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2 www.redentor.edu.br 3 www.redentor.edu.br 4 www.redentor.edu.br A autora do caderno de estudos é a professora Muriel Batista de Oliveira, brasileira, natural de Rio Grande/RS, bacharel em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Rio Grande (FURG, 2002), Mestre em Engenharia Civil pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ, 2005) e Doutora em Ciências da Educação pela Universidad Americana (2016). Especialista em Docência do Ensino Superior (REDENTOR, 2007), Especialista em Engenharia de Segurança do Trabalho (REDENTOR, 2011) e Especialista em Educação Ambiental (FETREMIS, 2014). Professora da Faculdade Redentor desde 2006, nos cursos de Engenharias. Coordena o curso de engenharia civil na modalidade EaD. Tem experiência nas disciplinas de Cálculo 0, Geometria Descritiva, Geometria Analítica, Metodologia Científica, Álgebra Linear, Probabilidade e Estatística, Resistência dos Materiais, Hidráulica Fenômenos de Transporte, Instalações Prediais II, Prevenção e Combate a Incêndios Saneamento, Engenharia de Segurança do Trabalho e Trabalho de Conclusão de Curso. Atuou como Engenheira Civil, sendo projetista e responsável técnica de obras públicas e privadas. Muriel Batista de Oliveira Sobre a autora 5 www.redentor.edu.br Olá querido aluno (a), seja muito bem-vindo (a)! Continuando sua formação em Engenharia, agora no sexto período você tem a continuação do desafio imposto pela disciplina de Resistência dos Materiais. Nossa disciplina intitula-se Resistência dos Materiais II e é uma complementação da disciplina de Resistência dos Materiais I, abordando conteúdos que são ferramentas importantes para a formação profissional na área de Engenharia. Após terminar esta disciplina, como em Resistência dos Materiais I, você deverá ser capaz de compreender o comportamento dos materiais sujeitos a agentes mecânicos, dentre outros, que atuam sobre peças de formas simples, buscando-se a quantificação dos efeitos através da introdução de hipóteses simplificadoras as quais, ao tempo em que permitem a obtenção de fórmulas matemáticas mais simples que não deixam de representar a realidade prática, nos limites de precisão exigidos pelas necessidades da Engenharia. Nosso foco aqui está no dimensionamento e deformações de vigas, na flambagem de colunas e nos métodos de energia ou trabalho de deformação. É importante frisar que nesse caderno você encontrará o básico dos conceitos e aplicações. O conteúdo vai muito além. Vale ressaltar que será muito importante consultar as bibliografias básica e complementar. Acima de tudo, você deverá praticar muito. Sugiro que após cada capítulo, que estarão apresentados divididos em aulas, você busque fazer alguns dos exercícios propostos nas listas e na bibliografia indicada ao final das mesmas. A disciplina foi dividida em quatro capítulos divididos em dezesseis aulas, contendo exemplos e atividades a serem resolvidas, sendo importante você manter uma constância em seus estudos. Portanto, não acumule dúvidas! Consulte o professor, participe dos fóruns, releia o caderno, as bibliografias recomendadas, faça os exercícios teóricos e principalmente os práticos, assista aos vídeos sugeridos e outras fontes que você considerar importantes para sua aprendizagem. Não esqueça: é preciso praticar... e muito! Bons estudos! Apresentação 6 www.redentor.edu.br Como vimos no caderno da disciplina de Resistência dos Materiais I, a Resistência dos Materiais é um ramo da Mecânica Aplicada que estuda a resistência de materiais de engenharia e seu comportamento mecânico sob ação de carregamentos. A disciplina busca fornecer a você aluno (a) conceitos sobre resistência dos materiais, objetivando prepará-lo (a) para as disciplinas do ciclo profissional onde esses conceitos são aplicados. Este caderno de estudos tem como objetivos: Compreender o comportamento de estruturas mecânicas sujeitas a esforços externos; Analisar elementos que compõem projetos; Interpretar catálogos, manuais e tabelas; Especificar elementos que compõem projetos; Aplicar conceitos de tensão admissível e fator de segurança; Efetuar cálculos e identificar os materiais quanto a sua capacidade de carga e tensões; Dimensionar vigas e calcular suas deformações dentro dos padrões de economia e segurança; Analisar a estabilidade de colunas quanto a flambagem; Aplicar os conceitos de métodos de energia (trabalho de deformação); Analisar as classes de resistência: tração, flexão, compressão, cisalhamento, torção, flexotorção e flambagem; Ajudar e dar subsídio para o aluno desenvolver a sua capacidade de projetar sistemas estruturais. Objetivos 7 www.redentor.edu.br AULA 1 ......................................................................................................................... . CAPÍTULO 1: PROJETO DE VIGAS ...................................................................... . 1.1 INTRODUÇÃO ............................................................................................ 13 1.2 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE (DEC) E DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (DMF) .............................................................................. 13 Exemplo 1 ......................................................................................................... 17 Exemplo 2 ......................................................................................................... 19 Exemplo 3 ......................................................................................................... 21 Exemplo 4 ......................................................................................................... 23 AULA 2 ......................................................................................................................... . CAPÍTULO 1: PROJETO DE VIGAS ...................................................................... . 1.3 CONSIDERAÇÕES PARA O PROJETO DE VIGAS PRISMÁTICAS ........... 31 1.4 TENSÕES EM UMA VIGA............................................................................31 1.5 PROJETO DE VIGAS PRISMÁTICAS ........................................................... 32 Exemplo ............................................................................................................ 36 AULA 3 ......................................................................................................................... . CAPÍTULO 1: PROJETO DE VIGAS ...................................................................... . EXEMPLOS RESOLVIDOS: PROJETO DE VIGAS ............................................. 44 EXEMPLO 1........................................................................................................ 44 EXEMPLO 2........................................................................................................ 47 AULA 4 ......................................................................................................................... . CAPÍTULO 1: PROJETO DE VIGAS ...................................................................... . EXEMPLOS RESOLVIDOS: projeto DE VIGAS ................................................ 56 EXEMPLO 1........................................................................................................ 56 EXEMPLO 2........................................................................................................ 59 AULA 5 ......................................................................................................................... . CAPÍTULO 2: DEFLEXÃO EM VIGAS POR INTEGRAÇÃO ................................. . 2.1. INTRODUÇÃO ........................................................................................... 67 Sumário 8 www.redentor.edu.br 2.2. DEFORMAÇÃO DE UMA VIGA SUJEITA A UM CARREGAMENTO TRANSVERSAL ................................................................................................... 69 2.3. EQUAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA ............................................................. 70 Exemplo 1 ......................................................................................................... 73 Exemplo 2 ......................................................................................................... 74 AULA 6 ......................................................................................................................... . CAPÍTULO 2: DEFLEXÃO EM VIGAS POR INTEGRAÇÃO ................................. . 2.3 LINHA ELÁSTICA DEFINIDA POR DIFERENTES FUNÇÕES ........................ 82 Exemplo ............................................................................................................ 82 AULA 7 ......................................................................................................................... . CAPÍTULO 2: DEFLEXÃO EM VIGAS POR INTEGRAÇÃO ................................. . 2.4. UTILIZAÇÃO DAS FUNÇÕES SINGULARES .............................................. 92 Exemplo 1 ......................................................................................................... 93 Exemplo 2 ......................................................................................................... 96 AULA 8 ......................................................................................................................... . CAPÍTULO 2: DEFLEXÃO EM VIGAS POR INTEGRAÇÃO ................................. . EXEMPLOS RESOLVIDOS: deflexão em vigas por integração ................ 104 EXEMPLO 1...................................................................................................... 104 EXEMPLO 2...................................................................................................... 106 EXEMPLO 3...................................................................................................... 108 AULA 9 ......................................................................................................................... . CAPÍTULO 3: FLAMBAGEM ................................................................................. . 3.1. INTRODUÇÃO ......................................................................................... 116 3.2 – ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS .......................................................... 116 3.3 - FÓRMULA DE EULER PARA COLUNAS COM EXTREMIDADES ARTICULADAS ................................................................................................. 120 EXEMPLO 1...................................................................................................... 126 EXEMPLO 2...................................................................................................... 128 EXEMPLO 3...................................................................................................... 129 9 www.redentor.edu.br AULA 10 ....................................................................................................................... . CAPÍTULO 3: FLAMBAGEM ................................................................................. . 3.4 - FÓRMULA DE EULER PARA COLUNAS COM OUTRAS CONDIÇÕES DE EXTREMIDADE ................................................................................................. 136 EXEMPLO 1...................................................................................................... 139 EXEMPLO 2...................................................................................................... 140 AULA 11 ....................................................................................................................... . CAPÍTULO 3: FLAMBAGEM ................................................................................. . 3.5 – CARGAS EXCÊNTRICAS: FÓRMULA DA SECANTE ............................ 149 3.6 – FLAMBAGEM INELÁSTICA .................................................................... 152 3.7 – PROJETO DE COLUNAS COM CARGAS CONCÊNTRICAS .............. 153 EXEMPLO ......................................................................................................... 156 3.8 – PROJETO DE COLUNAS COM CARGAS EXCÊNTRICAS ................... 157 AULA 12 ....................................................................................................................... . CAPÍTULO 3: FLAMBAGEM ................................................................................. . EXEMPLOS RESOLVIDOS: FLAMBAGEM ...................................................... 164 EXEMPLO 1...................................................................................................... 164 EXEMPLO 2...................................................................................................... 165 EXEMPLO 3...................................................................................................... 166 EXEMPLO 4...................................................................................................... 167 EXEMPLO 5...................................................................................................... 169 EXEMPLO 6...................................................................................................... 170 AULA 13 ....................................................................................................................... . CAPÍTULO 4: MÉTODOSDE ENERGIA – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO ........ 4.1 – INTRODUÇÃO........................................................................................ 177 4.2 – TRABALHO EXTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO ....................... 177 4.3 – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO ESPECÍFICO ...................................... 179 Exemplo 1 ....................................................................................................... 182 10 www.redentor.edu.br 4.4 – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICA PARA TENSÕES NORMAIS ......................................................................................................................... 183 Exemplo 2 ....................................................................................................... 184 Exemplo 3 ....................................................................................................... 185 Exemplo 4 ....................................................................................................... 187 AULA 14 ....................................................................................................................... . CAPÍTULO 4: MÉTODOS DE ENERGIA – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO ....... . 4.5 – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO ELÁSTICO PARA TENSÕES DE CISALHAMENTO ............................................................................................. 194 Exemplo 4 ....................................................................................................... 196 4.6 - TRABALHO DE DEFORMAÇÃO A UMA ÚNICA CARGA ................... 197 4.7 – CARREGAMENTO PRODUZIDO POR IMPACTO ................................ 199 Exemplo 5 ....................................................................................................... 200 Exemplo 6 ....................................................................................................... 201 Exemplo 7 ....................................................................................................... 202 AULA 15 ....................................................................................................................... . CAPÍTULO 4: MÉTODOS DE ENERGIA – trabalho de deformação ............... . 4.8 – TEOREMA DE CASTIGLIANO ................................................................ 210 4.8 – TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICADO A VIGAS ............................ 211 4.10 – TEOREMA DE CASTIGLIANO APLICADO A TRELIÇAS ..................... 212 Exemplo1 ........................................................................................................ 214 Exemplo 2 ....................................................................................................... 216 AULA 16 ....................................................................................................................... . REVISÃO GERAL .................................................................................................... PROBLEMAS PROPOSTOS ............................................................................. 224 PROBLEMA 1 ................................................................................................... 224 PROBLEMA 2 ................................................................................................... 224 PROBLEMA 3 ................................................................................................... 225 PROBLEMA 4 ................................................................................................... 225 PROBLEMA 5 ................................................................................................... 226 11 www.redentor.edu.br PROBLEMA 6 ................................................................................................... 226 PROBLEMA 7 ................................................................................................... 227 PROBLEMA 8 ................................................................................................... 227 PROBLEMA 9 ................................................................................................... 228 PROBLEMA 10 ................................................................................................. 228 PROBLEMA 11 ................................................................................................. 229 PROBLEMA 12 ................................................................................................. 229 ANEXOS .................................................................................................................. 234 12 www.redentor.edu.br Iconografia 13 www.redentor.edu.br APRESENTAÇÃO DA AULA No capítulo 4 da disciplina de Resistência dos Materiais I, calculamos a tensão provocada pela flexão em vigas. Nesta aula faremos uma breve revisão de conceitos e equações já vistos no capítulo de flexão pura em Resistência dos Materiais I, que utilizaremos para o dimensionamento de vigas. Para dimensionar vigas é necessário determinar a maior força de cisalhamento e o maior momento fletor em um dado elemento e especificar onde ocorrem, para isso este capitulo, nessa aula 1, inicia com a discussão de como construir os diagramas de esforço cortante e momento fletor. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Analisar membros prismáticos sujeitos a cargas axiais ou cisalhantes; Calcular a força cortante máxima em uma viga; Calcular o momento fletor máximo em uma viga; Determinar o ponto onde ocorrem os maiores valores de força cortante e momento fletor; Representar graficamente os diagramas de escorço cortante e momento fletor em vigas. Capítulo 1: Projeto de Vigas Aula 1 14 www.redentor.edu.br 1 PROJETO DE VIGAS 1.1 INTRODUÇÃO O objetivo deste capítulo é projetar vigas (material e dimensões da seção transversal), de modo que elas não venham a falhar quando submetidas a cargas de flexão e cisalhamento. Vigas são importantes elementos estruturais e mecânicos, usados em projetos de engenharia, que suportam carregamentos que são aplicados perpendicularmente ao eixo longitudinal. As vigas de um modo geral, podem ser consideradas elementos longos, barras retas, com área da seção transversal constante e são classificadas de acordo com o modo que são apoiadas, como por exemplo, viga simplesmente poiada, viga apoiada com extremidade em balanço ou viga em balanço). Para projetar as vigas corretamente, primeiro devemos determinar a força de cisalhamentoe o momento fletor, que em geral, variam de ponto a ponto ao longo do eixo longitudinal de viga. 1.2 – DIAGRAMAS DE ESFORÇO CORTANTE (DEC) E DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (DMF) Como as vigas estão sujeitas aos carregamentos aplicados, surgem nas mesmas forças cisalhantes internas e momentos fletores, que podem variar ao longo do comprimento da viga. Os valores máximos são os de nosso interesse e podem ser determinados expressando-se V e M em função de uma distância arbitrária x ao longo do eixo da viga. Os diagramas de esforço cortante e momento fletor representam a variação da força cisalhante e do momento fletor ao longo da viga e são obtidos “cortando-se” a seção no ponto onde se deseja determinar os valores de V e M. Nesses diagramas, as abscissas (horizontais) representam a posição da seção ao longo da viga, e as ordenadas (verticais) indicam os valores da força cortante e do momento fletor, respectivamente. Uma das grandes aplicações dos diagramas de força cortante e momento fletor na engenharia é que auxiliam na decisão de onde colocar materiais de reforço no interior da viga ou de como calcular as dimensões da viga em vários pontos ao longo do seu comprimento (HIBBELER, 2010). 15 www.redentor.edu.br Convenção de sinais Embora a escolha da convenção de sinais seja arbitrária, adotaremos a convenção de uso mais frequente na prática da engenharia e segundo os autores Beer (2006) e Hibbeler (2010). Assim, temos um sistema de coordenadas com a origem na extremidade A, e a distância de uma seção qualquer da viga à extremidade A é denotada pela variável x. A viga é submetida a um tipo qualquer de carga transversal distribuída de uma forma geral, como mostrada na figura 1.1. Essa viga apresenta apoios simples, mas as considerações aqui valem para qualquer tipo de vinculação. As direções positivas consideram que: a carga distribuída age para baixo na viga; a força cortante interna provoca uma rotação no sentido horário no segmento da viga sobre o qual age; e o momento interno causa compressão nas fibras superiores do segmento. Carregamentos opostos a esses são considerados negativos. Figura 1.1 – Convenção a partir de um “corte” na seção transversal de uma viga Fonte: BEER (2006) 16 www.redentor.edu.br Figura 1.2 – Convernção quando se seciona uma seção transversal de uma viga Fonte: HIBBELER (2010) Procedimento para construção do DEC e DMF A seguir será apresentado um roteiro para a construção dos diagramas de esforço cortante e momento fletor. Primeiramente devemos determinar as reações nos apoios da viga, usando as equações de equilíbrio; O segundo passo é determinar