Resultante_sistema_de_forcas_Aula3_Atualizada

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Marcio Varela
� M0 = F.d� M0 = F.d
� M = F.d� M = F.d
� MR = ∑F.d
� Exemplo: Determine o momento da força em relação ao ponto 0 em cada caso 
ilustrado abaixo.
� Determine os momentos da força 800 N que atua sobre a estrutura na figura 
abaixo em relação aos pontos A, B, C e D.
� Determine o momento resultante, das quatro forças que atuam no haste abaixo, 
em relação ao ponto 0.
� O produto vetorial de dois vetores A e B produz um vetor C.
� C = A x B
� A Intensidade de C é definida como o produto das intensidades de A e B e o 
seno do ângulo θ entre os dois vetores, prolongando-os, se necessário de 
modo que suas origens se localizem no mesmo ponto (0 ≤ θ ≤ 180º).
� C = A x B = (A . B x sen θθθθ)
� Direção e Sentido: O vetor C tem direção perpendicular ao plano contendo A e 
B, de modo que seu sentido é determinado pela regra da mão direita. 
Conhecendo a intensidade, direção e o sentido de C, podemos escrever:
� C = A x B = (A . B x sen θθθθ).uc
� Onde o escalar A.B.senθθθθ define a intensidade de C e o vetor unitário uc define 
sua direção e seu sentido.
� Leis de Operação:
� 1 . O produto vetorial é não-comutativo, isto é:
� A x B ≠ B x A,
� Ou seja:
� A x B = -B x A.
� 2. Multiplicação por escalar:
� a.(A x B) = (a.A) x B = A x (a.B) = (A x B).a
� 3. Lei distributiva:
� A x (B + D) = (A x B) + (A x D)
� Formulação vetorial cartesiana:
� i x j = k i x k = -j i x i = 0
� j x k = i j x i = -k j x j = 0
� k x i = j k x j = -i k x k = 0
� A x B = (Axi + Ayj + Azk) x (Bxi + Byj + Bzk)
� A x B = (AyBz - AzBy)i – (AxBz - AzBx)j + (AxBy - AyBx)k
� Exercício: Prove a afirmativa acima.
� A equação anterior pode ser representada pela matriz abaixo:
� Para determinarmos os elementos i, j, k basta calcularmos os 
determinantes para esses termos:
� Para o elemento i:
BzBy 
AzAy 
k j 
Bx
Ax
i
AxB =
iBABA
B
A
i
yzzy
x
x
)(
B B 
A A 
k j 
zy
zy −=
� Para o elemento j:
� Para o elemento k:
jBABA
B
A
i
xzzx
x
x
)(
B B 
A A 
k j 
zy
zy −−=
kBABA
B
A
i
xyyx
x
x
)(
B B 
A A 
k j 
zy
zy −=
� Formulação Vetorial
� M0 = r x F
� Sendo r um vetor posição traçado de 0 até qualquer ponto sobre a linha de 
ação de F.
� A Intensidade do produto vetorial é definida por:
� M0 = r x F. senθθθθ
� O ângulo θ é medido entre as direções de r e F. 
� Uma vez que o braço de momento d = r.senθθθθ, então:
� M0 = r x F senθθθθ = (r.senθθθθ). F= d . F
� Direção e sentido : São determinados pela regra da mão direita, com 
aplicação do produto vetorial.
� Princípios da Transmissibilidade: O vetor F pode agir sobre qualquer ponto 
da sua linha de ação; e o vetor posição r, pode ser aplicado em qualquer ponto 
pertencente a linha de ação de F, dessa forma:
� M0 = rb x F = rc x F
� Desenvolvendo a equação, 
� M0 = rb x F = rc x F, teremos:
� rx, ry rz são os componentes x, y, z dos vetores posição traçado do ponto 0 até
qualquer ponto sobre a linha de ação da força.
� Fx, Fy Fz representam os componentes x, y, z do vetor força.
� M0 = (ryFz - rzFy)i – (rxFz - rzFx)j + (rxFy - ryFx)k
zy
zy0
F F 
r r 
k j 
x
x
x
F
r
i
FrM ==
� Momento resultante de um sistema de forças:
� Se um corpo está sujeito à ação de um sistema de forças, o 
momento resultante das forças em relação ao ponto 0 pode ser 
determinado pela soma vetorial dos momentos gerados por esse 
sistema.
� O poste está sujeito a uma força de 60 N na direção C para B. Determine a 
intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.
Solução
� Pelo princípio da transmissibilidade:
� Os vetores posição são representados como:
� A direção e o sentido da intensidade da força são especificados pelo 
vetor unitário uF de C para B:
FrM
ou
FrM
CA
BA
×=
×=
{ }
{ }mjir
e
mkjir
C
B
43
231
+=
++=
( ) ( ) ( )
{ }kjiF
kji
uNF F
402040
)2()1()2(
02433160)60(
222
+−−=








+−+−
−+−+−
⋅=⋅=
Solução
� Convertendo para a forma matricial:
{ }kjiM
Em
i
FrM
ou
i
FrM
A
CA
BA
100120160
:casos os ambos 
40 20- 40
0 4 3
k j 
40 20- 40
2 3 1
k j 
+−=
−
=×=
−
=×=
: 
224
)100()120()160(
:
222
diretoresângulososCalcule
mNM
M
eIntensidad
A
A
⋅=
+−+=
� Três forças atuam na Barra mostrada, determine o momento resultante 
criado pelas forças em relação à flange em 0 e os ângulos diretores 
coordenados para o eixo do momento.
� Solução:
� Vetores Posição direcionados do ponto O para cada força:
� Como conseqüência, o momento resultante em relação a O é:
{ }
{ }péskjir
e
pésjr
B
A
254
5
−+=
=
( )
30- 40 80
2- 5 4
k j 
0 50 0
0 5 0
k j 
20 40 60
0 5 0
k j 
0
3210
0
iii
M
FrFrFrM
FrM
R
BAAR
R
++
−
=
×+×+×=
×=∑
� Solução:
� Intensidade do momento:
� Vetor unitário:
� Ângulos diretores coordenados:
{ } pélbkjiM R ⋅+−= 6040300
( ) ( ) ( )
péslbM
M
R
R
⋅=
+−+=
10,78
604030
0
222
0
kjiu
kji
M
M
u
R
R
7682,05121,03841,0
10,78
604030
0
0
+−=
+−
==
7682,0cos
5121,0cos
3841,0cos
=
−=
=
γ
β
α
� Teorema de Varignon: O momento de uma força em relação a um 
ponto é igual a soma dos momentos dos componentes das forças em 
relação ao mesmo ponto.
� Uma força de 200 N atua sobre o suporte abaixo. Determine o 
momento da força em relação ao ponto A.
� Solução 1.
� Solução 2
� A força F é aplicada nos terminais de cada suporte em ângulo 
mostrado na figura. Determine o momento da força em relação ao 
ponto 0.
� Solução 1 (Análise Escalar).
� Solução 2 (Análise Vetorial).
Sistemas de Forças e 
Momentos
Marcio Varela
Análise do Sistema Força
� Somatório dos Momentos
� O momento da força resultante em relação ao ponto O é igual à soma 
de todos os momentos no sistema.
Análise do Sistema Força
� Formulação
zMyMxMRoM
yFFRy
xFFRx
Σ+Σ+Σ=
Σ=
Σ=
Análise do Sistema Força
� Exercícios
� Determine o momento de binário que age no elemento mostrado 
na figura abaixo (análise escalar).
Análise do Sistema Força
� Exercícios
� Determine o momento de binário que atua sobre a estrutura de 
tubos mostrada na figura abaixo.
Análise do Sistema Força
� Análise Vetorial
{ } pollbjM
ijiM
kksenjikjM
krkrM BA
⋅−=
+−−=
×⋅−+⋅+−×=
×+−×=
9,129
2009,129200
)25()306830cos6()25()8(
)25()25(
00
Análise do Sistema Força
� Análise Escalar
pollbM
M
M
dFM
⋅−=
⋅=
⋅⋅=
⋅=
9,129
20,525
30cos625 0
Análise do Sistema Força
� Exercícios
� Determine o momento em relação ao ponto B de cada uma das três 
forças agindo sobre a viga e o momento resultante (análise escalar).
