livro pesquisa operacional

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Aliger dos Santos Pereira
Graduada em Administração de Empresas pela Universidade Salvador (Unifacs).
Especialista em Engenharia Econômica de Negócio pela Fundação Visconde de Cairu.
Mestre em Planejamento Territorial e Desenvolvimento Social 
pela Universidade Católica do Salvador (Ucsal).
Doutoranda em Administração Pública pela Universidad Complutense de Madrid/Unifacs.
Professora do curso de Administração de Empresas da Universidade do 
Estado da Bahia (Uneb), do Centro Universitário Jorge Amado (UniJorge) 
e da Universidade Paulista (Ibes/Facsal).
Professora de disciplinas voltadas para a área de gestão e relacionadas 
com a área de Estatística, Pesquisa Operacional, Administração, Produção, 
Processos Administrativos, Marketing e Gestão de Pessoas.
Professora e tutora nos cursos de EaD de Administração Pública na 
Universidade Aberta do Brasil (UAB), na Uneb e na UniJorge.
Coordenadora de Tutoria da Especialização em Gestão Pública de EaD na UAB e na Uneb.
Autora de conteúdos didáticos para EaD.
 ƒ Pesquisa Operacional
Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)
(Mônica Catani M. de Souza , CRB-9/807, PR, Brasil)
P436 Pereira, Aliger dos Santos.
 Pesquisa operacional / Aliger dos Santos Pereira ;
 ilustrações Daniel Klein. ― Curitiba : Aymará, 2010.
 : il. ― (Série EAD).
ISBN 978-85-7841-601-0 (Material impresso).
ISBN 978-85-7841-602-7 (Material virtual).
1. Pesquisa operacional. I. Klein, Daniel. II. Título.
 III. Série.
CDU 65.012.122
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Images.
Prefácio
Tenho a satisfação de escrever o prefácio deste trabalho singular, elabo-
rado pela professora Aliger Pereira, que conduz, com grande desenvoltura, as 
disciplinas relacionadas à pesquisa operacional.
A professora Aliger apresenta, em seu livro, uma nova abordagem da pes-
quisa operacional, na qual demonstra, de modo claro e objetivo, a importância 
de métodos e modelos dessa disciplina para a administração. Assim, a todo 
momento percebemos a preocupação da autora em demonstrar a aplicabilidade 
dos conteúdos teóricos na gestão empresarial. Além disso, utilizando um siste-
ma didático simples e fluido, no qual as novas ideias são naturalmente estimula-
das, a autora estimula o interesse dos alunos por essa área.
Este é um trabalho único, cujas características mais relevantes são a boa 
didática e um bom nível de detalhamento dos tópicos abordados. Os assuntos 
escolhidos para compor o livro são os que, historicamente, despertam mais in-
teresse nos profissionais da administração, como teorias, princípios e diretrizes 
da pesquisa operacional e suas modelagens nos processos administrativos, 
programação linear, métodos dos transportes e teoria das filas.
Pesquisa Operacional é, portanto, uma obra apropriada a seu objetivo: for-
necer aos graduandos da modalidade EaD uma iniciação nessa área aplicada 
à administração. 
Boa leitura!
José Delfino Sá
Mestre em Ciências em Engenharia de Produção pela Universidade Federal do Rio de Janeiro 
(UFRJ), doutorando em Engenharia Industrial pela Universidade Federal da Bahia (UFBA), pro-
fessor da Universidade do Estado da Bahia (Uneb) de áreas relacionadas à pesquisa operacional.
Apresentação
A pesquisa operacional exerce fascínio pela busca de resultados, pois tra-
balha com modelos e simulações de fatos do dia a dia da organização e pode 
ser usada em todas as áreas da empresa. Seu conteúdo é complexo, mas não 
difícil. 
Este livro é composto de quatro capítulos: no primeiro, apresentamos o 
histórico desse estudo, bem como seus conceitos e sua importância para a área 
de administração, e como ela constitui um instrumento relevante para a tomada 
de decisão do gestor. 
No segundo capítulo, desenvolvemos, passo a passo, os cálculos e a in-
terpretação da programação linear para a área da administração, por meio do 
Simplex, uso de gráficos e técnicas computacionais, além dos cálculos referen-
tes à análise de sensibilidade. Todavia, antes de iniciar os cálculos, é necessário 
que o gestor identifique o problema organizacional e elabore a modelagem do 
sistema.
No terceiro, mostramos a importância das principais técnicas de transporte 
(Custo Mínimo, Vogel, Canto Noroeste e Designação), para alocação dos re-
cursos organizacionais e a tomada de decisão do administrador e a aplicação 
do Solver e do Lindo para a resolução do método do transporte, assunto muito 
utilizado na área de logística e no estudo de localização empresarial.
No último capítulo, apresentamos, de forma introdutória, a teoria da fila e 
identificamos algumas aplicações dessa teoria na gestão organizacional.
Nesta obra, Pesquisa Operacional, trabalhamos os conteúdos, utilizando 
exemplos da área de gestão, com o objetivo de facilitar a visualização dos pro-
cedimentos e o aprendizado. Além disso, os exemplos foram resolvidos passo 
a passo e com o uso de diversas cores. Esses recursos gráficos auxiliam a 
compreensão dos assuntos abordados.
Bom estudo!
Conteúdos da disciplina
CAPítulO 1
A IMPORtÂNCIA DA PESQuISA OPERACIONAl E DA 
MODElAGEM MAtEMÁtICA PARA A ADMINIStRAÇÃO
CAPítulO 2
PROGRAMAÇÃO lINEAR APlICADA À GEStÃO EMPRESARIAl
CAPítulO 3
tRANSPORtE APlICADO À GEStÃO EMPRESARIAl
CAPítulO 4
tEORIA DA FIlA PARA A ÁREA DA ADMINIStRAÇÃO
lista de abreviaturas, 
siglas e símbolos
λ – Ritmo de chegada ou número médio de chegadas em unidade de tempo
 – Ritmo de atendimento
X! – Fatorial de X
n! – Fatorial de n
Abras – Associação Brasileira de Supermercados 
APDIO – Associação Portuguesa de Investigação Operacional
bi – Variável independente
e – Base dos logaritmos neperianos 
FBI – Federal Bureau Investigation (escritório federal norte-americano de investigação)
FCFS – First come, first served
Fifo – First in, first out
FO – Função objetiva
GPS – Global Positioning System (sistema de posicionamento global)
IC – Instante de chegada
LCFS – Last come, first served
Lifo – Last in, first out
Máx – Função objetiva de maximização
Máx(L) – Lucro máximo
Mín – Função objetiva de minimização 
OMC/EAN – Organização Mundial do Comércio/European Article Number
OMP – Optimum Multiparameter (software)
PCC – Problema do carteiro chinês
P – Probabilidade
PIB – Produto Interno BrutoPL – Programação linear
PO – Pesquisa operacional 
RT – Restrição técnica
Sanepar – Companhia de Saneamento do Paraná
Scoop – Scientific Computation of Optimum Programs
Sobrapo – Sociedade Brasileira de Pesquisa Organizacional
lista de abreviaturas, 
siglas e símbolos
ST – Subject to (sujeito a)
TF – Tempo médio de fila
X – Número de sucesso no intervalo, que, na teoria da fila, pode corresponder à quan-
tidade de clientes a serem atendidos 
X1 – Carros seminovos 
X2 – Carros novos
XF – Variável de folga
Z – Função objetiva
lista de ilustrações
Figura 1 – Principais recursos empresariais
Figura 2 – Relação quantitativa e qualitativa presente na PO voltada para a adminis-
tração
Figura 3 – Etapas da tomada de decisão na PO
Figura 4 – Processo de tomada de decisão pelo gestor utilizando a PO e modelagem
Figura 5 – Jogo do sinal do ponto A1
Figura 6 – Jogo do sinal do ponto A2
Figura 7 – Jogo do sinal do ponto B
Figura 8 – Jogo do sinal do ponto C
Figura 9 – Visualização do Lindo
Figura 10 – Visualização do cabeçalho para o relatório empresarial
Figura 11 – Apresentação da modelagem no Lindo
Figura 12 – Salvar modelo no Lindo
Figura 13 – Salvar modelo como entrada no diretório
Figura 14 – Realização do sistema dos cálculos e da análise de sensibilidade
Figura 15 – Resultado no Lindo
Figura 16 – Salvar resultado no Lindo
Figura 17 – Definição das variáveis de decisão e da função objetiva
Figura 18 – Representação da primeira restrição técnica
Figura 19 – Representação da segunda restrição técnica
Figura 20 – Representação da terceira restrição técnica
Figura 21 – Representação das restrições de não negatividade
Figura 22 – Instalação do Solver I
Figura 23 – Instalação do Solver II
Figura 24 – Instalação do Solver III
Figura 25 – Inserindo os dados da função objetiva, restrições técnicas e de não nega-
tividade no Solver
Figura 26 – Resultados calculados pelo Solver
Figura 27 – Resultados do Solver
Figura 28 – Resultado do Primal, que é igual ao de seu Dual
lista de ilustrações
Figura 29 – Representação do estudo de transporte I
Figura 30 – Representação do estudo de transporte II
Figura 31 – Entrada do comando no Lindo
Figura 32 – Resposta do Lindo para as técnicas de transporte (Custo Mínimo, Vogel e 
Canto Noroeste)
Figura 33 – Resolução do transporte pelo Excel I
Figura 34 – Resolução do transporte pelo Excel II
Figura 35 – Resolução do transporte pelo Excel III
Figura 36 – Resolução do transporte pelo Excel IV
Figura 37 – Resolução do transporte pelo Excel V
Figura 38 – Resolução do transporte pelo método Excel
Figura 39 – Elementos de uma fila
Figura 40 – Exemplo de fonte finita de fila
Figura 41 – Exemplo de fonte infinita de fila
Figura 42 – Modelo de fila simples
lista de gráficos
Gráfico 1 – Exemplos de decisão nos diferentes níveis organizacionais e graus de es-
truturação
Gráfico 2 – Representação gráfica
Gráfico 3 – Representação gráfica das possíveis soluções
Gráfico 4 – Ponto ótimo entre o custo da fila e o custo de serviço
lista de quadros
Quadro 1 – Etapas de decisão da PO
Quadro 2 – Principais técnicas da PO utilizadas pelo administrador na tomada 
de decisão
Quadro 3 – Vantagens para o administrador como decisor ao utilizar o processo 
de modelagem
Quadro 4 – Dicas para fazer a modelagem na área da gestão
Quadro 5 – Representação dos modelos da PL
Quadro 6 – Representação da função objetiva
Quadro 7 – Representação da primeira restrição técnica
Quadro 8 – Representação da segunda restrição técnica
Quadro 9 – Representação da terceira restrição técnica
Quadro 10 – Representação da restrição de não negatividade
Quadro 11 – Representação da saída
Quadro 12 – Representação da entrada e da saída (elemento pivô)
Quadro 13 – Cálculo da nova linha pivô
Quadro 14 – Cálculo da nova 1.a linha
Quadro 15 – Cálculo da nova 2.a linha
Quadro 16 – Cálculo da nova 3.a linha
Quadro 17 – Resultado matemático (não ótimo)
Quadro 18 – Cálculo da nova entrada na função objetiva
Quadro 19 – Cálculo da nova saída na restrição técnica
Quadro 20 – Representação da nova entrada e da nova saída (elemento pivô)
Quadro 21 – Cálculo da nova linha pivô
Quadro 22 – Cálculo da nova 1.a linha
Quadro 23 – Cálculo da nova 3.a linha
Quadro 24 – Cálculo da nova 4.a linha
Quadro 25 – Resultado matemático ótimo
Quadro 26 – Transformação do Primal em Dual
Quadro 27 – Diferenças entre a logística eficiente e a logística responsiva
Quadro 28 – Entrega média diária e demanda diária de cada região
lista de quadros
Quadro 29 – Tempo para distribuição de mercadorias
Quadro 30 – Somatório da demanda igual ao somatório da produção
Quadro 31 – Cálculo utilizando o método do Custo Mínimo I
Quadro 32 – Cálculo utilizando o método do Custo Mínimo II
Quadro 33 – Cálculo utilizando o método do Custo Mínimo III
Quadro 34 – Cálculo utilizando o método do Custo Mínimo IV
Quadro 35 – Cálculo utilizando o método de Vogel I
Quadro 36 – Cálculo utilizando o método de Vogel II
