GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR
	Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u =(2,3, -1) sendo sua extremidade o ponto B = (0, 4,2).
		
	 
	A=(-2, 1, 3)
	
	A=(2, 1, 3)
	
	A=(4, 1, -3)
	 
	A=(-2, -1, 3)
	
	A=(4, 1, 3)
	Considere o triângulo ABC definido pelos segmentos AB, BC e CA. Se A = (0,0), B = (-5,5) e C = (4,7), qual o perímetro aproximado do triângulo ABC?
		
	
	20,05
	 
	24,35
	 
	32,54
	
	22,50
	
	28,85
	O carteiro percorre uma distância para entregar uma carta saindo do ponto A (3,-2) até o ponto B (-3,-2). Sabendo que a distância percorrida pelo carteiro pode ser representado pelo módulo do vetor AB . Calcule a distância percorrida pelo carteiro.
		
	
	8 u. c
	 
	6 u. c
	
	10 u.c
	
	7 u. c
	
	1 u. c
	Determinar o módulo do vetor 2AB-3BC sendo A=(-1,4) , B=(3,2) e C=(-2,5).
		
	
	(18,-28)
	
	(21,-11)
	 
	(23,-13)
	 
	(15,13)
	
	(-29,-10)
	Sabendo que a distância percorrida por uma partícula é o módulo do vetor que representa essa distância. Calcule a distância do vetor T(-12,9) a origem.
		
	
	2 u.c
	 
	15 u.c
	 
	200 u.c
	
	5 u.c
	
	4 u.c
	Marque a alternativa correta
		
	
	Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento e mesma direção, não podem ser classificados como paralelos ou colineares.
	 
	As grandezas vetoriais para serem perfeitamente definidas necessita-se conhecer o valor do módulo, sua direção e seu sentido.
	
	Força, velocidade e aceleração são grandezas algébricas.
	
	Sobre as grandezas escalares pode-se afirmar que são aquelas que ficam completamente definidas por apenas a direção.
	
	Existem três tipos de grandeza: as escalares, as vetoriais e as algébricas.
	
	Sendo dados os vetores a=(1,1) , b=(1,0) e c=(0,1), calcule o ângulo entre os vetores a-c e  c-b.
		
	
	120°
	 
	135°
	
	270°
	
	0°
	
	180°
	Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.
		
	
	-1 e 0
	
	2/3 e -2
	 
	0 e 1/2  
	 
	-1 e 1/2
	
	1 e 2/3
	
	Calcule o ângulo entre os vetores v = (2,2) e u = (0,2).
		
	
	α=44°α=44°
	 
	α=45°α=45°
	 
	α=47°α=47°
	
	α=48°α=48°
	
	α=46°
	O vetor v é definido pelo segmento orientado AB, onde A = (3,5) e B = (6,9). Se o vetor s é ortogonal a v e s = (a,-3), qual o valor de a?
		
	
	a = - 2
	
	a = 2
	
	a = - 4
	 
	a = 4
	
	a = 0
	Se u = (x,5) e v = (-2,10) são vetores paralelos, então o valor de x é:
		
	
	x = -5
	
	x = 2
	
	x = 25
	 
	x = 1
	 
	x = -1
	Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B.
		
	 
	x + 3y - 6 = 0
	
	x + y - 3 = 0
	 
	x + 2y - 6 = 0
	
	x - y = 0
	
	x + y = 3 
	
Determine o valor de x para que os vetores sejam paralelos u(x,2) e v(9,6)
		
	
	x=5x=5
	
	x=8x=8
	
	x=1x=1
	 
	x=7x=7
	 
	x=3
	Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles
		
	
	49°
	
	46°
	 
	48°
	 
	45°
	
	47°
	Sejam os vetores v = (0,-3,-4) e s = (-2,5,8). O vetor u = (a,b,c) é definido pela expressão 3v - s. Logo, a, b e c valem, respectivamente:
		
	 
	2, -14 e -20
	
	-2, 14 e 20
	 
	20, 14 e 2
	
	-14, 2 e -20
	
	-20, 2 e -14
	Determine o valor de m para os vetores u = (5; m) v = ( -15; 25) sejam perpendiculares. 
		
