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2a Lista de Exerc´ıcios EC34B: Me´todo da separac¸a˜o de varia´veis / Func¸o˜es perio´dicas
Engenharia de Computac¸a˜o - C41
Profa Larissa Ferreira Marques
1. Em cada um dos problemas abaixo, determine se o me´todo da separac¸a˜o de varia´veis pode ser
usado para substituir a equac¸a˜o diferencial parcial dada por um par de equac¸o˜es diferenciais
ordina´rias. Nesse caso, encontre as equac¸o˜es. Obs: Na˜o precisa resolver as EDO’s.
(a) xuxx + ut = 0
(b) tuxx + xut = 0
(c) uxx + uxt + ut = 0
(d) [p(x)ux]x − r(x)utt = 0
(e) uxx + (x+ y)uyy = 0
(f) uxx + uyy + xu = 0.
2. Use o me´todo da separac¸a˜o de varia´veis para obter soluc¸o˜es gerais para as seguintes equac¸o˜es:
(a) ux = uy, (x, y) ∈ R2.
(b) ux + uy = u
(c) xux = yuy
(d) ut = kuxx − u, k > 0
(e) utt = a
2uxx
(f) uxx + uyy = 0
3. Use o me´todo da separac¸a˜o de varia´veis para resolver o seguinte problema:
ut = 100uxx, x ∈ (0, 1), t > 0,
u(0, t) = u(1, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = sen (2pix)− sen (5pix) .
4. Use o me´todo da separac¸a˜o de varia´veis para resolver o seguinte problema:
ut = uxx, x ∈ (0, l), t > 0,
ux(0, t) = ux(l, t) = 0, t > 0,
u(x, 0) = 5 cos
(
2pix
l
)
+ 3 cos
(
5pix
l
)
.
5. Determine se as func¸o˜es abaixo sa˜o perio´dicas. Se forem, determine seu per´ıodo.
(a) f(x) = sen(3x)
(b) f(x) = cos(
√
2x)
(c) f(x) = tg
(
2pi√
3
x
)
(d) f(x) = x3 + 2
1
(e) f(x) = cosh(x)
(f) f(x) = cos(3x) + cos(5x)
(g) f(x) = 2
(h) f(x) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
(npi
l
x
)
+ bnsen
(npi
l
x
))
, onde a0 e´ uma constante e an e bn de-
pendem apenas de n.
6. Sejam a um nu´mero real qualquer e f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T e integra´vel
em qualquer intervalo. Mostre que∫ a+T
a
f(x)dx =
∫ T
0
f(x)dx.
7. Seja f : R −→ R uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T . Mostre que a func¸a˜o
F (x) =
∫ x
0
f(s)ds
e´ perio´dica de per´ıodo T se e somente se∫ T
0
f(s)ds = 0.
8. Para cada func¸a˜o e cada intervalo de definic¸a˜o abaixo, desenhe o gra´fico da extensa˜o perio´dica
da respectiva func¸a˜o.
(a) f(x) = x2, [−1, 1].
(b) f(x) = x, [−2, 2).
(c) f(x) = cos(x), [0, pi2 ).
9. Mostre que o conjunto de func¸o˜es abaixo e´ ortogonal no intervalo [−l, l].
S = {1, cos
(pi
l
x
)
, cos
(
2pi
l
x
)
, cos
(
3pi
l
x
)
, · · · , sen
(pi
l
x
)
, sen
(
2pi
l
x
)
, sen
(
3pi
l
x
)
, · · · }
10. Mostre que as func¸o˜es apresentadas abaixo sa˜o ortogonais no intervalo indicado.
(a) f1(x) = x
3, f2(x) = x
2 + 1; [−1, 1].
(b) f1(x) = e
x, f2(x) = xe
−x − e−x; [0, 2].
(c) f1(x) = cos(x), f2(x) = sen
2(x); [0, pi].
(d) f1(x) = x, f2(x) = cos(2x);
[−pi2 , pi2 ].
11. Determine a norma de cada func¸a˜o no conjunto. Use o intervalo dado como intervalo de inte-
grac¸a˜o na obtenc¸a˜o da norma.
(a) {sen(x), sen(5x), cos(2x)}; [0, pi/2].
(b)
{
1, cos
(
npi
l x
)}
, n = 0, 1, 2, · · · ; [0, l].
(c)
{
1, cos
(
npi
l x
)
, sen
(
npi
l x
)}
, n = 0, 1, 2, · · · ; [−l, l].
Bom Trabalho!
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