RESISTENCIA DOS MATERIAIS - 2 - Geometria das Massas e Momento de Inercia

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O dimensionamento e a verificação da capacidade resistente de barras, como de
qualquer elemento estrutural dependem de grandezas chamadas tensões, as quais se
distribuem ao longo das seções transversais de um corpo. Daí vem a necessidade de
se conhecer claramente as características ou propriedades das figuras geométricas
que formam essas seções transversais.
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS
A Figura abaixo ilustra uma barra reta de seção transversal constante, chamada barra
prismática. O lado da barra que contém o comprimento (L) e a altura (h) é chamado de
seção longitudinal e o que contém a largura (b) e a altura (h) é chamado de seção
transversal.
As principais propriedades geométricas de figuras planas são:
Área (A) Momento de Inércia (I)
Momento estático (M) Módulo de resistência (W)
Centro de gravidade (CG) Raio de giração (i)
Área
A área de uma figura plana é a superfície limitada pelo seu contorno. Para
contornos complexos, a área pode ser obtida aproximando-se a forma real pela
justaposição de formas geométricas de área conhecida (retângulos, triângulos, etc).
• A unidade de área é [L]2 (unidade de comprimento ao quadrado).
• A área é utilizada para a determinação das tensões normais (tração e
compressão) e das tensões de transversais ou de corte.
Geometria das massas
Momento Estático
Analogamente à definição de momento de uma
força em relação a um eixo qualquer, defini-se
Momento Estático (M) de um elemento de
superfície como o produto da área do elemento
pela distância que o separa de um eixo de
referência.
Momento Estático de uma superfície plana é
definido como a somatória de todos os
momentos estáticos dos elementos de
superfície que formam a superfície total.
• O Momento Estático é utilizado para a determinação das tensões transversais que
ocorrem em uma peça submetida à flexão.
• O Momento Estático de uma superfície composta por várias figuras conhecidas é a
somatória dos Momentos Estáticos de cada figura.
Centro de massa – Definição
É a posição média de toda a massa do
corpo ou sistema. Num corpo homogêneo
e simétrico o centro de massa está no
centro geométrico (Centróide)
Centro de gravidade – Definição
Um corpo é composto de uma série infinita de
partículas de tamanhos diferentes, e assim,
se o corpo estiver localizado dentro de um
campo gravitacional, então cada uma das
partículas terá um peso dW. Esses pesos
resultam no peso total do corpo, que passa
por um único ponto chamado de centro de
gravidade (G).
O centro de gravidade de uma superfície plana é, por definição, o ponto de coordenadas:
Centro de gravidade de áreas compostas por várias figuras
O centro de gravidade de uma superfície composta por várias figuras, é expresso por:
Exemplos
1. Determinar o centro de gravidade CG do 
retângulo em relação ao eixo x que passa pela 
sua base.
2. Determinar o CG da Figura. (medidas em centímetros)
3. Determinar o centro de gravidade das figuras hachuradas.
Momento de Inércia
O momento de inércia de uma superfície plana em relação a um eixo de referência é
definido como sendo a integral de área dos produtos dos elementos de área que
compõem a superfície pelas suas respectivas distâncias ao eixo de referência,
elevadas ao quadrado.
O momento de inércia é uma característica geométrica importantíssima no
dimensionamento dos elementos estruturais, pois fornece, em valores numéricos, a
resistência da peça. Quanto maior for o momento de inércia da seção transversal de
uma peça, maior a sua resistência.
O momento de inércia total de uma superfície é a somatória
dos momentos de inércia das figuras que a compõe.
Determinar o momento de inércia da
superfície hachurada em relação ao eixo x
que passa pelo CG. (medidas em
centímetros)
Determine o momento de inércia de
um triângulo em relação à sua base.
Exemplo
Exemplo (CASA): Calcule o momentos de inercia das figuras abaixo
•Considere o momento de inércia I de uma 
superfície A em relação a um eixo AA’
 dAyI
2
•O eixo BB’ passa pelo centroide da superfície e 
é denominado eixo centroidal.
 




dAddAyddAy
dAdydAyI
22
22
2
2AdII 
teorma dos eixos paralelos
TEORMA DOS EIXOS PARALELOS
Exemplo:
Determinar o momento de inércia do retângulo em relação aos seguintes eixos:
a) X, passando pela base inferior.
b) XCG , passando pelo CG.
Módulo Resistente
Define-se módulo resistente de uma superfície plana em relação aos eixos que contém
o CG como sendo a razão entre o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo
CG da figura e a distância máxima entre o eixo e a extremidade da seção estudada.
O módulo resistente é utilizado para o dimensionamento de peças submetidas à
flexão.
EXEMPLO:
Calcule o módulo resistente para o retangulo
Para casa:
Calcule o módulo resistente para as demais figuras planas 
Raio de Giração
Define-se raio de giração como sendo a raiz quadrada da relação entre o momento de
inércia e a área da superfície. A unidade do raio de giração é o comprimento. O raio de
giração é utilizado para o estudo da flambagem.
Flambagem
É um fenômeno que ocorre em peças esbeltas (peças onde a área de secção
transversal é pequena em relação ao seu comprimento), quando submetidas a um
esforço de compressão axial. A flambagem acontece quando a peça sofre flexão
tranversalmente devido à compressão axial. A flambagem é considerada uma
instabilidade elástica, assim, a peça pode perder sua estabilidade sem que o material
já tenha atingido a sua tensão de escoamento
1. Determinar o momento de inercia e o centro de gravidade das figuras abaixo
2. Determine os diagramas de forças internas e momentos fletores das figuras abaixo: