
6. Operadores | 161
7. Diagonalização de Matrizes | 171
 Anexo | 197
 Conclusão | 203
 Gabarito | 205
 Referências | 211
Prezado(a) aluno(a),
A álgebra linear é um ramo da matemática que consiste 
em trabalhar com vetores, matrizes e equações lineares. O obje-
tivo principal desta obra é apresentar ao aluno as suas demonstra-
ções e definições. O foco é levar o conhecimento para futuras apli-
cações, como na física ou em equações diferenciais, por exemplo, 
das quais estão diretamente relacionadas.
Sendo a álgebra linear uns dos tópicos abstratos da mate-
mática, o conhecimento dos conteúdos de álgebra linear permite 
com que o aluno tenha uma compreensão mais fácil de outras dis-
ciplinas. O suporte de tal conhecimento é gratificante, lembrando 
que existe um grande número de aplicações em disciplinas distintas.
É importante que o aluno resolva os exercícios apresenta-
dos nesta obra, para que tenha familiaridade com a notação mate-
mática e seu desenvolvimento.
Carta ao aluno
Os conceitos de álgebra linear são aplicados em muitos fenô-
menos químicos, físicos e biológicos, e também nas engenharias. 
No estudo de matrizes, serão apresentados os conceitos básicos para 
a resolução de problemas lineares, uma vez que o conhecimento de 
matrizes é essencial para o estudo de álgebra linear.
Matrizes
1
– 8 –
Álgebra Linear
1.1 Introdução
A matriz é uma tabela em forma retangular, composta por números 
reais, funções, polinômios, números complexos ou outros. Ela é, na maioria 
das vezes, representada por uma letra maiúscula. Seus elementos são dispostos 
em linhas e colunas, que são apresentados dentro de colchetes ou parênteses.
Exemplo 1.1 – Representação de matrizes
[ ]
1 5 4 1 2
2 3 2 3 3
1
A B
sen x cos x
C a b c D
tg x
   
= =   − −   
 
= =  
 
Cada elemento de uma matriz é posicionado na linha de ordem i e na 
coluna de ordem j, sendo representados por uma letra minúscula subscrita, 
denominada subíndice. Por exemplo, um elemento a34 pertence à terceira 
linha e à quarta coluna de uma matriz A.
1.2 Representação de uma matriz
Na construção de uma matriz genérica com m linhas e n colunas tem-se:
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3 ...
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
a a a aA
a a a a
 
 
 
 =
 
 
 
 
�
�
�
� � � ��� �
A matriz pode ser representada por ijA a =   , onde i que representa a 
posição da linha que varia de 1 a m e j que representa a posição da coluna que 
varia de 1 a n. Sendo assim, tem-se que:
=
=
1, 2, 3, ...,
1, 2, 3, ...,
i m
j n
– 9 –
Matrizes
1.3 Ordem de uma matriz
Diz-se que uma matriz é de ordem xm n quando ela tem m linhas e n 
colunas. Por exemplo, se a matriz tiver duas linhas e 3 colunas, escrevemos 
×2 3A ou ( )2,3A .
1.4 Matriz retangular
É toda matriz que possui o número de linhas diferentes do número de 
colunas, ou seja, ≠m n .
×
×
 
   = =       
11 12
11 12 13
21 22
21 22 23 2 3
31 32 3 2
b b
a a a
A B b b
a a a
b b
1.5 Matriz coluna
A matriz coluna é aquela em que = 1n . Essa matriz apresenta uma única 
coluna.
×
×
×
 
        = = =           
 
�
11
11
11 21
21
21 2 1
31 3 1
1 1n n
c
b
a c
A B b C
a
b
c
É importante ressaltar que uma matriz coluna pode representar as com-
ponentes de um vetor no espaço vetorial V. Pode-se dizer também que se trata 
de um vetor coluna.
1.6 Matriz linha
A matriz linha, por sua vez, é aquela em que = 1m , ou seja, possui uma 
única linha.
[ ] [ ] [ ]11 12 11 12 13 11 12 11 2 1 3 1... m mA a a B b b b C c c c× × ×= = =
– 10 –
Álgebra Linear
A matriz linha pode ser chamada também de vetor linha.
1.7 Matriz quadrada
Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número 
de colunas, ou seja, =m n .
×
×
 
   = =       
11 12 13
11 12
21 22 23
21 22 2 2
31 32 33 3 3
b b b
a a
A B b b b
a a
b b b
Observe que, visando simplificar a linguagem, para a matriz A de ordem 
2 2x , pode-se dizer simplesmente que se trata de uma matriz de ordem dois; 
já para a matriz B, pode-se dizer que se trata de uma matriz de ordem três.
1.7.1 Diagonal principal
Os elementos de uma matriz  =  ijA a com =i j constituem a 
diagonal principal. Portanto, os elementos da diagonal principal são: 
11 22 33 44, , , ... , nna a a a a .
Exemplo 1.2 – Elementos da diagonal principal
× ×
=   
= ⇒ = ⇒    =   
11 12 11
21 22 122 2 2 2
1 2 1
3 4 4
a a a
A A
a a a
× ×
=−   
   = ⇒ = − = −   
    =   
1111 12 13
21 22 23 22
31 32 33 333 3 3 3
11 3 2
0 5 1 5
9 4 6 6
bb b b
B b b b B b
b b b b
1.7.2 Diagonal secundária
Os elementos de uma matriz  =  ijA a com + = + 1i j n constituem 
a diagonal secundária. Portanto, os elementos da diagonal secundária são: 
− − −1 2 1 3 2 4 3 1, , , ... ,n n n n na a a a a .
– 11 –
Matrizes
Exemplo 1.3 – Elementos da diagonal secundária
× ×
=   
= ⇒ = ⇒    =   
11 12 12
21 22 212 2 2 2
1 5 5
2 4 2
a a a
A A
a a a
× ×
=   
   = ⇒ = ⇒ =   
    =   
1311 12 13
21 22 23 22
31 32 33 313 3 3 3
21 1 2
2 3 2 3
7 3 1 7
bb b b
B b b b B b
b b b b
1.7.3 Matriz diagonal
Uma matriz  =  ijA a é diagonal quando é uma matriz quadrada, cujos 
elementos com ≠i j , são iguais a zero.
 
 
 
 =
 
 
 
 
�
�
�
� � � ��� �
11
22
33
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 ... mn
a
a
aA
a
Exemplo 1.4 – Matrizes diagonais
×
 
=  
  2 2
3 0
0 1
A
 ×
 
 =  
   3 3
1 0 0
0 2 0
0 0 3
B
 ×
 
 
 =
 
 −  4 4
3 0 0 0
0 6 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
C
1.7.4 Matriz identidade
Uma matriz  =  ijA a é uma matriz identidade quando os elementos 
com ≠i j forem iguais a zero, e os com =i j forem iguais a 1. O subíndice 
de I indica a ordem da matriz identidade
– 12 –
Álgebra Linear
 
 
 
 =
 
 
 
 
�
�
�
� � � ��� �
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 ... 1
nI
Exemplo 1.5 – Matrizes identidades
[ ]=1 1I
 
=  
 
2
1 0
0 1
I
 
 =  
  
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
1.7.5 Matriz escalar
Uma matriz quadrada  =  ijA a é uma matriz escalar quando os ele-
mentos com ≠i j forem iguais a zero, mas os elementos da diagonal princi-
pal forem todos iguais.
Exemplo 1.6 – Matrizes escalares×
 
=  
  2 2
2 0
0 2
A
 ×
 
 =  
   3 3
3 0 0
0 3 0
0 0 3
B
 ×
 
 
 =
 
 
  4 4
5 0 0 0
0 5 0 0
0 0 5 0
0 0 0 5
C
1.7.6 Matriz triangular superior
Denomina-se matriz triangular superior toda matriz quadrada cujos ele-
mentos abaixo da diagonal principal são nulos, ou seja, = 0ija para todo >i j  .
– 13 –
Matrizes
 
 
 
 =
 
 
 
 
�
�
�
� � � ��� �
11 12 13 1
22 23 2
33 3
0
0 0
0 0 0 ...
n
n
n
mn
a a a a
a a a
a aA
a
Exemplo 1.7 – Matrizes triangulares superiores
×
 
=  
  2 2
1 3
0 2
A
 ×
 
 =  
   3 3
2 1 3
0 3 2
0 0 6
B
 ×
 
 
 =
 
 
  4 4
4 9 1 3
0 2 1 1
0 0 1 2
0 0 0 1
C
1.7.7 Matriz triangular inferior
Denomina-se matriz triangular inferior toda matriz quadrada cujos ele-
mentos acima da diagonal principal são nulos, ou seja, = 0ija para todo <i j  .
 
 
 
 =
 
 
 
 
�
�
�
� � � ��� �
11
21 22
31 32 33
1 2 3
0 0 0
0 0
0
...m m m mn
a
a a
a a aA
a a a a
Exemplo 1.8 – Matrizes triangulares inferiores
×
 
=  
  2 2
1 0
3 2
A
 ×
 
 =  
   3 3
2 0 0
1 3 0
3 2 6
B
 ×
 
 
 =
 
 
  4 4
4 0 0 0
1 2 0 0
2 3 1 0
1 1 5 1
C
– 14 –
Álgebra Linear
1.8 Matriz nula
Uma matriz é nula quando todos os seus elementos forem iguais a zero.
Exemplo 1.9 – Matrizes nulas
×
× ×
   
     = = =             
2 2
2 3 3 4
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
A B C
1.9 Igualdade de matrizes
Sejam as matrizes  =  ijA a e  =  ijB b , com o mesmo número de 
linhas e colunas, diz-se que =A B se, e somente se, =ij ija b para todo i e j.
Exemplo 1.10 – Igualdade de matrizes
   
   =   
      
1 3 1 3
5 4 5 4
7 0 7 0
Exemplo 1.11 – Dadas as matrizes
− 
=  + 
1 2
1
x
A
y z e 
 
=  
 
1 4
6 6
B
,
determine os valores de x, y e z, sabendo que as matrizes são iguais
Solução
Da igualdade entre as matrizes, sabemos que: =ij ija b , então:
− = = + =
= + = −
= =
2 4 6 1 6
4 2 6 1
6 5
x y z
x z
x z
– 15 –
Matrizes
1.10 Operações com matrizes
Qualquer que seja a operação realizada com uma matriz, o resultado 
obtido será sempre outra matriz.
1.10.1 Adição de matrizes
A adição de duas matrizes  =  ijA a e  =  ijB b de mesma ordem, resulta 
em uma matriz  =  ijC c definida por:  + = + ij ijA B a b , com = +ij ij ijc a b .
Exemplo 1.12
Determine a adição das matrizes 
 
=  − 
1 3
1 4
A e 
 
=  
 
4 2
1 3
B .
Solução
Se 
 
=  − 
1 3
1 4
A e  =  
 
4 2
1 3
B então:
1 3 4 2 1 4 3 2 5 5
1 4 1 3 1 1 4 3 0 7
A B
+ +       
+ = + = =       − − + +       
.
Exemplo 1.13
Seja a matriz ( )
×
=
3 2ij
A a com = +ija i j , e ( ) ×= 3 2ijB b , e sendo 
= −2ijb i j , determine +A B
Solução
Deve-se definir a matriz 
 
