fgvecodez2015 2F_Matematica_versao 02

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CPV FGVECODEZ2015_2F
FGV – Economia – 2a Fase – 13/Dezembro/2015
CPV o Cursinho que mais aprova na GV
MATEMÁTICA
01. Mauro iniciou um programa de perda de peso quando estava pesando 90 kg. A programação previa a perda de 1,6 kg na 
primeira semana, 1,5 kg na segunda, 1,4 kg na terceira, 1,3 kg na quarta, e assim sucessivamente até que a perda semanal de 
peso se estabilizasse em 0 kg, ocasião em que ele iniciaria o controle de manutenção do peso atingido. Sabe-se que o programa 
realizado por Mauro foi plenamente cumprido.
	 a)	 Considere	o	período	que	vai	do	início	do	regime	até	o	final	da	última	semana	em	que	Mauro	perdeu	algum	peso	e	calcule	
a média mensal de perda de peso desse período. Para isso, admita meses com 4 semanas.
 b) Sendo P o peso de Mauro em quilogramas e n	o	número	de	semanas	completas	decorridas	a	partir	do	instante	em	que	
Mauro iniciou o programa de perda de peso, determine P em função de n, com n inteiro positivo.
Resolução:
 a) Sequências das perdas: (1,6; 1,5; 1,4; ... , 0) P.A. de razão –0,1
 0 = 1,6 + (n – 1) . (–0,1) Portanto, n = 17
 S17 = 
(1,6 + 0)17
2 = 13,6 (soma de todas as perdas)
 A média mensal das perdas
 x = 
S17
17
4
 = 
13,6
17
4
 = 3,2
 
 Portanto a media mensal é de 3,2 Kg.
 b) Sendo: P (Peso de Mauro), n	(número	de	semanas)		e		Sn (soma das perdas)
 Temos: P = 90 – Sn,
 Sn = 
[1,6 + an]n
2 e an = 1,6 + (n – 1) . (–0,1) = 1,7 – 0,1n
 Então: Sn = 
[1,6 + 1,7 – 0,1n] n
2 = 
(3,3 – 0,1n) n
2
 Portanto, P = 90 – 
(3,3 – 0,1n) n
2 = 0,05n
2 – 1,65n + 90
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02. Um cubo possui aresta de medida 1 metro. Três vértices desse cubo são sorteados ao acaso para que, com eles, seja formado 
um triângulo.
 a) Calcule a probabilidade de que o triângulo formado seja retângulo.
 b) Admita que o triângulo formado após o sorteio tenha sido escaleno de vértices A, B e C, com AB sendo o menor dos seus 
lados. Calcule a área do triângulo ABC e, em seguida, calcule a medida dos segmentos determinados sobre AB quando 
esse lado do triângulo é intersectado pela bissetriz do ângulo oposto a ele.
 Vocabulário:
 Triângulo escaleno: triângulo com três lados de medidas diferentes.
 Bissetriz de um ângulo: semirreta que divide o ângulo ao meio.
Resolução:
 a) Se considerarmos que teremos 4 triângulos retângulos em cada face, teremos 24 triângulos nas 6 faces.
 Se considerarmos o triângulo formado por uma aresta, diagonal da face e a diagonal do cubo, teremosmais 24 triângulos 
retângulos. 
	 	 Como	o	número	de	triângulos	possíveis	é		
8( )3 = 56, portanto a Probabilidadeque o triângulo sorteado seja retângulo é 
 P = 
24 + 24
8( )3
 = 
48
56
 b) Temos no cubo de aresta1 que a diagonal BC = 2 e a diagonal do cubo é AC= 3.
	 	 A	área	do	triângulo	retângulo	ABC	da	figura	é	dada	por
 A = AB . BC
2
 = 1 . 2
2
 = 2
2
 m2
 A bissetriz do vértice C determina sobre o lado AB um ponto S tal que
 
