P2/17.2 de Álgebra Linear II - UFRJ

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INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFRJ
Álgebra Linear II - 2017.2
Professor Felipe Acker
Prova 2 - 5 de outubro
1. Um vetor v é dito combinação linear (CL) dos vetores v1, v2, . . . , vk se existem números
t1, t2, . . . , tk tais que v = t1v1 + t2v2 + . . .+ tkvk. Sejam
u1 =

1
0
0
4
5
6
, u2 =

0
1
0
3
2
1
, u3 =

0
0
1
2
4
6
.
Então,
(a)

1
2
3
6
5
4
 é CL de u1, u2 e u3.
(b)

6
6
6
1
1
1
 é CL de u1, u2 e u3.
(c)

pi
pi
pi
pi
pi
pi
 é CL de u1, u2 e u3.
(d)

−2
0
2
−1
1
3
 é CL de u1, u2 e u3.
2. Sejam u1 =
 12
4

e u2 =
 4−4
1

(note que 〈u1, u2〉 = 0). Seja α o plano dado por
α = {x1u1 + x2u2, x1 ∈ IR, x2 ∈ IR} .
Então a projeção ortogonal do ponto P = (3, 2, 3) sobre α é o ponto Po = (xo, yo, zo) tal que
(a) (xo, yo, zo) = 17u1 − u2
(b) (xo, yo, zo) =
19
21 (1, 2, 4) +
5
33 (4, 4,−1)
(c) (xo, yo, zo) =
1
3
(
19
7
〈−→
OP, u1
〉
u1 +
5
11
〈−→
OP, u2
〉
u2
)
(d) (xo, yo, zo) =
17
21u1 − 133u2
3. Sejam u1 =

7
4
6
1
1
0
, u2 =

6
5
4
3
2
1
. Seja v um vetor de IR
6
tal que existe número t tal que
v = tu2 e, além disso, 〈u1 − v, u2〉 = 0. Então
1
(a) t = 8/13
(b) v = 〈u1,u2〉〈u2,u2〉u2
(c) não existe tal v
(d) v = u2
4. Sejam u1 =

1
2
3
4
5
, u2 =

6
5
4
3
2
. Qual é a dimensão do espaço E gerado por u1, u2,

7
7
7
7
7
 , u2−
u1 e

1
1
1
1
1
?
(a) 2
(b) 3
(c) 4
(d) 5
5. Seja A =

0, 1 0, 3 0, 7 0, 6
0, 2 0, 4 0, 1 0, 1
0, 3 0, 2 0, 1 0, 1
0, 4 0, 1 0, 1 0, 2
. Se p =

0, 3
0, 1
0, 1
0, 5
 e Anp =

pn1
pn2
pn3
pn4
, então
(a) limn→∞(pn1 + pn2 + pn3 + pn4) = 2
(b) limn→∞(pn1 + pn2 + pn3 + pn4) = 0
(c) limn→∞(pn1 + pn2 + pn3 + pn4) =∞
(d) pn1 + pn2 + pn3 + pn4 = 1 ∀ n
6. Se u = (1,−1, 1) e v = (3, 3, 3), então a projeção ortogonal de v sobre a reta r = {tu, t ∈ IR}
é
(a) (1,−1, 1)
(b)
〈v,u〉
〈u,u〉u
(c) o ponto de r mais próximo de v, sendo a distância entre (y1, y2, y3) e (x1, x2, x3) dada
por ((y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + (y3 − x3)2)1/2
(d) (3,−3, 3)
7. Se u = (1,−1, 1,−1, 1,−1, 1) e v = (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3), então a projeção ortogonal de v sobre
a reta r = {tu, t ∈ IR} é
(a)
1
7 (3,−3, 3,−3, 3,−3, 3)
(b)
〈v,u〉
〈u,u〉u
(c) o ponto de r mais próximo de v, sendo a distância entre (y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7) e
(x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7) dada por ((y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + (y3 − x3)2 + (y4 − x4)2 +
(y5 − x5)2 + (y6 − x6)2 + (y7 − x7)2)1/2
(d) (3,−3, 3,−3, 3,−3, 3)
8. A matriz n × n U é dita ortogonal se seus vetores comluna são, todos, unitários e, dois
a dois, ortogonais, isto é: se Uj representa a j-ésima coluna de U , então 〈Ui, Uj〉 = δij ={
0, i 6= j
1, i = j
. Se U é ortogonal, então:
(a) UTU = I, sendo I a matriz identidade
(b) 〈Ux,Uy〉 = 〈x, y〉 ∀x, y ∈ IRn
2
(c) Os vetores linha de U são, todos, unitários e, dois a dois, ortogonais
(d) U−1 = UT
9. Seja E o subespaço de IR4 gerado pelos vetores u1 = (1, 1, 1, 1) e u2 = (2, 3, 4, 5). A projeção
ortogonal de v = (1, 3, 2, 5) sobre E é o vetor vo dado por
(a) vo = 1.1(1, 2, 3, 4)
(b) vo = (−0.1, 0.8,−1.3, 0.6)
(c) vo = 〈v, u1〉u1 + 〈v, u2〉u2
(d) vo =
〈v,u1〉
〈u1,u1〉u1 +
〈v,u2〉
〈u2,u2〉u2
10. Sejam
A =

1 2 3 4 5
1 0 1 0 1
pi 4 1 −1 0
2 3 pi 0 1
 e AT =

1 1 pi 2
2 0 4 3
3 1 1 pi
4 0 −1 0
5 1 0 1
 .
Sejam Im(A) o espaço gerado pelas colunas de A e Im(AT ) o espaço gerado pelas colunas
de AT . Então:
(a) Ax = 0⇔ x é ortogonal a Im(AT )
(b) AT y = 0⇔ y é ortogonal a Im(A)
(c) Im(A) = Im(AT )
(d) a dimensão de Im(A) é igual à de Im(AT )
11. É possível construir matriz 5× 4 (5 linhas e 4 colunas) tal que:
(a) a correspondente transformação linear é injetiva mas não sobrejetiva.
(b) a correspondente transformação linear é sobrejetiva mas não injetiva.
(c) o núcleo é gerado por (1, 2, 3, 4) e (2, 3, 4, 5) e a imagem é gerada por (0, 1, 2, 3, 4),
(1, 0, 3, 4, 5) e (1, 1, 5, 7, 9).
(d) o núcleo é gerado por (1, 2, 3, 4), (−2,−2,−2,−2) e (2, 3, 4, 5) e a imagem é gerada por
(0, 1, 2, 3, 4), (1, 0, 3, 4, 5) e (1, 2, 5, 7, 9).
12. Suponha que A é matriz m × n e existem, pelo menos, k linhas de A que são linearmente
independentes. Então:
(a) n ≥ k.
(b) existem k colunas de A que são linearmente independentes.
(c) o espaço das linhas tem dimensão k
(d) o espaço das colunas tem dimensão k.
13. Considere o sistema linear  x1 + x2 = 2x1 − x2 = 0
x1 + 3x2 = 5
(a) A melhor solução aproximada vai dar y3 =
7
3
(b) A melhor solução aproximada é tal que x1 = 2
(c) A melhor solução aproximada é (7, 17)
3
(d) A melhor solução aproximada é
1
12 (13, 15)
14. Suponha que a transformação linear T : IRn → IRm é tal que sua imagem, Im(T ) = T (IRn),
tem dimensão k. Então:
(a) existem k vetores de IRn, v1, . . . , vk, tais que T (v1), . . . , T (vk) formam base de Im(T ).
(b) existem k vetores unitários e, dois a dois, ortogonais de IRn, v1, . . . , vk, tais que
T (v1), . . . , T (vk) formam base ortonormal de Im(T ).
(c) existe base ortonormal de IRn, {ε1, . . . , εn} tal que Tε1, . . . , T εk são linearmente inde-
pendentes e Tεi = 0, para todo i maior do que k.
(d) existem subespaços, E de IRn, e F de IRm, com dim E=dim F = k, tais que T leva E
bijetivamente em F e Tu é zero, para todo u no espaço ortogonal a E.
15. Suponha que A é matriz m× n e que seu espaço das colunas tem dimensão k. Então
(a) existem matrizes quadradas e invertíveis, V (n×n), e U (m×m), tais que A = UMV −1,
sendo M matriz que tem as k primeiras colunas linearmente independentes e as demais
nulas.
(b) existem matrizes quadradas e invertíveis, V (n×n), e U (m×m), tais que A = UMV −1,
sendo M = [aij ] matriz que tem aii = 1, se i = 1, . . . , k, e todas as demais entradas
nulas.
(c) existem matrizes quadradas e invertíveis, V (n×n), e U (m×m), tais que A = UMV T ,
sendo V ortogonal e M matriz que tem aii = 1, se i = 1, . . . , k, e todas as demais
entradas nulas.
(d) existem matrizes quadradas e ortogonais, V (n×n), e U (m×m), tais que A = UMV T ,
sendo M = [aij ] matriz que tem não nulas apenas as entradas aij tais que 1 ≤ i, j ≤ k.
16. Seja E o subespaço de IR5 gerado pelos vetores (1, 2, 3, 4, 0), (1, 2, 0, 2, 0) e (5, 5, 5, 5, 5).
(a) Crie base ortogonal (isto é, composta por vetores, dois a dois, ortogonais) para E.
(b) Determine a projeção ortogonal sobre E do vetor (2,−1, 1,−1, 1).
17. Seja TIR2 → IR3 a transformação linear dada pela matriz
 3 16 2
2 4

.
(a) T é sobrejetiva?
(b) T é injetiva?
(c) O ponto y = (3, 1,−5) está na imagem de T?
(d) Qual o ponto xo de IR
2
tal que Txo está o mais próximo possível de y?
(e) Qual o ponto yo da imagem de T mais próximo de y?
4
NOME:
RESPOSTAS
(a) (b) (c) (d)
1. ♥ ♥ ♥ ♥
2. ♥ ♥ ♥ ♥
3. ♥ ♥ ♥ ♥
4. ♥ ♥ ♥ ♥
5. ♥ ♥ ♥ ♥
6. ♥ ♥ ♥ ♥
7. ♥ ♥ ♥ ♥
8. ♥ ♥ ♥ ♥
9. ♥ ♥ ♥ ♥
10. ♥ ♥ ♥ ♥
11. ♥ ♥ ♥ ♥
12. ♥ ♥ ♥ ♥
13. ♥ ♥ ♥ ♥
14. ♥ ♥ ♥ ♥
15. ♥ ♥ ♥ ♥
5