 =  
  
11 12
21 22
31 32
a a
A a a
a a
, então:
= +
= + = = + = = + =
= + = = + = = + =
11 21 31
12 22 32
1 1 2 2 1 3 3 1 4
1 2 3 2 2 4 3 2 5
ija i j
a a a
a a a
– 16 –
Álgebra Linear
Logo, a matriz A é dada por
 
 =  
  
2 3
3 4
4 5
A
Definição da matriz 
 
 =  
  
11 12
21 22
31 32
b b
B b b
b b
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
= −
= − = = − = = − =
= − = − = − = = − =
2
2 2 2
11 21 31
2 2 2
12 22 32
1 1 0 2 1 3 3 1 8
1 2 1 2 2 2 3 2 7
ijb i j
b b b
b b b
Logo a matriz B é dada por
− 
 =  
  
0 1
3 2
8 7
B
− + −       
       + = + = + + =       
       + +       
2 3 0 1 2 0 3 1 2 2
3 4 3 2 3 3 4 2 6 6
4 5 8 7 4 8 5 7 12 12
A B
1.10.1.1 Observações
1. Se as matrizes A e B não forem de mesma ordem, não será possível 
efetuar a adição, portanto, neste caso, A + B não é definido.
2. Para a diferença A – B entre as matrizes A e B de mesma ordem, 
temos uma matriz C tal que: = −ij ij ijc a b .
– 17 –
Matrizes
1.10.1.2 Propriedades da adição de matrizes
Sejam as Matrizes A, B e C de mesma ordem, e 0 a matriz nula, então:
1. ( ) ( )+ + = + +A B C A B C (associativa).
2. + = +A B B A (comutativa).
3. + = + =0 0A A A (existência do elemento neutro).
4. − = − + = 0A A A A (existência do elemento simétrico).
1.10.2 Produto de escalar por uma matriz
Dada uma matriz ( )= ijA a e um escalar k, o produto de k por A é dado 
por: = ⋅ij ijb k a
Exemplo 1.14
Dada a matriz 
 
 
 
 =
 
 
 
 
�
�
�
� � � ��� �
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3 ...
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
a a a aA
a a a a
 e k um escalar, seja 
= ⋅B k A , segue que
 
 
 
 = ⋅
 
 
 
 
�
�
�
� � � ��� �
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3 ...
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
a a a aB k
a a a a
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
 
 
 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
�
�
�
� � � ��� �
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3 ...
n
n
n
m m m mn
k a k a k a k a
k a k a k a k a
k a k a k a k aB
k a k a k a k a
– 18 –
Álgebra Linear
Exemplo 1.15
Dada a matriz 
 
 − =
 −
 
 
1 3 5
3 4 2
1 0 3
4 2 1
A e k = 2. Determine ⋅k A
Solução
( )
( )
⋅ ⋅ ⋅     
     − ⋅ ⋅ − −     ⋅ = ⋅ = =
     − − ⋅ −
     ⋅ ⋅ ⋅     
1 3 5 2 1 2 3 2 5 2 6 10
3 4 2 2 3 2 4 2 2 6 8 4
2
1 0 3 2 1 2 . 0 2 3 2 0 6
4 2 1 2 4 2 2 2 1 8 4 2
k A
1.10.2.1 Propriedades do produto de 
um escalar por uma matriz
Sejam as matrizes A e B de mesma ordem, e 1k e 2k escalares, então:
1. ( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ = ⋅1 2 1 2 2 1k k A k k A k k A
2. ( )+ = ⋅ + ⋅1 2 1 2k k A k A k A
3. ( )+ = ⋅ + ⋅1 1 1k A B k A k B
4. ⋅ =1 A A
1.10.3 Produto de matrizes
Para que seja possível efetuar a multiplicação entre duas matrizes C = A 
x B, o número de colunas da matriz A tem que ser igual ao número de linhas 
da matriz B.
Exemplo 1.16
Dadas as matrizes A, B e C, verifique quais são possíveis de efetuar mul-
tiplicação
a) × ×= ×2 3 2 3C A B
– 19 –
Matrizes
b) 3 2 2 3C A B× ×= ×
c) × ×= ×2 3 3 2C A B
Solução
a) × ×= ×2 3 2 3C A B
Número de colunas da matriz A: 3.
Número de linhas da matriz B: 2.
Conclusão: como o número de colunas de A é diferente do número de 
linhas de B, não é possível efetuar a multiplicação entre as matrizes.
b) × ×= ×3 2 2 3C A B
Número de colunas da matriz A: 2.
Número de linhas da matriz B: 2.
Conclusão: Como o número de colunas de A é igual do número de 
linhas de B, é possível efetuar a multiplicação entre as matrizes. Assim, 
a matriz C será constituída pelo número de linhas da matriz A e pelo 
número de colunas da matriz B. Logo, 3 3C × .
c) × ×= ×2 3 3 2C A B
Nesse exemplo, temos o número de colunas de A igual ao número de 
linhas de B resultando na matriz 2 2C × .
A multiplicação é dada pela soma dos produtos dos elementos, na 
ordem em que estão dispostos, da matriz A (linha) pelos elementos cor-
respondentes da matriz B (coluna).
Exemplo 1.17
Dadas as matrizes 
×
 
=  
 
11 12 13
21 22 23 2 3
a a a
A
a a a
 e 
×
 
 =  
  
11 12
21 22
31 32 3 2
b b
B b b
b b
,
determine, se possível, a matriz C = A x B.
– 20 –
Álgebra Linear
Solução
Como o número de colunas da matriz A é 3, e o número de linhas da matriz 
B também é 3, logo é possível fazera multiplicação entre as matrizes A x B. Dessa 
foram, o resultado será a matriz ×2 2C .
×
 
=  
 
11 12
2 2
21 22
c c
C
c c
Para determinar o primeiro elemento da matriz C, o elemento 11c , é neces-
sário fazer a somatória do produto da primeira linha da matriz A com a primeira 
coluna da matriz B.
= + +11 11 11 12 21 13 31c a b a b a b
Para determinar o elemento 12c , é necessário fazer a somatória do produto 
da primeira linha da matriz A com a segunda coluna da matriz B
= + +12 11 12 12 22 13 32c a b a b a b
Para o elemento 21c , é necessário fazer a soma do produto da segunda linha 
da matriz A com a primeira coluna da matriz B:
= + +21 21 11 22 21 23 31c a b a b a b
Para o elemento 22c , é necessário fazer a soma do produto da segunda linha 
da matriz A com a segunda coluna da matriz B:
= + +22 21 12 22 22 23 32c a b a b a b
Essas operações resultam na matriz C:
×
+ + + + 
=  + + + + 
11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32
2 2
21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32
a b a b a b a b a b a b
C
a b a b a b a b a b a b
Exemplo 1.18
Dadas as matrizes 
×
 
=  
 2 2
2 4
3 2
A e 
×
 
=  − 2 2
1 3
1 2
B , determine
A x B, se possível
– 21 –
Matrizes
Solução
Como o número de colunas da matriz A é igual ao número de colunas da 
matriz B, é possível determinar a multiplicação entre as matrizes A x B, resul-
tando em uma matriz ×2 2C .
×
 
=  
 
11 12
2 2
21 22
c c
C
c c
Para 11c , é necessário fazer a soma do produto da primeira linha da matriz 
A com a primeira coluna da matriz B.
( )= ⋅ + − = − = −11 2 1 4 1 2 4 2c
Para 12c , é necessário fazer a soma do produto da primeira linha da matriz 
A com a segunda coluna da matriz B.
= ⋅ + ⋅ = + =12 2 3 4 2 6 8 14c
Para 21c , é necessário fazer a soma do produto da segunda linha da matriz 
A com a primeira coluna da matriz B.
( )= ⋅ + − = − =21 3 1 2 1 3 2 1c
Para 22c , é necessário fazer a soma do produto da segunda linha da matriz 
A com a segunda coluna da matriz B.
= ⋅ + ⋅ = + =22 3 3 2 2 9 4 13c
Assim, pode-se agora escrever a matriz C:
×
− 
=  
 
2 2
2 14
1 13
C
1.10.3.1 Propriedades da multiplicação entre duas matrizes
Dadas as matrizes A, B e C, de tal modo que seja possível efetuar multi-
plicação, e seja k um escalar, valem as seguintes propriedades:
1. ( ) ( )⋅ ⋅ = ⋅ ⋅A B C A B C (associativa).
– 22 –
Álgebra Linear
2. ( )+ ⋅ = ⋅ + ⋅A B C A C B C (distributiva).
3. ⋅ = ⋅ =A I I A A (elemento neutro).
4. ( ) ( ) ( )⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅k A B k A B A k B (multiplicação de um escalar 
por multiplicação entre matrizes).
Observações:
 2 A multiplicação entre matrizes não é comutativa.
 2 Se existir a multiplicação entre as matrizes ×A B , isso não implica 
que exista a multiplicação ×B A .
Exemplo 1.19
Dadas as matrizes 
×
 
=  
 2 2
1 0
1 3
A e 
×
 
=  
 2 2
2 1
1 0
B , determine a 
×A B e ×B A . Em seguida, verifique se os resultados são iguais
Solução
O número de colunas de A é igual ao número de linhas de B, então a mul-
tiplicação entre A e B pode ser realizada:
 2 = + = ⋅ + ⋅ = + =11 11 11 12 21 1 2 0 1 2 0 2c a b a b
 2 = + = ⋅ + ⋅ = + =12 11 12 12 22 1 1 0 0 1 0 1c a b a b
 2 = + = ⋅ + ⋅ = + =21 21 11 22 21 1 2 3 1 2 3 5c a b a b
 2 = + = ⋅ + ⋅ = + =22 21 12 22 22 1 1 3 0 1 0 1c a b a b
 
=  
 
1 1
5 2
C
O número de colunas de B igual ao número de linhas de A, então a multi-
plicação entre A e B pode ser realizada:
 2 = + = ⋅ + ⋅ = + =11 11 11 12 21 2 1 1 1 2 1 3c b a b a
 2 = + = ⋅ + ⋅ = + =12 11 12 12 22 2 0 1 3 0 3 3c b a b a
– 23 –
Matrizes
 2 = + = ⋅ + ⋅ = + =21 21 11 22 21 1 1 0 1 1 0 1c b a b a
 2 = + = ⋅ + ⋅ = + =22 21 12 22 22 1 0 0 3 0 0 0c b a b a
 
=  
 
3 3
1 0
C
Observe que × ≠ ×A B B A
1.11 Matriz transposta
Seja uma matriz ×m nA , chama-se matriz transposta a matriz da qual 
permutam-se as linhas pelas colunas, obtendo-se ×
t
n mA .
Exemplo 1.20 – Dada a matriz A e sua transposta
 
  = ⇒ =       
11 12
11 21 31
21 22
12 22 32
31 32
t
a a
a a a
A a a A
a a a
a a
1.11.1 Propriedades
Sejam as matrizes A e B e um escalar k, a matriz transposta atende às 
seguintes propriedades:
1. ( )+ = +t t tA B A B
2. ( )⋅ = ⋅t tk A k A
3. ( ) =ttA A
4. ( )⋅ = ⋅t t tA B B A
1.12 Matriz simétrica
Uma matriz A, quadrada, é simétrica se for igual à sua transposta.
– 24 –
Álgebra Linear
Exemplo 1.21 – Dada a matriz A simétrica
 
 = ⇒ = 
  
1 2 3
2 4 5
3 5 6
tA A A
Os elementos da matriz simétrica são dispostos pela diagonal principal, 
por exemplo:
=
=
=
12 21
13 31
23 32
a a
a a
a a
Então diz-se que =ij jia a .
Atividades
1. Determine a ordem de cada uma das matrizes.
a) 
 
