Aplicações de Sequências Numéricas

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Cálculo II 
 
 
 
 
APLICAÇÕES PRÁTICAS DE SEQUÊNCIAS 
NUMÉRICAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1. Séries Numéricas ..................................................................................................................... 2 
2. Sequências e Séries Numéricas – Problemas de Congestionamento ................................... 4 
3. Sequências Numéricas e Digaonalização ............................................................................... 5 
4. Sequências Numéricas e Diagonalização ............................................................................... 6 
5. Sequências Numéricas e a Geometria Hiperbólica ................................................................ 7 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 8 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
 
Resumo ......................................................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Na apostila sobre exercícios resolvidos sobre limites ou convergência de 
sequências numéricas, trabalhamos com a resolução de exemplos adicionais, com 
base nos diversos resultados e propriedades relacionadas as operações envolvendo 
tal contextualização. 
As propriedades operatórios são importantes no sentido de simplificar ou 
facilitar a descrição do convergência ou divergência envolvendo sequências 
numéricas. Não nos esqueçamos que a caracterização por intermédio da definição 
formal de sequência convergente não é uma tarefa simple e, na verdade, em alguns 
casos bastante complicadas. 
Desta forma, nessa apostila será de nosso interesse trabalhar com a 
exposição de algumas aplicações relacionadas diretamente as sequências numéricas 
e que podem ser visualizadas no nosso cotidiano. 
Em diversas modelagens para a resolutiva de problemas diversos, 
necessitamos da conceituação de sequência numérica, bem como de sua análise 
com relação a convergência e divergência, onde citamos problemas relacionados a 
congestionamento de sistemas (teoria de filas e redes neurais), problemas de 
vibrações mecânicas, teoria da codificação de sinais (criptografia, computação 
gráfica e teoria dos códigos) e problemas de simulação de sistemas. 
Não podemos deixar de salientar que o elemento básico para a descrição de 
uma série numérica é exatamente a sequência numérica. Assim, convido todos vocês 
para me acompanhar em tal tratativa! Vamos lá? 
Objetivos 
• Estar plenamente familiarizado com algumas situações cotidianas que 
envolvem a utilização do conceito de sequência numérica. 
• Identificar a aplicabilidade de sequências convergentes em algumas 
situações do nosso dia a dia. 
 
1. Séries Numéricas 
Você com certeza, já ouviu a terminologia série numérica ou série infinita? 
Lembra-se das progressões geométricas (popularmente conhecidas como PG), 
utilizadas diretamente nas situações envolvendo as dízimas periódicas e com os 
números racionais? Em um primeiro momento, mesmo não estando familiarizado 
 
3 
 
com as séries numéricas, podemos exemplificar a progressão geométrica como um 
exemplo particular de uma série numérica. 
Uma dízima como 0,7777... nada mais é do que uma progressão geométrica 
infinita. Podemos escrever: 
1 3
1 1 1 1 1 1
0,7777777...7 x 0,11111... 7 ... 7 ...
10 100 1000 10 10 10
   
= + + + = + + + =   
   
 
1 10 7
7 1 7 1
1 9 9
10
10
 
   
− = − =   
  
 
 
Agora, para conceituarmos uma série numérica, é necessário nos 
alicerçarmos no processo de descrição do limite de sequências numéricas. 
Desta maneira, associamos à sequência 
1 2, ,..., ,...na a a
 uma “soma infinita” 
que representamos por a1+ a2 + an+ .... Mas, afinal de contas o que isso nos diz? Onde 
podemos aplicar ou encontrar uma soma como esta? Qual o significado dessa 
expressão? O que isso representa? 
Em um primeiro momento, é importante salientarmos que a série numérica 
que nasce naturalmente do contexto das séries numéricas apresenta grande 
aplicabilidade na resolução de muitas aplicações nas áreas das ciências exatas 
essencialmente, bem como em outras áreas do conhecimento. 
Matematicamente falando, dizemos que uma série é uma soma 
1 2 ....na a a+ + +
 com um número infinito de parcelas ou termos. Ou seja, 
( )1 2 .lim ..
n
na as a
→
+ +−
. Como qualquer limite, ele pode existir ou não. Por conta 
disso, nós temos Séries Convergentes e Séries Divergentes. 
Essa ferramenta matemática, por exemplo, está diretamente associada a 
simulação de sistemas diversos (modelagem numérica), as transformadas integrais e 
de Laplace (equações diferenciais ordinárias), função de ativação se redes neurais 
artificiais, etc. 
 
4 
 
1 
Sistemas de controle – aplicação cotidiana das sequências e series numéricas. 
Fonte: pexels.com 
 
2. Sequências e Séries Numéricas – Problemas de 
Congestionamento 
Você já se deparou com alguma fila que você considerou demorada ou muito 
grande? Seja em um supermercado ou agência bancária, etc. temos o aparecimento 
das filas usuais do nosso dia a dia. 
A teoria que trabalha fundamentalmente com a geração de soluções práticas 
para os problemas de congestionamento é chamada de teoria das filas. Em 
verdade, à Teoria das Filas é um conjunto de conhecimentos matemáticos 
(métodos e técnicas) aplicado diretamente ao fenômeno das filas. Resumindo, ela 
trata de problemas de congestionamento de sistemas, cuja característica principal é 
a presença de “clientes” solicitando “serviços” de alguma forma. Imagine você em 
uma agência bancária demandando do serviço de caixa para realizar um dado 
pagamento de um título ou realização de outra operação de cunho financeiro. 
Sem grandes dificuldades, podemos perceber que as filas surgem em várias 
situações: 
• processamento de produtos e/ou peças em indústrias ou 
fábricas; 
• pagamento de compras realizadas em um supermercado; 
• pagamento de contas em uma agência bancária; 
 
5 
 
• compra de entradas para o cinema ou teatro na sua cidade, 
passar por pedágios em rodovias e, assim por diante. 
 
Perceba que não apenas os indivíduos passam por filas. Nas indústrias e 
fábricas, produtos e peças podem estar aguardando alguma tipologia de 
processamento. 
Desta maneira, as sequências numéricas e as séries infinitas são as principais 
ferramentas para o desenvolvimento dos modelos básicos da Teoria das Filas. Esses 
modelos são amplamente utilizados no nosso mundo atual para dimensionar 
serviços de atendimento aos usuários, como caixas de bancos, correios, serviços de 
saúde, serviços emergenciais, problemas na área da Logística etc. 
Nesse sentido, um algoritmo computacional, que é uma modelagem na área 
de transportes, tem como parâmetro inicial o valor do limite da sequência 
(
5
( )
3 4
n
n
x
n
 
=  
+ 
. Qual o valor do parâmetro inicial do modelo em questão? 
Solução: Nesse caso, para computarmoso valor do parâmetro inicial do 
modelo em questão, basta dividirmos o numerador e o denominador da sequência 
para caracterizar o seu limite, ou seja, conforme descrito anteriormente escrevemos: 
lim lim li
5
5 5 5
3 4 43 4 3
3
m
n n n
n
n n
nn
n n n
→ → →
   
    
= = =    
+     + +
   
 
Ou seja, o modelo do algoritmo computacional é equivalente a 
5
3
. 
 
3. Sequências Numéricas e Digaonalização 
 As transformações lineares 
x Ax→
 com elementos facilmente descritos são 
amplamente utilizadas em sistemas dinâmicos discretos, conjuntamente com a 
teoria das sequências e series numéricas. 
Ilustrando, os autovalores, autovetores e sequências numéricas são muito 
úteis no estudo de equações diferenciais ordinárias e sistemas dinâmicos contínuos, 
que podem fornecer informações críticas em projetos de engenharia no context 
geral. 
Como curiosidade, durante o período da Segunda Guerra Mundial, ilustrando, 
as aeronaves da época enfrentavam problemas crônicos de vibrações, que 
 
6 
 
envolviam cálculos bastante complexos. Para a solução destes problemas era 
necessário localizar os autovalores de uma matriz 6 x 6, por exemplo. 
Desta maneira, tanto as sequências numéricas como os autovalores estão 
associados aos modos de frequência de vibração, entendida como o movimento de 
um ponto oscilando em torno de um ponto de referência. A amplitude de tal 
movimentação é rotineiramente mensurada em milímetros ou polegadas. 
O número de vezes que ocorre o movimento completo em determinado 
tempo é chamado de frequência, geralmente, denotada em Hertz (Hz). Os 
autovetores correspondentes a cada autovalor são os deslocamentos (ou 
deformações) que a estrutura sofre devido à vibração. Com este estudo, o 
engenheiro pode projetar estruturas, bem como similar com os programas 
computacionais existentes, que resistam razoavelmente a essas vibrações e utilizar 
recursos de amortecimento, para evitar que essas estruturas entrem em 
desequilíbrio. 
Uma das propriedades mais relevantes dos modos naturais de vibração é a 
propriedade de ortogonalidade em relação à representação matricial de massa e 
rigidez, que está intimamente ligada a um problema de autovetores, autovalores e 
convergência de sequências numéricas. 
A descrição da teoria das vibrações é mais um exemplo prático da aplicação 
dos conceitos e convergência relacionados as sequências numéricas, todavia 
demandamos de outros métodos para a resolução por complete de tal situação, 
donde citamos os critérios de convergência de series numéricas, transformadas de 
Laplace e forma canônica de Jordan. 
Em verdade, para um completo entendimento de situações análogas, 
necessitamos de mais conhecimento em equações diferenciais ordinárias, cálculo 
numérico e dinâmica. 
 
4. Sequências Numéricas e Diagonalização 
Uma das principais áreas da Matemática é exatamente a Álgebra Linear, que 
trabalha com as técnicas relacionadas as matrizes, determinantes, sistemas lineares, 
espaços vetoriais, transformações lineares e diagonalização de operadores. 
 Desta maneira, à diagonalização de matrizes e à diagonalização de 
operadores lineares, que constituem aplicações diretas envolvendo os autovalores e 
autovetores, conjuntamente com as sequências numéricas é uma importante base 
para solucionarmos problemas relacionados a modelos diversos. 
 
7 
 
Aqui pontuamos de forma específica que a transformação de matrizes e as 
sequências numéricas são muito importantes em situações problemas sobre 
vibrações e estruturas, reconhecimento facial e de impressões digitais e também na 
área da Estatística para a interpretação de dados e simulação de eventos aleatórios 
ou não. 
É importante ressaltarmos que no desenvolvimento desses problemas, é de 
fundamental importância a descrição dos autovalores relacionados a operadores 
lineares, bem como da convergência de sequências numéricas associadas que nos 
levam aos autovetores associados que nos permitem diretamente estudar a posição 
dos corpos em função do tempo a partir de uma posição diferente da de equilíbrio. 
De outra forma, a Criptografia, que é o estudo dos códigos, também trabalha 
intimamente com a parte da diagonalização de operadores, que servem como 
alicerce para a criação de fontes de codificação mais seguras ou confiáveis. 
 
5. Sequências Numéricas e a Geometria Hiperbólica 
Segundo Alves (2011), a projeção de um sistema de comunição digital em 
espaços hiperbólicos é necessário o estabelecimento de um procedimento 
sistemático de construção de reticulados como elemento base para a descrição de 
constelações de sinais geometricamente uniformes. Assim, podemos visualizar mais 
uma vez que as sequências numéricas é um elemento chave para tal 
contextualização. 
De outro modo, Alves (2011) afirma que para a codificação de canal é muito 
relevante a caracterização das estruturas algébrica e geométrica associadas a canas 
discretos sem memória, bem como a completa visualização das superfícies 
associadas aos possíveis emparelhamentos das arestas dos polígonos hiperbólicos 
com 3 ≤ n ≤ 8 lados. 
Alves (2011) ainda nos diz que a fundamentação algébrica e geométrica dos 
códigos geometricamente uniformes possui estruturas topológicas na 
caracterização dos processos de geração e de decodificação, não somente na 
tradicional estrutura algébrica de corpos, bem como nas estruturas algébricas 
provenientes de anéis e de grupos. Este aparato inovador no tratamento de códigos 
e modulações através do estudo dos espaços da topologia, espaços métricos, 
espaços hiperbólicos e das superfícies de Riemann associadas, viabiliza não só uma 
sistematicidade no processo de geração como também na decodificação. 
Particularmente, Alves (2011) afirma que sob outro ponto de vista, dentro do 
contexto de projeto de um sistema de comunicação digital em espaços hiperbólicos 
é necessário estabelecermos um procedimento sistemático, para a construção de 
 