as funções de cisalhamento e momento e para isso é necessário: Consideramos a origem na extremidade esquerda da viga, e especificamos por x cada trecho da viga. Trecho pode ser considerado a região entre forças concentradas e/ou momentos, ou até onde não existir nenhuma descontinuidade do carregamento e distribuído; Depois de determinado o trecho a ser analisado, devemos fazer o diagrama de corpo livre do mesmo. As ações de V e M devem ser mostradas no sentido positivo, de acordo com a convenção adotada; O cisalhamento (ou força cortante) é obtido pelo somatório das forças verticais (perpendiculares) ao eixo da viga; O momento é determinado pelo somatório dos momentos em torno da extremidade onde o elemento foi secionado; De posse dos valores de V e M em extremidade da seção, podemos construir os diagramas (DEC e DMF), diretamente abaixo do diagrama de corpo livre da viga; 17 www.redentor.edu.br Se os valores numéricos das funções que descrevem V e M forem positivos, serão marcados acima do eixo x, logo valores negativos serão marcados abaixo do eixo, pois 𝑑𝑀 = 𝑉𝑑𝑥 ou 𝑉 = 𝑑𝑀 𝑑𝑥 . Devemos observar que uma mudança abrupta na força cortante, o que corresponde a uma força concentrada, é acompanhada de uma mudança abrupta na inclinação do DMF; Nas seções em que a força cortante é zero, a inclinação do DMF é zero. Nesses pontos em que a tangente do DMF é horizontal, o momento fletor pode ter um valor máximo ou mínimo. Essa situação resulta da técnica usual do cálculo de obtermos os valores máximos ou mínimos de uma função igualando a zero a primeira derivada da função. Assim na Figura 1.3, se as curvas representam partes de um DMF, então valores críticos podem ocorrer nos pontos A e B. De uma maneira geral, igualando a equação do esforço cortante a zero, determinados o ponto (x) onde o valor do momento é extremo, assim substituímos esse valor de x na equação do momento fletor da seção obtendo seu valor máximo; Para se estabelecer o sentido da concavidade em um determinado ponto, podemos determinar a segunda derivada de M em relação à x, isto é 𝑑²𝑀 𝑑𝑥² . Se o valor dessa segunda derivada por positivo, então o DMF apresenta concavidade para cima e o momento assume um valor mínimo. Se a segunda derivada tiver valor negativo, então o DMF apresenta concavidade para baixo e o momento assume um valor máximo. Figura 1.3 – Valores máximos e mínimos para M(x) Fonte: NASH e POTTER (2014) Agora serão apresentados alguns exemplos resolvidos do BEER (2006) e HIBBELER (2010). Refaça-os para praticar, ou se preferir faça os propostos na bibliografia indicada no material complementar! 18 www.redentor.edu.br EXEMPLO 1 (Adaptado de BEER, 2006 e HIBBELER, 2010) representar graficamente os diagramas de esforço cortante e de momento fletor (DEC e DMF), da viga simplesmente apoiada abaixo, que tem uma força concentrada aplicada em seu ponto médio. Solução: Primeiramente devemos calcular as reações de apoio. Como a viga é simétrica a intensidade de cada reação é 𝑃/2. Confirmamos esse resultado fazendo somatório de momentos em um dos apoios e, em seguida, somatório das forças verticais: ∑𝑀𝐴 = 0: − 𝑃 ( 𝐿 2 ) + 𝐶𝑦(𝐿) = 0 → 𝐶𝑦 = 𝑃 2 ∑𝐹𝑦 = 0: − 𝑃 + 𝑃 2 + 𝐴𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = 𝑃 2 O próximo passo é fazer as funções de força cortante e momento fletor para cada trecho da viga. Para isso secionamos a viga a uma distância x do ponto A, e nesse primeiro trecho AB, o intervalo é de (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 2 ). O diagrama de corpo livre da seção AB é apresentado abaixo: Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos: −𝑉𝐴𝐵 + 𝑃 2 = 0 → 𝑉𝐴𝐵 = 𝑃 2 𝑀𝐴𝐵 − 𝑃 2 𝑥 = 0 𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 e 19www.redentor.edu.br 𝑥 = 𝐿 2 → 𝑀𝐵 = 𝑃𝐿 4 O segundo trecho da viga é o BC, o intervalo é de ( 𝐿 2 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿). O diagrama de corpo livre da seção BC é: Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos: −𝑉𝐵𝐶 + 𝑃 2 − 𝑃 = 0 → 𝑉𝐶𝐵 = − 𝑃 2 𝑀𝐵𝐶 − 𝑃 2 𝑥 + 𝑃(𝑥 − 𝐿 2 ) = 0 𝑥 = 𝐿 2 → 𝑀𝐵 = 𝑃𝐿 4 𝑥 = 𝐿 → 𝑀𝐶 = 0 Por fim, apresentamos graficamente os valores obtidos nos DEC e DMF, observando que a aplicação de uma força causa um salto no DEC: 20 www.redentor.edu.br EXEMPLO 2 (Adaptado de HIBBELER, 2010) representar graficamente os diagramas de esforço cortante e de momento fletor (DEC e DMF), da viga simplesmente apoiada abaixo: Solução: Primeiramente devemos calcular as reações de apoio. Fazendo somatório de momentos em um dos apoios e, em seguida, somatório das forças verticais, temos. ∑𝑀𝐴 = 0: − 𝑀𝑜 + 𝐶𝑦(𝐿) = 0 → 𝐶𝑦 = 𝑀𝑜 𝐿 ∑𝐹𝑦 = 0: 𝑀𝑜 𝐿 + 𝐴𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = − 𝑀𝑜 𝐿 O próximo passo é fazer as funções de força cortante e momento fletor para cada trecho da viga. Para isso secionamos a viga a uma distância x do ponto A, e nesse primeiro trecho AB, o intervalo é de (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 2 ). O diagrama de corpo livre da seção AB é apresentado abaixo: Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos: −𝑉𝐴𝐵 − 𝑀𝑜 𝐿 = 0 → 𝑉𝐴𝐵 = − 𝑀𝑜 𝐿 𝑀𝐴𝐵 + 𝑀𝑜 𝐿 𝑥 = 0 𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 e 𝑥 = 𝐿 2 → 𝑀𝐵 = − 𝑀𝑜 2 O segundo trecho da viga é o BC, o intervalo é de ( 𝐿 2 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿). 21 www.redentor.edu.br O diagrama de corpo livre da seção BC é: Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos: −𝑉𝐵𝐶 − 𝑀𝑜 𝐿 = 0 → 𝑉𝐶𝐵 = − 𝑀𝑜 𝐿 𝑀𝐵𝐶 + 𝑀𝑜 𝐿 𝑥 −𝑀𝑜 = 0 𝑥 = 𝐿 2 → 𝑀𝐵 = 𝑀𝑜 2 𝑥 = 𝐿 → 𝑀𝐶 = 0 Por fim, apresentamos graficamente os valores obtidos nos DEC e DMF: Podemos observar que no exemplo anterior, a a aplicação de uma força causou um salto no DEC, e nesse caso o momento aplicado causou um salto no DMF. Anotações: 22 www.redentor.edu.br EXEMPLO 3 (Adaptado de HIBBELER, 2010) representar graficamente os diagramas de esforço cortante e de momento fletor (DEC e DMF), da viga simplesmente apoiada abaixo: Solução: Primeiramente devemos calcular as reações de apoio. Fazendo somatório de momentos no apoio esquerdo da viga (ponto A) e, em seguida, somatório das forças verticais, temos. ∑𝑀𝐴 = 0: − 𝑤𝐿. 𝐿 2 + 𝐵𝑦(𝐿) = 0 → 𝐶𝑦 = 𝑤𝐿 2 ∑𝐹𝑦 = 0: − 𝑤 + 𝑤𝐿 2 + 𝐴𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = 𝑤𝐿 2 Essa viga apresenta um único trecho, pois não há descontinuidade do carregamento, assim a única carga é a distribuída 𝑤, e o intervalo na seção é de (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿). O diagrama de corpo livre da seção AB é apresentado abaixo: Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos, considerando a distância de x variando de 0 a L, temos para a força cortante: −𝑉𝐴𝐵 + 𝑤𝐿 2 − 𝑤. 𝑥 = 0 𝑥 = 0 → 𝑉𝐴 = 𝑤𝐿 2 𝑥 = 𝐿 → 𝑉𝐵 = − 𝑤𝐿 2 E para o momento: 23 www.redentor.edu.br 𝑀𝐴𝐵 − 𝑤𝐿 2 𝑥 + 𝑤. 𝑥. 𝑥 2 = 0 𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 e 𝑥 = 𝐿 → 𝑀𝐵 = 0 Por fim, apresentamos graficamente os valores obtidos nos DEC e DMF: Observamos que o momento fletor é máximo onde a força cortante é nula. Para determinar a distância onde o cisalhamento é zero, pegamos a equação da força cortante no trecho e fizemos 𝑉𝐴𝐵 = 0: −𝑉𝐴𝐵 + 𝑤𝐿 2 − 𝑤. 𝑥 = 0 → 0 + 𝑤𝐿 2 − 𝑤. 𝑥 = 0 → 𝑥 = 𝐿 2 Substituindo 𝑥 = 𝐿 2 na equação do momento do mesmo trecho encontramos o valor do momento máximo: 𝑀𝐴𝐵 − 𝑤𝐿 2 𝑥 + 𝑤. 𝑥. 𝑥 2 = 0 → 𝑥 = 𝐿 2 𝑀𝑚á𝑥 − 𝑤𝐿 2 . 𝐿 2 + 𝑤. 𝐿 2 . 𝐿 2 2 = 0 → 𝑀𝑚á𝑥 = 𝑤𝐿² 8 Anotações: 24 www.redentor.edu.br EXEMPLO 4 (Adaptado de HIBBELER, 2010) representar graficamente os diagramas de esforço cortante e de momento fletor (DEC e DMF), da viga engastada em balanço abaixo: Solução: Essa viga engastada livre apresenta um momento e uma força vertical no vínculo à esquerda. Fazendo somatório de momentos no engaste esquerdo da viga (ponto A) e, em seguida, somatório das forças verticais, temos. ∑𝑀𝐴 = 0: 𝑀 − 𝑤. 