=  
 
1 3 2
1 4 2
A
b) 
 
 
 =
 
 
 
1 3
6 4
5 3
2 3
B
c) 
 
 =  
  
1 4 3 0 2 4
6 3 2 4 2 1
4 3 6 8 5 8
C
2. Dadas as matrizes: 
 
=  
 
1 0 2
1 3 2
A , 
 
=  
 
1 5 2
1 3 5
B e 
− 
=  
 
1 3 2
1 4 0
C , determine:
– 25 –
Matrizes
a) + −A B C
b) +2 3A C
3. Sejam as matrizes 
− 
=  
 
2 1 2
7 0 8
A e 
 
 =  
  
2 5
0 4
3 2
B , determine ×A B .
4. Com relação ao exercício anterior, determine ×B A .
Comentários referentes às atividades
As atividades têm como propósito fixar os conceitos do conteúdo 
sobre matrizes. No exercício um, o leitor deve determinar a ordem de 
cada matriz, pois este conceito é necessário para a operacionalização de 
matrizes. No exercício dois são utilizados os conceitos de operações de 
adição e multiplicação por um escalar. O exercício três tem como objetivo 
trabalhar o conceito de ordem de uma matriz e, também, fixar o conteúdo 
de multiplicação entre matrizes. O exercício quatro, além de trabalhar a 
multiplicação entre matrizes, também evidencia o conceito de matrizes 
não comutativas.
As resoluções de sistemas de equações lineares já eram 
encontradas no conhecimento oriental, na China Antiga. No livro 
chinês Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, constam exem-
plos do método de resolução por eliminação, havendo também 
noções ligadas a determinantes. Entretanto, somente no século 
XVII, no ocidente, deu-se início aos estudos sobre determinan-
tes. Considerado o maior matemático japonês, Seki Kowa chegou 
à noção de determinantes. Outros matemáticos, como Gottfried 
Wilhelm Leibniz, Gabriel Cramer, Colin Maclaurin, Joseph-Louis 
Lagrange, Augustin-Louis Cauchy e Carl Gustav Jakob Jacobi 
desenvolveram os métodos de resoluções de determinantes para 
sistemas de equações.
Determinantes
2
– 28 –
Álgebra Linear
2.1 Introdução
O estudo dos determinantes está associado às matrizes quadradas. Por 
meio dos métodos de resoluções com determinantes é possível, por exemplo, 
verificar se um sistema de equações possui ou não uma solução. A existência 
das matrizes inversas também é constatada com o cálculo dos determinantes.
2.2 Permutação
Considerando o conjunto dos números naturais iniciando em 1 ( )*N  , 
chama-se de permutação o rearranjo dos elementos desse conjunto. Tem-se 
para a permutação do conjunto ( ) ( ) ( ){ }− − −1, 2,3,4,5,... , 3 , 2 , 1 ,n n n n a 
seguinte relação: ( ) ( ) ( )= − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅! 1 2 3 ... 5 4 3 2 1n n n n n
Exemplo 2.1
Determine a quantidade de permutações possíveis para o conjunto 
{ }1, 2,3,4,5
Solução
Determinando a quantidade de permutações:
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
5! 5 4 3 2 1
5! 120
Portanto a quantidade de permutações possíveis é de 120.
Pode-se também apresentar essas permutações mostrando como seriamas formas de distribuição dos elementos. A permutação que se apresenta em 
ordem crescente é chamada de permutação principal.
Dada uma permutação dos inteiros 1, 2, …, n, dá-se o nome de inver-
são à troca de posições entre os elementos dessa permutação principal, que 
faça um inteiro preceder outro menor que ele.
O sinal de uma permutação ( )( )σ p depende do número de inver-
sões feitas a partir da permutação principal, a fim de obter a permutação 
p. Observe que esse número de inversões é igual ao número de trocas de 
– 29 –
Determinantes
 posições entre os elementos de uma permutação p qualquer necessárias para, 
a partir desta, obter a permutação principal.
 2 Se o número de inversões for par, o sinal será positivo (+), ou seja, 
( )( )σ = +1p .
 2 Se o número de inversões for ímpar, o sinal será negativo (–), ou 
seja, ( )( )σ = −1p .
Exemplo 2.2
Determine quais são as possíveis permutações para o conjunto { }1, 2,3,4
Solução
Determinando a quantidade de permutações:
= ⋅ ⋅ ⋅
=
4 ! 4 3 2 1
4 ! 24
Portanto a quantidade de permutações possíveis é de 24.
As possíveis permutações são:
{ } { } { } { } { } { }
{ } { } { } { } { } { }
{ } { } { } { } { } { }
{ } { } { } { } { } { }
1, 2,3,4 , 1, 2,4,3 , 1,3, 2,4 , 1,3,4, 2 , 1,4, 2,3 , 1,4,3, 2
2,1,3,4 , 2,1,4,3 , 2,3,1,4 , 2,3,4,1 , 2,4,1,3 , 2,4,3,1
3,1, 2,4 , 3,1,4, 2 , 3, 2,1,4 , 3, 2,4,1 , 3,4,1, 2 , 3,4, 2,1
4,1, 2,3 , 4,1,3, 2 , 4, 2,1,3 , 4, 2,3,1 , 4,3,1, 2 , 4,3, 2,1
2.3 Determinante de uma matriz
Considere uma matriz A quadrada. Para cada matriz é associado um 
número, cujo resultado recebe o nome de determinante da matriz. Para a 
obtenção de um determinante, são necessárias algumas operações matemáti-
cas entre seus elementos. Representa-se esse determinante por det A.
 2 O resultado de um determinante é um escalar.
 2 As matrizes que não são quadradas não possuem determinantes 
definidos.
– 30 –
Álgebra Linear
 2 A ordem do determinante será a mesma da ordem da matriz.
Definição
Seja uma matriz quadrada de ordem n,  =  ijA a , define-se o deter-
minante da matriz A por ( )( )σ= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ 1 2 31 2 3det | | ... ni j j j n j
i
A A p a a a a  , 
em que i indica que a soma se estende a todas as n! permutações (j1, j2, j3, …, jn), 
e ( )( )σ ip representa o sinal da permutação pi.
2.3.1 Determinante de primeira ordem
De acordo com a definição, o determinante de primeira ordem, ou 
seja, de uma matriz com o elemento [ ]= 11A a , tem como determinante o 
número real 11a .
Demonstração
( )( )σ= = ⋅∑ 1 1det | | i
i
A A p a p
Sabe-se que ( )σ = +1 1p e =1 1p .
Então,
= = + 11det | |A A a , ou seja, o próprio elemento da matriz.
Exemplo 2.3
Calcule o determinante das matrizes de primeira ordem apresentadas
a) [ ]= ⇒ = =3 det |3| 3A A
b) [ ]= − ⇒ = − = −6 det | 6| 6A A
c) [ ]= ⇒ = =det | |A m A m m
Observação: deve-se tomar cuidado para não confundir determinante 
com módulo.
– 31 –
Determinantes
2.3.2 Determinante de segunda ordem
Ao aplicar a definição, podemos determinar a fórmula geral para deter-
minantes de segunda ordem.
Demonstração
Seja a matriz de segunda ordem 
 
=  
 
11 12
21 22
a a
A
a a
, tem-se = 2n .
Com relação às permutações:
( )=1 1, 2p , portanto, ( )σ = +1p , pois nenhuma inversão é feita.
( ) ( )= ⇒2 1, 2 2,1p , portanto o número de inversões é 1, logo ( )σ = −2p .
Como já observado, o número de inversões para se chegar da permuta-
ção principal até uma outra permutação (p), é o mesmo número de troca de 
posições necessárias para se chegar dessa mesma permutação (p) até a permu-
tação principal.
Aplicando na definição:
( )( )σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ 1 2 31 2 3det ... ni j j j n j
i
A p a a a a
( )( ) ( )( )σ σ= ⋅ + ⋅1 11 22 2 12 21det A p a a p a a
( ) ( )= + ⋅ + − ⋅11 22 12 21det A a a a a
= ⋅ − ⋅11 22 12 21det A a a a a
Porém, pode-se calcular o determinante de uma forma prática.
Suponha a matriz quadrada 
 
=  
 
11 12
21 22
a a
A
a a
. Para obter o determinante, 
multiplica-se a diagonal principal e subtrai-se a multiplicação da diagonal 
secundária.
= = ⋅ − ⋅11 12 11 22 21 12
21 22
det
a a
A a a a a
a a
– 32 –
Álgebra Linear
Exemplo 2.4
Qual o valor do determinante da matriz 
 
=  
 
3 2
6 1
A ?
Solução
Para a resolução desse exemplo, usa-se a regra prática 
= = ⋅ − ⋅ = − = −
3 2
det 3 1 2 6 3 12 9
6 1
A .
Logo: =−det 9A
2.3.3 Determinante de terceira ordem
Para o determinante de terceira ordem também existem alguns métodos 
práticos. Porém, é necessário iniciar pela definição, para obter a fórmula geral.
Demonstração
Seja a matriz de terceira ordem 
 
 =  
  
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
, temos = 3n .
Com relação às permutações, sabe-se que a matriz é de terceira ordem, 
logo: = = ⋅ ⋅ =3! 3 2 1 6P .
Portanto, temos 6 permutações:
 2 ( )=1 1, 2,3p , portanto, ( )σ = +1p
 2 ( ) ( )= ⇒2 1,3, 2 1, 2,3p , o número de inversões é 1, logo ( )σ = −2p
 2 ( ) ( )= ⇒3 2,1,3 1, 2,3p , o número de inversões é 1, logo ( )σ = −3p
 2 ( ) ( ) ( )= ⇒4 2,3,1 2,1,3 , 1, 2,3p , o número de inversões é 2, logo 
( )σ = +4p .
– 33 –
Determinantes
 2 ( ) ( ) ( )= ⇒5 3,1, 2 1,3, 2 , 1, 2,3p , o número de inversões é 2, logo 
( )σ = +5p .
 2 ( ) ( ) ( ) ( )= ⇒6 3, 2,1 3,1, 2 , 1,3, 2 , 1, 2,3p , o número de inversões é 
3, logo ( )σ = −6p .
Aplicando na definição:
( )( )σ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ 1 2 31 2 3det ... nj j j n j
i
A pi a a a a
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
1 11 22 33 2 11 23 32
3 12 21 33 4 12 23 31
5 13 21 32 6 13 22 31
det A p a a a p a a a
p a a a p a a a
p a a a p a a a
σ σ
σ σ
σ σ
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
11 22 33 11 23 32 12 21 33
12 23 31 13 21 32 13 22 31
det A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
= + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ +
+ + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅
11 22 33 11 23 32 12 21 33
12 23 31 13 21 32 13 22 31
det A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
( )
( )
11 22 33 12 23 31 13 21 32
13 22 31 12 21 33 11 23 32
det A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
− ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
Exemplo 2.5
Determine o valor do determinante utilizando a fórmula geral
 
 = − 
  
1 3 2
2 4 1
0 4 5
A
Solução
Na definição, obtemos a fórmula geral do determinante de terceira ordem:
( )
( )
11 22 33 12 23 31 13 21 32
13 22 31 12 21 33 11 23 32
det A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
– 34 –
Álgebra Linear
( )( ) ( )( )= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅det 1 4 5 3 1 0 2 2 4 2 4 0 3 2 5 1 1 4A
( ) ( )= − −det 4 26A
= +det 4 26A
=det 30A
2.3.3.1 Regra de Sarrus
A regra de Sarrus tem como objetivo calcular o valor do determinante de 
terceira ordem, sem que seja necessário usar a definição.
A regra consiste em:
1. Repetir a primeira e a segunda colunas à direita da matriz A;
=
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
det
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
2. Formar a soma dos produtos dos elementos das diagonais da 
esquerda para a direita;
=
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
det
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
 11 22 33 12 23 31 13 21 32det A a a a a a a a a a= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (1)
3. Formar a soma dos produtos dos elementos das diagonais da direita 
para a esquerda;
=
11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
det
a a a a a
A a a a a a
a a a a a
 12 21 33 11 23 32 13 22 31det A a a a a a a a a a= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ (2)
– 35 –
Determinantes
4. Para finalizar, subtrair da expressão (1) o que foiobtido na expres-
são (2).
( )
( )
11 22 33 12 23 31 13 21 32
12 21 33 11 23 32 13 22 31
det A a a a a a a a a a
a a a a a a a a a
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
Exemplo 2.6
Calcule o valor do determinante utilizando a regra de Sarrus.
 
 = − 
  
2 1 1
0 1 1
2 2 3
A
Solução
Reescrevendo a matriz para o cálculo do determinante:
= − −
2 1 1 2 1
det 0 1 1 0 1
2 2 3 2 2
A
( )( ) ( )( )= ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅det 2 1 3 1 1 2 1 0 2 1 0 3 2 1 2 1 1 2A
( ) ( )= − −det 4 2A
= −det 6A
É importante lembrar que a regra de Sarrus serve somente para determi-
nantes de terceira ordem.
2.3.4 Determinante de ordem n
O cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem n pode 
ser resolvido por meio da definição. Porém, existem métodos que tornam os 
cálculos de determinantes mais simples.
– 36 –
Álgebra Linear
2.3.4.1 Teorema de Laplace
Suponha que se deseja calcular o determinante da matriz de terceira 
ordem. Seja a matriz 
 
 =  
  
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
, a definição aponta que:
11 22 33 11 23 32 12 21 33 12 23 31
13 21 32 13 22 31
det A a a a a a a a a a a a a
a a a a a a
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
Reescrevendo esta soma:
( ) ( )
( )
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31
13 21 32 22 31
det A a a a a a a a a a a
a a a a a
= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ +
+ ⋅ ⋅ − ⋅
Que também pode ser escrita como:
= ⋅ − ⋅ + ⋅22 23 21 23 21 2211 12 13
32 33 31 33 31 32
det
a a a a a a
A a a a
a a a a a a
Assim, obtêm-se as submatrizes de segunda ordem. Representando as 
submatrizes por ijA , pode-se definir ( )
+∆ = −1 | |i jij ijA , chamado cofator 
de aij, em que i representa as linhas e j representa as colunas de cada elemento 
aij posto em evidência, sendo Aij obtida de A, a partir da retirada da “i-ésima” 
linha e da “j-ésima” coluna. Nota-se que o determinante é obtido quando se 
coloca em evidência apenas os elementos de uma linha (no caso, foi tomada a 
primeira). O mesmo poderia ser feito para uma coluna. Basta que seja tomada 
uma única linha (ou uma única coluna). Pode-se escolher qualquer linha ou 
coluna, mas o interessante é escolher a linha ou coluna que possua a maior 
quantidade de zeros.
Assim, obtêm-se a fórmula do teorema de Laplace para uma matriz de 
ordem 3:
= ⋅∆ − ⋅ ∆ + ⋅∆11 11 12 12 13 13det A a a a
– 37 –
Determinantes
Exemplo 2.7
Calcule o valor do determinante utilizando o teorema de Laplace 
 
 =  
 − 
1 0 1
1 2 0
4 5 3
A .
Solução
A partir do teorema de Laplace
= ⋅∆ − ⋅ ∆ + ⋅∆11 11 12 12 13 13det A a a a
=
−
1 0 1
det 1 2 0
4 5 3
A
= ⋅∆ − ⋅ ∆ + ⋅∆11 12 13det 1 0 1A
Em que
( ) +∆ = −1 | |i jij ijA
( ) ( )+∆ = − = ⋅ ⋅ − ⋅ =1 111
2 0
1 1 2 3 0 5 6
5 3
( ) ( ) ( )( )+∆ = − = − ⋅ ⋅ − ⋅ − = −
−
1 2
12
1 0
1 1 1 3 0 4 3
4 3
( ) ( )( )+∆ = − = ⋅ ⋅ − ⋅ − =
−
1 3
13
1 2
1 1 1 5 2 4 13
4 5
Portanto,
( )= ⋅ − ⋅ + ⋅det 1 6 0 3 1 13A
=det 19A
– 38 –
Álgebra Linear
Observação
No exemplo apresentado foi utilizada a primeira linha da matriz. 
Porém, o cálculo pode ser feito com qualquer linha ou coluna, prefe-
rencialmente a com maior quantidade de zeros, se houver, como dito 
anteriormente.
2.4 Propriedades dos determinates
As propriedades dos determinantes facilitam seus cálculos, uma vez que 
independem da ordem da matriz. Sendo assim, em muitos casos, não são 
necessárias aplicações de métodos para a resolução. As propriedades serão 
demostradas por meio da matriz de segunda ordem 
 
=  
 
11 12
21 22
a a
A
a a
. Porém, 
os conceitos se estendem para matrizes de qualquer ordem.
2.4.1 Primeira propriedade
Se uma matriz A possui uma linha ou uma coluna nula, então =det 0A .
Demonstração
Seja 
 
=  
 
11 12
0 0
a a
A , o seu determinante é dado por:
= 11 12det
0 0
a a
A
= ⋅ − ⋅11 12det 0 0A a a
=det 0A
Exemplo 2.8
Calcule o valor do determinante da matriz 
 
=  
 
1 0
6 0
A
– 39 –
Determinantes
Solução
=
1 0
det
6 0
A
= ⋅ − ⋅det 1 0 0 6A
=det 0A
Logo, a propriedade mostra que será imediato o valor do determinante 
nulo, quando houver uma linha ou uma coluna nula.
2.4.2 Segunda propriedade
Se uma matriz A possui duas linhas ou duas colunas iguais, então 
=det 0A .
Demonstração
Seja 
 
=  
 
1 2
1 2
a a
A
a a
, o seu determinante é dado por:
= 1 2
1 2
det
a a
A
a a
= ⋅ − ⋅1 2 2 1det A a a a a
=det 0A
Exemplo 2.9
Calcule o valor do determinante da matriz 
 
=  
 
1 3
1 3
A .
Solução
=
1 3
det
1 3
A
= ⋅ − ⋅det 1 3 3 1A
=det 0A
– 40 –
Álgebra Linear
2.4.3 Terceira propriedade
Se uma matriz A possui duas linhas ou duas colunas com seus elementos 
correspondentes proporcionais, então =det 0A .
Demonstração
Seja 
 
=  ⋅ ⋅ 
1 2
1 2
a a
A
k a k a
, o seu determinante é dado por:
=
⋅ ⋅
1 2
1 2
det
a a
A
k a k a
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅1 2 2 1det A a k a a k a
( )= ⋅ ⋅ − ⋅1 2 2 1det A k a a a a
=det 0A
Exemplo 2.10
Calcule o valor do determinante da matriz 
 
=  
 
1 3
2 6
A .
Solução
=
1 3
det
2 6
A
= ⋅ − ⋅det 1 6 3 2A
=det 0A
2.4.4 Quarta propriedade
O determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua 
transposta tA .
– 41 –
Determinantes
Demonstração
Seja 
 
=  
 
11 12
21 22
a a
A
a a
 e 
 
=  
 
11 21
12 22
t a aA
a a
, os determinantes são dados por:
= =11 12 11 21
21 22 12 22
det det t
a a a a
A e A
a a a a
= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅11 22 12 21 11 22 21 12det det
tA a a a a e A a a a a
=det det tA A
Exemplo 2.11
Calcule o valor do determinante da matriz 
 
=  
 
1 2
3 4
A e de sua 
transposta
Solução
= =
1 2 1 3
det det
3 4 2 4
tA A
= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅det 1 4 2 3 det 1 4 3 2tA A 
= − = −det 2 det 2tA A
Logo,
=det det tA A
2.4.5 Quinta propriedade
O determinante de uma matriz diagonal superior ou inferior é o pro-
duto dos elementos da diagonal principal.
Demonstração
Seja 
 
=  
 
11
21 22
0a
A
a a
, o determinante é dado por:
– 42 –
Álgebra Linear
= 11
21 22
0
det
a
A
a a
= ⋅ − ⋅11 22 21det 0A a a a
= ⋅11 22det A a a
Exemplo 2.12
Calcule o valor do determinante da matriz 
 
=  
 
1 2
0 4
A
Solução
=
1 2
det
0 4
A
= ⋅ − ⋅det 1 4 2 0A
=det 4A
2.4.6 Sexta propriedade
Pode-se expressar o determinante como uma soma dos determinantes, 
quando em uma matriz A cada elemento de uma linha ou uma coluna é uma 
soma de duas parcelas.
+     
= +     +     
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2
a b c a c b c
a b c a c b c
Demonstração
Seja 
+ 
=  + 
1 1 1
2 2 2
a b c
A
a b c
, o determinante é dado por:
+
=
+
1 1 1
2 2 2
det
a b c
A
a b c
– 43 –
Determinantes
( ) ( )= + ⋅ − ⋅ +1 1 2 1 2 2det A a b c c a b
Reescrevendo a matriz A:
   
= +   
   
1 1 1 1
2 2 2 2
a c b c
A
a c b c
= +1 1 1 1
2 2 2 2
det
a c b c
A
a c b c
( ) ( )= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅1 2 1 2 1 2 1 2det A a c c a b c c b
Colocando 1 2c e c em evidência:
( ) ( )= ⋅ + − ⋅ +2 1 1 1 2 2det A c a b c a b
Logo, as expressões são equivalentes, mostrando a veracidade da pro-
priedade.
Exemplo 2.13
Calcule o valor do determinante da matriz 
 
=  
 
5 1
10 4
A
Solução
=
5 1
det
10 4
A
= ⋅ − ⋅det 5 4 1 10A
=det 10A
Reescrevendo a matriz,
+
=
+
2 3 1
det
2 8 4
A
= +
2 1 3 1
det
2 4 8 4
A
–44 –
Álgebra Linear
( ) ( )= ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅det 2 4 2 1 3 4 1 8A 
( ) ( )= +det 6 4A
=det 10A
2.4.7 Sétima propriedade
Trocando-se entre si duas linhas ou duas colunas da matriz A, seu deter-
minante muda de sinal, sendo multiplicado por (– 1).
Demonstração
Seja 
 
=  
 
11 12
21 22
a a
A
a a
, trocam-se as linhas de posição, obtendo a matriz 
 
=  
 
21 22
11 12
a a
B
a a
.
Calculando os determinantes:
= =11 12 21 22
21 22 11 12
det det
a a a a
A e B
a a a a
= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅11 22 12 21 21 12 22 11det detA a a a a e B a a a a
Logo, det A = – det B.
Exemplo 2.14
Calcule os determinantes das matrizes 
 