AS
SB = 
AC
BC = 
3
2
 (teorema das bissetrizes)
 Logo, AS = k 3 e SB = k 2 como AB = 1 = k 3 + k 2 temos:
 Que k = 
1
3 + 2
 = 3 – 2 então
 AS = 3 – 2 m e SB = 6 – 2 m
3
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03. A tabela mostra a série de um indicador econômico de um país, em bilhões de US$, nos 12 meses de 2013.
Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez
21 24 20 23 22 22 18 17 16 17 16 18
 a) Calcule a média, a(s) moda(s), a mediana e a maior taxa mensal de crescimento (em porcentagem) dessa série.
 b) Sabe-se que, em janeiro de 2014, esse indicador econômico atingiu um valor positivo para o qual a nova série (de janeiro 
de	2013	até	janeiro	de	2014)	passou	a	ter	mediana	de	18	bilhões	de	US$,	e	um	número	inteiro	de	bilhões	de	US$	como	
média mensal. Calcule o desvio médio (DM) dessa nova série.
 Dado:
 Desvio Médio = 
n
å
i = 1
 | xi – x |
n
, sendo x a média aritmética.
Resolução:
 a) Colocando os dados em ordem crescente, temos:
 16, 16, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 22, 22, 23, 24
 A média será 
16 + 16 + 17 + 17 + 18 + 18 + 20 + 21 + 22 + 22 + 23 + 24
12 = 19,5.
 A moda será representada por quatro deles, 16, 17 18 e 22 uma vez que cada um deles tem maior frequência e igual a 2.
	 	 A	mediana	de	uma	amostra	com	um	número	par	de	termos	é	calculada	pela	média	aritmética	dos	2	termos	centrais.	
 Assim mediana será 
18 + 20
2 = 19.
 A maior taxa de crescimento entre Março e Abril, sendo ela, 
23 – 20
20 = 15%.
 b) Consideremos i, o indicador econômico de janeiro de 2014. Temos a nova média:
 x = 
234 + i
13
 Como x		é	um	número	inteiro,	(234	+	i)	deverá	ser	múltiplo	de	13.	Se	a	mediana	passou	para	18,	o	indicador	econômico	
de janeiro de 2014 é menor ou igual a 18. Assim, o indicador econômico de janeiro de 2014 será 13. 
 A média, portanto, será 
234 + 13
13 = 19
 Assim,
 DM = 
2 . | 16 – 19 | + 2 . | 17 – 19 | + 3 . | 18 – 19 | + | 20 – 19 | + | 21 – 19 | + 2 . | 22 – 19 | + | 23 – 19 | + | 24 – 19 |
13
 DM = 
6 + 4 + 3 + 1 + 2 + 6 + 4 + 5
13 = 
31
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04. A lei de Benford, também chamada de “lei do primeiro dígito”, sugere que, em vários conjuntos de dados numéricos, a 
ocorrência	dos	algarismos	de	1	a	9	no	início	dos	números	(da	esquerda	para	a	direita	em	cada	número)	do	conjunto	de	dados	não	
é	igualmente	provável.	A	lei	se	verifica	em	diversos	conjuntos	de	dados	reais	como,	por	exemplo,	o	conjunto	das	populações	
dos diversos municípios de um país, o conjunto dos dados numéricos contidos nas contas de energia elétrica da população de 
um município, o conjunto dos comprimentos dos rios de um país etc.
 Quando a lei de Benford se aplica aos dados analisados, a probabilidade P(n) de que o algarismo n seja o primeiro algarismo 
em um dado numérico qualquer do conjunto de dados será P (n) = log (n + 1n ).
 Por exemplo, se a lei se aplica, a probabilidade de que o algarismo 1 (n = 1) seja o primeiro (da esquerda para a direita) em 
um	número	sorteado	ao	acaso	do	conjunto	de	dados	é	igual	a	log	2,	ou	seja,	aproximadamente	30%,	já	que	log	2	≈	0,30.	
 Admita que os dados numéricos indicados na tabela 1 tenham sido retirados da declaração de imposto de renda de um contribuinte. 
Também admita que a Receita Federal tenha a expectativa de que tais dados obedeçam, ainda que aproximadamente, à lei de 
Benford.
Tabela 1
1526 2341 5122 242 1444 788 4029 333 426 1981
2589 503 1276 5477 229 579 1987 719 1236 2817
456 886 1424 470 113 342 345 433 192 343
 a) Complete a tabela na página de resolução e resposta, registrando a frequência do primeiro dígito (da esquerda para a direita) 
dos dados da tabela 1 para os casos em que n = 2, n = 3 e n = 4. Registre também a frequência relativa desses algarismos 
(ver exemplo para o caso em que n = 1).
n 1 2 3 4
Frequência de n 9
Frequência relativa de n
9
30
 = 
3
10
	 b)	 Admita	que	uma	declaração	de	imposto	de	renda	vai	para	a	“malha	fina”	(análise	mais	detalhada	da	Receita	Federal)	se	a	
diferença, em módulo, entre a frequência relativa do primeiro dígito, em porcentagem, e a probabilidade dada pelo modelo 
da lei de Benford, também em porcentagem, seja maior do que quatro pontos percentuais para algum n. Argumente, com 
dados	numéricos,	se	a	declaração	analisada	na	tabela	1	deverá	ou	não	ir	para	a	“malha	fina”.
 Adote nos cálculos log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48.
Resolução:
 a) 
 b) P(2) = log(2 + 12 ) = log 3 – log 2 = 0,18 = 18%
 P(3) = log(3 + 13 ) = log 4 – log 3 = 2 . log 2 – log 3 = 0,12 = 12%
 P(4) = log(4 + 14 ) = log 5 – log 4 = (log 10 – log 2) – 2 . log 2 = 0,1 = 10%E	portanto	esta	declaração	deverá	ir	para	malha	fina	pois		| 16,7% – 10% | > 4%.
n 1 2 3 4
Frequência de n 9 5 4 5
Frequência relativa de n
3
10
 = 30%
1
6
 = 16,7%
2
15
 = 13,3%
1
6
 = 16,7%
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COMENTÁRIO DO CPV
A prova de Matemática da 2a fase do Processo Seletivo da FGV-Economia (Dez-20415) manteve suas características tradicionais 
com	questões	trabalhosas	e	com	bom	nível	de	dificuldade.
Na questão 1,	o	candidato	poderia	ter	ficado	indeciso	entre	16	e	17	semanas	para	o	cálculo	da	média,	mas	acreditamos	que	o	bom	
senso da Banca Examinadora deverá prevalecer para os dois valores.
Apesar disso, enunciados claros e bem elaborados deverão privilegiar os candidatos mais focados e preparados, permitindo uma 
seleção satisfatória dos melhores candidatos.