Quadro 37 – Cálculo utilizando o método de Vogel III
Quadro 38 – Cálculo utilizando o método de Vogel IV
Quadro 39 – Cálculo utilizando o método do Canto Noroeste I
Quadro 40 – Cálculo utilizando o método do Canto Noroeste II
Quadro 41 – Cálculo utilizando o método do Canto Noroeste III
Quadro 42 – Cálculo utilizando o método do Canto Noroeste (otimização)
Quadro 43 – Valor descartado na alocação pelo método do Canto Noroeste I
Quadro 44 – Valor descartado na alocação pelo método do Canto Noroeste II
Quadro 45 – Refazendo a otimização dos resultados pelo método do Canto Noroeste
Quadro 46 – Comparação dos resultados de três métodos de transporte
Quadro 47 – Teste de otimização dos resultados do método do Custo Mínimo e do 
método de Vogel
Quadro 48 – Cálculo utilizando o método da Designação I
Quadro 49 – Cálculo utilizando o método da Designação II
Quadro 50 – Cálculo utilizando o método da Designação III
Quadro 51 – Cálculo utilizando o método da Designação IV
Quadro 52 – Resultado do método da Designação
Quadro 53 – Valor de custo (R$) para alocação de máquinas por departamentos
Quadro 54 – Cálculo utilizando o método da Designação para o caso da alocação de 
máquinas por departamentos I
Quadro 55 – Cálculo utilizando o método da Designação para o caso da alocação de 
máquinas por departamentos II
lista de quadros
Quadro 56 – Cálculo utilizando o método da Designação para o caso da alocação de 
máquinas por departamentos III
Quadro 57 – Cálculo utilizando o método da Designação para o caso da alocação de 
máquinas por departamentos IV
Quadro 58 – Cálculo utilizando o método da Designação para o caso da alocação de 
máquinas por departamentos V
Quadro 59 – Cálculo utilizando o método da Designação para o caso da alocação de 
máquinas por departamentos VI
Quadro 60 – Cálculo utilizando o método da Designação para o caso da alocação de 
máquinas por departamentos VII
Quadro 61 – Cálculo utilizando o método da Designação para o caso da alocação de 
máquinas por departamentos VIII
Quadro 62 – Resultado do método da Designação para o caso da alocação de máqui-
nas por departamentos
Quadro 63 – Uso do Excel para o caso da academia
Quadro 64 – Configurações da fila
Quadro 65 – Intervalo de chegada de clientes
Quadro 66 – Cálculo do momento na teoria da fila
Quadro 67 – Ritmo de atendimento do caixa eletrônico
Quadro 68 – Cálculo da liberação do cliente do atendimento total
Quadro 69 – Tempo de espera dos clientes para atendimento no caixa eletrônico
Conteúdo programático
ƒƒ Históricoƒeƒconceitoƒdeƒ“pesquisaƒoperacional”ƒ
ƒƒ AvaliaçãoƒdaƒPO
ƒƒ Enfoqueƒquantitativo
ƒƒ Enfoqueƒqualitativo
ƒƒ ImportânciaƒdaƒPO
ƒƒ TécnicasƒdaƒPO
ƒƒ Importânciaƒdaƒmodelagemƒ
ƒƒ Vantagensƒdaƒmodelagem
ƒƒ DicasƒparaƒaƒelaboraçãoƒdeƒmodelosƒdeƒPOƒ
ƒƒ PrincipaisƒmodelosƒdaƒPOƒ
Objetivos
ƒƒ Conhecerƒaƒevoluçãoƒhistóricaƒeƒoƒconceitoƒdeƒ“pesquisaƒoperacional”.
ƒƒ Compreenderƒaƒrelaçãoƒentreƒaƒpesquisaƒoperacionalƒeƒasƒdiversasƒáreasƒdaƒadministração.
ƒƒ Entenderƒcomoƒaƒpesquisaƒoperacionalƒmuniciaƒoƒgestorƒparaƒaƒtomadaƒ
deƒdecisão,ƒtantoƒnoƒaspectoƒquantitativoƒcomoƒnoƒqualitativo.ƒ
ƒƒ Compreenderƒaƒimportânciaƒdaƒmodelagem,ƒpresenteƒnasƒdiversasƒ
técnicasƒdaƒpesquisaƒoperacional,ƒeƒcomoƒelaƒseƒtornaƒumƒinstrumentoƒ
paraƒaƒtomadaƒdeƒdecisãoƒdoƒgestor.
A importância da pesquisa operacional e da 
modelagem matemática para a administração
Capítulo 1
16
Histórico e conceito de 
“pesquisa operacional”
A pesquisa operacional (PO) é uma abordagem científica muito relevante para a atuação dos gestores. 