=  
 
2 1
3 2
A e 
 
=  
 
3 2
2 1
B .
Solução
= =
2 1 3 2
det det
3 2 2 1
A B
= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅det 2 2 1 3 det 3 1 2 2A B
– 45 –
Determinantes
= = −det 1 det 1A B
2.4.8 Oitava propriedade
Quando se multiplica uma linha ou uma coluna de uma matriz A por 
um escalar, o determinante fica multiplicado por esse escalar.
Demonstração
Seja 
 
=  
 
11 12
21 22
a a
A
a a
 e um escalar k, que multiplica a primeira linha 
desta matriz.
Calculando os determinantes:
⋅ ⋅
= 11 12
21 22
det
k a k a
A
a a
= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅11 22 12 21det A k a a k a a
( )= ⋅ ⋅ − ⋅11 22 12 21det A k a a a a
Exemplo 2.15
Calcule os determinantes das matrizes 
 
=  
 
2 1
3 2
A e 
 
=  
 
2 2
3 4
B , em
que a segunda coluna da matriz B está multiplicada por 2
Solução
= =
2 1 2 2
det det
3 2 3 4
A B
= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅det 2 2 1 3 det 2 4 2 3A B
= =det 1 det 2A B
– 46 –
Álgebra Linear
Cabe ressaltar que existem outros dois métodos de resolução de deter-
minantes de ordens superiores: a regra de Chió e o determinante por esca-
lonamento. Nesse último, fazem-se operações entre linhas ou colunas, res-
peitando os efeitos produzidos sobre os determinantes, de acordo com as 
propriedades listadas (por exemplo, a troca entre duas linhas faz aparecer um 
sinal de menos), até obter uma matriz triangular, cujo determinante é dado 
pela multiplicação dos elementos diagonais, visto na quinta propriedade.
Atividades
1. Calcule o determinante da matriz 
− 
=  − 
2 3
1 4
A .
2. Calcule o determinante de cada matriz:
a) 
− 
=  − 
1 4
2 3
A
b) 
 
 
 =
 
 
 
1 3 2 5
1 4 3 6
4 2 6 3
0 0 0 0
B .
c) 
 
 =  
  
1 4 2
7 3 6
1 4 2
C
d) 
 
 =  
  
1 2 2
0 1 5
0 0 2
D
Muitos fenômenos físicos podem ser representados por sis-
temas de equações lineares. Essas equações contêm mais de uma 
variável e, assim, um sistema de equações pode ser reescrito como 
um problema envolvendo matriz e vetores, em que a variável a ser 
procurada como solução é um vetor. Veremos nesse capítulo alguns 
métodos de resolução de sistemas de equações lineares, os quais nos 
fornecem poderosas ferramentas para busca de soluções dos siste-
mas, inclusive em métodos computacionais.
Um sistema de equações lineares pode ser escrito na forma 
=Ax b , que expressa uma variável b em função da variável x de 
uma matriz constante A.
Sistemas de 
Equações Lineares
3
– 48 –
Álgebra Linear
Uma equação é dita linear quando é escrita na forma 
a1x1 + a2x2 + … + anxn = b. Um sistema cujas equações são lineares é dito 
sistema de equações lineares ou, simplesmente, sistema linear.
Definição
Um sistema de equações lineares com m equações e com n incógnitas é 
dado por
+ + + + =
 + + + + = + + + + =


 + + + + =
� � � � �
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
em que 1 2 3,, , ... , nx x x x são as variáveis, 11 12 13,, , ... , mna a a a são os coeficientes 
das variáveis e 1 2 3, , , ... , nb b b b são os termos independentes.
Exemplo 3.1
 2 Sistema de uma equação com duas variáveis
{ − =2 3 2x y
 2 Sistema de duas equações com duas variáveis
− + =
 − = −
2 1
3 6 2
x y
x y
 2 Sistema de duas equações com três variáveis
+ − =
 − + =
2 4 6 0
3 2 3 7
x y z
x y z
 2 Sistema de quatro equações com quatro variáveis
− + − =
 − − + =
 + − + =
 + + + =
2 3 3 2 12
5 2 4 2 0
3 6 2 3 10
7 2 3 2 12
x y z w
x y z w
x y z w
x y z w
– 49 –
Sistemas de Equações Lineares
3.1 Classificação de sistemas lineares
Um sistema linear é classificado com relação ao número de soluções 
possíveis. Portanto, as classificações são as que seguem.
3.1.1 Sistema Possível e Determinado (SPD)
O sistema é possível e determinado quando possui apenas uma solução.
Exemplo 3.2
Considere o sistema de equações a seguir.
+ =
− + = −
2 4
2 3
x y
x y
Observe que nesse sistema a solução é única e dada pelo par ordenado 
( ){ }= 2,1s , pois
( )
( )
+ = + = ⇒ − + = −− + = − 
2 2 1 4 2 2 4
4 1 32 2 1 3
Figura 3.1 – Representação gráfica do sistema
– 50 –
Álgebra Linear
A solução do sistema é dada pelo ponto P. Cada uma das equações é a 
equação de uma reta e as duas retas se interceptam no ponto P.
3.1.2 Sistema Possível e Indeterminado (SPI)
Um sistema de equações é possível e indeterminado quando possui infi-
nitas soluções.
Exemplo 3.3
Considere o sistema de equações a seguir.
− =
 − =
3 2 2
6 4 4
x y
x y
Observe que a segunda equação é o dobro da primeira, representando 
assim a mesma informação. Veja exemplos de soluções a seguir, considerando 
que as possibilidades são infinitas.
( ) ( )  = −  
  
22, 2 , 0, 1 , ,0 ,(4,5), ...
3
s
Figura 3.2 – Representação gráfica do sistema
– 51 –
Sistemas de Equações Lineares
As duas retas que representam o gráfico são retas coincidentes, ou seja, 
possuem infinitos pontos em comum, dos quais estão apresentados apenas 
dois, para ilustrar. De fato, traçando a reta da primeira equação 3x – 2y = 2 
e depois outra a partir de 6x – 4y = 4, obtém-se uma mesma reta. Ou seja, 
todo par ordenado (x, y) que satisfaz a primeira equação, também satisfaz a 
segunda, já que se tratam, em essência, de uma mesma equação de reta.
3.1.3 Sistema Impossível (SI)
Um sistema de equações é dito impossível quando não possui nenhuma 
solução.
Exemplo 3.4
Considere o sistema de equações a seguir.
− =
 − =
10
5
x y
x y
Observe que para esse sistema não há valores x e y que satisfaçam, ao 
mesmo tempo, as duas equações. Supondo que houvesse um par de valores, 
seríamos obrigados a admitir que 10 = 5, o que é um absurdo. Portanto, o 
sistema é impossível.
Figura 3.3 – Representação gráfica do sistema
– 52 –
Álgebra Linear
As retas provenientes das equações do sistema são paralelas e, portanto, 
não possuem nenhum ponto (x, y) em comum, o que ilustra o fato de o sis-
tema não admitir solução.
3.2 Sistemas homogêneos de equações lineares
Definição
Chama-se de equação linear homogênea toda equação que possui ter-
mos independentes nulos. Um sistema homogêneo é aquele em que todas as 
equações são homogêneas.
+ + + + =
 + + + + = + + + + =


 + + + + =
� � � � �
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
1 1 2 2 3 3
... 0
... 0
... 0
... 0
n n
n n
n n
m m m mn n
a x a x a x a x
a x a x a x a x
a x a x a x a x
a x a x a x a x
Exemplo 3.5
Os sistemas de equações lineares a seguir são homogêneos.
+ =
 − =
2 0
1)
3 0
x y
x y
+ − =
 − + =
 + − =
2 5 0
2) 3 4 0
2 5 0
x y z
x y z
x y z
Todo sistema de equações lineares homogêneas possui pelo menos 
uma solução, chamada de soluçãotrivial do sistema. No exemplo 1 ela é 
representada por ( ){ }0,0 . No exemplo 2, é dada por ( ){ }0,0,0 . De um 
modo geral, representamos essa solução trivial por ( ){ }0,0,0,... , 0 , ou seja, 
um vetor nulo.
– 53 –
Sistemas de Equações Lineares
3.3 Sistemas equivalentes
Definição
Sejam dois sistemas de equações lineares, dizemos que são equivalentes 
quando admitem a mesma solução.
Exemplo 3.6
Os sistemas de equações lineares a seguir são equivalentes, pois ambos 
possuem como solução o par ordenado ( ){ }= 2,3S .
+ = − = − 
⇔ − = − + = 
4 8 32 2 4
3 6 12 2 8
x y x y
x y x y
Para transformar um sistema de equações em equivalente, efetuamos 
operações elementares:
 2 multiplicação de equação por um número real;
 2 permutação de duas equações;
 2 substituição de uma equação por sua soma com outra equação.
3.4 Matriz associada a um sistema
A compreensão da representação de uma equação linear em forma 
matricial é indispensável para o estudo do capítulo.
Definição
Considere o sistema de equações
+ + + + =
 + + + + = + + + + =


 + + + + =
� � � � �
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
– 54 –
Álgebra Linear
Sabemos que esse sistema linear pode ser escrito em forma matricial 
como =Ax b , de modo que 
     
     
     
     ⋅ =
     
     
          
�
�
�
� � � ��� � � �
�
11 12 13 1 1 1
21 22 23 2 2 2
31 32 33 3 3 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn n m
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
, em 
que A representa a matriz dos coeficientes, x representa o vetor das variáveis e 
b o vetor dos termos independentes.
3.4.1 Representação da matriz incompleta
 
 
 
 
 
 
  
�
�
�
� � � ��� �
�
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
Chamamos esta matriz de matriz dos coeficientes ou matriz incompleta, 
pois ela é constituída apenas pelos coeficientes das variáveis.
Exemplo 3.7
Represente o sistema abaixo em forma de matriz dos coeficientes
+ − =
 − + =
 + − =
2 7 2
8 2 3
2 9 6
x y z
x y z
x y z
Solução
Sabemos que o sistema linear de equações é dado por =Ax b .
Então
−     
     − ⋅ =     
     −     
1 2 7 2
8 1 2 3
2 9 1 6
x
y
z
– 55 –
Sistemas de Equações Lineares
em que A é a matriz dos coeficientes.
− 
 − 
 − 
1 2 7
8 1 2
2 9 1
3.4.2 Representação da matriz completa
 
 
 
 
 
 
  
�
�
�
� � � ��� � �
�
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3
n
n
n
m m m mn m
a a a a b
a a a a b
a a a a b
a a a a b
Observamos que a matriz completa, ou matriz ampliada, representa o 
sistema completo, excetuando as variáveis. Ou seja, ela é formada acrescen-
tando-se à matriz dos coeficientes das variáveis uma coluna com o vetor dos 
termos independentes.
Exemplo 3.8
Represente o sistema abaixo em forma de matriz completa
+ − =
 − + =
 + − =
2 7 2
8 2 3
2 9 6
x y z
x y z
x y z
Solução
Sabemos que o sistema linear de equações é dado por =Ax b .
Então
−     
     − ⋅ =     
     −     
1 2 7 2
8 1 2 3
2 9 1 6
x
y
z
– 56 –
Álgebra Linear
Assim,
− 
 − 
 − 
1 2 7 2
8 1 2 3
2 9 1 6
3.5 Métodos de resolução de 
sistemas de equações lineares
Há alguns métodos de resolução de sistemas de equações lineares, como 
os de adição, substituição e comparação. Porém, alguns métodos não são 
apropriados para sistemas com m equações e n incógnitas.
3.5.1 Método da adição
O método consiste em fazer a adição de duas equações, com o objetivo 
de que, quando feita a soma, uma das variáveis seja igual a zero.
Exemplo 3.9
Dado o sistema de equações, determine os valores de x e y
+ =
− + = −
2 4
2 3
x y
x y
Solução
Para a resolução, multiplica-se a primeira linha por 2, assim, o termo que 
acompanhará a incógnita x na equação resultante será igual a zero.
( ) + = + = ×  ⇒ − + = −− + = − 
2 4 82 4 2
2 32 3
x yx y
x yx y
Fazendo a adição das equações
+ =
− + = −
=
2 4 8
2 3
5 5
x y
x y
y
– 57 –
Sistemas de Equações Lineares
Portanto, = 1y . Substituindo o valor de y na primeira equação
( )+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =2 4 2 1 4 2 4 2x y x x x
Logo, a solução é dada pelo par ordenado ( ){ }= 2,1s .
3.5.2 Método da substituição
O método da substituição consiste em escolher uma das equações, isolar 
nesta uma das incógnitas (a que se preferir) e substituí-la na outra equação.
Vamos resolver o mesmo exemplo anterior utilizando o método da 
substituição.
Exemplo 3.10
Dado o sistema de equações, determine os valores de x e y
+ =
− + = −
2 4
2 3
x y
x y
Solução
Para a resolução, vamos isolar a incógnita x na primeira equação.
+ =2 4x y
= −4 2x y
Com a incógnita de x já isolada, substituímos o valor resultante na 
segunda equação.
− + = −2 3x y
( )− − + = −2 4 2 3y y
− + + = −8 4 3y y
Isolando a incógnita y
= 1y
– 58 –
Álgebra Linear
Agora que já foi determinado o valor de y, o substituímos na primeira equação.
= −4 2x y
( )= −4 2 1x
= 2x
Assim, a solução é dada por ( ){ }= 2,1s .
3.5.3 Método de Gauss-Jordan
Considerando um sistema linear escrito na forma matricial, o método de 
Gauss-Jordan consiste em transformar a matriz A em uma matriz escalonada 
reduzida. Reescrever a matriz A dessa forma permite encontrar a solução de 
forma fácil. Quando, por exemplo, consegue-se reduzir a matriz A à matriz 
identidade, ou seja, um sistema SPD, o vetor dos termos independentes for-
nece diretamente as raízes das equações.
Dizemos que uma matriz A está na forma escalonada reduzida quando:
1. o primeiro elemento não-nulo de cada linha não-nula é igual a 1. 
Chamamos este elemento de pivô.
2. o pivô de uma linha sempre aparece à direita da linha anterior. Ou 
seja, o pivô da linha i + 1 aparece à direita do da linha i.
3. para cada coluna que contenha um pivô, todos os outros elementos 
serão iguais a zero.
4. todas as linhas nulas ficam abaixo das linhas não-nulas.
Exemplo 3.11
Resolver o sistema 
+ =
− + = −
2 3
2 4
x y
x y
Solução
Primeiramente escrevemos o sistema em forma de matriz completa.
 
 − − 
2 1 3
1 2 4
– 59 –
Sistemas de Equações Lineares
Tendo em vista que o elemento 11a deve ser igual a 1, trocamos as linhas de 
posição e multiplicamos a primeira linha por (-1).
− − 
 
 
1 2 4
2 1 3
→ = −1 1L L
 
− 
⇒  
 
1 2 4
2 1 3
O elemento 21a deve ser igual a zero.
− 
 
 
1 2 4
2 1 3 2 1 22L L L→ = − 
− 
⇒  − 
1 2 4
0 5 5
Transformando os elementos 22a em 1
− 
 − 
1 2 4
0 5 5 2 2
1
5
L L→ = − 
− 
⇒  − 
1 2 4
0 1 1
O elemento 12a deve ser igual a zero.
− 
 − 
1 2 4
0 1 1 1 1 22L L L→ = + 
 
⇒  − 
1 0 2
0 1 1
Assim, transformamos a matriz A na matriz identidade I2, e o novo vetor 
independente representa a solução do sistema ( ){ }= −2, 1S .
Exemplo 3.12
Resolver o sistema 
+ − =
 + − = −
 − + =
0
2 2 2
2 0
x y z
x y z
x y z
Solução
Em forma matricial
− 
 − − 
 − 
1 1 1 0
2 1 2 2
1 2 1 0
2 1 2
3 1 3
2L L L
L L L
→ = −
→ = −
– 60 –
Álgebra Linear
− 
 
 
 − 
1 1 1 0
0 1 0 2
0 3 2 0
3 2 33L L L→ = −
− 
 
 
  
1 1 1 0
0 1 0 2
0 0 2 6 3 31
2
L L→ =
− 
 
 
  
1 1 1 0
0 1 0 2
0 0 1 3
1 1 3L L L→ = +
 
 
 
  
1 1 0 3
0 1 0 2
0 0 1 3
1 1 2L L L→ = −
 
 
 
  
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
Logo, a solução é dada por ( ){ }= 1, 2,3S .
3.5.4 Regra de Cramer
A regra de Cramer é mais um método de resolução de um sistema de 
equações lineares. O método consiste em utilizar os conhecimentos de deter-
minantes para a solução do sistema. Em muitos casos não se torna apro-
priado, dado o grau de dificuldade para a resolução do determinante. A 
vantagem é que esse método apresenta o valor das incógnitas diretamente 
por meio de quocientes entre determinantes.
– 61 –
Sistemas de Equações Lineares
Seja o sistema
+ + + + =
 + + + + = + + + + =


 + + + + =
� � � � �
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
...
...
...
...
n n
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
Para obter a solução do sistema, tem-se
= = = =1 2 31 2 3, , , ... ,
nx x x x
n
D D D D
x x x x
D D D D
em que D é o determinante da matriz dos coeficientes, a matriz A, e 
1 2 3
, , , ...,
nx x x x
D D D D são os respectivos determinantes.
 
 
 
 =
 
 
  
� � � ��� �
�
1
1 12 13 1
2 22 23 2
3 32 33 3
2 3
...
...
...
n
n
nx
m m m mn
b a a a
b a a a
b a a aD
b a a a 
 
 
 
 =
 
 
  
� � � ��� �
�
2
11 1 13 1
21 2 23 2
31 3 33 3
1 3
...
...
...
n
n
nx
m m m mn
a b a a
a b a a
a b a aD
a b a a
 
 
 
 =
 
 
  
� � � ��� �
�
3
11 12 1 1
21 22 2 2
31 32 3 3
1 2
...
...
...
n
n
nx
m m m mn
a a b a
a a b a
a a b aD
a a b a 
 
 
 
 =
 
 
  
� � � ��� �
�
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
1 2 3
...
...
...
nx
m m m m
a a a b
a a a b
a a a bD
a a a b
Substituímos o vetor coluna b na coluna da matriz na qual desejamos 
determinar o valor da variável. Resolveremos os dois exemplos anteriores, 
agora com a regra de Cramer.
– 62 –
Álgebra Linear
Exemplo 3.13
Resolver o sistema utilizando a regra de Cramer
+ =
− + = −
2 3
2 4
x y
x y
Solução
As variáveis a serem determinadas são x e y. Observe que a primeira coluna 
representa a variável x, e a segunda, a variável y.
Logo, as variáveis são dadas por
= x
Dx
D
 e = y
D
y
D
Escrevendo em forma de matriz completa
 
 − − 
2 1 3
1 2 4
Iniciamos os cálculos com o determinante da matriz A.
( ) = ⇒ = = ⋅ − − = + = − − 
2 1 2 1
det 2 2 1 1 4 1 5
1 2 1 2
A A
Assim, temos = 5D .
Para determinar xD , trocamos a coluna dos coeficientes de x pelo vetor b.
( )= = ⋅ − − = + =
−
3 1
3 2 1 4 6 4 10
4 2x
D
Para determinar yD , trocamos a coluna dos coeficientes de y pelo vetor b.
( ) ( )= = − − − = − + = −
− −
2 3
2 4 3 1 8 3 5
1 4y
D
– 63 –
Sistemas de Equações Lineares
Assim, a solução do sistema é dada por
= =
−
= =
= = −
10 5
5 5
2 1
yx
DDx y
D D
x y
x y
( ){ }= −2, 1S
Exemplo 3.14
Resolver o sistema utilizando a regra de Cramer
+ − =
 + − = −
 − + =
0
2 2 2
2 0
x y z
x y z
x y z
Solução
Em forma matricial
− 
 − − 
 − 
1 1 1 0
2 1 2 2
1 2 1 0
Para a resolução do sistema, é necessário determinar os determinantes
, ,x y zD D D e D
Cálculo do determinante da matriz A, ou seja, o determinante D.
−
= −
−
1 1 1
det 2 1 2
1 2 1
D
– 64 –
Álgebra Linear
Utilizando a regra de Sarrus
−
= −
− −
1 1 1 1 1
det 2 1 2 2 1
1 2 1 1 2
D
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
det 1 1 1 1 2 1 1 2 2
1 2 1 1 2 2 1 1 1
D = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ − −  
− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − + − ⋅ ⋅  
[ ] [ ]= − + − + −det 1 2 4 2 4 1D
= −det 3 5D
= −det 2D
Cálculo do determinante xD .
−
= − −
−
0 1 1
det 2 1 2
0 2 1
xD
−
= − − −
− −
0 1 1 0 1
det 2 1 2 2 1
0 2 1 0 2
xD
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
det 0 1 1 1 2 0 1 2 2
1 2 1 0 2 2 1 1 0
xD = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅ − −  
− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − + − ⋅ ⋅  
= − +det 4 2xD
= −det 2xD
Cálculo do determinante yD .
– 65 –
Sistemas de Equações Lineares
−
= − −
1 0 1
det 2 2 2
1 0 1
yD
−
= − − −
1 0 1 1 0
det 2 2 2 2 2
1 0 1 1 0
yD
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
det 1 2 1 0 2 1 1 2 0
0 2 1 1 2 0 1 2 1
yD = ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ −  
− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ − ⋅  
= − −det 2 2yD
= −det 4yD
Cálculo do determinante zD .
= −
−
1 1 0
det 2 1 2
1 2 0
zD
Utilizando a regra de Sarrus
= −
− −
1 1 0 1 1
det 2 1 2 2 1
1 2 0 1 2
zD
( ) ( )
( ) ( )
det 1 1 0 1 2 1 0 2 2
1 2 0 1 2 2 0 1 1
zD = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − −  
− ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅  
= − −det 2 4zD
= −det 6zD
– 66 –
Álgebra Linear
Assim
= = =
− − −
= = =
− − −
= = =
2 4 6
2 2 2
1 2 3
y zx
D DDx y z
D D D
x y z
x y z
Logo, a solução é dada por ( ){ }= 1, 2,3S .
Note que, para a resolução de sistema utilizando a regra de Cramer, 
necessitamos do conhecimento de determinantes.
Observação
Quando o determinante = 0D , significa que o sistema é impossível 
ou que é possível e indeterminado (SI ou SPI). Como exercício, podemos 
verificar, por exemplo, os determinantes das matrizes dos coeficientes dos 
exemplos 3.3 e 3.4.
3.6 Matriz inversa
Definição
Seja uma matriz A quadrada de ordem n. Se existir uma matriz B  , 
também quadrada de ordem n, tal que A.B = B.A = I, então dizemos que a 
matriz A é inversa, e B é a matriz inversa de A, sendo representada por −1A .
− −⋅ = ⋅ =1 1A A A A I
3.6.1 Cálculo da matriz inversa 
por sistemas de equações
Para esse método, utilizamos os conceitos vistos com operações de 
matrizes. A seguir um exemplo de determinação de uma matriz inversa de 
segunda ordem.
– 67 –
Sistemas de Equações Lineares
Exemplo 3.15
Determine a matriz inversa 
 
=  
 
1 2
2 3
A
Solução
De acordo com a definição, tem-se
−⋅ =1A A I
Considerando −
 
=  
 
1 a bA
c d
 e 
 
=  
 
1 0
0 1
I
Aplicando a definição, temos
     
⋅ =     
     
1 2 1 0
2 3 0 1
a b
c d
Efetuando a multiplicação entre as matrizes, segue que
+ +   
=   + +   
2 2 1 0
2 3 2 3 0 1
a c b d
a c b d
Aplicando o conceito de igualdade de matrizes, temos
+ = + = 
 + = + = 
2 1 2 0
2 3 0 2 3 1
a c b d
a c b d
Resolvendo os sistemas, obtemos = − = = = −3, 2, 2 1a b c e d
Logo, a matriz inversa é dada por
− − =  − 
1 3 2
2 1
A
3.6.2 Cálculo da matriz inversa pelo 
método de Gauss-Jordan
Outra forma de determinar a matriz inversa é pelo método de Gauss-
-Jordan, em que posicionamos as matrizes A e I lado a lado, efetuando todas 
– 68 –
Álgebra Linear
as operações elementares em A necessárias para que esta se reduza à matriz 
identidade, e repetindo todas as operações em I. Ou seja, justapondo A|I, 
efetua-se, como em um espelho, as mesmas operações em ambas as matrizes.
Suponha uma matriz 
 
=  
 
11 12
21 22
a a
A
a a
 e a matriz identidade 
 
=  
 
1 0
0 1
I .
Escrevendo A ao lado de I
 
 
 
11 12
21 22
1 0
0 1
A I
a a
a a
Efetuando as operações elementares
−
 
 
 
1
1 0
0 1
I A
a b
c d
Para uma melhor compreensão, resolveremos o exemplo 3.13 por 
este método.
Exemplo 3.16
Determine a matriz inversa de 
 
=  
 
1 2
2 3
A
Solução
Escrevendo as matrizes, temos
  
 
1 2 1 0
2 3 0 1
A I
2 1 22L L L→ = −
 
 − 
1 2 1 0
0 1 2 1 1 1 22L L L→ = −
– 69 –
Sistemas de Equações Lineares
− 
 − 
1 0 3 2
0 1 2 1
Ao transformar a matriz A em I, a matriz I se transforma em A 
– 1.
−
− 
 − 
1
1 0 3 2
0 1 2 1
I A
Logo, a matriz inversa de A é dada por −
− 
=  − 
1 3 2
2 1
A
Exemplo 3.17
Determine a matriz inversa 
 
 =  
  
1 2 1
2 0 1
3 1 1
A
Solução
 
 
 
  
1 2 1 1 0 0
2 0 1 0 1 0
3 1 1 0 0 1
A I
2 1 2
3 1 3
2
3
L L L
L L L
→ = −
→ = −
 
 − 
 − 
1 2 1 1 0 0
0 4 1 2 1 0
0 5 2 3 0 1 → =2 2
1
4
L L
 
 
 −
 
 − 
1 2 1 1 0 0
1 1 10 1 0
4 2 4
0 5 2 3 0 1 3 2 35L L L→ = −
– 70 –
Álgebra Linear
 
 
 
 −
 
 
 − − −
 
1 2 1 1 0 0
1 1 10 1 0
4 2 4
3 1 50 0 1
4 2 4
3 3
4
3
L L→ = −
 
 
 
 −
 
 
 −
 
1 2 1 1 0 0
1 1 10 1 0
4 2 4
2 5 40 0 1
3 3 3
1 1 3
2 2 3
1
4
L L L
L L L
→ = −
→ = −
 − 
 
 −
 
 
 −
  
1 5 41 2 0
3 3 3
1 2 10 1 0
3 3 3
2 5 40 0 1
3 3 3
1 1 22L L L→ = −
 − − 
 
 −
 
 
 −
  
1 1 21 0 0
3 3 3
1 2 10 1 0
3 3 3
2 5 40 0 1
3 3 3
– 71 –
Sistemas de Equações Lineares
Logo, a matriz inversa é dada por
−
 − − 
 
 = −
 
 
 −
  
1
1 1 2
3 3 3
1 2 1
3 3 3
2 5 4
3 3 3
A
Atividades
1. Classifique o sistema de equações
+ =
=  + =
3 2 1
3
x y
s
x y
2. Resolva o sistema de equações
− + =
= + − =
 − + =
2 2
3 1
3 6 3 6
x y z
s x y z
x y z
3. Obtenha a solução do sistema de equações utilizando a regra de Gauss.
− + − =
= + + =
 + − =
3 3
2 2
2 4
x y z
s x y z
x y z
4. Determine a solução do sistema usando a regra de Cramer
+ − =
= + + =
 + − =
0
2 1
2 1
x y z
s x y z
x y z
– 72 –
Álgebra Linear
5. Determine a matriz inversa da matriz
 
 =  
  
1 0 1
1 3 2
1 1 0
A
O estudo de espaços vetoriais e suas aplicações envolvem os 
conceitos de vetores, sistemas de equações e matrizes, a exemplo das 
operações com vetores em R, R2 e R3, que podem ser representa-
das no plano cartesiano (em Rn aplicam-se as mesmas propriedades, 
mesmo que não seja visualizada sua representação geométrica).
No plano cartesiano bidimensional (R2), interpreta-se o par 
ordenado ( )1 1,x y como um ponto do plano. Já para um vetor no 
espaço tridimensional (R3), tem-se a tripla ordenada ( )1 1 1, ,x y z . 
Esses conceitos se estendem para o Rn.
Espaços Vetoriais 
Euclidianos
4
– 74 –
Álgebra Linear
4.1 Espaços vetoriais
Considere um conjunto V de elementos, ou seja, um conjunto não 
vazio, no qual estão definidas duas operações: a de adição, × →V V V , e a 
de multiplicação por escalar, × →K V V , em que K é o corpo sobre o qual 
o espaço vetorial pode ser definido. Quando K é o corpo dos números reais 
(R), dizemos que se trata de um espaço vetorial real.
Para que um espaço vetorial real se defina como tal, todas as condições a 
seguir devem ser verificadas, as quais são os axiomas do espaço vetorial.
 2 Adição: sejam os elementos 
→
u , 
→
v , ∈V , o conjunto V é fechado em 
relação à operação da adição e satisfaz
1. 
→ → → → → →   + + = + +   
   
u v w u v w , para quaisquer 
→ → →
, ,u v w ∈V
(comutativa).
2. 
→ → → →
+ = +u v v u , para quaisquer 
→ →
,u v ∈V (associativa).
3. 
→ → → → →
+ = + =0 0u u u , para todo 
→
u ∈V (existência do elemento 
nulo).
4. 
→ → → → → + − = − + = 
 
0u u u u , para todo 
→
u ∈V (existência do ele-
mento oposto).
 2 Multiplicação: seja o elemento 
→
u ∈V e α um número real, temos 
α
→
. u ∈V , e
5. ( )α β α β
→ → =  
 
. .u u , para quaisquer α β ∈, R e 
→
u ∈V .
6. ( )α β α β
→ → →
+ = +u u u , para quaisquer α β ∈, R e 
→
u ∈V .
7. α α α
→ → → → + = + 
 
u v u v , para quaisquer α∈R e 
→ →
,u v ∈V .
– 75 –
Espaços Vetoriais Euclidianos
8. 
→ →
=1.u u , para todo 
→
u ∈V .
Convém notar que um espaço vetorial definido sobre um corpo K qual-
quer, diverso dos reais, deve obedecer aos mesmos axiomas, lendo-se K no 
lugar de R. Caso esses escalares fossem números complexos, por exemplo, 
haveria então um espaço vetorial complexo. No presente capítulo, trabalha-se 
com espaços vetoriais reais.
Denotaremos vetor os elementos do conjunto V. Esses elementos podem 
ser constituídos por polinômios, matrizes, ou até mesmo por um conjunto 
numérico. O fato de podermos representar esses conjuntos como vetores se 
dá pelo comportamento das operações de adição e multiplicação realizadas 
sobre esse conjunto: os axiomas 1) a 8) são satisfeitos. Essas propriedades 
são as mesmas para o que se entende mais comumente, na prática, como os 
vetores de força na física, por exemplo.
Adotaremos para nossos estudos V como um espaço vetorial real. Vale 
a pena ressaltar que o estudo de álgebra linear deste livro direciona-se para 
V. Os axiomas apresentados referenciam as operações usuais da adição e 
multiplicação. Quando as operações não forem usuais, serão mencionadas 
em cada exercício. 
Exemplo 4.1
Mostre que o conjunto V representado por ( ){ }= ∈3 , , / , ,R x y z x y z R 
é um espaço vetorial com as operações usuais de adição e multiplicação por 
um escalar
Solução
Iniciamos definindo os vetores: ( )
→
= 1 1 1, ,u x y z , ( )
→
= 2 2 2, ,v x y z e 
( )
→
= 3 3 3, ,w x y z , pertencentes ao R3 e α β ∈, R .
Em relação à adição, tem-se
1. 
→ → → → → →   + + = + +   
   
u v w u v w
– 76 –
Álgebra Linear
Substituindo os vetores 
→ → →
,u v e w do lado direito da igualdade,
( ) ( )( ) ( )
→ → → + + = + + 
  1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , , , , ,u v w x y z x y z x y z
Efetuando a adição dos vetores 
→ →
u e v ,
( )( ) ( )
→ → → + + = + + + + 
  1 2 1 2 1 2 3 3 3
, , , ,u v w x x y y z z x y z
Efetuando a adição dos vetores 
→ → → 
 
 
u e v e w ,
( ) ( ) ( )( )
→ → → + + = + + + + + + 
  1 2 3 1 2 3 1 2 3
, ,u v w x x x y y y z z z
Aplicando a propriedade associativa,
( ) ( ) ( )( )
→ → → + + = + + + + + + 
  1 2 3 1 2 3 1 2 3
, ,u v w x x x y y y z z z
Podemos reescrever como
( ) ( ) ( ) ( )( )
→ → → + + = + + + + 
  1 1 1 2 3 2 3 2 3
, , , ,u v w x y z x x y y z z
que representa a soma
( ) ( ) ( )( )
→ → → + + = + + 
  1 1 1 2 2 2 3 3 3
, , , , , ,u v w x y z x y z x y z
Assim, verificamos que o axioma 1) é verdadeiro.
→ → → → → →   + + = + +   
   
u v w u v w
2. ( ) ( )
→ →
+ = +1 1 1 2 2 2, , , ,u v x y z x y z
– 77 –
Espaços Vetoriais Euclidianos
( )
→ →
+ = + + +1 2 1 2 1 2, ,u v x x y y z z
( )
→ →
+ = + + +2 1 2 1 2 1, ,u v x x y y z z
( )
→ →
+ = + + +2 1 2 1 2 1, ,u v x x y y z z
( ) ( )
→ →
+ = +2 2 2 1 1 1, , , ,u v x y z x y z
→ → → →
+ = +u v v u
Logo, o axioma 2) é verdadeiro.
3. um vetor nulo ( )
→
= ∈ 30 0,0,0 R .
( ) ( )
→ →
+ = +1 1 10 , , 0,0,0u x y z
( )
→ →
+ = + + +1 1 10 0, 0, 0u x y z
( )
→ →
+ = 1 1 10 , ,u x y z
→ → →
+ =0u u
Logo, o axioma 3) é verdadeiro.
4. um vetor oposto ( )
→
− = − − − ∈ 31 1 1, ,u x y z R .
( ) ( )
→ → + − = + − − − 
  1 1 1 1 1 1
, , , ,u u x y z x y z
( )
→ → + − = − − − 
  1 1 1 1 1 1
, ,u u x x y y z z
– 78 –
Álgebra Linear
( )
→ → + − = 
 
