Elasticidade e Módulos de Elasticidade

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Ondas e Termodinâmica – Professora Luciana Nunes 
Elasticidade 
O corpo rígido não se curva, não se alonga, nem se deforma quando forças são 
aplicadas sobre ele. Entretanto, um corpo rígido é uma idealização; todos os materiais reais 
são elásticos e se deformam parcialmente. Neste capítulo, estaremos interessados em estudar 
a relação entre as forças e as deformações dos corpos. 
1. Tensão, Deformação e Módulos de Elasticidade 
Para cada tipo de deformação, podemos introduzir uma grandeza chamada tensão, 
que caracteriza a intensidade das forças que produzem a dilatação, a compressão ou a torção, 
usualmente descritas com base em “uma única força por unidade de área”. Outra grandeza, a 
deformação, descreve a deformação resultante. Quando a tensão e a deformação são 
suficientemente pequenas, verificamos que elas são diretamente proporcionais e 
denominamos a constante de proporcionalidade de módulo de elasticidade. O 
comportamento geral que emerge pode ser formulado do seguinte modo: 
 
 
 ( ) 
A constante de proporcionalidade entre a tensão e a deformação (sob certas condições) 
denomina-se lei de Hooke. 
IMPORTANTE: O limite de proporcionalidade corresponde à tensão máxima para a qual a 
tensão e a deformação são proporcionais. Além do limite de proporcionalidade, a lei de Hooke 
não é mais válida. O limite de elasticidade é a tensão acima da qual ocorre a deformação 
irreversível. A tensão de fratura ou limite de rigidez é a tensão acima da qual ocorre a fratura 
do material. 
1.1. Tensão e deformação na dilatação e na compressão 
O comportamento elástico mais simples de se entender é a 
dilatação de uma barra, de um eixo ou de um fio, quando suas 
extremidades são puxadas. A figura mostra um objeto cuja seção reta 
possui área A e comprimento l0, submetido a forças 1 iguais e 
contrárias em ambas as extremidades (garantindo que o objeto não 
tenda a se mover nem para a esquerda nem para a direita). Dizemos 
que o objeto está submetido a uma tensão de dilatação. 
 
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 O índice inferior quer dizer que só nos irá interessar a componente da força perpendicular à seção reta 
em questão. 
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Elasticidade 
Definimos tensão de dilatação na seção reta como a razão entre a força e a área da 
seção reta: 
 
 
 
 
Essa grandeza é escalar uma vez que é o módulo de uma força. A unidade no SI de tensão é 
o Pascal (abreviada por Pa). 
O objeto mostrado na figura se alonga a um comprimento quando está sob 
tensão. A dilatação não ocorre somente nas extremidades: todas as partes da barra sofrem 
dilatações na mesma proporção. A deformação de dilatação do objeto é a fração da variação 
do comprimento, definida como a razão entre a dilatação e o comprimento original : 
 
 
 
 
 
 
 
A deformação de dilatação é a razão entre dois comprimentos (sempre lembrar de verificar se 
as unidades estão coerentes), portanto se trata de um número adimensional. 
A experiência mostra que, para uma tensão de dilatação suficientemente pequena, a 
tensão e a deformação são proporcionais. Para esta condição, podemos definir o módulo de 
elasticidade correspondente, módulo de Young, da seguinte forma: 
 
 
 
 
 ⁄
 ⁄
 
Uma vez que a deformação é adimensional, a unidade do módulo de Young é a mesma da 
tensão: força por unidade de área. 
Por outro lado, quando as forças sobre as extremidades de um 
objeto são de empurrar em vez de puxar (vide figura ao lado), a barra está 
submetida a uma compressão, e a tensão é uma tensão de compressão. A 
deformação de compressão de um objeto submetido a uma compressão é 
definida do mesmo modo que a deformação de dilatação, porém possui 
sentido contrário. 
IMPORTANTE: A equação para calculo da tensão de compressão é a mesma que definimos 
para a dilatação. O mesmo ocorre entre a deformação de compressão e a de dilatação. 
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Ondas e Termodinâmica – Professora Luciana Nunes 
Elasticidade 
Em muitas situações, um corpo pode ser submetido simultaneamente a uma tensão de 
dilatação e uma tensão de compressão. Como exemplo, uma viga horizontal suportada em 
cada extremidade que se encurva sob ação do próprio peso. Como resultado, o topo da viga 
está submetido a uma compressão, enquanto a parte inferior está sob tensão de dilatação (ver 
figura). Para minimizar a tensão e, portanto, a tensão de encurvamento, a viga deve ser 
projetada de modo que sua seção reta seja grande no topo e na parte inferior. Não existe 
tensão de dilatação nem tensão de compressão ao longo da linha central da viga, de modo que 
essa parte pode possuir uma seção reta pequena: isso ajuda a minimizar o peso da barra e 
também reduzir a tensão. O resultado é uma viga em forma de , que é uma forma familiar 
usada na construção civil. 
 
1.2. Tensão e deformação volumétrica 
Quando um corpo submerge em um fluido, este fluido exerce uma pressão 
aproximadamente uniforme sobre a sua superfície e o comprime, fazendo com que o seu 
volume se torne ligeiramente menor. Essa situação é diferente da tensão de dilatação e da 
tensão de compressão, a tensão agora é uma pressão uniforme em todas as direções, e a 
deformação resultante é uma variação de volume. Usamos os termos tensão volumétrica de 
compressão (ou tensão volumétrica) e deformação de compressão volumétrica (ou 
deformação volumétrica) para descrever essas grandezas. 
Se um objeto for imerso em um fluido (líquido ou 
gás) em repouso, o fluido exercerá uma força sobre todas as 
partes do objeto; essa força será perpendicular à superfície. 
A força ortogonal por unidade de área que o fluido 
exerce sobre a superfície de um objeto imerso denomina-se 
pressão p do fluido: 
 
 
 
 
Podemos então observar que a unidade de pressão é a mesma da tensão, no SI é pascal. 
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Elasticidade 
IMPORTANTE: Pressão versus força – Ao contrário da força, a pressão não possui nenhuma 
direção intrínseca. A pressão sobre a superfície de um objeto imerso é a mesma seja qual for a 
orientação da superfície. Portanto, a pressão é uma grandeza escalar, não uma grandeza 
vetorial. 
A pressão desempenha o mesmo papel da tensão em uma deformação volumétrica. A 
deformação correspondente é a fração da variação do volume, ou seja, a razão entre a 
variação de volume e o volume inicial : 
 
 
 
 
A deformação volumétrica é uma variação de volume por unidade de volume. Tal 
como a deformação de dilatação e a deformação de compressão, ela é adimensional. 
Quando a lei de Hooke é obedecida, um aumento da pressão (tensão volumétrica) 
produz uma deformação volumétrica proporcional. O módulo de elasticidade correspondente 
denomina-se módulo de compressão, designado pela letra B. Quando a pressão sobre um 
corpo varia de uma quantidade pequena , desde até , e a deformação 
volumétrica correspondente possui a seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 ⁄
 
Incluímos um sinal negativo nessa equação, porque um aumento de pressão sempre produz 
uma diminuição de volume. Em outras palavras quando é positivo, é negativo. O 
módulo de compressão B é uma grandeza positiva. 
O inverso do módulo de compressão denomina-se compressibilidade e é designada 
pela letra e pode ser escrito matematicamente como: 
 
 
 
 
 ⁄
 
 
A compressibilidade é dada pela fração da diminuiçãodo volume por unidade de 
pressão. A unidade de compressibilidade no SI é . 
 
 
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Elasticidade 
1.3. Tensão e deformação de cisalhamento 
A terceira situação envolvendo uma relação entre a tensão e a deformação denomina-
se cisalhamento. 
A figura mostra um corpo sendo deformado por uma 
tensão de cisalhamento. As forças de módulos iguais, mas direção 
contrária, atuam tangencialmente às superfícies das extremidades 
opostas do objeto. Definimos a tensão de cisalhamento como a 
força tangente à superfície de um material, dividida pela área A 
sobre a qual ela atua: 
 
 
 
 
A figura mostra que uma face do objeto sob tensão de cisalhamento é deslocada de 
uma distância em relação à face oposta. Definimos a deformação de cisalhamento como a 
razão entre o deslocamento e a dimensão transversal : 
 
 
 
 
Em uma situação real, é quase sempre muito menor do que . Assim como todos os tipos de 
deformação, a deformação de cisalhamento é adimensional. 
Quando as forças são suficientemente pequenas para que a lei de Hooke seja válida, a 
deformação de cisalhamento é proporcional à tensão de cisalhamento. O módulo de 
elasticidade correspondente denomina-se módulo de cisalhamento, designado pela letra S: 
 
