Lista - Sequências e Séries

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Universidade Federal da Bahia
MATA04 Ca´lculo C
Lista de Exerc´ıcios 1- (Sequeˆncias)
(1) Liste os cinco primeiros termos da sequeˆncia.
(a) an = 1− (0, 2)n.
(b) an =
3(−1)n
n!
.
(c) a1 = 3, an+1 = 2an − 1.
(d) an =
4n
n2 − 7
(e) an =
(−1)n+1
2n+ (−3)n
(2) Encontre uma fo´rmula para o termo geral da sequeˆncia, assumindo que o padra˜o dos primeiros termos
continua.
(a)
{
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, . . .
}
.
(b) {2, 7, 12, 17, . . .}.
(c)
{
1,−2
3
,
4
9
,− 8
27
, . . .
}
.
(3) Determine se a sequeˆncia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
(a) an = n(n− 1).
(b) an =
3 + 5n2
n+ n2
.
(c) an =
2n
3n+1
.
(d) an =
(−1)n−1n
n2 + 1
.
(e) an = cos
(n
2
)
.
(f)
{
(2n− 1)!
(2n+ 1)!
}
.
(g) an =
en − e−n
e2n + 1
.
(h) an = n
2e−n.
(i) an =
cos2 n
2n
.
(j) an = n sen
(
1
n
)
.
(k) an =
(
1 +
2
n
)1/n
.
(l) an = {0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, . . .}.
(m) an =
n!
2n
.
(n) an = (−1)n
(
n+ 1
n
)
.
(o)
{
arctg
(
2n
2n+ 1
)}
.
(p) an =
n3
n!
.
(q) an =
1× 3× 5× · · · × (2n− 1)
(2n)n
.
(4) Determine se a sequeˆncia dada e´ crescente, decrescente, na˜o mono´tona, limitada inferiormente, limitada
superiormente e/ou limitada. Usando o Teorema da Seqeˆncia Mono´tona, verifique se a mesma e´ convergente.
(a) an = (−2)n+1
(b) an =
1
2n+3
(c) an =
n
n2+1
(d) an =
1
4n
(e) an =
2n2 − 1
n
(f) an =
4− n
2n+ 3
(5) Para quais valores de r a sequeˆncia {nrn} e´ convergente?
(6) Calcule o limite da sequeˆncia {√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
}
.
Observac¸a˜o: por causa da conclusa˜o deste exerc´ıcio, escrevemos
√
2
√
2
√
2 · · · = 2.
1
2
(7) Mostre que a sequeˆncia definida recursivamente por
a1 = 1 an+1 = 3− 1
an
e´ crescente e an < 3 para todo n. Deduza que {an} e´ convergente e calcule o seu limite.
3
Respostas
(1) (a) 0, 8; 0, 96; 0, 992; 0, 9984; 0, 99968.
(b) −3, 32 , − 12 , 18 , − 140 .
(c) 3, 5, 9, 17, 33.
(d) 0, − 23 , − 83 , 6, 169 .
(e) − 113 , − 121 , − 189 , − 1233 , − 1741 .
(2) (a) an =
1
2n .
(b) an = 5n− 3.
(c) an =
(− 23)n−1.
(3) (a) D.
(b) C, 5.
(c) C, 0.
(d) C, 0.
(e) D
(f) C, 0.
(g) C, 0.
(h) C, 0.
(i) C, 0.
(j) C, 1.
(k) C, 1.
(l) D.
(m) D.
(n) D.
(o) C, pi4 .
(p) C, 0.
(q) C, 0.
(4) (a) na˜o mono´tona
(b) decrescente, 0
(c) decrescente, 0
(d) limitada inferiormente, superiormente (limitada), decrescente
(e) limitada inferiormente, crescente
(f) limitada superiormente, inferiormente (limitada), decrescente
(5) −1 < r < 1.
(6) (3 +
√
5)/2.