Lista sequências e séries

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO
UNIDADE ACADEMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO
Disciplina: Ca´lculo diferencial e integral 3
2017.2 – Lista de exerc´ıcios (sequeˆncias e se´ries)
1. Encontre a fo´rmla para o termo geral da sequeˆncia.
(a)
{
1,
1
3
,
1
5
,
1
7
,
1
9
, · · ·
}
(b)
{
1,−1
3
,
1
9
,− 1
27
,
1
81
, · · ·
}
(c) {5, 8, 11, 14, 17, · · · }
(d)
{
1
2
,−4
3
,
9
4
,−16
5
,
25
6
, · · ·
}
(e) {1, 0,−1, 0, 1, 0,−1, · · · }
2. Para quais valores de r a sequeˆncia e´ convergente e para quais valores ela e´ divergente?
Quando for convergente, calcule o seu limite.
(a) {rn}∞n=1 (b) {nr}∞n=1
3. Calcule o limite da sequeˆncia ou mostre que ela e´ divergente.
(a) {1 + (0, 3)n}∞n=1
(b)
{
5− (−4
5
)n
}∞
n=1
(c)
{
3 + (−8
3
)
}∞
n=1
(d)
{
2 + n3/2
}∞
n=1
(e)
{
5− n−1/2}∞
n=1
(f) {4 + n−3}∞n=1
(g)
{
1,
2
3
,
4
9
,
8
27
,
16
81
,
32
24
, · · ·
}
(h)
{
1,
5
3
,
25
9
,
125
27
,
625
81
, · · ·
} (i)
{
1,−3
5
,
9
25
,− 27
125
,
81
625
, · · ·
}
4. Calcule o limite das sequeˆncias ou mostre que a sequeˆncia e´ divergente.
(a)
{
n3 + 2n
n3 − n+ 1
}
(b)
{−3n4 + 5n− 1
2n4 − 1
}
(c)
{
n2 + 2
n+ 4
}
(d)
{
n3 + 3√
n6 + 4
}
(e)
{
3
√
n6 + 2
n2 − 3
}
(f)
{
n3 + 3
n2 +
√
n+ 2
}
(g)
{
(lnn)2
n
}
(h) {n sin 1/n}
(i)
{
(−1)n−1
n2 + 1
}
(j)
{
n
√
21+3n
}
(k) an =
en + e−n
e2n − 1
(l) an = 2−n cosnpi
(m)
{
(−1)nn3
n3 + 2n+ 1
}
(n)
{
(−1)nn2
n2 + 1
sin (1/n)
1/n
}
(o) an = ln (2n
2 + 1) −
ln (n2 + 1)
(p)
{
n
√
a
}
, a > 0
(q)
{
n
√
n
}
(r)
{√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, · · ·
}
(s)
{√
a,
√
a
√
a,
√
a
√
a
√
a, · · ·
}
, a > 0.
5. Determine se a se´rie geome´trica e´ convergente ou divergente. Se for convertente, calcule sua
soma.
(a)
∞∑
n=1
3(0, 8)n−1
(b)
∞∑
n=1
(−2)n−1
3n
(c)
∞∑
n=0
pin
3n+1
(d)
∞∑
n=1
en
3n−1
(e)
∞∑
n=1
[(
1
4
)n
+
(
3
4
)n]
(f)
∞∑
n=1
[(
3
2
)n
+
(
2
3
)n]
(g)
∞∑
n=1
[
2−n − 2−3n]
(h) 3− 4 + 16/3− 64/9 + · · ·
(i) 10− 2 + 0, 4− 0, 08 · · ·
6. Utilize o teste da integral ou o teste da p-se´rie para determinar se a se´rie e´ convergente ou
divergente.
(a)
∞∑
n=1
n
n2 + 1
(b)
∞∑
n=1
1
(2n+ 1)3
(c)
∞∑
n=2
1
n(ln)2
(d)
∞∑
n=2
ln (n2)
n
(e)
∞∑
n=1
n2e−n
3
(f)
∞∑
n=2
n− 4
n2 − 2n+ 1
(g)
∞∑
n=2
lnn
n
(h)
∞∑
n=1
1
n2/3
(i)
∞∑
n=1
1
n3/2
(j)
∞∑
n=1
n−3/2
(k)
∞∑
n=1
3
√
n
n2
(l)
∞∑
n=1
3
√
n2
n
7. Utilizando o teste da integral, determine os valores de p para os quais a se´rie e´ convergente.
(a)
∞∑
n=2
1
n(lnn)
(b)
∞∑
n=3
1
n lnn[ln (lnn)]n
(c)
∞∑
n=1
n(1 + n2)p
(d)
∞∑
n=1
ln
np
8. Use o teste da comparac¸a˜o para determinar se a se´rie comverge ou diverge.
(a)
∞∑
n=1
1
n4 + n2 + 1
(b)
∞∑
n=1
2 + cosn
n2
(c)
∞∑
n=1
arctgn
n
(d)
∞∑
n=1
1
n!
(e)
∞∑
n=1
1
n+
√
n
(f)
∞∑
n=1
1
n2n
(g)
∞∑
n=1
1− n
n2n
(h)
∞∑
n=1
1
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2
(i)
∞∑
n=1
lnn
n