	
	12
	 
	3
	 
	9
	
	5
	
	6
	O ângulo formado entre os vetores v = (-3,2) e u = (0,6) será aproximadamente igual a:
		
	
	65,66o
	 
	56,31o
	 
	12,77o
	
	22,56o
	
	90,05o
	A equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(0,1) e B(6,8) é dada por:
		
	
	y=7x+1y=7x+1
	
	y=7x+16y=7x+16
	 
	y=6x+1y=6x+1
	
	y=67x+1y=67x+1
	 
	y=76x+1
	
Determine as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(5,-2,3) e tem a direção do vetor v=(4,-4,-7).
		
	 
	x-5 / 4 = y+2 / -4 = z-3 / -7
	
	x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3
	
	x-5 / -4 = y-2 / -4 = z+3 / 7
	 
	x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3
	
	x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 / 7
	Seja os pontos: A (-1,-1, 2), B (2, 1, 1) e C (M, -5, 3).  Para qual valor de M o triângulo ABC é retângulo em A?
		
	
	8
	 
	6
	
	3
	
	0
	 
	2
	Dois carros percorrem estradas diferentes representadas pelas retas 3x - y + 1 = 0 e 2x - y + 5 = 0. Estas estradas se interceptam no ponto P. Determine o ponto P de interseção entre as retas.
		
	
	P(5,6)
	 
	P (4,13)
	
	P(9,3)
	 
	P(3,2)
	
	P(2,2)
	
Explicação:
Transformando as equações na forma reduzida:
3x - y + 1 = 0
y = 3x + 1
E
2x - y + 5 = 0
y = 2x + 5
Devemos resolver o seguinte sistema:
y = 3x + 1
y = 2x + 5
Subtraindo a segunda da primeira equação:
y ¿ y = 3x + 1 - (2x + 5)
0 = 3x + 1 - 2x - 5
0 = x - 4
x = 4
Substituindo da primeira equação:
y = 3x + 1
y = 3.4 + 1
y = 12 + 1
y = 13
O ponto de interseção das retas é o ponto (4, 13).
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
		
	
	x= -1+t ,  y = -2 , z = -t
	
	x= -1+t ,  y = -2 , z = t
	
	x= -1+t ,  y = 2 ,  z = t
	 
	x= -1-t ,  y = -2 , z = t
	 
	x= 1+t ,  y = -2  , z = t
	
Explicação:
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t
y=-2
z=t
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por:
		
	
	-70x + 19y + 123 = 0
	 
	-69x + 20y + 123 = 0 
	
	-68x + 19y + 122 = 0
	
	70x - 21y - 124 = 0
	
	-69x + 21y - 122 = 0
	
 
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	
	x= -2+t ;  y = t ;  z = -1+t
	 
	x= -2+t ;  y = t ;  z = 1+t
	
	x= 2+t  ;  y = t ;  z = 1+t
	
	x= -2-t ;  y = t ;  z = 1+t
	
	x= -2+t ;  y = -t ;  z = 1+t
	
	As retas 2x - y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares. Assim sendo, o valor de a será:
		
	
	a = 1
	 
	a = -1
	
	a = 0
	
	a = -4
	 
	a = 4
	
Explicação:
Retas perpendiculares apresentam o produto abaixo igual a zero:
ax + by + c = 0
a'x + b'y + c' = 0
(a,b) . (a',b') = 0 
a.a' + b.b' = 0
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considera a reta r que passa pelo ponto A(0,0,3) e tem a direção de v = (-1,2,2). O ponto P que pertence a reta r, quando o parâmetro t = -3, é dado por:
		
	
	P(-6,-3,3)
	
	P(-6,0,-3)
	
	P(0,0,0)
	 
	P(-3,-6,-3)
	 
	P(3,-6,-3)
	
Explicação:
Reta r(x,y,z) = (0,0,3) + t(-1,2,2)
Para t = -3
P(x,y,z) = (0,0,3) - 3(-1,2,2) = (0,0,3) + (3,-6,-6) = (3,-6,-3)
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	A equação geral do plano δδ que passa pelo ponto A(2,3,4) e é paralelo ao plano ππ: 2x + 3y - 5z + 11 = 0 é dada por:
		
	
	 - 2x + 5y - z + 7 = 0
	 
	2x + 3y - 5z + 7 = 0
	
	x + y + z - 11 = 0
	
	x3x3+ 3y - z + 11 = 0
	
	2x - 3y - 5z - 7 = 0
	
Explicação:
Pela equação geral do plano ππ podemos definir o vetor diretor n como n = (2,3,-5).
Como os planos δδ e ππ são paralelos:
v = an ⇒ Supondo a = 2, v = 2(2,3,-5) = (4,6,-10)
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + d = 0. Se A pertence aδδ, então:
4(2) + 6(3) - 10(4) + d = 0 ⇒ d = 14
Assim: δδ: 4x + 6y - 10z + 14 = 0 ⇒ δδ: 2x + 3y - 5z + 7 = 0
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dado o plano ππ determinado pelos pontos A(-2,0,-2), B(1,2,4) e C(-1,-2,6). Um sistema de equações paramétricas de ππ é corretamente representado por:
		
	
	x = 2 + 3h + t
y = - 2h - 2t
z = -2 + h + 8t
	
	x = 3h + t
y = 2h - 2t
z = 6h + 8t
	 
	x =3h + t
y = 2h + t
z = -2 + 6h + 8t
	
	x = -2 + 3h 
y = 2h 
z = -2 + 6h + 8t
	 
	x = -2 + 3h + t
y = 2h - 2t
z = -2 + 6h + 8t
	
Explicação:
Determinamos os vetores diretores do plano:
AB = B - A = (1,2,4) - (-2,0,-2) = (3,2,6)
AC = C - A = (-1,-2,6) - (-2,0,-2) = (1,-2,8)
Logo, as equações paramétricas serão:
x = -2 + 3h + t
y = 2h - 2t
z = -2 + 6h + 8t
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em z
x = - 3 + z
y = - 1 + z 
será:
		
	
	v = (-3,2,-1)
	
	v = (0,0,0)
	 
	v = (1,1,1)
	 
	v = (-2,1,0)
	
	v = (-1,0,1)
	
Explicação:
Uma maneira de resolver o problema é atribuir valores para z:
Exemplo: z = 0 ⇒ x = -3, y = -1 ⇒ A(-3,-1,0)
z = 1 ⇒ x = -2, y = 0 ⇒ B(-2,0,1)
Logo: v = AB = B - A = (-2,0,1) - (-3,-1,0) = (1,1,1)
 
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	A reta r definida por x = - y e a reta s definida por ax - 3y = 0 são ortogonais. Qual o valor de a:
		
	
	a = - 3
	
	a = 3/2
	
	a = 0
	 
	a = 1/2
	 
	a = 3
	
Explicação:
x + y = 0 e ax - 3y = 0
(1,1) . (a,-3) = 0 
a - 3 = 0 
a = 3
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A = (0,-1,3) e tem a direção de v = (-1,2,-1) é:
		
	
	r(x,y,z) = (-1,2,-1) + t(0,-1,3)
	
	r(x,y,z) = t(-1,2,-1)
	 
	r(x,y,z) = (0,-1,3) + t(-1,2-1)
	
	r(x,y,z) = (0,-1,3)
	
	r(x,y,z) = (0,0,0) + t(0,-1,3)
	
Explicação:
A equação vetorial da reta é dada por:
r(x,yz,) = A + tv
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	A equação geral do plano ππ que passa pelo ponto A(0,-1,3) e é ortogonal ao vetor n = (-2,3,4) é corretamente representada por:
		
	
	- 2x - 3y - 4z - 9 = 0
	
	3x - 4y + 5z - 11 = 0
	
	x + y + z = 0
	
	2x - 4y - 3z - 9 = 0
	 
	2x - 3y - 4z + 9 = 0
	
Explicação:
A(0,-1,3) e n = (-2,3,4)
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z + d = 0
Como A pertence ao plano ⇒ -2(0) + 3(-1) + 4(3) + d = 0 ⇒ -3 + 12 + d = 0 ⇒ d = -9
Assim: ππ: -2x + 3y + 4z - 9 = 0 ⇒ ππ: 2x - 3y - 4z + 9 = 0
	
	
	Um goleiro chuta a bola cuja trajetória descreve a parábola y=−4x2+24xy=−4x2+24x, onde x e y são medidas em metros. Nestas condições, a altura máxima, em metros, atingida pela bola é:
		
	
	34
	 
	36
	 
	24
	
	30
	
	28
	
Explicação:
O vértice de uma parábola y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c, onde a é diferente de zero, é dado por:
V = (−b2a−b2a,−Δ4a−Δ4a)
Logo, a ordenada y será: y = −5764∗(−4)−5764∗(−4)=36
Δ=b2−4acΔ=b2−4ac
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Uma elipse intercepta os eixos x e y, respectivamente, em: (±4,0±4,0) e (0,±20,±2). O centro encontra-se na origem. A equação reduzida será:
		
	 
	x216x216+y24y24=1
	
	x216x216+y216y216=1
	 
	x216x216-y24y24=1
	
	x24x24+y216y216=1
	
	x24x24+y24y24=1
	
Explicação:
O eixo maior encontra-se no eixo dos x. Logo:
x216x216+y24y24=1
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz à desigualdade x2−32x+252x2−32x+252 < 0. O número que representa a idade de São Paulo pertence ao conjunto:
		
	
	{12,13,14}
	 
	Nenhuma das alternativas
	
	{21,22,23}
	 
	{15,16,17}
	
	{18,19,20}
	
Explicação:
x2−32x+252=(x−18)∗(x−14)x2−32x+252=(x−18)∗(x−14)
Assim, os zero da função são 18 e 14. Como a parábola tem concavidade voltada para cima, o intervalo que obedece a inequação será:
14 < x < 18
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação da circunferência com o centro em D(0,0) e raio 5.
		
	 
	x2+y2=25x2+y2=25
	
	y2=26y2=26
	
	x2−y2=25x2−y2=25
	 
	x2+y2=26x2+y2=26
	
	x2=25x2=25
	
Explicação:
Usando a fórmula da equação reduzida temos:
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2
(x−0)2+(y−0)2=52(x−0)2+(y−0)2=52
x2+y2=25x2+y2=25
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação da circunferência com o centro em M(−1,−4)M(−1,−4) e raio √22.
		
	 
	(x+1)2+(y+4)2=2(x+1)2+(y+4)2=2
	 
	(x+4)2+(y+1)2=2(x+4)2+(y+1)2=2
	
	(x+1)2+(y+4)2=4(x+1)2+(y+4)2=4
	
	(x+1)2+(y+4)2=1(x+1)2+(y+4)2=1
	
	(x+4)2+(y+1)2=1(x+4)2+(y+1)2=1
	
Explicação:
Usando a fórmula da equação reduzida temos:
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2
(x+1)2+(y+4)2=(√2)2(x+1)2+(y+4)2=(2)2
(x+1)2+(y+4)2=2(x+1)2+(y+4)2=2
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação da circunferência com o centro em C(2,5) e raio 3.
		
	
	(x−5)2+(y−2)2=6(x−5)2+(y−2)2=6
	 
	(x−2)2+(y−5)2=4(x−2)2+(y−5)2=4
	
	(x−2)2+(y−5)2=6(x−2)2+(y−5)2=6
	
	(x−5)2+(y−2)2=9(x−5)2+(y−2)2=9
	 
	(x−2)2+(y−5)2=9(x−2)2+(y−5)2=9
	
Explicação:
Usando a fórmula da equação reduzida temos:
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2
(x−2)2+(y−5)2=32(x−2)2+(y−5)2=32
(x−2)2+(y−5)2=9(x−2)2+(y−5)2=9
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação da circunferência com o centro em Q(0,−2)Q(0,−2) e raio 44.
		