0,0,0u u
→ → → + − = 
 
0u u
Logo, o axioma 4) é verdadeiro.
Em relação à multiplicação, tem-se
5. ( ) ( )( )αβ α β
→
= 1 1 1. . , ,u x y z
( ) ( ) ( ) ( )( )α β α β α β α β
→
= 1 1 1. . , . , .u x y z
( ) ( ) ( ) ( )( )α β α β α β α β
→
= 1 1 1. , ,u x y z
( ) ( )α β α β β β
→
= 1 1 1. , ,u x y z
( ) ( )( )α β α β
→
= 1 1 1. , ,u x y z
( )α β α β
→ → =  
 
. u u
Logo, o axioma 5) é verdadeiro.
6. ( ) ( )( )α β α β
→
+ = + 1 1 1, ,u x y z
( ) ( ) ( ) ( )( )α β α β α β α β
→
+ = + + +1 1 1, ,u x y z
( ) ( ) ( ) ( )( )α β α β α β α β
→
+ = + + +1 1 1 1 1 1, ,u x x y y z z
( ) ( ) ( )( )α β α α α β β β
→
+ = +1 1 1 1 1 1, , , ,u x y z x y z
– 79 –
Espaços Vetoriais Euclidianos
( ) ( ) ( )α β α β
→
+ = +1 1 1 1 1 1, , , ,u x y z x y z
( )α β α β
→ → →
+ = +u u u
Logo, o axioma 6) é verdadeiro.
7. ( ) ( )( )α α
→ → + = + 
  1 1 1 2 2 2
, , , ,u v x y z x y z
( )α α
→ → + = + + + 
  1 2 1 2 1 2
, ,u v x x y y z z
( )α α α α α α α
→ → + = + + + 
  1 2 1 2 1 2
, ,u v x x y y z z
( ) ( )α α α α α α α
→ → + = + 
  1 1 1 2 2 2
, , , ,u v x y z x y z
( ) ( )α α α
→ → + = + 
  1 1 1 2 2 2
, , , ,u v x y z x y z
α α α
→ → → → + = + 
 
u v u v
Logo, o axioma 7) é verdadeiro.
8. ( )
→
= 1 1 11. 1 , ,u x y z
( )
→
= 1 1 11. 1 ,1 ,1u x y z
( )
→
= 1 1 11. , ,u x y z
→ →
=1.u u
– 80 –
Álgebra Linear
Logo, o axioma 8) é verdadeiro.
Como todos os axiomas são verdadeiros, dizemos que o conjunto V, represen-
tado por R3, definido sobre os reais com as operações usuais, é um espaço vetorial. 
O mesmo pode ser demonstrado para Rn em geral (demonstração a cargo do leitor).
Exemplo 4.2
Seja o conjunto V representado por ( ){ }= ∈2 , / ,R x y x y R , verifique se 
é um espaço vetorial, munido com as operações ( ) ( ) ( )+ =1 1 2 2 1 2, , ,x y x y x y 
e ( ) ( )α α α= 3 31 1 1 1, ,x y x y .
Solução
Observe que, nesse exemplo, as operações não são usuais. Portanto, deve-
mos efetuá-las conforme indicado no enunciado. Sejam os vetores ( )
→
= 1 1,u x y , 
( )
→
= 2 2,v x y e ( )
→
= 3 3,w x y pertencentes ao R2 e α β ∈, R .
Em relação à adição, tem-se
1. 
→ → → + + 
 
u v w ( ) ( )( ) ( )= + +1 1 2 2 3 3, , ,x y x y x y ( ) ( )= +1 2 3 3, ,x y x y
( )= 1 3,x y
( ) ( ) ( )( )
→ → → + + = + + 
  1 1 2 2 3 3
, , ,u v w x y x y x y ( ) ( )= +1 1 2 3, ,x y x y
( )= 1 3,x y
→ → → → → →   + + = + +   
   
u v w u v w
Logo, o axioma 1) é verdadeiro.
2. ( ) ( ) ( )
→ →
+ = + =1 1 2 2 1 2, , ,u v x y x y x y
( ) ( ) ( )
→ →
+ = + =2 2 1 1 2 1, , ,v u x y x y x y
– 81 –
Espaços Vetoriais Euclidianos
→ → → →
+ ≠ +u v v u
Logo, o axioma 2) não é satisfeito (o que já garante que tal conjunto, com 
essas operações, não define um espaço vetorial).
3. um vetor nulo ( )
→
= ∈ 20 0,0 R .
( ) ( ) ( )
→ →
+ = + =1 1 10 , 0,0 ,0u x y x
→ → →
+ ≠0u u
Logo, o axioma 3) também não é satisfeito. Note que, para obter o mesmo 
vetor 
→
u , seria necessário tomar um candidato a vetor nulo dado por ( )10, y . 
Mas isso só funcionaria para um 
→
u específico, não para qualquer elemento de 
V. O mesmo candidato a vetor nulo ( )10, y não satisfaria a propriedade para 
qualquer outro vetor diferente de 
→
u .
4. um vetor oposto ( )
→
− = − − ∈ 21 1,u x y R .
( ) ( ) ( )
→ → + − = + − − = − 
  1 1 1 1 1 1
, , ,u u x y x y x y
→ → → + − ≠ 
 
0u u
Logo, o axioma 4) também não se satisfaz.
Em relação à multiplicação, tem-se
5. ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )α β α β α β α β α β α β
→
= = =3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 1 1 1. . , . , . ,u x y x y x y
( ) ( ) ( )( )3 1 1 1. 3 1u = x , y = x , y = uα β α β β α β α β
→ → 
 
 
– 82 –
Álgebra Linear
Logo, o axioma 5) é satisfeito.
6. ( ) ( )( ) ( ) ( )( )3 31 1 11+ u = + x , y = + x , + y =α β α β α β α β
→
( )( ) ( )( )( )2 21 12 22 2= + + + x , + + + y =α β α β αβ α β α β αβ
( ) ( )( )
( )
3 3
1 1 1, 1 1 1
3 3
1, 1
3 33 3= x + x + + x x + x + + y
x y
α β αβ α β α β αβ α β
α β
≠
≠
em que
( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 31, 1 1, 1 1, 1x y = x y + x y = u+ uα β α α β β α β
→ →
ou seja, ( )α β α β
→ → →
+ ≠ +u u u . Logo, o axioma 6) não é satisfeito.
7. ( ) ( )( ) ( ) ( )α α α α α
→ → + = + = = 
 
3 3
1 1 2 2 1 2 1 2, , , ,u v x y x y x y x y
e, por outro lado,
( ) ( ) ( ) ( )
( )
3 3
1 2 1 1 2 2
3
1 2
3 3
1 2
3
u + v = x , y + x , y = x , y + x , y =
x , y
α α α α α α α α
α α
→ →
=
Logo, o axioma 7) é satisfeito.
8. ( ) ( ) ( )
→
= = =3 31 1 1 1 1 11. 1 , 1 ,1 ,u x y x y x y
→ →
=1.u u
Logo, o axioma 8) é válido.
Como houve falha em alguns axiomas, o conjunto V apresentado não é 
um espaço vetorial. A demonstração de todos os axiomas, um por um, foi feita 
para fins didáticos mas, de fato, para que V fosse espaço vetorial, todos os axio-
mas 1) a 8) deveriam ser satisfeitos, bastando que um deles não seja satisfeito 
para que V, munido com as operações descritas, não seja um espaço vetorial.
– 83 –
Espaços Vetoriais Euclidianos
4.2 Subespaços vetoriais
Considere um espaço vetorial V. Suponha que seja necessário determinar 
um subconjunto de V, sendo esse subconjunto um espaço vetorial, porém menor. 
Tal subconjunto recebe o nome de subespaço vetorial, e é representado por W.
Se W é um subconjunto de um espaço vetorial V, então para ele também 
se verificam os axiomas 1) a 8), já que estes são satisfeitos para V. Ou seja, 
axiomas válidos para V deverão valer para qualquer subconjunto seu. Resta 
saber, no entanto, quais condições garantem que tal subconjunto também 
seja um espaço vetorial por si, ou seja, um subespaço vetorial de V.
4.2.1 Definição
Seja um espaço vetorial V. Um subconjunto W, não vazio, será um 
subespaço vetorial de V se, e somente se, as seguintes condições forem válidas.
a) Para quaisquer 
→ →
∈,u v W , 
→ →
+ ∈u v W .
b) Para quaisquer α
→
∈ ∈,R u W , α
→
u .
Ou seja, um subconjunto W de V que, munido com as mesmas opera-
ções de V, permanece sendo espaço vetorial, é um subespaço vetorial de V. 
Todo espaço vetorial possui, ao menos, dois subespaços vetoriais, que são 
os chamados subespaços triviais: tem-se o subespaço nulo, com um único 
elemento, dado por {
→
0 }, e o próprio espaço vetorial V. Note que qualquer 
subespaço W contém necessariamente o vetor nulo, bastando fazer α = 0.
Exemplo 4.3
Seja = 2V R e ( ){ }= ∈ =2, / 3W x y R y x , verifique se o subconjunto 
W é um subespaço vetorial do R2 relativo às operações de adição e multipli-
cação por escalar usuais
Solução
Dado ( ){ }= ∈ =2, / 3W x y R y x , podemos reescrever o subespaço como 
( ){ }= ∈, 3 ;W x x x R . Observamos que o segundo componente do vetor é o 
triplo do primeiro.
– 84 –
Álgebra Linear
Para verificar se W é um subespaço vetorial, definimos dois vetores perten-
centes a este subespaço vetorial
( )
→
= ∈1 1, 3u x x W e ( )
→
= ∈2 2, 3v x x W
Verificando as condições de subespaço vetorial
1. ( ) ( ) ( )
( )( )
1 1 2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
, 3 ,3 ,3 3
, 3
u v x x x x x x x x
x x x x
→ →
+ = + = + + =
= + +
Temos que 
→ →
+ ∈u v W , pois o segundo componente do vetor é o triplo do 
primeiro.
2. ( ) ( )α α α α
→
= =1 1 1 1, 3 ,3u x x x x
Temos que α
→
∈u W , pois o segundo componente do vetor é o triplo do pri-
meiro.
Como as duas condições foram satisfeitas, dizemos que W é um subespaço 
vetorial de V.
Exemplo 4.4
Sejam = 3V R e ( ){ }= ∈ = − =3, , / 0W x y z R y x e z , verifique se o 
subconjunto W é um subespaço vetorial do R3 relativo às operações de adição 
e multiplicação por escalar usual
Solução
Neste exemplo, temos o segundo componente do vetor igual ao primeiro mul-