Calculo de Incertezas

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CÁLCULO DE INCERTEZA DE MEDIÇÕES 
 
 
Introdução 
 
Em geral, o resultado de uma medição de uma grandeza física é apenas uma 
estimativa - ou uma aproximação - do valor verdadeiro do mensurando. Como 
conseqüência desse fato, o resultado da medição somente é completo quando 
acompanhado do valor declarado da incerteza. 
 
A incerteza do resultado de uma medição é composta por diversos componentes que 
devem ser agrupados em duas categorias, de acordo com o método utilizado para 
estimar seu valor numérico: 
 
Tipo-A - os que foram determinados utilizando-se a análise estatística em uma 
série de observações. 
 
Tipo-B - os que foram determinados por quaisquer outros meios. 
 
 
Avaliação da Incerteza Padrão Tipo-A 
 
A avaliação da incerteza padrão tipo A deve ser baseada em métodos estatísticos 
válidos para tratamento de dados. Por exemplo: 
· Cálculo do desvio-padrão da média de uma série de observações independentes; 
· Utilização do método dos mínimos quadrados para ajustar uma curva aos dados a fim 
de estimar parâmetros da curva e seus desvios-padrão; 
· Identificar e quantificar efeitos randômicos em certos tipos de medições, quando 
efetuando análise de variância. 
 
Avaliação da Incerteza Padrão Tipo-B 
 
A avaliação da incerteza padrão tipo B é efetuada por outros meios que não a análise 
estatística de uma série de observações. É usualmente baseada em julgamentos 
científicos utilizando todas as informações disponíveis, que podem ser obtidas a partir 
de: 
· Dados de medições anteriores 
· Experiência ou conhecimento geral do comportamento dos instrumentos 
· Especificações do fabricante 
· Dados provenientes de calibrações e de outros certificados 
· Incertezas atribuídas a dados de referência provenientes de manuais ou publicações 
· O equipamento que está sendo calibrado ou medido, por exemplo sua resolução e 
qualquer instabilidade durante a Calibração 
· Procedimentos operacionais 
· Os efeitos das condições ambientais nas informações citadas acima 
 
 
 
Determinação da Incerteza de Medição 
 
De acordo com o GUM (Guia para Determinação da Incerteza em Medição) o cálculo da 
incerteza em uma medição deve ser realizado empregando-se o seguinte procedimento: 
 
a) Se possível, determine a relação matemática entre (o valor estimado das) 
grandezas de entrada e (o valor estimado da) grandeza de saída. 
)x,......,xx(fy n, 21= 
b) Identifique todas as correções que devem ser aplicadas aos resultados de medição 
de uma grandeza (mensurando) para as correções das medições. Incluído entre as 
grandezas de entrada xi estão além das correções (ou fatores de correções), 
fatores que possibilitam que sejam considerados outras fontes de variabilidade tais 
como diferentes observadores, instrumentos, amostras, laboratórios e tempos em 
que as observações são feitas (p.ex. dias diferentes). Assim, a função (f) da 
equação acima não deve expressar uma simples lei física, mas o processo de 
medição e, em particular, ela deve contemplar todos fatores que contribuem de 
forma significativa para a incerteza do resultado da medição. 
 
c) Liste os componentes sistemáticos de incerteza associados a erros sistemáticos 
corrigidos ou não, tratados como incertezas. 
 
d) Procure por trabalhos experimentais ou teóricos prévios, para tomar como base na 
definição das incertezas e probabilidades de distribuição das incertezas de 
componentes sistemáticas. 
 
e) Determine o valor da incerteza-padrão para cada componente obtida da avaliação 
do tipo-B, conforme estabelecido abaixo: 
 
 Para distribuição retangular 
3
i
i
a
)x(u = 
 
 Para distribuição normal 
( )
k
expandida incerteza
xu i = 
 
Ou refira-se a outras referências caso as distribuições de probabilidade assumidas 
forem diferentes. (Ex: triangular). 
 
f) Utilize conhecimentos prévios ou faça medições e cálculos para determinar se pode 
ocorrer uma componente de incerteza devido a um efeito aleatório que seja 
significativa comparada com as componentes devido a efeitos sistemáticos. 
 
g) Se uma incerteza de componente aleatória é significantiva, faça medições 
repetidas para obter a média da equação: 
å
=
=
n
k
kx
n
 x
1
1
 
h) Calcule o desvio-padrão da média [ )x(s ]: 
 