	
	(x+1)2+(y+2)2=15(x+1)2+(y+2)2=15
	
	x2+y2=16x2+y2=16
	 
	(x+2)2+y2=16(x+2)2+y2=16
	 
	x2+(y+2)2=16x2+(y+2)2=16
	
	x2+(y+2)2=14x2+(y+2)2=14
	
Explicação:
Usando a fórmula da equação reduzida temos:
(x−a)2+(y−b)2=r2(x−a)2+(y−b)2=r2
(x−0)2+(y+2)2=42(x−0)2+(y+2)2=42
x2+(y+2)2=16x2+(y+2)2=16
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x2 e y = 2x2 ¿ 1 é:
		
	
	1
	
	6
	
	12
	 
	2
	 
	5
	
Explicação:
Para encontrar os pontos de intersecção entre duas figuras, é necessário igualar suas equações. Como as equações das duas parábolas já estão em função de x, podemos fazer:
Substituindo esses valores nas funções, teremos:
Assim, os pontos tanto na primeira função quanto na segunda são:
Logo, são apenas dois pontos.
Letra C.
	Qual a distância entre os focos da hipérbole  x²/9 - y²/4  =  1  ?
		
	
	5V13
	
	7V13
	 
	2V13
	 
	4V13
	
	V13
	
Explicação:
Temos que:
x²/a² - y²/b² = 1  ->  x²/9 - y²/4 = 1  ->  a²=9 ->  a=3
                                                            b²=4 ->  b=2
 
Mas:  c² = a² + b²  ->  c² = 9 + 4  -> c² = 13  - c= V13
 
Daí:  F1F2 = 2c = 2V13  que é a distância entre os focos da hipérbole (distância focal)
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Uma hipérbole tem equação 9x2 - 16y2 = 144. As coordenadas dos focos, as coordenadas dos vértices e a excentricidade dessa hiprébole são, respectivamente:
		
	 
	F1(5,0) e F2(-5,0), A1(4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54e=54
	
	F1(-5,0) e F2(5,0), A1(-4,0) e A2(4,0) e a excentricidade e=54e=54
	 
	F1(-5,0) e F2(-5,0), A1(-4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54e=54
	
	F1(0,-5) e F2(0,5), A1(0,-4) e A2(0,4) e a excentricidade e=54e=54
	
	F1(5,0) e F2(5,0), A1(4,0) e A2(4,0) e a excentricidade e=54e=54
	
Explicação:
9x2−16y2=1449x2−16y2=144   ⇒  9x2144−16y2144=1441449x2144−16y2144=144144   ⇒  x216−y29=1x216−y29=1
A equação indica que os focos estão sobre o eixo Ox com centro (0,0), daí:
a2=16a2=16   ⇒   a=4a=4
b2=9b2=9   ⇒  b=3b=3
c2=a2+b2=16+9=25c2=a2+b2=16+9=25⇒   c=5c=5
e=ca=54e=ca=54
Logo, F1(5,0) e F2(-5,0), A1(4,0) e A2(-4,0) e a excentricidade e=54e=54
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Uma elipse tem os focos em F1(0,3) e F2(0,-3). Se o comprimento do eixo menor da elipse é 2, determine a equação dessa elipse.
		
	 
	10x2+y2=1010x2+y2=10
	
	x2+y2=1x2+y2=1
	
	10x2+y2=110x2+y2=1
	
	10x2=1010x2=10
	
	x2+y2=10x2+y2=10
	
Explicação:
Pelos dados do problema, temos que V(0,0), c = 3, 2b = 2 ⇒ b = 1.
a2=b2+c2a2=b2+c2  ⇒  a2=1+9=10a2=1+9=10
Como os focos estão localizados no eixo y e o vértice é V(0,0), temos:
x2b2+y2a2=1x2b2+y2a2=1  ⇒  x21+y210=1x21+y210=1
10x2+y2=1010x2+y2=10
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de p para que o ponto  P(3,p) pertença a circunferência de equação x² + y² = 18.
		
	
	+/- 1
	 
	+/- 3
	
	+/- 9
	
	-1 e 9
	
	2 e -3
	
Explicação:
Devemos ter:  3² + p² = 18 -> 9 + p² = 18 -> p² = 9 -> p = +/- 3
Logo: P(3,3) ou P(3,-3)
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação da hipérbole de focos F(6,0) e F(-6,0) e de excentricidade igual a 3232
		
	
	4x2+5y2=804x2+5y2=80
	 
	5x2−4y2=805x2−4y2=80
	
	4x2−5y2=804x2−5y2=80
	 
	4x2−y2=804x2−y2=80
	
	5x2+4y2=805x2+4y2=80
	
Explicação:
Pelos dados do problema, temos:
c=6c=6                           e=32e=32   ⇒   ca=32ca=32   ⇒   a=2c3=2.63=4a=2c3=2.63=4
c2=a2+b2c2=a2+b2   ⇒   36=16+b236=16+b2   ⇒   b2=20b2=20
Como os focos estão sobre o eixo Ox e O(0,0), vem:
x2a2−y2b2=1x2a2−y2b2=1   ⇒   x216−y220=1x216−y220=1   ⇒   5x2−4y2=805x2−4y2=80
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz n x m, então:
		
	
	existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B.
	
	existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3.
	
	existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A = B.
	 
	 existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3.
	
	existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3.
	