Análise do Sistema Força
� Exercícios
� Usando a análise vetorial cartesiana determine a força resultante e o momento 
resultante das três forças em relação à base da coluna em A. Dado F1 = {400i + 
300j + 120K}N.( ) ( ) ( ){ }
{ }NkjiF
kjiF
FF
R
R
iR
440200500
50060120100300100400
−+=
−−++−++=
=∑
( )
500- 0 0
8 1- 0
k j 
60- 100- 100
12 0 0
k j 
120 300 400
12 0 0
k j 
0
321
iii
M
FrFrFrM
FrM
R
AEABABRA
RA
++=
×+×+×=
×=∑
Análise do Sistema Força
� 1 – A laje da figura está submetida a quatro colunas paralelas com cargas. Determine a força 
resultante equivalente e especifique a sua posição (x, y) sobre a laje. Considere F1 = 30 kN e F2 = 
40 kN.
my
x
MM
my
y
MM
kNF
kN
FF
yyR
xxR
R
yR
71,5
10401020450140
)(
14,7
13401130350140
)(
140
14020405030
;)(
=
⋅+⋅+⋅=⋅
Σ=
=
⋅−⋅−⋅−=⋅−
Σ=
↓=
−=−−−−
Σ=↑+
Análise do Sistema Força
� 2 – Substitua as forças e todos os momentos por uma força e um momento 
equivalentes no ponto O. Levar, também, em consideração os momentos causados 
pelas forças no ponto em questão. Usar notação vetorial cartesiana.
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ }
{ } mNkiM
mNkiM
mNkM
NjF
NkiF
NkiF
NkF
⋅−=
⋅−=
⋅=
=
−=
−=
=
28,12728,127
º45sinº45cos180
100
100
42,14142,141
º45sinº45cos200
300
2
2
1
3
2
2
1
{ }NkjiF
kkjiF
FFFF
FF
R
R
R
R
15910042,141
)42,141300(10042,141
;
321
++=
−++=
++=
Σ=
{ } mNkiM
kik
ii
MMFrFrM
MM
RO
RO
ORO
⋅−=
−+++=
++×+×=
Σ=
183122
28,12728,127100
141,42- 0 42,141
0 1,1 0
k j 
300 0 0
0 5,0 0
k j 
212211
IFRN – Campus Natal Central – www.ifrn.edu.br
Física Aplicada – Curso Superior
IntroduIntroduçção a Isostão a Isostááticatica
Tipos de carregamentos e de Tipos de carregamentos e de 
apoioapoio
Uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas
segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da 
estrutura). São representadas por cargas aplicadas pontualmente.
Uma forma aproximada de tratar cargas distribuídas
segundo áreas muito reduzidas (em presença das dimensões da 
estrutura). São representadas por cargas aplicadas pontualmente.
Carga uniformemente distribuída
Carga trapezoidal
Carga triangular
q
São cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um
ponto qualquer da estrutura.
São cargas do tipo momento fletor (ou torsor) aplicadas em um
ponto qualquer da estrutura.
� Restringe o grau de liberdade das estruturas;
� Provoca reações nas direções dos movimentos;
� Liga elementos que compões a estrutura;
� Função estática de transmitir as cargas ou forças.
Os vínculos ou apoios são classificados em função de número de 
movimentos impedidos.
Os vínculos ou apoios são classificados em função de número de 
movimentos impedidos.
� Apoio do 1º gênero (apoio simples);
� Apoio do 2º gênero (rótula);
� Apoio do 3º gênero (engaste).
São aqueles que impedem deslocamento somente em uma 
direção.
São aqueles que impedem deslocamento somente em uma 
direção.
SIMBOLOGIA:SIMBOLOGIA:
Ponte rainha d. AméliaPonte rainha d. Amélia
São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em 
todas as direções.
São aqueles que restringem a translação de um corpo livre em 
todas as direções.
SIMBOLOGIA:SIMBOLOGIA:
Estação ferroviária em LondresEstação ferroviária em Londres
São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, 
imobilizando-o completamente. 
São aqueles que impedem qualquer movimento de corpo livre, 
imobilizando-o completamente. 
SIMBOLOGIA:SIMBOLOGIA: H
M
Tipos de Estruturas
Vigas
Tipos de Estruturas
Pórticos
Tipos de Estruturas
Treliça
3,0 m2,0 m
6 N
� De acordo com o que foi visto anteriormente, calcule as 
reações de apoio das vigas abaixo: