P1/17-2 de Álgebra Linear II - UFRJ

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INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFRJ
Álgebra Linear II - 2017.2
Professor Felipe Acker
Prova 1 - 31 de agosto
1. Uma partícula, em movimento
retilíneo uniforme (MRU), pas-
sou por (2, 1), em t = 0, e por
(−1,−7), em t = −4. Qual sua
posição em t = 2? Suponha que
o sistema de coordenadas é canô-
nico.
(a) (7/2, 5)
(b) (0.5,−3)
(c) (33/2, 25/2)
(d) (5/2, 9/2)
2. Suponha que, a partir de um sis-
tema de coordenadas canônico,
construímos um novo sistema,
com origem no ponto O e tendo
como base os vetores ~ε1 e ~ε2.
As coordenadas de O, ~ε1 e ~ε2,
no sistema canônico, são, res-
pectivamente, O = (5, 4), ~ε1 =
(−1, 1), ~ε2 = (3, 1). Uma par-
tícula, em movimento retilíneo
uniforme (MRU), passou por Po,
em t = 0, por (P1), em t = −4
e por P2, em t = 2. No sistema
definido por O, ~ε1 e ~ε2, Po e P1
são dados, respectivamente, por
Po = (2, 1) e por P1 = (−1,−7).
Quais as coordenadas de P2 no
sistema canônico original?
(a) (33/2, 25/2)
(b) (0.5,−3)
(c) (5/2, 9/2)
(d) (7/2, 5)
3. Sejam ~w, ~u1, ~u2, ~v1 e ~v2 vetores
no plano. Sabendo que
~w = x1~u1+x2~u2, ~v1 = 3~u1−2~u2 e ~v2 = ~u1−2~u2,
determine, em função de x1 e x2,
os escalares y1 e y2 tais que
~w = y1~v1 + y2~v2.
(a) (y1, y2) =
1
4
(2x1 +
x2,−2x1 − 3x2)
(b) y1 = 4, y2 = −4
(c) y1 =
1
2
(~v1−~v2), y2 = 14(~v1−
3~v2)
(d) y1 =
x1
4
, y2 =
x2
4
4. Se
A =
[
1 3
2 4
]
e B =
[
5 6
7 8
]
,
então
(a) AB e BA são iguais
2
(b) AB =
[
23 31
34 46
]
e BA =[
19 43
22 50
]
(c) AB −BA =
[
4 −12
12 −4
]
(d) as três opções anteriores es-
tão certas
5. Se
B =
[
1 3
2 4
]
, BA =
[
1 0
0 1
]
,
c =
[
1
2
]
e v =
[
x1
x2
]
,
então a solução de Av = c
(a) é
[
7
10
]
(b) não pode ser calculada
(c) é Bv
(d) é Bc
6. A equação da reta que passa por[
1
2
]
e
[
3
4
]
é
(a) 2(y − 2)− 2(x− 1) = 0
(b) 2x− 2y = 0
(c) 2x− 2y = −2
(d) y − x = 1
7. Se A é matriz 2 × 2 e n é nú-
mero natural, denotamos por An
o produto
n︷ ︸︸ ︷
A · · ·A .
Se
A =
[
1 3
1 1
]
,
então o determinante de A11
(a)
[
1 311
1 1
]
(b) 1− 311
(c) -2048
(d) 177147
8. Sejam P = (10, 14), r a reta
r = {t(−1, 1), t ∈ IR} e s a reta
s = {t(1, 1), t ∈ IR}. Então o
ponto Po de r mais próximo de
P é
(a) a interseção entre r e s
(b) o ponto (t, t) tal que t mi-
nimiza a função d(t) =√
(t− 10)2 + (t− 14)2
(c) a interseção de r com a reta
que passa por P e é paralela
a s
(d)
〈(10,14),(−1,1)〉
〈(−1,1),(−1,1)〉 (−1, 1)
9. Sejam
~ε1 =
[ √
3/2
1/2
]
, ~ε2 =
[ −1/2√
3/2
]
3
e v =
[
x1
x2
]
. Se v = y1~ε1+y2~ε2,
então
(a)
[
x1
x2
]
= y1
[ √
3/2
1/2
]
+
y2
[ −1/2√
3/2
]
(b)
[
x1
x2
]
=
[ √
3/2 −1/2
1/2
√
3/2
] [
y1
y2
]
(c) y1 e y2 são as soluções do
sistema{
(
√
3/2)y1 − (1/2)y2 = x1
(1/2)y1 + (
√
3/2)y2 = x2
(d) y1 = 〈v, ~ε1〉, y2 = 〈v, ~ε2〉
10. Seja A a matriz
[
a11 a12
a21 a22
]
. A
matriz B, dois por dois, que tem
a primeira linha igual à primeira
linha de A e a segunda linha
igual à segunda de Amenos a ve-
zes a primeira linha de A é:
(a)
[
a11 a12
a21 − aa11 a22 − a11
]
.