Explicação:
Propriedades de matrizes: Para que AB e BA possam existir, então:
(3 x 4) x (4 x 3) = 3 x 3
(4 x 3) x (3 x 4) = 4 x 4
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação de uma das assíntotas à hipérbole x²/9 - y²/36 = 1.
		
	 
	y=2x
	
	y=x
	 
	y=3x
	
	y=-3x
	
	y=3x-2
	
Explicação:
Temos:   
x²/9 - y²/36 = 1  ->  a²=9   -> a=3
                               b²=36 -> b=6
 
                      x         y         1
        Daí:       3          6        1   =   0   -> 6x-3y-18+18 --3y + 6x = 0  ->  12x - 6y  =  0   ->  6y = 12x  ->  y =2x
                     -3         -6       1
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de p para que o ponto P(3,p) pertença a circunferência de equação x²+y²=18.
		
	
	+/-9
	
	2 e -3
	 
	-1 e 9
	 
	+/-3
	
	+/-1
	
Explicação:
Temos:
3²+p²=18 -> p²=9 -> p=+/-3
 
Logo: P(3,3) ou P(3,-3)
	Considere a transformação linear do R², f(x,y) = (x+y , 4x) e os vetores u=(-1,3) e v=(5,2). Determine o valor de f(3u-2v).
		
	 
	(-8,-52)
	
	(8,-52)
	
	(-8,52)
	 
	(8,52)
	
	(6,-52)
	
Explicação:
Temos:
3u-2v = 3(-1,3) - 2(5,2) = (-3,9) - (10,4) = (-13,5)
 
Logo: f(x,y) = (x+y , 4x) => f(-13,5) = (-13+5 , 4.(-13)) = (-8,-52)
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine m para que o seguinte sistema seja possível e determinado.
mx + 2y - z = 1
x - 3y + z = 0
x + 2z = 2
		
	
	m ≠ -3/4
	 
	m ≠ -5/6
	 
	m ≠ -1/2
	
	m ≠ -4/5
	
	m ≠ -2/3
	
Explicação:
Para que o sistema seja possível e determinado, devemos ter D ≠ 0, ou seja:
m   2   -1
1   -3   1      ≠   0   ⇒  6m ≠ -5 ⇒ ≠  -5/6
1    0   3
 
Logo , m ≠ -5/6
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a e b para que os sistemas sejam equivalentes.
x - y = 9                                     ax + y = 12
x + y = 5                  e                2x - by = 20
		
	
	a = 3 e b = 4
	
	a = 6 e b = 5
	 
	a = 2 e b = 3
	
	a = 3 e b = 2
	
	a = 4 e b = 3
	
Explicação:
Primeiro resolvemos o sistema 
x - y = 9
x + y = 5
 
x - y = 9
x + y = 5
Somando as duas equações temos:
2x = 14 ⇒ 7 - 9 ⇒ y = -2
 
Para que os sitemas sejam equivalentes, S = {(7, -2)} também deve ser o conjunto solução do outro sistema; então:
ax + y = 12 ⇒  a(7) + (-2) = 12 ⇒  7a - 2 = 12  ⇒  7a = 14 ⇒  a = 2
2x - by = 20 ⇒  2(7) - b(-2) = 20 ⇒  14 + 2b = 20 ⇒  2b = 6 ⇒  b = 3
 
Portanto, a = 2 e b = 3
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de k para que o vetor w=(2,-5,k) seja uma combinação linear dos vetores u=(1,2,1) e v=(3.0,-2).
		
