CIRCUITO RC CARREGANDO UM CAPACITOR

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO TOCANTINS
CAMPUS PALMAS
CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Richardson Diego de Melo Pires
ELETROMAGNETISMO I
AULA PRÁTICA N°7
CIRCUITO RC – CARREGANDO UM CAPACITOR
Palmas - TO, 23 de Fevereiro de 2015.
 Richardson Diego de Melo Pires
ELETROMAGNETISMO I
AULA PRÁTICA N°7
CIRCUITO RC – CARREGANDO UM CAPACITOR
Trabalho apresentado à disciplina “Eletromagnetismo I”, 4º período. Curso de Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Tocantins, Centro de Engenharias Civil e Elétrica.
Professor Dr. Sérgio Ricardo Gobira Lacerda.
Palmas - TO, 23 de Fevereiro de 2015.
INTRODUÇÃO
Nas experiências anteriores trabalhamos com resistores. Estudamos a sua equação característica (V = Ri) que é uma das representações da lei de Ohm. Os condutores que obedecem a essa lei para qualquer valor da corrente, mantendo a resistência constante, são chamados de condutores ôhmicos. Nessa experiência vamos introduzir mais um elemento básico de uso muito comum em circuitos elétricos: o capacitor. 
O capacitor é um dispositivo formado por duas placas paralelas, contendo um material dielétrico entre elas, cuja característica principal é o fato que quando aplicamos uma dada voltagem a essas placas, ele acumula nas placas uma quantidade de cargas elétricas cujo valor é proporcional à diferença de potencial aplicada. Quanto maior a diferença de potencial entre suas placas, maior a carga acumulada nas mesmas. A constante de proporcionalidade entre a carga adquirida e a diferença de potencial aplicada é chamada de capacitância do capacitor, ou seja, podemos escrever a equação característica do capacitor como:
				(Eq.01)
Essa definição pode ser considerada como uma definição estática ou instantânea, relacionando a voltagem no capacitor em um dado momento e o módulo da carga acumulada em cada uma de suas placas. Como, em geral, medimos voltagens e correntes, podemos reescrever a equação acima em função da corrente que passa no circuito do capacitor, ou seja,
Substituindo a Equação 1 na Equação 2 encontramos:
A Equação 3 mostra que somente teremos corrente no circuito se houver uma variação da voltagem no capacitor VC. Dito em outros termos, se o capacitor estiver se carregando ou descarregando teremos corrente circulando. Num circuito elétrico, usamos dois segmentos de reta paralelos, representando duas placas paralelas condutoras, como símbolo do capacitor (Figura 1).
Figura1: Representação esquemática de um capacitor.
A unidade de capacitância no sistema internacional é o farad, representado pela letra F. O farad é uma unidade muito grande, por isso os dispositivos que se encontram comercialmente são designados por submúltiplos de F, como o picofarad (1pF = ), nanofarad (1nF=), o microfarad (1μF=F) e o milifarad (1mF=F).
Nos circuitos simples analisados as grandezas, força eletromotriz , ddp V, resistência R e corrente I foram consideradas constantes (independentes do tempo). Quando se analisa o comportamento dessas grandezas no processo de carga e descarga de um capacitor verifica-se que ocorrem variações nos valores da voltagem, da corrente e da potência no circuito. Os capacitores possuem muitas aplicações que usam sua propriedade de armazenar carga e energia por isso é de grande interesse saber como são carregados e descarregados. 
O circuito ao lado, denominado circuito RC é um circuito que possui um resistor de resistência R, em série com um capacitor de capacitância C. A bateria conectada ao circuito possui fem e resistência interna nula e despreza-se a resistência dos fios condutores usados no circuito. Inicialmente o capacitor está descarregado e chave está desconectada tanto do ponto A quanto do ponto B. Como as grandezas correntes, voltagem/fem e carga vão sofrer variações no decorrer do tempo, elas serão designadas por letras minúsculas i, e q.
Carregando um Capacitor
No instante t = 0 (momento em que a chave é conectada ao ponto A) o capacitor está descarregado, a ddp nos seus terminais é igual a zero e a tensão no resistor será igual à fem da bateria . A corrente inicial no resistor será, portanto:
À medida que o capacitor se carrega, sua voltagem aumenta e a diferença de potencial através do resistor aumenta ocorrendo em consequência uma diminuição da corrente no circuito. No entanto, a soma dessas duas voltagens permanece constante e igual à força eletromotriz da fonte. Depois de um longo tempo, o capacitor fica completamente carregado, a corrente torna-se nula e a diferença de potencial no resistor é igual à zero. Dessa forma a ddp final nos terminais do capacitor é igual à fem da bateria.
Do que foi exposto, tem-se: 
Em t = 0:			Num instante t durante o carregamento:
Aplicando a lei das malhas de Kirchoff :
						(Eq.01)
À medida que o capacitor é carregado a sua carga aumenta e, portanto aumenta o potencial e diminui . Depois de um longo tempo, a carga tende para um valor final e a corrente no circuito se torna nula., portanto a expressão da Lei de Kirchoff, fica:
Observação: A carga final não depende do valor de R
Dedução das expressões para e 
Escolhemos para aplicação da Lei das malhas de Kirchoff o sentido positivo da corrente como sendo o percurso das cargas positivas que chegam do pólo positivo da bateria à placa esquerda do capacitor (placa positiva). Mas a corrente elétrica é a taxa com que as cargas chegam à placa, isto é:
Substituindo na Eq.01, obtém-se:	e, portanto:
Pode-se rearranjar a expressão e temos:	 
Integrando com os limites de 0 a t para o tempo e de 0 a q para a carga:
Efetuando a integração obtém-se:
Aplica-se a propriedade da função inversa de logaritmo neperiano:
E resulta finalmente (usando o fato de que):
Circuito RC carregando um Capacitor 
Expressão da variação da carga							(Eq.02)
Como, derivando a Eq.02 obtém-se a expressão para i(t):
 E então:
Circuito RC carregando um Capacitor 
Expressão da corrente no circuito			(Eq.03)
Comportamento temporal da ddp no capacitor
A diferença de potencial no capacitor, pode ser obtida usando-se a expressão na equação (2):
 E obtém-se a expressão
Circuito RC carregando um Capacitor
Expressão da tensão no capacitor			(Eq.04)
Observação:
A carga no capacitor, a corrente no circuito e a ddp entre as placas são funções exponenciais do tempo:
Análise gráfica do processo de carregamento de um capacitor
A figura (a) apresenta o gráfico da equação da corrente (Eq.03), a figura (b) mostra o gráfico da variação da carga e a figura (c) fornece a variação da ddp entre as placas do capacitor durante o seu carregamento num circuito R-C. Analisemos as equações de corrente carga e ddp em alguns instantes especiais:
Para o instante t = 0, as equações assumem os valores:
t = 0 
Para um valor muito grande de t a corrente tende para zero, enquanto que a carga no capacitor tende para um valor máximo, a carga final Qf. 
Para um valor de tempo :
t = RC 
Depois de um tempo igual a RC a corrente no circuito atinge um valor 1/e (aproximadamente 36,8%) de seu valor inicial. Nesse mesmo intervalo a carga e a ddp nas placas atingem (1-1/e) de seus valores finais, conforme mostram os cálculos e as representações gráficas ao lado.
O produto RC fornece a medida da velocidade de variação de corrente, carga e ddp nas placas durante o processo de carregamento. RC é denominado constante de tempo ou tempo de relaxação do circuito: Constante de tempo de um circuito R-C 
Quando é pequeno o capacitor se carrega rapidamente.
OBJETIVOS
Obter as curvas de carga de um Capacitor, através do Estudo experimental de um resistor ôhmico conectado em série.
MATERIAIS E MÉTODOS
Placa de ensaios – Laboratório didático de eletricidade – Azehed;
1 Capacitor de 220 μF;
1 Resistor de 100 kΩ;
Fonte de TensãoMinipa;
Smartphone Apple 5S;
2 Multímetros Digitais Minipa com ponta de prova;
Jumpers;
Primeiro ocorreu à identificação do resistor através do código de cores, que no caso foi o resistor de 100 kΩ, depois com o auxilio do multímetro foi realizada a medição do resistor, já o valor medido no resistor foi de 100,5 kΩ. Em seguida foi realizada a medição no capacitor, nesse caso o valor medido foi de 217 μF, sendo que seu valor nominal era de 220 μF.
Configuração I
O circuito RC foi construído utilizando um resistor de 100,5 kΩ e um capacitor de 217 µF, como pode ser observado na Figura 7. Em toda experiência faz-se necessário o cuidado para que o capacitor esteja realmente descarregado para o início das medições. Se o capacitor não estiver descarregado, teremos que fazer um curto-circuito utilizando um fio com pontas nuas para que o potencial seja zero. 
Figura 7 – circuito configuração I
De acordo com a polarização correta do capacitor, o multímetro foi ajustado para medir tensão na escala de 20 DCV. Utilizamos o multímetro para ajustar a fonte de tensão a fornecer 6V ao circuito. Foi utilizado um celular para o auxílio das medições, no caso, para a filmagem dos dados obtidos no carregamento do capacitor.
Na configuração I foi medida a tensão, utilizado o multímetro na função voltímetro na escala apropriada colocado em paralelo com o capacitor. Ao ligarmos a chave do circuito, para cada determinada tensão foi medida o tempo com o cronometro do vídeo feito pelo celular.
Configuração II
Para a configuração II o capacitor foi descarregado totalmente, depois foi construído o circuito com o amperímetro colocado em série com o circuito RC, como pode ser observado na Figura 8. Mas desta vez, os dois multímetros foram empregados para a comparação da voltagem e a corrente no capacitor no seu devido tempo.
 Figura 8 – circuito configuração II
Como na configuração I, o celular foi utilizado para a filmagem dos dados obtidos no carregamento do capacitor. Ao ligarmos a chave do circuito, foram medidos os tempos correspondentes às correntes no capacitor. 
Todos esses resultados estarão presentes no próximo tópico deste relatório.
RESULTADOS
Com os dados das tensões e correntes obtidas em determinados tempos no carregamento do capacitor no circuito RC, montamos as tabelas a seguir: 
	Tensão (Voltes)
	Tempo (S)
	
	Corrente (µA)
	Tempo (S)
	0,0
	0
	
	57,4
	0
	0,5
	2
	
	54,3
	2
	1,0
	4
	
	50,0
	4
	1,5
	7
	
	43,9
	7
	2,0
	9
	
	40,5
	9
	2,5
	13
	
	34,5
	13
	3,0
	16
	
	30,4
	16
	3,5
	20
	
	26,0
	20
	4,0
	27
	
	19,6
	27
	4,5
	35
	
	14,2
	35
	5,0
	46
	
	9,4
	46
	6,0
	±180
	
	0,5
	±180
Para a comparação foram calculados os principais dados a serem obtidos nas medições, utilizando a Equação de corrente no circuito e Equação da tensão no capacitor no carregamento do capacitor no circuito RC em série, usamos os valores de resistência e capacitância medidos nas aparelhagens do circuito, ou seja, R = 100,5 kΩ e C = 217 μF.
O valor da previsão da constante de tempo capacitiva é = R*C = () = 21,8s quando a carga diminui de zero para 36,8% do valor inicial. Para efeito de comparação, logo abaixo temos três instantes obtidos nas medições e seus respectivos cálculos para a obtenção da tensão e da corrente.
Para o instante , temos: 
, .
Para o instante , temos:
, .
Para o instante t = 180s, temos:
, .
A tensão final medida no capacitor foi de 6V próxima no valor calculado de 5,99 V. A corrente se anulou e permaneceu nula a partir do tempo 172s. Segue um esboço do gráfico que está no anexo em papel monolog.
CONCLUSÃO
Devido aos experimentos realizados no laboratório foi possível obter conhecimentos sobre como ocorre à carga dos capacitores e vimos que os gráfico de ddp em função do tempo experimental possui uma semelhança muito boa com os gráfico de ddp em função do tempo teórico, com uma pequena diferença nos resultados, no entanto essa diferença pode ser explicada pela calibração do equipamento, a observação do tempo no cronômetro, entre outros detalhes. Percebemos também que a carga de um capacitor cresce exponencialmente, isso sendo comprovado pela equação exponencial. 
Ao analisar os gráficos observa-se que durante o carregamento do capacitor o tempo tendendo ao infinito, a tensão nele tende para o valor aproximado da fonte de tensão de 6 V. Já, a corrente que passa pelo capacitor inicialmente em máxima, e quando o tempo tende ao infinito ela praticamente se anula.
Observando os gráficos teóricos e experimentais podemos concluir que o experimental foi realizado com sucesso.
	
	
ANEXOS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física 3, 8ª Edição;
	
SADIKU, Matthew N. O. ALEXANDER, Charles K.. Fundamentos de Circuitos Elétricos. 2008;
YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN, Roger A. Física III: Eletromagnetismo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2009;