8 
 
reticulados, como elemento básico para a geração de constelações de sinais 
geometricamente uniformes. 
Para todo esse contexto a convergência e critérios de convergência de 
sequências e series numéricas constitui um alicerce fundamental para tais 
caracterizações. 
 
Exercícios 
1 – (Autor, 2019) Com base nos aspectos teóricos apresentados nessa 
apostila, bem como em pesquisas diversas, cite mais três contextos de 
aplicabilidade das sequências numéricas. 
 
2 – (Autor, 2019) Existe diferença em falarmos “sequência numérica” e “série 
numérica”? Por quê? 
 
3 – (Autor, 2019) Um dado algoritmo de uma rede neural, baseado em sua 
função de ativação, apresenta como um de seus parâmetros o limite da sequência 
dada por 
( )
3 2
4
n
n
x
n
+ 
=  
− 
. Neste sentido, tal parâmetro é equivalente a qual número 
real? 
 
Gabarito 
1 – É sabido que as sequências numéricas são elementos importantes na 
resolutiva de diversas situações cotidianas, dentre elas podemos citar na 
computação gráfica, inteligência artificial, linguagens de programação e simulação 
Monte Carlo. 
 
2 – Quando falamos em sequência numérica, em verdade, estamos 
comentando sobre uma função definida no conjunto dos números naturais, 
enquanto que quando falamos em série numérica estamos falando de uma soma 
envolvendo infinitas parcelas, surgindo naturalmente de uma sequência numérica. 
 
3 – Neste caso, temos que: 
 
 
9 
 
 
3 2
lim lim lim
3 2 2
1
4
3
3
4 4n n n
n
n
n
n n n
n
n n n
→ → →

+ 
=
  
+ +   
= =   
   − −
−






 = 3 
Ou seja, o parâmetro em questão é equivalente ao número real 3. 
 
Resumo 
Nesta apostila trabalhamos com a apresentação de algumas aplicações 
cotidianas envolvendo as sequências e séries numéricas. Primeiramente, mostramos 
que uma série numérica (que grosso modo, constitui a soma envolvendo infinitas 
parcelas), surge naturalmente do conceito de sequência numérica. 
Além disso, vimos a relação da teoria envolvendo as sequências e séries 
numéricas com outras ferramentas matemáticas, como a Álgebra Linear 
(autovetores e autovalores), geometria hiperbólica, sistemas dinâmicos, equações 
diferenciais, dentre outras, sendo de fundamental importância para a modelagem e 
resolução de situações problemas. 
 É importante ressaltarmos que a geração de caminhos de soluções para tais 
situações mencionadas, demandam das conceituações, resultados e propriedades 
operatórias envolvendo não só as sequências numéricas como também as series 
numéricas, especificamente falando na ideia de convergência ou divergência das 
mesmas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referências bibliográficas 
ALVES, A. F. Análise dos Emparelhamentos de Arestas de Polígonos Hiperbólicos para a Construção de 
Constelações de Sinais Geometricamente Uniformes.Tese de Doutorado. Campinas: FEEC-UNICAMP, 2011. 
 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. 5ª Ed. Volume 2. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª Ed. Volume 2. São Paulo: Harbra, 2006. 
THOMAS, G. B. Cálculo. Volume 2. São Paulo: Addison Wesley, 2003. 
ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. 6ª Ed. Volume 2. São Paulo: Bookman, 2000. 
BOULOS, P. Cálculo Diferencial e Integral. Volume 2. SP: Makron Books, 2006. 
Referências imagéticas 
PEXELS. Disponível em: https://www.pexels.com/photo/men-working-at-night-256219/ Acesso em 13.03.19