	
	-9/2
	
	-10/3
	
	15/2
	 
	-11/2
	
	13/2
	
Explicação:
Temos:
w=au + bv => (2,-5,k) = a(1,2,1) + b(3,0,-2) => (2,-5,k) = (a,2a,a) + ( 3b,0,-2b) => (2,-5,k) = (a+3b,2a,a-2b) =>
           a+3b=2 => -5/2 + 3b = 2 => b=3/2
=>      2a=-5 => a=-5/2
          a-2b = k => -5/2 - 2.3/2 = k => k=-11/2
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Um estacionamento cobra R$ 2,00 por moto e R$ 3,00 por carro estacionado. Ao final de um dia, o caixa registrou R$ 277,00 para um total de 100 veículos. Quantas motos e carros usaram o estacionamento nesse dia?
		
	
	53 carros e 47 motos
	
	23 carros e 38 motos
	
	47 motos e 53 motos
	 
	67 carros e 33 motos
	 
	77 carros e 23 motos
	
Explicação:
c,m = carro, moto
3c + 2m = 277 ........ (i)
c + m = 100 ............ (ii)
De (ii) tiramos: c = 100-m e aplicamos isso em (i):
3c + 2m = 277
3.(100-m) + 2m = 277
300 - 3m + 2m = 277
-m = 277-300 → multiplicamos toda equação por (-1) para positivar o "m":
m = -277+300
m = 23
======
c = 100 - m = 100 - 23
c = 77
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não sócios. No total, o valor arrecadado foi de R$ 1 400,00 e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou metade desse valor, determine o número de sócios e não sócios que compareceram ao show.
		
	
	115 sócios e 85 não sócios
	 
	78 sócios e 122 não sócios
	
	130 sócios e 70 não sócios
	
	122 sócios e 78 não sócios
	 
	120 sócios e 80 não sócios
	
Explicação:
X+y=200 (5)         X= quantidade de sócios   y=quantidade não sócios
5x+10y=1400
5x+5y=1000 (-1)
5x+10y=1400
-5x-5y=-1000
5x+10y=1400 Some as duas equações
5y=400
y=80
Substitua y=80 em x+y=200
x+80=200
x=120
Foram 80 não associados e 120 associados ao show
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Vamos resolver o sistema linear: 
x + y = 9
x + z = 8
y + z = 5
		
	
	S = {(7, 6, 5)}
	 
	S = {(6, 3, 2)}
	 
	S = {(8, 4, 3)}
	
	S = {(6, 4, 2)}
	
	S = {(5, 4, 2)}
	
Explicação:
Ele pode ser excrito na forma
x + z + 0z = 9
x + 0y + z = 8
0x + y + z = 5
Daí, temos 
          1  1  0
D =    1  0  1   =   - 2
          0  1  1
Como D = - 2 ≠ 0, o sistema é possível e determinado.
 
          9  1  0
Dx =   8  0  1   =  - 12                   
          5  1  1
x = Dx/D  = -12/-2  =  6  
 
           1  9  0
Dy =     1  8  1  =  - 6
           0  5  1
y = Dz/D  = -6/-2  = 3   
 
           1  1  9
Dz =     1  0  8  =  - 4
           0  1  5
 z = Dz/D  = -4/-2  = 2
 
S = {(6, 3, 2)}
                                     
 
 
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Resolva o sistema linearV = {(2,3,4)}
	 
	V = {(7,8,9)}
	 
	V = {(1,2,3)}.
	
	V = {(8,9,11)}
	
	V = {(3,4,5)}
		Determinar os autovalores da matriz a seguir:
A=(3−1−13)A=(3−1−13)
		
	
	-2 e 2
	
	1 e -3
	 
	-1 e 3
	
	1 e 5
	 
	2 e 4
	
Explicação:
Temos que:
A - λλI = (3−1−13)(3−1−13)- λλ(1001)(1001) =(3−λ−1−13−λ)(3−λ−1−13−λ)
Daí, vem que:
det (A - λλI) = 0
det (3−λ−1−13−λ)(3−λ−1−13−λ) = 0   → 
(3 - λλ).(3 - λλ) - (-1).(-1) = 0
9 - 3λλ - 3λλ + λλ² - 1 = 0
λλ² - 6λλ + 8 = 0
Logo: λλ1 = 2  e λλ2 = 4, que são os autovalores.
 
 
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Se tivermos o sistema abaixo, então x + y + z + t é igual a:
		
	
	6
	
	8
	 
	3
	
	7
	 
	5
	
Explicação:
Somando todas equações, temos:
3x+3y+3z+3t = 15
3(x+y+z+t) =15 divida ambos os lados por 3
(x+y+z+t) = 5
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B.
		
	
	x - y = 0
	
	2x + 2y- 8 = 0
	 
	x + 2y - 6 = 0
	 
	x - 2y + 2 = 0
	
	x + y - 5 = 0
	
Explicação:
Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1).
| x y 1 | x y
| 2 2 1 | 2 2
| 4 1 1 | 4 1
Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto das diagonais secundárias.
2x+4y+2-8-x-2y=0
x+2y-6=0
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O conjunto {(1,-1), (-2,2), (1,0)} não é uma base de R2. A afirmativa é:
		
	
	Falsa, pois o conjunto de vetores é linearmente dependente.
	 
	Verdadeira, pois o conjunto de vetores é linearmente dependente. 
	
	Verdadeira, pois o conjunto de vetores é linearmente independente.
	 
	Falsa, pois o produto vetorial é nulo.
	
	Nada se pode concluir sobre a afirmativa 
	
Explicação:
O conjunto de vetores não é linearmente independente. Observe que os dois primeiros vetores (1, ¿1) e (¿2, 2) são múltiplos. Temos (¿2, 2) = ¿2 . (1, ¿1) + 0 . (1, 0)
Logo, o conjunto de vetores é linearmente dependente.
Podemos concluir que o conjunto {(1, ¿1), (¿2, 2), (1, 0)} não é uma base de ℜ2.
	
	
	 
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita X no seguinte sistema de equações lineares: 
		
	
	x = 6
	 
	x = 4
	 
	X= 3
	
	x = 7
	
	x = 10
	
Explicação:
Calculando o determinante temos D= 31
Calculando o determinante de x,temos Dx= 93
Logo x =Dx/D = 3
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	A dimensão do espaço vetorial dim M5 x 5(R) é igual a:
		
	 
	25
	 
	20
	
	0
	
	5
	
	10
	
Explicação:
A resolução é: dim M5 x 5(R) = 5 . 5 = 25
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas: Carlos e o cão pesam juntos 87 kg; Carlos e Andreia pesam 123 kg; Andreia e Bidu pesam 66 kg. Determine o peso de cada um deles.
		
	
	Andreia pesa 52 kg, Bidu 16 kg e Carlos 73 kg.
	 
	Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.
	
	Andreia pesa 53 kg, Bidu 14 kg e Carlos 75 kg.
	 
	Andreia pesa 50 kg, Bidu 16 kg e Carlos 70 kg.
	
	Andreia pesa 51 kg, Bidu 17 kg e Carlos 70 kg.
	
Explicação:
Peso de Carlos = x
Peso de Ándreia = y
Peso de Bidu = z
eq 1: x + z = 87
eq 2: x + y = 123
eq 3: y + z = 66
Agora, subtraímos a equação 1 da equação 2:
(x + y) - (x + z) = 123 - 87
y - z = 36 (eq 4)
Agora, somamos a eq 3 com a eq 4:
(y - z) + (y + z) = 36 + 66
2y = 102
y = 51
Com y = 51, temos:
y + z = 66
51 + z = 66
z = 15
Então...
x + z = 87
x + 15 = 87
x = 72
Logo, os pesos de cada um são:
Carlos (x) = 72 Kg
Ándreia (y) = 51 Kg
Bidu (z) = 15
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere a transformação linear do R², f(x,y) = (x+y , 4x) e os vetores u=(-1,3) e v=(5,2). Determine o valor de f(3u-2v).
		
	
	(8,-52)
	 
	(6,-52)
	
	(-8,52)
	 
	(-8,-52)
	
	(8,52)
	
Explicação:
Temos:
3u-2v = 3(-1,3) - 2(5,2) = (-3,9) - (10,4) = (-13,5)
 
Logo: f(x,y) = (x+y , 4x) => f(-13,5) = (-13+5 , 4.(-13)) = (-8,-52)