(b) AC, sendo C =
[ −a 0
1 1
]
.
(c) CA, sendo C =
[
1 0
−a 1
]
.
(d) AC, sendo C =
[
1 0
−a 1
]
.
11. Seja A a matriz
[
a11 a12
a21 a22
]
. A
matriz B, dois por dois, que tem
a primeira coluna igual à pri-
meira coluna de A e a segunda
coluna igual à segunda de A me-
nos a vezes a primeira coluna de
A é:
(a)
[
a11 a12 − aa11
a21 a22 − a11
]
.
(b) AC, sendo C =
[ −a 0
1 1
]
.
(c) CA, sendo C =
[
1 −a
0 1
]
.
(d) AC, sendo C =
[
1 −a
0 1
]
.
12. Seja T : IR2 → IR2 linear. Supo-
nha que u1 e u2 são vetores em
IR2 e que
Tu1 =
[
1
3
]
, Tu2 =
[
2
1
]
.
Então T (2u1 − 4u2)
(a) não pode ser calculado
(b) é
[ −10
0
]
(c) é 2Tu1 − 4Tu2
(d) é
[ −6
2
]
13. Seja T : IR2 → IR2 linear.
Suponha que u1 = (u11, u21) e
u2 = (u12, u22) formam, nessa or-
dem, uma base, α, para IR2 e
que Tu1 = (v11, v21) e Tu2 =
4
(v12, v22) são linearmente inde-
pendentes (e, portanto, formam,
nessa ordem, outra base, β, para
IR2). A matriz que, ao multipli-
car o vetor coluna formado pelas
coordenadas de qualquer vetor v
na base α, nos dá como resultado
o vetor coluna formado pelas co-
ordenadas de Tv na base β é
(a)
[
u11 u12
u21 u22
]
(b)
[
v11 v12
v21 v22
]
(c)
[
1 0
0 1
]
(d)
[
Tu1 u1
Tu2 u2
]
14. Seja T : IR2 → IR2 linear. Su-
ponha que u1 = (u11, u21) e u2 =
(u12, u22) formam, nessa ordem,
uma base, α, para IR2 e que v1 =
(v11, v21) e v2 = (v12, v22) for-
mam, nessa ordem, outra base,
β, para IR2. Se Tu1 = 3v1
e Tu2 = −2v2, então a matriz
que, ao multiplicar o vetor co-
luna formado pelas coordenadas
de qualquer vetor w na base α,
nos dá como resultado o vetor co-
luna formado pelas coordenadas
de Tw na base β é
(a)
[
3u11 u12
u21 −2u22
]
(b)
[
3 0
0 −2
]
(c) não pode ser calculada
(d)
[
v11 v12
v21 v22
]
15. Seja α a base formada, nesta or-
dem, por v1 = (v11, v21) e v2 =
(v12, v22). Seja w = 3v1 − v2. O
vetor coluna formado pelas coor-
denadas de w na base α
(a) é
[
3v11
−v22
]
(b) só pode ser calculado a par-
tir das coordenadas de v1 e
v2 na base canônica
(c) é
[
a11 a12
a21 a22
] [
3
−1
]
,
sendo a matriz à esquerda
formada pelas coordenadas
de v1 e v2 na base canônica
(d) é
[
3
−1
]
16. Seja w = 3v1 − v2. Se, na base
canônica, v1 e v2 são dados por
v1 =
[
3
2
]
, v2 =
[ −1
4
]
,
então o vetor coluna formado pe-
las coordenadas de w na base
canônica é
(a)
[
8
2
]
(b)
[
3 −1
2 4
] [
3
−1
]
5
(c)
[
3 2
−1 4
] [
3
−1
]
(d)
[
8
−7
]
17. Se, na base canônica, w, v1 e v2
são dados por
w =
[
3
−1
]
, v1 =
[
3
2
]
,
v2 =
[ −1
4
]
,
então o vetor coluna formado pe-
las coordenadas de w na base
α = {v1, v2} (nessa ordem) é
(a)
[
3 −1
2 4
] [
3
−1
]
(b)
[
10
2
]
(c)
[
3 −1
2 4
]−1 [
3
−1
]
(d)
1
14
[
4 1
−2 3
] [
3
−1
]
18. Se, na base canônica,
w =
[
3
−1
]
, v1 =
[
0, 6
0, 8
]
e v2 =
[ −0, 8
0, 6
]
,
então o vetor coluna formado pe-
las coordenadas de w na base
α = {v1, v2} (nessa ordem) é
(a)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
]−1 [
3
−1
]
(b)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
]T [
3
−1
]
(c)
[
0, 6 0, 8
−0, 8 0, 6
] [
3
−1
]
(d)
[
1
−3
]
19. Se, na base canônica, u1, u2, v1
e v2 são dados por
u1 =
[ √
2/2√
2/2
]
, u2 =
[ −√2/2√
2/2
]
,
v1 =
[
0, 6
0, 8
]
, v2 =
[ −0, 8
0, 6
]
,
e T : IR2 → IR2 é linear, com
Tu1 = −3v1, Tu2 = 5v2, então a
matriz de T na base canônica é
(a)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2
√
2/2
−√2/2 √2/2
]
(b)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2 −√2/2√
2/2
√
2/2
]
(c)
[
0, 6 0, 8
−0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2
√
2/2
−√2/2 √2/2
]
(d)
[
0, 6 0, 8
−0, 8 0, 6
] [ −3 0
0 5
] [ √
2/2 −√2/2√
2/2
√
2/2
]
6
20. Se, na base canônica, u1, u2, v1 e v2 são dados por
u1 =
[ √
2/2√
2/2
]
, u2 =
[ −√2/2√
2/2
]
, v1 =
[
0, 6
0, 8
]
, v2 =
[ −0, 8
0, 6
]
,
T : IR2 → IR2 é linear, com Tu1 = −5v1, Tu2 = 3v2, e [A] é a matriz
de T na base canônica, então a decomposição em valores singulares de
[A] é
(a)
[ −0, 6 −0, 8
−0, 8 0, 6
] [
5 0
0 3
] [ √
2/2
√
2/2−√2/2 √2/2
]
(b)
[
0, 6 −0, 8
0, 8 0, 6
] [ −5 0
0 3
] [ √
2/2
√
2/2
−√2/2 √2/2
]
(c)
[ −0, 6 0, 8
−0, 8 −0, 6
] [
5 0
0 3
] [ √
2/2
√
2/2√
2/2 −√2/2
]
(d)
[
0, 6 0, 8
0, 8 −0, 6
] [
5 0
0 3
] [ −√2/2 −√2/2√
2/2 −√2/2
]
21. Veja a figura e determine as tensões nas duas cordas (AC e BC) presas
às paredes.
7
NOME:
RESPOSTAS
(a) (b) (c) (d)
1. ♥ ♥ ♥ ♥
2. ♥ ♥ ♥ ♥
3. ♥ ♥ ♥ ♥
4. ♥ ♥ ♥ ♥
5. ♥ ♥ ♥ ♥
6. ♥ ♥ ♥ ♥
7. ♥ ♥ ♥ ♥
8. ♥ ♥ ♥ ♥
9. ♥ ♥ ♥ ♥
10. ♥ ♥ ♥ ♥
11. ♥ ♥ ♥ ♥
12. ♥ ♥ ♥ ♥
13. ♥ ♥ ♥ ♥
14. ♥ ♥ ♥ ♥
15. ♥ ♥ ♥ ♥
16. ♥ ♥ ♥ ♥
17. ♥ ♥ ♥ ♥
18. ♥ ♥ ♥ ♥
19. ♥ ♥ ♥ ♥
20. ♥ ♥ ♥ ♥