( )
( )
( ) Þ-
-
=
å
=
1
1
2
N
xx
xs
N
k
i
( ) ( )
N
xs
xs
k
= 
 
Ou refira-se a medições de repetitividades prévias para uma boa estimativa de 
(xk), baseado em um grande número de leituras. 
i) Mesmo quando a incerteza de componente aleatória não for significativa, procure 
verificar a indicação do instrumento pelo menos uma vez para minimizar erros de 
anotação do operador. 
 
j) Calcule a incerteza padrão para as avaliações Tipo A acima tomando como base a 
seguinte equação: 
 
( ) ( )xsxiu = 
 
k) Calcule a Incerteza Padrão Combinada para as grandezas de entrada não-
correlatas, utilizando a equação abaixo, no caso de se utilizar valores absolutos. 
 
åå
==
º=
N
i
ii
N
i
ic )y(u)x(uc)y(u
1
2
1
22
 
 
Onde ii xfc ¶¶= ou um coeficiente conhecido 
 
 
l) Sendo constatada a existência de correlação entre grandezas, deve ser utilizada a 
seguinte expressão: 
 
( )å åå
-
= +== ¶
¶
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=
1
1 1
2
1
2
2
N
i
N
ij
ji
ji
i
N
i i
c x,xu
x
f
x
f
)x(u
x
f
)y(u 
 
Possíveis Fontes de Incerteza em Calibrações de Instrumentos Elétricos 
 
· Certificado de calibração do instrumento. 
· Estabilidade do instrumento. 
· Condições ambientais. 
· Efeitos elétricos operacionais (potência dissipada, distorção harmônica, níveis de 
tensão aplicados diferentes quando da calibração da referência, aquecimento, 
variações da rede de alimentação). 
· Interpolação dos dados de Calibração. 
· Resolução do instrumento. 
· Configuração (lay-out) dos equipamentos (fugas para terra, loops de terra, fuga 
de campos eletromagnéticos). 
· Força termo-eletromotriz. 
· Impedância de cargas e cabos. 
 
 
 
Exemplos de Cálculo de Incertezas 
 
 
Exemplo-1 
 
Determinação da altura de uma pessoa com uma fita métrica. 
Foram levantados os seguintes dados: 
 Comprimento total da fita= 2.0000 m 
 Valor indicado (altura do indivíduo)= 1.6735 m 
 Resolução da fita métrica (Dr)= 0.5 mm 
 Classe de exatidão da fita-métrica (Dls) = ±0.5 mm 
 
Equação que descreve o processo de medição (modelo matemático): 
 
rlll ssx D+D+= 
 
Cálculos para determinação da incerteza: 
 
( ) ( ) 1r
l
 ,1
l
l
 ,1
l
l x
s
x
s
x
=
D¶
¶
=
D¶
¶
=
¶
¶
 
 
0u1 = 
mm 144.03
2
5.0
uu )r(2 =÷
ø
ö
ç
è
æ== - incerteza padrão devido à resolução finita da escala 
 
( )
mm 289.03
2
5.05.0
)ls(uu3 =÷
ø
ö
ç
è
æ --=D= - incerteza padrão devido às imperfeições na comparação 
 
 
uc – incerteza combinada mm 323.0289.0144.00uuuu 2223
2
2
2
1 =++=++= 
 
incerteza expandida Þ U=k*uc=2*0.323=0.65 mm = 0,00065 m » 0,0007m 
 (Nota: fator de segurança=2 Þ nível de confiança de 95,4%) 
 
Resposta: 
A altura da pessoa é (1,6735 ± 0,0007)m ou 1,6735 m ± 0,4% 
Exemplo-2: 
 
Medição de uma grandeza elétrica utilizando um instrumento (elétrico). 
 Análise teórica 
 
 Modelo gráfico: 
 
 
 
 
 
Y- mensurando (grandeza de saída) 
X - grandeza de entrada 
T - fator de transmissão (cabos) altera a grandeza de entrada. 
 
Y = X / T 
Valor indicado no instrumento Xi, 
 
dXi –resolução do instrumento de medição . 
 
K - fator de escala (do instrumento) 
 
 Relação entre a grandeza de entrada X e a indicação do medidor: Xi+dXi=K*X 
 
Modelo matemático de avaliação:KT
XXi
Y
i
*
d+
= 
 
Valor estimado do mensurando kt
xx
y
ii
*
d
=
+
 
Resultado da medição kt
x
y
i
*
= 
 
Cálculo da incerteza (combinada) 
 
Þ÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
+÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
= å
=
2
2
xi
2
2
k
2
2
t
N
1i
2
i
)y(c
xi
y
u
k
y
u
t
y
u
x
y
ciu ú
û
ù
ê
ë
é
++*= d
2
i
2
x
2
2
k
2
2
t2
)y(
x
u
k
u
t
u
yu i 
 
Para t@1 e k@1 [ ] 2222 ixkt)y(c uuuxu d++*= 
 
 
Fonte de 
tensão 
Cabos Y X Xi 
Considere um caso prático de uma medição realizada com um voltímetro digital de 3½ digitos. Os dados 
obtidos foram: 
Faixa de medição = 200mV Faixa (indicação) = 0,1…199,9 mV 
Valor Indicado (Vx) = 90,6 mV Resolução (dVx) = 0,1 mV 
Fator de escala (k) = 1±0,005 Conecções (t) = 1±0,00001 
Resolução (baseada na desenvolvimento teórico acima): 
 
Cálculo das Incertezas-padrão: 
Devido à Resolução (duVx) = ( )
3
210, = 0,029 mV Devido ao fator de escala (uk) = 0,002 9 
Devido às conecções(ut) = 0,000 005 8 
 
Então, a incerteza combinada será determinada a partir de: 
( ) 26,0029,00000058,00029,06,90u 2222c @++= 
Incerteza expandida mV ,,kukuU )V(c x 5202602 @*=== 
 
A tensão medida é, portanto: 
 
 
mV ),,(V x 50690 ±= ou %,mV ,Vx 60690 ±= 
Tendo em vista as dificuldades para fazer o cálculo da incerteza através do procedimento 
padrão, é comum utilizar-se de uma planilha, como nos exemplos abaixo. 
 
 
1Exemplo 3: Medida de Década Resistiva 
Cálculo de Incerteza, para um dial, efetuando medida direta, com um Voltímetro marca VOLTA. 
 
A) Avaliação de Incerteza tipo A. 
A1) Repetitividade das Leituras. 
Aplicar os conceitos dos documentos acima. 
Considerando as leituras : dial de 10 ohms/passo, no ponto de leitura de 10 ohms. 
10,0057 ohms 
10,0059 ohms 
10,0055 ohms 
 
Resulta : Xm= 10,0057 ohms s = 2*10
-4 ohm 
 
B) Avaliação de Incerteza tipo B. 
 
B.1) Incerteza da Calibração do Voltímetro VOLTA. 
Conforme dados do último Certificado de calibração tem-se: 
U = 5,3 ppm, para um fator de abrangência K=2. à resulta: (10,0057 x 0,0000053) = 5,3E-5 ohm 
 
B.2) Resolução do Voltímetro VOLTA 
Neste caso a leitura foi efetuada com resolução de 1E-4 ohm 
 
B.3) Incerteza da Classe de Exatidão do Voltímetro. 
Pelo manual do fabricante a incerteza declarada é de 
 ± 16 ppm da leitura ± 1 ppm da escala 
Temos: (10,0057 x 0,000016 + 0,000001 x 140) = 3E-4 ohm 
 
Planilha para cálculo para Incerteza 
 
Tipo de 
Incerteza Fonte de Incerteza 
Valor Xi Tipo de 
Distribuição Div. ci nefi ui(x) u
2i(x) u4i(x) 
 ohm. ohm. ohm2 ohm4 
A Repetitividade Leituras 2,0E-4 Normal Ö3 1 2 1,15E-4 1,32E-8 1,74E-16 
B Inc. Cal. VOLTA 5,3E-5 Normal 2,0 1 µ 2,65E-5 7,02E-10 49,32E-20 
B Resol. VOLTA 1,0E-4 Ret. Ö12 1 µ 2,89E-5 8,35E-10 69,72E-20 
B Classe do VOLTA 3,0E-4 Ret. Ö3 1 µ 1,73E-4 2,99E-8 8,94E-16 
uc(g) Incerteza Combinada 2,11E-4 
U Incerteza Expandida 4,43E-4 
neff ----> no. de graus de liberdade Efetivo. 
Empregando-se a fórmula de Welch-Satterwaite 
 
Þ=
¥
+
¥
+
¥
+
=
n
=n -
-
----
å
2
741
022
94872693249
2
741
122
16
15
16202016
4
4
4
x
),(
),(
),(),(),(),(
),(
)x(u
)y(u
i
i
c
eff
 
2,23eff =n 
 
Pela tabela de Student, para um grau de confiança de aproximadamente 95% e um grau efetivo de liberdade 
23 tem-se : 
 
 
1 Exemplo retirado de documento Roteiro para “Cálculo de Incertezas” elaborado por Luís Henrique do Laboratório de 
Medição das Centrais Elétricas de Furnas. 
Fator de abrangência k = 2,1 
 
 
A incerteza expandida U é dada por : U = uc(y) x k , ou seja 2,11-4 x 2,1 = 4,43-4 ohm. 
 
A incerteza é baseada na incerteza padrão multiplicada por um fator de abrangência k = 2,1 para um nível de 
confiança de aproximadamente 95%. 
 
Assim, o resultado completo da medição é: 
( )W±= 00040005710 ,,x 
2Exemplo 4: Medida de Energia 
 
 
A) Avaliação da Incerteza tipo A 
 
Repetitividade das Leituras 
 
Efetuar 3 leituras e aplicar os conceitos do(s) documento(s) acima. 
 
Considerando as leituras ( Joule ) : 
 
11999,98 
12000,04 
12000,05 Temos: Xi = 12.000,02 s-1 = 3,79E-02 
 
 
B) Avaliação da Incerteza do tipo B 
 
Incerteza da Classe de Exatidão do Padrão 7200 
 
Pelo manual do fabricante temos : ± 0,008% da leitura + 2 Dig. > 12.000,00x0,00008+2 = 0,96J 
 
Incerteza da Calibração do 7200 
 
Conforme dados do último Certificado 
 
Temos: U = ± 0,01%, para um fator de abrangência K=2. > 12.000,00 x 0,0001 = 1,2J 
 
Resolução do Padrão 7200 – Escala 120V / 1A 
 
Pelo Manual do Fabricante > 0,01J 
 
Resolução do Medidor sob Teste – Escala 120V / 1A 
 
Pelo Manual do Fabricante > 0,01J 
 
 Padrão de Energia mod. 7200, Guidline. 60 Hz 
 
 a) Avaliação da incerteza tipo A 
 
 > R LEIT.Ref = Repetitividade das Leituras (n ) = 3 
 > R LEIT.Test = Repetitividade das Leituras (n ) = 3 
 
 b) Avaliação da incerteza tipo B 
 
 > I CEP = Incerteza da Classe de Exatidão do Padrão 7200 0,98 Joules 
 > I CPR = Incerteza da Calibração do Padrão 7200 1,20 Joules 
 > R Ref = Resolução do Padrão 7200 0,01 Joules 
 > R Ref = Resolução do Instrumento sob Teste 0,01 Joules 
 
 
Condição : 120V/1A 
1 é FP = 1 
 
Leituras Energia Lida ( J ) Energia Padrão ( J ) 
 
2 Exemplo retirado de documento Roteiro para “Cálculo de Incertezas” elaborado por Luís Henrique 
do Laboratório de Medição das Centrais Elétricas de Furnas. 
 
1 
2 
3 
 
12000,00 
12000,00 
12000,00 
 
11999,98 
12000,04 
12000,05 
MÉDIA = 
DESVIO PADRÃO = 
 
12000,00 12000,02 
3,79E-02 
 
 
Tipo Simbologia Xi Dist. Div. Ci Vefic. Ui(x) Ui2(x) Ui4(x)/Vefic. 
 ( J ) ( J ) ( J ) ( J ) 
Tipo A RLEIT. 3,79E-02 Normal Ö3 1 2 2,19E-02 4,78E-04 2,28E-07 
Tipo A RLEIT. 0,00E+00 Normal Ö3 1 2 0,00E+00 0,00E+00 0,00E+00 
Tipo B ICEP 9,8E-01 Ret. Ö3 1 ì 5,66E-01 3,20E-01 1,02E-01 
Tipo B ICPR 1,20E+00 Normal 2 1 ì 6,00E-01 3,60E-01 1,30E-01 
Tipo B IREL. PAD 1,00E-02 Ret. Ö12 1 ì 2,89E-03 8,33E-06 6,94E-11 
Tipo B IREL. TEST 1,00E-02 Ret. Ö12 1 ì 2,89E-03 8,33E-06 6,94E-11 
 
Leitura 12000,023 Joules. 
Uc(x) = 8,25E-01 
U% = ± 0,014 1,65+00 
 V EFF = 1000 
 K = 2,00 
 
U = +/- 1,6 J 
 
A incerteza é baseada na incerteza padronizada combinada multiplicada por um fator de abrangência k = 
2, com um nível de confiança de aproximadamente 95%. 
 