 
 
 
 ⁄
 ⁄
 
 
o EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Um bíceps relaxado necessita de uma força de 25N para uma dilatação de 3cm; o mesmo músculo sob 
tensão máxima necessita de uma força de 500N para produzir a mesma dilatação. Calcule o módulo de 
Young do tecido muscular em cada um desses casos, supondo que o músculo seja um cilindro uniforme 
com uma área de seção reta igual a 50cm
2
 e comprimento igual a 0,200m. 
Resposta: =3,33x10
4
Pa; =6,67x10
5
Pa 
 
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Elasticidade 
2. Um arame circular de aço de comprimento igual a 2m não pode se dilatar mais do que 0,25cm quando 
uma tensão de 400N é aplicada a cada uma de suas extremidades. Qual é o diâmetro mínimo necessário 
para esse arame? Resposta: 1,4mm 
3. Dois eixos redondos, um de aço e outro de cobre, são ligados pelas suas extremidades. Cada eixo possui 
comprimento de 0,750m e diâmetro igual a 1,5cm. A combinação é submetida a uma tensão de dilatação 
com módulo igual a 4000N. Para cada eixo, qual é (a) a deformação? (b) a dilatação? 
Resposta: (a) 1,1x10
-4
 e 2,1x10
-4
; (b) 1,6x10
-4
m 
4. Uma corda de náilon usada em alpinista dilata-se 1,1m sob o peso de um alpinista de 65kg. Sabendo que a 
corda possui comprimento igual a 45m e diâmetro igual a 7mm, qual é o módulo de Young desse 
material? Resposta: 6,77x10
8
Pa 
5. Para construir uma escultura móvel, um artista pendura uma esfera de alumínio de 6kg de massa presa a 
um fio de aço de 0,5m de comprimento com área da seção reta igual a 2,5x10
-3
cm. À parte inferior da 
esfera ele prende outro fio de aço semelhante, na extremidade do qual ele pendura um cubo de bronze 
de massa igual a 10kg. Para cada fio, calcule (a) a tensão de dilatação; (b) o alongamento. 
Resposta: (a) 3,1x10
-3
 e 2x10
-3
; (b) 1,6mm e 1,0mm 
6. Um poste vertical de aço com diâmetro de 25cm e 2,5m de comprimento deve suportar uma carga de 
8000kg. O peso do poste deve ser desprezado. Calcule: (a) a tensão no posto; (b) a deformação do poste; 
(c) a variação do comprimento do poste quando a carga é aplicada. 
Resposta: (a) 1,6x10
6
Pa; (b) -8x10
-6
; (c)-2x10
-5
m 
7. Uma jovem pequena distribui seu peso de 500N sobre os calcanhares em seus sapatos de salto alto. Cada 
calcanhar possui área de 0,75cm
2
. (a) Qual é a pressão de cada calcanhar exercida sobre o chão? (b) 
Considerando a mesma pressão, qual seria o peso suportado por duas sandálias largas na parte inferior, 
sendo cada área igual a 200cm
2
? Resposta: (a) 3,33x10
6
Pa; (b) 133kN 
8. Uma amostra de óleo com volume inicial de 600cm
3
 é submetido a um aumento de pressão de 3,6x10
6
Pa, 
e o volume diminui de 0,45cm
3
. Qual é o módulo de compressão do material? Qual é a sua 
compressibilidade? Resp: (a) 4,8x10
9
Pa; (b) 2,1x10
-10
Pa
-1
 
9. Uma placa quadrada de aço possui 10cm de lado e 0,5cm de espessura. (a) Ache a tensão de cisalhamento 
resultante quando uma força de 9x10
5
N é aplicada a cada um dos quatro lados, paralelamente ao lado. (b) 
Ache o deslocamento em centímetros. Resposta: (a)2,4x10-2 Pa; (b) 2,4x10-3m 
10. Forças de cisalhamento são aplicadas a um sólido retangular. As mesmas forças são aplicadas a outro 
sólido com o mesmo material, porém as arestas possuem comprimentos três vezes maiores. Em cada caso 
as forças são suficientemente pequenas para que a lei de Hooke seja válida. Qual é a razão entre a 
deformação de cisalhamento do objeto maior e a deformação de cisalhamento do objeto menor? 
Resposta: 1/9