Determinação da Constante Elástica de Molas Helicoidais

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
AS MOLAS
Eduan de Oliveira Claro
Prof.ª Sônia
Física Experimental 1 - 198
Maringá, 10 de novembro de 2009
Resumo
O objetivo deste experimento foi deduzir as constantes elásticas de molas helicoidais submetidas a baixos valores de distensão. A parte experimental foi dividida em duas etapas, a estática e a dinâmica. Na etapa estática determinou-se o K (constante elástica) da mola em função de seu deslocamento, pois ela não apresentava oscilações. Já na etapa dinâmica, como a mola apresentava oscilações periódicas horizontais, sua constante K foi determinada em função do período de oscilação e da massa do corpo a qual a mola está submetida. O resultado obtido satisfaz a fundamentação teórica e sua exatidão está de acordo com os padrões esperados para o tipo de aparelhagem utilizada.
I – Introdução
	Elasticidade é o ramo da física que estuda o comportamento de materiais que se deformam ao serem submetidos a forças externas e, após terminada a interação, retornam a sua forma original.
	As distensões de materiais elásticos podem ser equacionadas em função de várias grandezas. Neste experimento, contudo, restringiu-se o conceito apenas para o comportamento de uma mola metálica helicoidal.
	Nesse tipo de interação o valor da distensão geralmente possui uma relação não linear com a força externa, agente deformador da mola. Sabe-se, entretanto, que quando se trata de distensões pequenas essa relação pode ser expressa linearmente.
	Sendo assim, dentro desse limite de valores de distensão que aceitam a linearidade, pode-se verificar tal relação através da Lei de Hooke expressa abaixo:
, 				 (Eq. 01)
onde é a força aplicada por um corpo externo, é a constante elástica específica da mola e é o deslocamento da mola.
	Devido à tendência de retorno ao seu estado relaxado, a mola sempre apresentará uma força no sentido de desfazer o deslocamento sofrido. Assim, pela terceira lei de Newton, tal força denominada possuirá mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto, portanto:
 				 (Eq. 02)
	Essa função expressa a relação direta entre a força elástica e a distensão causada por esta mesma força.
	A constante elástica da mola depende de suas propriedades físicas e pode ser calculada através da seguinte expressão:
, 					(Eq. 03)
onde é o diâmetro do fio da mola, é o diâmetro da mola, N é o número de espiras e G é o módulo de rigidez do fio.
Entretanto, a Eq. 02 serve apenas para situações nas quais não há variações na posição da mola de acordo com tempo, ou seja, após certo deslocamento a mola não mais se movimenta.
	Quando uma mola se encontra em um movimento no qual sofre deslocamentos periódicos, pode-se encontrar um meio de calcular sua constante elástica a partir da segunda lei de Newton e de conhecimentos básicos de cálculo diferencial.
	Portanto, segue disso:
, 					(Eq. 04)
onde é a massa do corpo ao qual a mola está presa e é o período de oscilação da mola.
	O objetivo do experimento a seguir foi determinar, através de métodos experimentais, as mesmas equações da fundamentação teórica usadas para calcular a constante elástica das molas.
II – Metodologia
	