3Exemplo 8: Medida de Potência AC 
 
Conforme esquema de ligação abaixo: 
 
 
 
 
 P1 P2 
 
 C1 C2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cálculo de incerteza foi baseado nos seguintes documentos: 
 
- Guia para a expressão da Incerteza de Medição. (Edição revisada em Agosto de 1998, editada pelo 
INMETRO). 
- NIST – Technical Note 1297 – 1994 Edition – Guideline for Evaluating and Expression the uncertainty of 
NIST Measurement results. 
- Expressão da Incerteza de Medição na Calibração – EA-4/02. 
- Expressão da Incerteza de Medição na Calibração – EA-4/02-S1. 
 
Neste exemplo de cálculo de incerteza está faltando a componente de Calibração da referência (no 
caso zero), até que o medidor padrão seja rastreado (calibrado em Potência). 
 
Exemplo de cálculo de Incerteza, para a escala de 120 V/1A, efetuando medida direta, utilizando como 
referência o SC60 , MultímetroDigital 34401A HP e Resistor padrão de 1 kW? 
 
Método Direto - Fontes de Incertezas: 
 
Avaliação de Incerteza tipo A. 
 Repetitividade das Leituras. 
 Considerando 3 leituras obtidas com o Multímetro 34401A na faixa de 120 V e 1 A 
Leituras:1,20004V, 1,20004 V, 1,20005 V 
Temos : X = 1,20004 V s-1 = 5,77E-6 V 
 
B) Avaliação de Incerteza tipo B. 
 
B.1) Incerteza da Calibração do SC60 (Bobina de 1 A e 120 V) 
 Saída analógica sem calibração em potência = 0 
 
B.2) Exatidão do SC60 : ± 0,04 da leitura + 0,005 % do fundo de escala 
 O valor de k para o exemplo considerado é de 100000. 
 
B.3) Incerteza da Calibração do Multímetro Digital 34401A HP 
 
3 Exemplo retirado de documento Roteiro para “Cálculo de Incertezas” elaborado por Luís Henrique 
do Laboratório de Medição das Centrais Elétricas de Furnas. 
 Analogic Out 
 0 0 I 
 
MEDIDOR DE POTÊNCIA 
 PADRÃO V 
 
 I 
 FONTE DE POTENCIA AC
 
 V 
 
0 
0 MULTÍMETRO 
DIGITAL 
Conforme dados do último Certificado temos: 
U = 13 ppm, para um fator de abrangência K=2. 
Temos: (1,20004x 0,000013) = 0,0000156 V 
 
B.4) Exatidão do Multimetro digital 34401A HP para 1,2 V na escala de 10 V 
Conforme manual do fabricante temos: 0,0035 % da leitura + 0,0005 % da escala = 0,000092 V 
 
B.5) Resolução do Multímetro Digital 34401A HP 
1E-5 V para escala de 10 Vcc 
 
B.6) Incerteza da Calibração do Resistor de 1 kW 
Conforme último certificado temos: 0,00031 %, para um fator de abrangência k=2 
 
B.7) Estabilidade do Resistor de 1 kW 
 Feita a projeção linear das 4 últimas calibrações: 0,000017W 
 
B.8) Variação da temperatura da sala: 
 
± 1 grau (Retangular) 
 
Equação do Mensurando: 
 
W = V L x K /RS 
 
Rs = R25(1 + aDt + bDt
2) 
 
W = V L x K / [R25(1 + aDt + bDt2)] 
 
V L = Valor lido no Multímetro 34401A 
 
R s = Valor padrão do Resistor 
 
K = Multiplicador calculado dividindo a potência aplicada 120 W nas bobinas(120 V e 1A ) pela saida 
analógica 1,2 mA. K = 100000 W/A 
 
¶W / ¶VL = ci = K/ R25(1 + aDt + bDt2) 
 
 
¶W / ¶Rs = ci = -V L x K/ [R25(1 + aDt + bDt
2)]2 
 
¶W / ¶K = ci = V L/ R25(1 + aDt + bDt2) 
 
¶W / ¶Dt = ci = -VL x K ( a + 2bDt)/ R25[(1 + aDt + bDt
2)]2 
 
S2 (W) = (¶W / ¶VL)2 * S2VL + (¶W / ¶Rs)2 * S2Rs + (¶W / ¶k)2 * S2k + (¶W / ¶ Dt)2 * S2DT 
 
Onde: 
 
S2 ( Rs ) = Calibração do resistor 
 Estabilidade do Resistor (reclassificação) 
 
S2 ( v ) = Calibração do Multímetro digital 34401A 
 Exatidão do Multímetro digital 34401A 
 Resolução do Multímetro 34401 A 
 
 S2 ( k ) = Calibração do SC60 
 Exatitão do SC60 (K) 
 
 S2 ( Dt ) = Variação da temperatura da sala 
 
Montando a tabela das incertezas: 
 
Simb. Tipo 
Incert. 
Fonte de 
Incerteza 
Valor 
(xi) 
Distrib. Div Ci2 nefi Ui2(xi) Ui4(xi)/ nefi 
 
Cal(Rs) 
 
Tipo B 
Calibração 
do Resistor 
 
3,1x10-3 W 
 
Normal 
 
2 
1,44x10-2 
W2/W2 
 
¥ 
 
3,46x10-8 W2 
 
0 
 
 
Estab(Rs) 
 
Tipo B 
Estabilidade 
Resistor 
 
1,7x10-5 W 
 
Retang. 
Ö3 
1,44x10-2 
W2/W2 
 
¥ 
 
1,38x10-12 W2 
 
0 
 
 
Cal(VL) 
 
Tipo B 
Calibração 
do 34401A 
 
1,56x10-5 V 
 
Normal 
 
2 
 
9999,94 W2/V2 
 
¥ 
 
6,08 x 10-7 W 
 
0 
 
 
exat(VL) 
 
Tipo B 
 
Classe do 
34401A 
 
9,2x10-5 V 
 
Retang. 
Ö3 
9999,94 W2/V2 
 
¥ 
 
2,82 x 10-5 W2 
 
0 
 
 
Res(VL) 
 
Tipo B 
 
Resolução 
34401A 
 
1x10-5 V 
 
Retang. 
Ö12 
9999,94 W2/V2 
 
¥ 
 
8,33 x10-8 W2 
 
0 
 
 
Rep. 
 
Tipo B 
Repetitivida 
de das 
 leituras 
 
5,77x10-6 
V 
 
Retang. 
Ö3 
9999,94 W2/V2 
 
2 
 
1,11x10-7W2 
 
6,16x10-15 
W4 
 
Cal(k) 
 
Tipo B 
 
Calibração 
do SC60 
 
0 
 
 
Normal 
 
2 
 
 
1,44x10-6 A2 
 
¥ 
 
0 
 
0 
 
 
exat(k) 
Tipo 
B 
Classe do 
SC60 
45 W/A 
Retang. 
Ö3 1,44x10
-6 A2 
¥ 
9,72x10-4 
W2 
 
0 
 
Dt 
Tipo B 
Temp. 
Ambiente 
 
1 
 
Retang. 
Ö3 
3,74x10-7 
W2/S2 
 
¥ 
 
1,25x10-7 W2 
 
 
0 
 
uc 
 
 Incerteza 
Comb. 
Normal 
0,032 W 
 
 
U 
 
 Incerteza 
Expand. 
Normal 
(k=2) 
 
0,064 W 
 
 
 
Cálculo do grau efetivo de liberdade: 
veff = 
¥
-
+
¥
-
+
¥
-
+
¥
-
+
¥
-
+
¥
-
+
¥
-
+
-
=
146,174,9159,6108137,3249,1152,1
2
1423,1
032,0
)(
4
4
4
EEEEEEEE
vefi
xu
u
i
c
veff = 1,7x108 
 
Pela tabela de Student, para um grau de confiança de aproximadamente 95% e um grau efetivo de 
liberdade de 1,7x108 temos: Fator de abrangência k = 2 
A incerteza expandida U é dada por: 
U = uc(y) x k 
 
U = 0,032x 2 
 
 U = ± 0,064 W