𝐿. 𝐿 2 . 2𝐿 3 + 𝐵𝑦(𝐿) = 0 → 𝑀𝐴 = 𝑤𝐿2 3 ∑𝐹𝑦 = 0: −𝑤. 𝐿 2 + 𝐴𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = 𝑤𝐿 2 Essa viga apresenta um único trecho, pois não há descontinuidade do carregamento, assim a única carga é a distribuída 𝑤, e o intervalo na seção é de (0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿). O diagrama de corpo livre da seção AB é apresentado abaixo, juntamente com os valores das reações de apoio: 25 www.redentor.edu.br Pela convenção de sinais adotada e aplicando as equações de equilíbrio temos, considerando a distância de x variando de 0 a L, temos para a força cortante: −𝑉𝐴𝐵 + 𝑤𝐿 2 − 𝑤𝑥 2 = 0 𝑥 = 0 → 𝑉𝐴 = 𝑤𝐿 2 𝑥 = 𝐿 → 𝑉𝐵 = 0 E para o momento: 𝑀𝐴𝐵 + 𝑤𝐿2 3 − 𝑤𝐿 2 . 𝑥 + 𝑤. 𝑥 𝐿 . 1𝑥 2 . 1𝑥 3 = 0 𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 𝑤𝐿2 3 𝑥 = 𝐿 → 𝑀𝐵 + 𝑤𝐿2 3 − 𝑤𝐿 2 . 𝐿 + 𝑤. 𝐿 𝐿 . 1𝐿 2 . 1𝐿 3 = 0 → 𝑀𝐵 + 𝑤𝐿2 3 − 𝑤𝐿2 2 + 𝑤. 𝐿2 6 = 0 → 𝑀𝐵 = 0 Por fim, apresentamos graficamente os valores obtidos nos DEC e DMF: Note que para a carga triangular a força fica concentrada a 2/3 do lado esquerdo e a 1/3 do lado direito. Determinamos a força na seção por cálculo proporcional, isto é, 𝑤0 𝑥 = 𝑤 𝐿 . A equação do esforço cortante é uma parábola (equação do 2° grau), e o momento é representado por uma função do 3° grau. 26www.redentor.edu.br A tabela 1.1 ilustra a inclinação dos diagramas de esforço cortante e momento fletor, para casos comuns de carregamentos. É importante salientar que existem equações específicas que demonstram esses resultados (HIBBELER, 2010, item 6.2) e os gráficos não devem ser simplesmente decorados e sim estudados. Tabela 1 – Carregamentos e inclinações do DEC e DMF Fonte: HIBBELER, 2010 27 www.redentor.edu.br Nesta aula, abordamos: Introdução ao dimensionamento de vigas; Procedimento determinação dos diagramas de esforço cortante e momento fletor; Como calcular o ponto onde a força cortante é nula e o momento é máximo em uma viga; Exemplos resolvidos com determinação de reações de apoio e uso de método das seções para determinar esforço cortante e momento em cada trecho da viga, até chegar nos DEC e DMF. Fonte: HIBBELER (2010). Pág. 182 e 191 Resumo 28 www.redentor.edu.br Para enriquecer seu conhecimento é importante que você: Revise os tópicos abordados nesta aula em bibliografia presente na Biblioteca Digital e material complementar; Resolva exemplos resolvidos 6.7 a 6.13 do HIBBELER (2010) – Biblioteca Digital e outros que julgar necessários da bibliografia básica. Complementar 29 www.redentor.edu.br Básica: BEER, F. P. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: McGraw Hill, 2006. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Ed. Edgard Blucher, 1978. Complementar: ASSAN, A. E. Resistência dos Materiais. São Paulo, UNICAMP, 2010. BOTELHO, M. H. Resistência dos Materiais para entender e gostar. São Paulo: Studio Nobel, 1998. GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução da 7. Edição Norte-Americana, 2011. NASH, W. A. Resistência dos Materiais. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. 2. ed. 2003. NASH, W. A; POTTER, M.C. Resistência dos Materiais. Porto alegre. Bookman. 5. ed. 2014. Referências Bibliográficas 30 www.redentor.edu.br 1 – Defina viga. 2 – Defina e exemplifique com desenhos vigas em balanço, vigas simples, vigas simples com balanço. 3 – O que representam os diagramas de esforço cortante e momento fletor e quais os procedimentos básicos para construção dos mesmos? 4 – (HIBBELER, 2010 e BEER 2006) Para as vigas abaixo determine o diagrama de esforço cortante (DEC) e o diagrama de momento fletor (DMF). Faça todos os cálculos detalhados e use o método das seções. . AULA 1 Exercícios 31 www.redentor.edu.br APRESENTAÇÃO DA AULA No capítulo 4 da disciplina de Resistência dos Materiais I, calculamos a tensão provocada pela flexão em vigas. Nesta aula nosso foco será o dimensionamento de vigas. Para dimensionar vigas é necessário determinar a maior força de cisalhamento e o maior momento fletor em um dado elemento e especificar onde ocorrem, de acordo com os procedimentos vistos na aula 1. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após o estudo do conteúdo desta aula, você seja capaz de: Aplicar o conceito de tensão normal ao dimensionamento de vigas; Aplicar o conceito de tensão de cisalhamento ao dimensionamento de vigas; Analisar membros prismáticos sujeitos a cargas axiais ou cisalhantes; Dimensionar o carregamento que uma viga suporta dada sua seção transversal e dimensões; Dimensionar a seção transversal de uma viga dado um determinado carregamento a ser suportado com segurança. Capítulo 1: Projeto de vigas Aula 2 32 www.redentor.edu.br 1 PROJETO DE VIGAS 1.3 CONSIDERAÇÕES PARA O PROJETO DE VIGAS PRISMÁTICAS Para chegarmos ao objetivo deste capítulo que é projetar vigas (material e dimensões da seção transversal), vamos discutir aqui a metodologia para cálculo de modo que elas não venham a falhar quando submetidas a cargas de flexão e cisalhamento. “Quando escolhemos uma viga para resistir a ambas as tensões de cisalhamento e flexão, diz-se que ela é projetada com base na resistência” (HIBBELER, 2010, pág. 400). A partir dessa consideração utilizaremos as fórmulas de Flexão Pura (capítulo 4 de Resistência dos Materiais I) e de Esforço cortante (capítulo 5 de Resistência dos Materiais I), e nosso estudo ficará limitado ao caso de vigas homogêneas (feitas de um único material) e que tenham comportamento linear elástico. Para isso, a máxima tensão normal 𝜎𝑚á𝑥 na viga não deve exceder a tensão admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 do material e a tensão máxima de cisalhamento 𝜏𝑚á𝑥 também deve ser menor que a tensão cisalhante admissível 𝜏𝑎𝑑𝑚. Como vimos na aula anterior, os diagramas de esforço cortante e momento fletor representam a variação da força cortante do momento fletor ao longo da viga e são obtidos “cortando-se” a seção no ponto onde se deseja determinar os valores de V e M, que serão utilizados nas equações de flexão e cisalhamento. 1.4 TENSÕES EM UMA VIGA Vimos nos capítulos 4 e 5 de Resistência dos Materiais I que, dentro do regime elástico, as tensões que se exercem dentro de um pequeno elemento de faces perpendiculares, respectivamente aos eixos x e y, se reduzem a tensão normal 𝜎𝑚á𝑥=𝑀. 𝑐/𝐼, se o elemento está localizado na superfície livre da viga (c é a distância do eixo neutro a superfície), ou a tensão de cisalhamento 𝜏𝑚á𝑥 = 𝑉𝑄/𝐼𝑡 se o elemento estiver na linha neutra (Figura 1.4). Em qualquer outro ponto da viga, o elemento vai estar submetido simultaneamente a tensão normal 𝜎 = 𝑀. 