	Para a realização do experimento foi usado um sistema no qual diferentes molas foram presas a diferentes corpos suspensos.
	Sobre um plano horizontal fixou-se em uma de suas extremidades um suporte imóvel e na outra uma polia de massa desprezível. Nesse suporte se prendiam as determinadas molas e, através de um fio inextensível que passava pela polia, corpos com diferentes massas puderam ser presos à mola.
	Para medir os deslocamentos que a mola sofria em cada situação foi usada uma trena. Para medir o comprimento da mola, o diâmetro do fio que a constitui e o seu diâmetro, foi usado um paquímetro.
II.1.1 – Procedimento experimental 1 (caso estático)
	Neste procedimento o objetivo foi encontrar a relação existente entre força e deslocamento e, conseqüentemente, o valor da constante da mola.
	Foram escolhidas 3 molas distintas e 4 pesos com massas diferentes. Para minimização de erros cada mola foi submetida a uma massa suspensa inicial e a partir deste deslocamento, foi determinada sua posição inicial.	
	Para cada mola foram feitas medições relativas ao seu deslocamento, a partir de cada uma das massas suspensas usadas. Como a aceleração da gravidade é conhecida a real força que atuou em cada situação foi calculada.
	Os dados referentes a cada mola são mostrados nas tabelas abaixo.
	Tabela 1a – Propriedades da mola 1
	Comprimento da mola
	Número de espiras
	Diâmetro do fio
	Diâmetro da mola
	1,90
	38
	0,5
	11,2
	Tabela 1b – Medições da mola 1
	Massa suspensa
ms (g)
	Deslocamento da mola
Δx (cm)
	Força
F (dina)
	(9,4 ± 0,1)
	(1,00 ± 0,05)
	(9,2 ± 0,1)10³
	(19,9 ± 0,1)
	(2,10 ± 0,05)
	(19,5 ± 0,1)10³
	(29,3 ± 0,1)
	(3,10 ± 0,05)
	(28,7 ± 0,1)10³
	(50,6 ± 0,1)
	(5,30 ± 0,05)
	(49,6 ± 0,1)10³
 (elongação inicial da mola) = 7,9 cm
	Tabela 2a – Propriedades da mola 2
	Comprimento da mola
	Número de espiras
	Diâmetro do fio
	Diâmetro da mola
	4,14
	83
	0,5
	11,2
	Tabela 2b – Medições da mola 2
	Massa suspensa
ms (g)
	Deslocamento da mola
Δx (cm)
	Força
F (dina)
	(9,4 ± 0,1)
	(2,00 ± 0,05)
	(9,2 ± 0,1)10³
	(19,9 ± 0,1)
	(4,10 ± 0,05)
	(19,5 ± 0,1)10³
	(29,3 ± 0,1)
	(6,20 ± 0,05)
	(28,7 ± 0,1)10³
	(50,6 ± 0,1)
	(10,60 ± 0,05)
	(49,6 ± 0,1)10³
 (elongação inicial da mola) = 11,10 cm
	Tabela 3a – Propriedades da mola 3
	Comprimento da mola
	Número de espiras
	Diâmetro do fio
	Diâmetro da mola
	6,00
	120
	0,5
	11,2
	Tabela 3b – Medições da mola 3
	Massa suspensa
ms (g)
	Deslocamento da mola
Δx (cm)
	Força
F (dina)
	(9,4 ± 0,1)
	(2,70 ± 0,05)
	(9,2 ± 0,1)10³
	(19,9 ± 0,1)
	(6,10 ± 0,05)
	(19,5 ± 0,1)10³
	(29,3 ± 0,1)
	(9,00 ± 0,05)
	(28,7 ± 0,1)10³
	(50,6 ± 0,1)
	(15,50 ± 0,05)
	(49,6 ± 0,1)10³
 (elongação inicial da mola) = 19,80 cm
II.1.2 – Análise e resultados do Procedimento experimental 1
	Nesta etapa o objetivo foi calcular as constantes elásticas de cada mola a partir das informações recolhidas no Procedimento experimental 1.
	Através das medições coletas foram confeccionados gráficos F x Δx para cada mola.
	Figura 1 – Gráfico F x ΔX da mola 1
	Figura 2 – Gráfico F x ΔX da mola 2
	Figura 3 – Gráfico F x ΔX da mola 3
Como os gráficos resultaram em retas, confirmou-se que a força se relaciona linearmente com o deslocamento. Foi construída então a seguinte proporcionalidade:
 	 			 (Eq. 05)
	
A partir do coeficiente angular das retas as constantes K foram calculadas. Tais constantes são, na verdade, justamente as constantes elásticas de cada mola.
	Na mola 1:
 			(Eq. 06)
	Na mola 2:
 			(Eq. 07)
	Na mola 3:
 			(Eq. 08)
	O objetivo desta etapa foi assim alcançado. Por meio dos deslocamentos sofridos pelas molas quando submetidas a diferenças forças, suas respectivas constantes elásticas foram calculadas.
II.2 – Procedimento experimental 2 (caso dinâmico)
	Neste experimento o objetivo foi deduzir a equação da constante elástica a partir da relação existente a massa suspensa, o período de oscilação e a constante elástica, grandezas variáveis presentes no sistema quando uma mola se encontra em um movimento horizontal oscilatório periódico.
II.2.1 – Comprimento da mola fixo e massas suspensas variáveis
	Foi escolhida uma mola de comprimento e constante elástica conhecida e 4 massas suspensas. O sistema já descrito foi montado, sendo a mola fixada no suporte e ligada a cada massa suspensa.
	Para cada massa suspensa presa à mola foi medido o tempo de 5 oscilações e, assim, calculado o período médio para cada oscilação.
	Os dados estão representados na tabela a seguir (tabela 4).
	Tabela 4 – Dados obtidosem II.3.1
	Massa suspensa
	
	
	
	
	
	Período médio
	: 56,9
	3,47
	3,40
	3,50
	3,50
	3,53
	(0,70 ± 0,01)
	: 76,6
	4,19
	4,12
	4,03
	4,10
	4,10
	(0,82 ± 0,01)
	: 96,1
	4,60
	4,59
	4,60
	4,53
	4,56
	(0,915 ± 0,006)
	: 115,4
	5,03
	5,03
	5,06
	5,06
	5,00
	(1,007 ± 0,005)
Comprimento da mola = 4 cm
Constante elástica = 4676,80 dina/cm
II.2.2 – Análise e resultados de II.2.1
	Com os dados da tabela 4 o gráfico x foi construído e é mostrado a seguir (figura 4).
Figura 4 – Gráfico x 
	
Como o gráfico resultou em uma curva, temos a seguinte igualdade:
 					(Eq. 09)
	
Linearizando esta expressão:
 			 (Eq. 10)
	
Construindo o gráfico x (figura 5).
Figura 5 – Gráfico log ms x log T
Como é igual ao coeficiente angular da reta:
 		 			 q. 11)
	Calculando o valor de :
			 	 (Eq. 12)
	Substituindo em Eq. 09, obteve-se:
 			 (Eq. 13)
	Analisando a constante C:
 		 (Eq. 14)
	Portanto, concluiu-se que a constante C está diretamente relacionada com a constante elástica K. Construindo a proporcionalidade entre elas:
 				 (Eq. 15)
	Calculando o valor da nova constante C’:
 				(Eq. 16)
	Pela fundamentação teórica sabe-se que:
, 					(Eq. 04)
	Assim, o valor teórico para a constante C’:
 			 (Eq. 17)
	Calculando o desvio percentual:
 			 (Eq. 18)
	O objetivo foi então alcançado. A partir de dados experimentais, deduziu-se a expressão usada para determinar a constante elástica de uma mola a qual se encontra em oscilações horizontais periódicas.
II.2.3 – Comprimento da mola variável e massa suspensa fixa
	A 3 molas usadas em II.2 foram separadas e uma massa suspensa fixa foi escolhida.
	Foram feitas medições para cada mola. Os resultados estão na seguinte tabela (tabela 5).
	Tabela 5 – Dados de II.3.2
	Comprimento mola
L (cm)
	Constante elástica
K (dina/cm)
	
	
	
	
	
	Período médio
	Mola 1: 1,985
	
	3,56
	3,63
	3,56
	3,63
	3,69
	(0,72 ± 0,06)
	Mola 2: 3,960
	
	5,03
	5,03
	5,06
	5,06
	5,00
	(1,007 ± 0,005)
	Mola 3: 6,120
	
	6,16
	6,06
	6,00
	6,13
	6,13
	(1,22 ± 0,07)
Massa suspensa = 115,4 g
II.2.4 – Análise e resultados de II.2.3
	Construindo o gráfico K x T, a partir da tabela 5.
Figura 6 – Gráfico K x T
Como o gráfico resultou em uma curva, temos a seguinte igualdade:
 					(Eq. 19)
	
Linearizando esta expressão:
 			 (Eq. 20)
	
Construindo o gráfico x (figura 7).
Figura 7 – Gráfico log K x log T
	
Como é igual ao coeficiente angular da reta:
 			 	 (Eq. 21)
	Calculando o valor de :
			 	 (Eq. 22)
	Substituindo na Eq. 19, obteve-se:
 				 (Eq. 23)
	Analisando a constante D:
 		 (Eq. 24)
	Portanto, concluiu-se que a constante D está diretamente relacionada com a massa suspensa ms. Construindo a proporcionalidade entre elas:
 			 	 Eq. 25)
	Calculando o valor da nova constante D’:
Pela fundamentação teórica sabe-se que:
, 					(Eq. 04)
	Assim, o valor teórico para a constante D’:
	 		 (Eq. 26)
	Calculando o desvio percentual:
 	 		 (Eq. 27)
	O objetivo foi então alcançado. A partir de dados experimentais, deduziu-se a expressão usada para determinar a constante elástica de uma mola a qual se encontra em oscilações horizontais periódicas.
III – Conclusão
	Através de um sistema no qual diferentes molas foram presas a massas suspensas distintas, o objetivo era calcular as constantes elásticas das molas através da dedução de expressões obtidas a partir de medições experimentais. O processo se restringiu a pequenos deslocamentos das molas, já que apenas dessa pode-se relacionar linearmente as grandezas envolvidas.
	
No primeiro caso as molas não oscilavam, cada uma foi submetida a 4 forças diferentes e, então, suas devidas constantes foram calculadas através da expressão deduzida, conhecida como Lei de Hooke.
	No segundo caso as molas apresentavam um movimento oscilatório horizontal periódico, e suas constantes foram calculadas através de uma expressão que relaciona a constante, a massa do corpo preso à mola e do período de uma oscilação.
	Em ambas as etapas o objetivo foi alcançado com êxito. A precisão dos resultados está de acordo com a fundamentação teórica e dentro dos padrões esperados para o tipo de instrumentos usados.
IV – Referências bibliográficas
[1] Constante Elástica, Cap. 10 / Manual de Laboratório – Física Experimental I – Hatsumi Mukai e Paulo G. Fernandes.