𝑦/𝐼, onde y é a distância do eixo neutro até a fibra onde se encontra o elemento, e a tensão de cisalhamento é 𝜏 = −𝑉𝑄/𝐼𝑡. Para estas expressões I é o momento de inércia da seção transversal, Q 33 www.redentor.edu.br é o momento estático em relação ao eixo neutro da parte da seção transversallocalizada acima do ponto onde se deseja calcular a tensão, e t é a largura da seção transversal nesse ponto. Figura 1.4 – Tensões principais em uma viga Fonte: BEER (2006) 1.5 PROJETO DE VIGAS PRISMÁTICAS O projeto de uma viga deve levar em conta também a economia. Isto é, entre vigas do mesmo material, quando outros dados coincidem, devemos optar por aquela de menor peso por unidade de comprimento, e, portanto, de menor seção transversal. Agora vamos traçar os passos para o dimensionamento de uma viga: 1º) Determinamos os valores de 𝜎𝑎𝑑𝑚 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 do material a partir do valor especificado no projeto ou por meio de tabelas de propriedades mecânicas dos materiais (BEER, 2006, apêndice B). Podemos obter esse valor também a partir da tensão última do material associada a um coeficiente de segurança; 2º) O projeto de uma viga depende da força cortante e momento fletor máximos, assim, com as condições de carregamento dadas, usando o método das seções, desenhamos os diagramas de V e M, determinando os valores máximos absolutos |𝑉|𝑚á𝑥 e |𝑀|𝑚á𝑥; 3º) Calculamos o mínimo valor admissível do módulo resistente 𝑊, onde 𝑊𝑚í𝑛 = 𝐼 𝑦 . Considerando que o dimensionamento da viga é dado pelo valor da tensão 34 www.redentor.edu.br normal no ponto 𝑦 = ±𝑐 na seção transversal do máximo momento fletor, substituímos 𝜎𝑎𝑑𝑚em lugar de 𝜎𝑚á𝑥, encontrando: 𝑊𝑚í𝑛 = |𝑀|𝑚á𝑥 𝜎𝑎𝑑𝑚 (1.1) e 𝑊𝑚í𝑛 = 𝐼 𝑦𝑚á𝑥 (1.2) Para seção retangular temos que: 𝐼 = 𝑏ℎ³ 12 (1.3) e 𝑦𝑚á𝑥 = ℎ 2 (1.4) 4º) Entre as seções transversais que podem ser utilizadas, devemos considerar aquelas com 𝑊 < 𝑊𝑚í𝑛, entre elas escolher a seção com menor peso por unidade de comprimento (ou seja, a favor da economia). Nem sempre essa seção transversal será a que possui um maior 𝑊, como veremos nos exemplos resolvidos desta aula e na seguinte. Em alguns casos, outras considerações podem ser limitantes, como os valores admissíveis para a deflexão da viga ou restrições no valor da altura da seção transversal. 5º) Verificamos agora a resistência da viga à força cortante pela equação 1.5 (ou 1.6 e 1.7) e comparando depois com o valor da 𝜏𝑎𝑑𝑚. Se o valor encontrado para 𝜏𝑚á𝑥 for maior do que 𝜏𝑎𝑑𝑚, devemos redimensionar a seção transversal, escolhendo uma maior. 𝜏𝑚á𝑥 = |𝑉|𝑚á𝑥.𝑄 𝐼.𝑡 (1.5) Para as vigas de seção retangular a tensão máxima de cisalhamento é dada por: 𝜏𝑚á𝑥 = 3 2 . |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴 (1.6) Para perfis I ou de abas largas, podemos adotar que toda a força cortante é resistida pela alma, e nesse caso, a tensão máxima de cisalhamento é dada por: 35 www.redentor.edu.br 𝜏𝑚á𝑥 = |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎 (1.7) 6º) Para perfis I e perfis de abas largas, verificamos 𝜎𝑚á𝑥 na junção da alma com as abas, na seção de |𝑀|𝑚á𝑥, para que a 𝜎𝑚á𝑥 não exceda o valor de 𝜎𝑎𝑑𝑚. “Usualmente basta que se tenha uma estimativa rápida de 𝜎𝑚á𝑥 sendo, desnecessário o cálculo das componentes de tensões 𝜎𝑥 𝑒 𝜏𝑥𝑦 . A Figura 1.5 apresenta alguns tipos de aços laminados que tem suas seções transversais utilizadas no dimensionamento de vigas: Figura 1.5 – Perfis laminados Fonte: SARTORI (1999) Esses perfis são designados com o Código Literal, altura (mm), peso (kg/m). Por exemplo: I 203 x 27,3 → perfil I, com 203 mm de altura e 27,3 quilogramas por metro. L 50 x 50 x 3 → cantoneira de abas iguais (50 mm) e espessura 3 mm. A Figura 1.6 apresenta as propriedades para o cálculo de perfis metálicos do tipo H no sistema internacional de unidades. Tabelas no sistema FPS podem ser encontradas no anexo deste caderno de estudos. 36 www.redentor.edu.br Figura 1.6 – Tabela das propriedades dos Perfis de abas largas Fonte: Adaptado de BEER (2006) 37 www.redentor.edu.br EXEMPLO (BEER, 2006) Uma viga de madeira AB tem 3,0m de vão e 100mm de largura. Ela suporta as três cargas concentradas indicadas. Determinar a mínima altura necessária d para a viga, sabendo-se que, para a qualidade de madeira usada, 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 12600𝐾𝑃𝑎 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 840 𝐾𝑃𝑎. Solução: Como os valores das tensões admissíveis normal e cisalhante foram dados, devemos primeiramente calcular as reações impostas pelos apoios, considerando as cargas externas e, por convenção, adotamos como positivo o momento no sentido anti- horário, a força vertical para cima e a força horizontal para direita: ∑𝑀𝐴 = 0: − 10(0,6) − 4(1,5) − 10(2,4) + 𝐵𝑦(3) = 0 → 𝐵𝑦 = 12 𝐾𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 − 10 − 4 − 10 + 𝐵𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = 12 𝐾𝑁 Assim: |𝑉|𝑚á𝑥 = 12 𝐾𝑁 Para determinar o momento máximo |𝑀|𝑚á𝑥 vamos usar o método das seções: Seção AC (0 ≤ 𝑥 ≤ 0,6𝑚) −𝑉𝐴𝐶 + 12 = 0; 𝑉𝐴𝐶 = 12 𝐾𝑁 𝑀𝐴𝐶 − 12𝑥 = 0; 𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0; 𝑥 = 0,6𝑚 → 𝑀𝐶 = 7,2 𝐾𝑁.𝑚 Seção CD (0,6 ≤ 𝑥 ≤ 1,5𝑚) −𝑉𝐶𝐷 + 12 − 10 = 0; 𝑉𝐷𝐶 = 2 𝐾𝑁 𝑀𝐶𝐷 − 12𝑥 + 10(𝑥 − 0,6) = 0; 𝑥 = 0,6 → 𝑀𝐶 = 7,2 𝐾𝑁.𝑚; 𝑥 = 1,5𝑚 → 𝑀𝐷 = 9 𝐾𝑁.𝑚 38 www.redentor.edu.br Como a viga é simétrica os cálculos para as demais seções podem ser dispensados. Os diagramas de esforço cortante e momento fletor são mostrados abaixo: Dimensionamento da viga baseado na tensão normal admissível de acordo com as equações 1,1 e 1.2: 𝑊𝑚í𝑛 = |𝑀|𝑚á𝑥 𝜎𝑎𝑑𝑚 𝑒 𝑊𝑚í𝑛 = 𝐼 𝑦𝑚á𝑥 Para seção retangular temos que: 𝐼 = 𝑏ℎ³ 12 = 0,1𝑑³ 12 𝑒 𝑦𝑚á𝑥 = ℎ 2 = 𝑑 2 logo 𝑊𝑚í𝑛 = 0,1𝑑³ 12 𝑥 2 𝑑 = 0,0167𝑑² e |𝑀|𝑚á𝑥 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝐼 𝑦𝑚á𝑥 → 9000 12600 = 0,0167𝑑2 → 𝑑 = 0,206𝑚 = 206 𝑚𝑚 Verificando a tensão de cisalhamento na viga de seção retangular: 𝜏𝑚á𝑥 = 3 2 . |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴 → 𝜏𝑚á𝑥 = 3 2 . 12000 0,1 . 0,206 → 𝜏𝑚á𝑥 = 873𝐾𝑃𝑎 39 www.redentor.edu.br 𝜏𝑚á𝑥 = 873 𝐾𝑃𝑎 > 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 840 𝐾𝑃𝑎, assim a altura d não é aceitável e devemos redimensionar a viga de acordo com a tensão admissível: Redimensionando:𝜏𝑚á𝑥 = 3 2 . |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴 → 840. 103 = 3 2 . 12000 0,1. 𝑑 → 𝒅 = 𝟎, 𝟐𝟏𝟒 𝒎 = 𝟐𝟏𝟒 𝒎𝒎 Assim a altura mínima para a viga é de 214 mm. Note que os passos 4 e 6 do procedimento foram dispensados por se tratar de uma seção retangular definida no problema. Anotações: 40 www.redentor.edu.br Nesta aula, abordamos: Procedimento para dimensionamento de vigas baseada na resistência; Exemplo resolvido de dimensionamento da altura de uma viga com seção transversal retangular. Fonte: HIBBELER (2010). Pág. 403 Resumo 41 www.redentor.edu.br Para enriquecer seu conhecimento é importante que você: Revise os tópicos abordados nesta aula em bibliografia presente na Biblioteca Digital e material complementar; Leitura do capítulo 7 (BEER, 2006) seções 7.1 a 7.3 e 7.7. Complementar 42 www.redentor.edu.br Básica: BEER, F. P. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: McGraw Hill, 2006. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Ed. Edgard Blucher, 1978. Complementar: ASSAN, A. E. Resistência dos Materiais. São Paulo, UNICAMP, 2010. BOTELHO, M. H. Resistência dos Materiais para entender e gostar. São Paulo: Studio Nobel, 1998. GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução da 7. Edição Norte-Americana, 2011. NASH, W. A. Resistência dos Materiais. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. 2. ed. 2003. NASH, W. A; POTTER, M.C. Resistência dos Materiais. Porto alegre. Bookman. 5. ed. 2014. Referências Bibliográficas 43 www.redentor.edu.br 1 – Qual o critério de economia no projeto de vigas? Explique e exemplifique. 2 – Descreva o procedimento passo a passo para dimensionamento de uma viga. 3 – (HIBBELER, 2010) A viga de madeira tem seção retangular e é usada para suportar uma carga de 6KN. Se a tensão de flexão admissível for, 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 14𝑀𝑃𝑎 e a tensão de cisalhamento admissível for 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 5𝑀𝑃𝑎, determine a altura h da seção transversal com aproximação de múltiplos de 5mm, se ela tiver de ser retangular e ter largura b=75mm. Considere que os apoios A e B exercem somente reações verticais sobre a viga. . AULA 2 Exercícios 44 www.redentor.edu.br APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula iremos resolver exercícios com o objetivo de dimensionar vigas: dimensões de uma seção transversal conhecida dado um determinado carregamento e, escolha de uma seção transversal (perfil a partir de uma tabela) para um dado carregamento. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após a resolução dos exercícios presentes nessa aula, você seja capaz de: Determinar os diagramas de esforço cortante e momento fletor em uma viga; Analisar e dimensionar estruturas prismáticas sujeitas a carregamentos diversos; Projetar vigas visando a economia. Capítulo 1: Projeto de Vigas Aula 3 45 www.redentor.edu.br EXEMPLOS RESOLVIDOS: PROJETO DE VIGAS Em todas as aplicações a seguir para dimensionar uma viga, não podemos esquecer que a falha do elemento estrutural (viga) ocorre quando o momento ou cisalhamento interno na viga é máximo. Assim é importante que as tensões de flexão e de cisalhamento associados não ultrapassem os valores admissíveis, determinadas por meio de tabelas de engenharia, associados aos valores de |𝑉|𝑚á𝑥 𝑒 |𝑀|𝑚á𝑥. Em seguida, será verificada a a resistência ao cisalhamento, comparando com a tensão admissível. Para seções retangulares: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 = 3 2 . |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴 . Para perfis I ou de abas largas usamos: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 = |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎 . Para seções de um modo geral consideramos: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 = |𝑉|𝑚á𝑥.𝑄 𝐼.𝑡 . EXEMPLO 1 (Adaptado de HIBBELER, 2010) A viga simplesmente apoiada mostrada abaixo é de madeira para a qual 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 960 𝑃𝑠𝑖 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 75 𝑃𝑠𝑖. Determine suas dimensões transversais mínimas para resistir ao carregamento indicado quando h = 1,25b. SOLUÇÃO: Transformamos os valores do comprimento da viga de pés para polegadas (6x12=72in) e do carregamento de Kip/ft para lb/in (5x1000/12=416,67lb/in). 1º Passo: Identificamos os valores das tensões máximas (valores tabelados fornecidos pelo problema): 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 960 𝑝𝑠𝑖; 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 75 𝑝𝑠𝑖. Agora vamos calcular as reações de apoio: ∑𝑀𝐴 = 0: 𝐵𝑦(144) − 416,67 2 (144)(72) = 0 → 𝐵𝑦 = 15000 𝑙𝑏 ∑𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 + 15000 − 416,67 2 (144) = 0 → 𝐴𝑦 = 15000 𝑙𝑏 46 www.redentor.edu.br Em seguida vamos calcular os valores do esforço cortante e momento em cada seção: Trecho AC: (0 ≤ 𝑥 ≤ 72𝑖𝑛) −𝑉𝐴𝐶 + 15000 − 416,67 72 × 𝑥 × 𝑥 2 = 0 𝑥 = 0 → 𝑉𝐴 + 15000 − 416,67 72 × 0 × 0 2 = 0 → 𝑉𝐴 = 15000 𝑙𝑏 𝑥 = 72 → 𝑉𝐶 + 15000 − 416,67 72 × 72 × 72 2 = 0 → 𝑉𝐶 = 0 𝑀𝐴𝐶 − 15000𝑥 + 416,67 72 × 𝑥 × 𝑥 2 × 𝑥 3 = 0 𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 − 15000(0) + 416,67 72 × 0 × 0 2 × 0 3 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 𝑥 = 0 → 𝑀𝐶 − 15000(72) + 416,67 72 × 72 × 72 2 × 72 3 = 0 → 𝑀𝐶 = 720000 𝑙𝑏. 𝑖𝑛 Como a viga é simétrica o cálculo para a outra seção é idêntico. 2º Passo: Determinamos a força cortante e momento máximo a partir do DEC e DMF (faça os diagramas), obtendo: |𝑉|𝑚á𝑥 = 15000 𝑙𝑏 e |𝑀|𝑚á𝑥 = 720000 𝑙𝑏. 𝑖𝑛 47 www.redentor.edu.br 3º Passo: Devemos calcular o valor do módulo resistente, dado pelas equações: 𝑊𝑚í𝑛 = |𝑀|𝑚á𝑥 𝜎𝑎𝑑𝑚 e 𝑊𝑚í𝑛 = 𝐼 𝑌𝑚á𝑥 Calculando o 𝐼 e 𝑌𝑚á𝑥: 𝐼 = 𝑏ℎ3 12 → 𝐼 = 𝑏 × (1,25𝑏)3 12 →𝐼 = 0,163𝑏4 𝑌𝑚á𝑥 = ℎ 2 = 1,25𝑏 2 → 𝑌𝑚á𝑥 = 0,625𝑏 |𝑀|𝑚á𝑥 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝐼 𝑌𝑚á𝑥 → 720000 960 = 0,163𝑏4 0,625𝑏 → 750 = 0,261𝑏3 𝑏 = √ 750 0,261 3 → 𝑏 = 14,22 𝑖𝑛 Logo: ℎ = 1,25𝑏 = 1,25 × 14,22 → ℎ = 17,77 𝑖𝑛 4º Passo: Precisamos fazer a verificação quanto a tensão de cisalhamento. Para seção retangular temos: 𝜏𝑚á𝑥 = 3 2 |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 𝜏𝑚á𝑥 = 3 2 |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴 = 3 2 15000 (14,22 × 17,77) → 𝜏𝑚á𝑥 = 89,04 𝑝𝑠𝑖 > 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 75 𝑝𝑠𝑖 Como a tensão máxima é maior que a admissível devemos redimensionar a viga: 𝜏𝑚á𝑥 = 3 2 |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴 → 75 = 3 2 15000 𝑏 × 1,25𝑏 → 75 = 45000 2,5𝑏2 → 𝑏 = √ 45000 75 × 2,5 → 𝒃 = 𝟏𝟓, 𝟓 𝒊𝒏 Logo: ℎ = 1,25𝑏 = 1,25 × 15,5 → 𝒉 = 𝟏𝟗, 𝟒 𝒊𝒏 Anotações: 48 www.redentor.edu.br EXEMPLO 2 Sabendo que para o aço valem 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 160𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 100 𝑀𝑃𝑎, selecionar o perfil de abas largas W mais leve que possa ser usado para suportar o carregamento indicado com segurança. SOLUÇÃO: 1º Passo: Identificamos os valores das tensões máximas (fornecidos pelo problema): 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 160 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 100 𝑀𝑃𝑎 Agora vamos calcular as reações de apoio: ∑𝑀𝐴 = 0: − 70(3) − 70(8) − 5(11)(5,5) + 𝐷𝑦(11) = 0 → 𝐷𝑦 = 97,5 𝐾𝑁 ∑𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 − 70 − 70 + 97,5 − 5(11) = 0 → 𝐴𝑦 = 97,5 𝐾𝑁 Em seguida vamos calcular os valores de força cortante e momento fletor em cada trecho da viga: Seção AB: (0 ≤ 𝑥 ≤ 3) −𝑉𝐴𝐵 + 97,5 − 5𝑥 = 0 𝑥 = 0 → 𝑉𝐴 = 97,5 𝐾𝑁 𝑥 = 3 → 𝑉𝐵 = 97,5 − 5(3) = 82,5 𝐾𝑁 𝑀𝐴𝐵 − 97,5𝑥 + 5𝑥 × 𝑥 2 = 0 𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 𝑥 = 3 → 𝑀𝐵 = 97,5(3) − 5(3) × 3 2 → 𝑀𝐵 = 270 𝐾𝑁𝑚 Seção BC: (3 ≤ 𝑥 ≤ 8) −𝑉𝐵𝐶 + 97,5 − 70 − 5𝑥 = 0 𝑥 = 3 → 𝑉𝐵 = 97,5 − 70 − 5(3) → 𝑉𝐵 = 12,5 𝐾𝑁 𝑥 = 8 → 𝑉𝐶 = 97,5 − 70 − 5(8) → 𝑉𝐶 = −12,5 𝐾𝑁 49 www.redentor.edu.br 𝑀𝐵𝐶 − 97,5𝑥 + 70(𝑥 − 3) + 5𝑥 × 𝑥 2 = 0 𝑥 = 3 → 𝑀𝐵 = 97.5(3) + 70(3 − 3) + 5(3) × 3 2 → 𝑀𝐵 = 270 𝐾𝑁𝑚 𝑥 = 8 → 𝑀𝐶 = 97.5(8) + 70(8 − 3) + 5(8) × 8 2 → 𝑀𝐶 = 270 𝐾𝑁𝑚 Como a viga é simétrica, a seção DC será igual a AB. 2º Passo: Faça os DEC e DMF, determinando os valores |𝑉|𝑚á𝑥 e |𝑀|𝑚á𝑥 e observando que o |𝑀|𝑚á𝑥 ocorre quando 𝑉 = 0, o que ocorre no trecho BC. Assim: −𝑉𝐵𝐶 + 97,5 − 70 − 5𝑥 = 0 e 𝑉𝐵𝐶 = 0 0 + 97,5 − 70 − 5𝑥 = 0 → 𝑥 = 5,5 𝑚 Substituindo na equação do momento do mesmo trecho, temos: 𝑀𝐵𝐶 − 97,5𝑥 + 70(𝑥 − 3) + 5𝑥 × 𝑥 2 = 0 𝑀𝑚á𝑥 − 97,5(5,5) + 70(5,5 − 3) + 5 × 5,5² 2 = 0 𝑀𝑚á𝑥 = 285,62 𝐾𝑁.𝑚 Então: |𝑉|𝑚á𝑥 = 97,5 𝐾𝑁 |𝑀|𝑚á𝑥 = 285,62 𝐾𝑁.𝑚 3º Passo: Devemos calcular o módulo resistente mínimo usando a equação: 𝑊𝑚í𝑛 = |𝑀|𝑚á𝑥 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 285,62 × 103 160 × 106 𝑊𝑚í𝑛 = 1,785. 10 −3 𝑚3 = 1785. 103 𝑚𝑚3 50 www.redentor.edu.br Neste caso, o objetivo é determinar qual o perfil apresenta a melhor seção transversal (segura e econômica), logo não iremos usar expressão 𝑊𝑚í𝑛 = 𝐼 𝑌𝑚á𝑥 , pois não temos as dimensões do perfil. 4º Passo: Selecionamos na tabela abaixo o perfil W (no mínimo três, para fins de comparação) com valor do módulo resistente 𝑊 > 1785 (103 𝑚𝑚3), na oitava coluna. 𝑊 360 × 122 → 2020 𝑚𝑚3 𝑊 250 × 167 → 2060 𝑚𝑚3 𝑊 530 × 92 → 2080 𝑚𝑚3 O perfil mais econômico é aquele que tem menor peso por unidade de comprimento, e entre os três, 𝑊 530 × 92, com 92 Kg por metro linear. 5º Passo: Devemos verificar se o perfil 𝑊 530 × 92 é aceitável quanto à força cortante. Para isso na tabela pegamos os valores detalhados do perfil (em mm): 51 www.redentor.edu.br 𝑑 = 533 𝑚𝑚; 𝑏 = 209 𝑚𝑚; 𝑡𝑚 = 15,4 𝑚𝑚; 𝑡𝑎 = 10,2 𝑚𝑚 Para perfis de abas largas: 𝜏𝑚á𝑥 = |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎 ≤ 𝜏𝑎𝑑𝑚 𝜏𝑚á𝑥 = |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎 = 97,5 × 103 0,0102 × [0,533 − 2(0,0156)] 𝜏𝑚á𝑥 = 19,05 𝑀𝑃𝑎 < 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 100 𝑀𝑃𝑎 O perfil 𝑾 𝟓𝟑𝟎 × 𝟗𝟐 é aceitável. Caso 𝜏𝑚á𝑥 > 𝜏𝑎𝑑𝑚 deveríamos selecionar outro perfil, no caso 𝑊 360 × 122, com menor peso por unidade de comprimento, quando comparado com os outros, desde que 𝑊 > 1785 (103 𝑚𝑚3). Anotações: 52 www.redentor.edu.br Nesta aula, abordamos: Exemplos de dimensionamento de viga com seção retangular e carregamento distribuído; Exemplos de dimensionamento de vigas com carregamento distribuído, e seção transversal com perfil W, selecionado em tabela. HIBBELER (2010), pág. 403-404 Resumo 53 www.redentor.edu.br Para enriquecer seu conhecimento é importante que você: Revise os tópicos abordados nesta aula em bibliografia presente na Biblioteca Digital conforme resumo; Resolva o problema resolvido 7.9 e alguns dos exercícios propostos de 7.90 a 7.105 (BEER, 2006); Fazer os exercícios da lista de exercícios 1. Complementar 54 www.redentor.edu.br Básica: BEER, F. P. Resistência dos Materiais. 3. ed. São Paulo: McGraw Hill, 2006. HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. POPOV, E.P. Introdução à Mecânica dos Sólidos. São Paulo: Ed. Edgard Blucher, 1978. Complementar: ASSAN, A. E. Resistência dos Materiais. São Paulo, UNICAMP, 2010. BOTELHO, M. H. Resistência dos Materiais para entender e gostar. São Paulo: Studio Nobel, 1998. GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução da 7. Edição Norte-Americana, 2011. NASH, W. A. Resistência dos Materiais. São Paulo. McGraw-Hill do Brasil. 2. ed. 2003. NASH, W. A; POTTER, M.C. Resistência dos Materiais. Porto alegre. Bookman. 5. ed. 2014.Referências Bibliográficas 55 www.redentor.edu.br 1 – (HIBBELER, 2010) Uma viga será feita de aço que tem tensão de flexão admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 170 𝑀𝑃𝑎 e a tensão de cisalhamento admissível é 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 100 𝑀𝑃𝑎. Selecione uma forma W adequada para suportar a carga mostrada na figura abaixo. Resposta: W410x46. 2 – (HIBBELER, 2010) A viga de madeira laminada mostrada na figura abaixo suporta uma carga de 12 KN/m. Considerando a relação altura/largura de 1,5, determine sua menor largura. A tensão de flexão admissível 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 9 𝑀𝑃𝑎 e a tensão de cisalhamento admissível é 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 0,6 𝑀𝑃𝑎. Despreze o peso da viga. Resposta: 183 mm. AULA 3 Exercícios 56 www.redentor.edu.br APRESENTAÇÃO DA AULA Da mesma forma que a aula anterior, iremos resolver exercícios com o objetivo de dimensionar vigas: Carregamento suportado sendo conhecida a seção transversal, dimensões de uma seção transversal conhecida dado um determinado carregamento e, escolha de uma seção transversal para um dado carregamento. OBJETIVOS DA AULA Esperamos que, após a resolução dos exercícios presentes nessa aula, você seja capaz de: Determinar os diagramas de esforço cortante e momento fletor em uma viga; Analisar e dimensionar estruturas prismáticas sujeitas a carregamentos diversos; Projetar vigas visando a economia. Capítulo 1: Projeto de Vigas Aula 4 57 www.redentor.edu.br EXEMPLOS RESOLVIDOS: PROJETO DE VIGAS Repetindo o que foi dito na aula anterior, em todas as aplicações a seguir para dimensionar uma viga, não podemos esquecer que a falha do elemento estrutural (viga) ocorre quando o momento ou cisalhamento interno na viga é máximo. Assim é importante que as tensões de flexão e de cisalhamento associados não ultrapassem os valores admissíveis, determinadas por meio de tabelas de engenharia, associados aos valores de |𝑉|𝑚á𝑥 𝑒 |𝑀|𝑚á𝑥. Em seguida, será verificada a a resistência ao cisalhamento, comparando com a tensão admissível. Para seções retangulares: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 = 3 2 . |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴 . Para perfis I ou de abas largas usamos: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 = |𝑉|𝑚á𝑥 𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎 . Para seções de um modo geral consideramos: 𝜏𝑎𝑑𝑚>𝜏𝑚á𝑥 = |𝑉|𝑚á𝑥.𝑄 𝐼.𝑡 . EXEMPLO 1 (HIBBELER, 2010) Para a viga de aço mostrada abaixo valem 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 140𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 90 𝑀𝑃𝑎. Determine a máxima carga P que pode ser suportada com segurança. SOLUÇÃO: Iniciamos pelo cálculo das reações de apoio: ∑𝑀𝐶 = 0: 𝑃(4) − 𝐵𝑦(2) = 0 → 𝐵𝑦 = 2𝑃 ∑𝐹𝑦 = 0: − 𝑃 + 2𝑃 + 𝐶𝑦 = 0 → 𝐶𝑦 = −𝑃 Em seguida vamos calcular os valores de esforço cortante e momento fletor para cada trecho da viga: 58 www.redentor.edu.br Seção AB: (0 ≤ 𝑥 ≤ 2) −𝑉𝐴𝐵 − 𝑃 = 0 → 𝑉𝐴𝐵 = −𝑃 𝑀𝐴𝐵 + 𝑃𝑥 = 0 𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 𝑥 = 2 → 𝑀𝐵 = −2𝑃 Seção BC: (2 ≥ 𝑥 ≥ 0) 𝑉𝐵𝐶 − 𝑃 = 0 → 𝑉𝐵𝐶 = 𝑃 −𝑀𝐵𝐶 − 𝑃𝑥 = 0 𝑥 = 2 → 𝑀𝐵 = −2𝑃 𝑥 = 0 → 𝑀𝐶 = 0 Faça agora os diagramas de esforço cortante e momento fletor, e verifique que os valores máximos de força cortante e momento fletor são: |𝑉|𝑚á𝑥 = 𝑃 e |𝑀|𝑚á𝑥 = 2𝑃 Com os valores de |𝑀|𝑚á𝑥 e 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 140𝑀𝑃𝑎, calculamos o valor de 𝑊𝑚í𝑛: 59 www.redentor.edu.br 𝑊𝑚í𝑛 = |𝑀|𝑚á𝑥 𝜎𝑎𝑑𝑚 Mas 𝑊𝑚í𝑛 é também: 𝑊𝑚í𝑛 = 𝐼 𝑌𝑚á𝑥 Então precisamos calcular o centroide e o momento de inércia: �̅� = (𝑏 × ℎ × ℎ 2 ) ⏞ 𝑎𝑙𝑚𝑎 + (𝑏 × ℎ × ℎ 2 ) ⏞ 𝑚𝑒𝑠𝑎 𝑏 × ℎ + 𝑏 × ℎ �̅� = 0,02 × 0,15 × 0,075 + 0,12 × 0,02 × 0,16 0,02 × 0,15 + 0,12 × 0,02 → �̅� = 0,113 𝑚, 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑌𝑚á𝑥 = 0,113 𝑚 𝐼 = ( 𝑏 × ℎ3 12 + 𝐴 × 𝑑2) ⏞ 𝑎𝑙𝑚𝑎 + ( 𝑏 × ℎ3 12 + 𝐴 × 𝑑2) ⏞ 𝑚𝑒𝑠𝑎 𝐼 = ( 0,02 × 0,153 12 + 0,02 × 0,15 × 0,0382) + ( 0,12 × 0,023 12 + 0,12 × 0,02 × 0,0472) 𝐼 = 15,34 × 10−6 𝑚4 Assim igualando os termos de 𝑊𝑚í𝑛: |𝑀|𝑚á𝑥 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 𝐼 𝑌𝑚á𝑥 2𝑃 140 × 106 = 15,34 × 10−6 0,113 → 𝑃 = 15,34 × 10−6 × 140 × 106 2 × 0,113 → 𝑃 = 9,5 𝐾𝑁 Para finalizar precisamos fazer a verificação em relação a tensão máxima cisalhante: 𝜏𝑚á𝑥 = |𝑉|𝑚á𝑥.𝑄 𝐼. 𝑡 Vamos calcular o momento estático: 𝑄 = 𝐴 × 𝑦′ → 𝑄 = 0,02 × 0,113 × 0,0565 → 𝑄 = 1,27 × 10−4 𝑚3 𝜏𝑚á𝑥 = |𝑉|𝑚á𝑥. 𝑄 𝐼. 𝑡 90 × 106 = 𝑃 × 1,27 × 10−4 15,34 × 10−6 × 0,02 → 𝑃 = 90 × 106 × 15,34 × 10−6 × 0,02 1,27 × 10−4 → 𝑃 = 215,7 𝐾𝑁 Logo a carga máxima é 𝑷 = 𝟗, 𝟓 𝑲𝑵, pois atende tanto aos valores admissíveis da tensão de flexão quanto da cisalhante. 60 www.redentor.edu.br EXEMPLO 2 A viga mostrada na figura abaixo é construída em madeira para a qual valem 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 1,1 𝐾𝑠𝑖 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 0,70 𝐾𝑠𝑖. Determine a largura b para sua seção transversal se h = 2b. SOLUÇÃO: 1º Passo: Identificamos os valores das tensões admissíveis: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 1,1 𝐾𝑠𝑖; 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 0,70 𝐾𝑠𝑖 Calculamos as reações de apoio: ∑𝑀𝐵 = 0: 800(36) + 𝐶𝑦(72) − 6,67(108)(54) = 0 → 𝐶𝑦 = 140 ,27 𝑙𝑏 ∑𝐹𝑦 = 0: − 800 + 𝐵𝑦 − 6,67(108) + 140,27 = 0 → 𝐵𝑦 = 1380,1 𝑙𝑏 Em seguida vamos calcular os valores de esforço cortante e momento fletor para cada trecho: Seção AB: (0 ≤ 𝑥 ≤ 36) −𝑉𝐴𝐵 − 800 = 0 𝑉𝐴𝐵 = −800 𝑙𝑏 𝑀𝐴𝐵 + 800𝑥 = 0 𝑥 = 0 → 𝑀𝐴 = 0 𝑥 = 36 → 𝑀𝐵 = −800(36) → 𝑀𝐵 = −28800 𝑙𝑏. 𝑖𝑛 Seção BC: (36 ≤ 𝑥 ≤ 108) −𝑉𝐵𝐶 − 800 − 6,67(𝑥 − 36) + 1380,1 = 0 𝑥 = 36 → 𝑉𝐵 = −800 − 6,67(36 − 36) + 1380,1 → 𝑉𝐵 = 580,1 𝑙𝑏 𝑥 = 108 → 𝑉𝐶 = −800 − 6,67(108 − 36) + 1380,1 → 𝑉𝐶 = 99,85 𝑙𝑏 61 www.redentor.edu.br 𝑀𝐵𝐶 + 800𝑥 − 1380,1(𝑥 − 36) + 6,67 (𝑥 − 36)2 2 = 0 𝑥 = 36 → 𝑀𝐵 = −800(36) + 1380,1(36 − 36) + 6,67 (36 − 36)2 2 → 𝑀𝐵 = −28800
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