Sua modernização ocorreu no final da Segunda Guerra Mundial, quando equipes de cientistas norte-ame-
ricanos e ingleses desenvolveram métodos para resolver problemas de operações militares relacionados à 
defesa do território inglês.
O fato que originou a moderna PO foi a formação de uma equipe de especialistas de diversas áreas com 
treinamento científico para buscar melhor eficiência no uso de equipamentos de radar. Essa equipe foi che-
fiada pelo físico Blackett e ficou conhecida como “circo de Blackett”. Tal fato marcou o começo dos trabalhos 
das equipes de analistas operacionais, que iniciaram a expansão na Grã-Bretanha, depois Canadá, Austrália 
e Estados Unidos. A respeito do histórico da PO, Passos (2008) complementa:
Após a guerra, por volta de 1947, com o desenvolvimento do método Simplex, por 
George Dantzig, a pesquisa operacional começou a ter maior emprego, não só no 
campo militar, mas também no campo econômico, com a utilização nas empresas 
civis. Em 1951, a história já registrava a sua utilização em empresas dos EUA. Utili-
zava-se, àquela época, dentro do campo da pesquisa operacional, a programação 
linear (PL) como mais um ponto de apoio na tomada de decisões para a resolução 
de problemas que lhes eram afetados.
O sucesso dessas aplicações na solução de problemas levou o mundo acadêmico e empresarial a 
utilizarem as técnicas criadas em problemas de gestão organizacional.
Naƒ áreaƒ empresarial,ƒ porƒ exemplo,ƒ
asƒ organizaçõesƒ eramƒ gerencia-
dasƒporƒumƒúnicoƒgestor,ƒqueƒeraƒoƒ
principalƒ responsávelƒ pelaƒ tomadaƒ
deƒdecisões.ƒQuandoƒaƒPOƒpassouƒ
aƒ utilizarƒ gruposƒ deƒ especialistasƒ
deƒ diversasƒ áreas,ƒ asƒ empresasƒ
começaramƒ tambémƒ aƒ fracionarƒ oƒ
processoƒ deƒ decisãoƒ entreƒ osƒ ad-
ministradoresƒ(osƒgestoresƒdaƒáreaƒ
deƒmarketing,ƒfinanceira,ƒprodução,ƒ
entreƒ outras).ƒ Assim,ƒ todosƒ parti-
cipamƒ doƒ processoƒ decisórioƒ naƒ
empresa,ƒdescentralizandoƒoƒpoderƒ
decisórioƒ eƒ tornandoƒ aƒ empresaƒ
maisƒcompetitiva.ƒ
Patrick Maynard Stuart Blackettƒ(Inglaterra,ƒ1897–1974)ƒrecebeu,ƒnoƒ
anoƒdeƒ1948,ƒoƒPrêmioƒNobelƒdeƒFísicaƒpeloƒdesenvolvimentoƒdoƒméto-
doƒdaƒCâmaraƒdeƒWilsonƒeƒporƒdescobertasƒnoƒcampoƒdaƒfísicaƒnuclearƒ
eƒradiaçõesƒcósmicas.ƒTambémƒparticipouƒdaƒ7.aƒeƒdaƒ8.aƒConferênciaƒdeƒ
Solvayƒ(umaƒsérieƒdeƒconferênciasƒcientíficasƒcelebradasƒdesdeƒoƒanoƒdeƒ
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17
Pesquisa Operacional – Capítulo 1
Tomada de decisão Processo de identificar um problema ou uma oportunidade e selecionar uma linha de ação para 
resolvê-lo.
1911.ƒEssasƒconferênciasƒreuniramƒosƒmaisƒconsagradosƒcientistasƒdaƒ
épocaƒeƒproporcionaramƒavançosƒfundamentaisƒparaƒaƒfísicaƒquântica).
George Bernard Dantzigƒ(EstadosƒUnidos,ƒ1914–2005)ƒintegrouƒoƒpro-
jetoƒScientific Computation of Optimum Programsƒ (Scoop),ƒ daƒ Forçaƒ
AéreaƒAmericana,ƒcomƒoƒobjetivoƒdeƒencontrarƒsoluçõesƒótimasƒparaƒ
operaçõesƒmilitares.ƒUmƒdosƒfocosƒdeƒseusƒestudosƒfoiƒaƒPL.ƒ
Por meio da criação de modelos matemáticos, a PO chega ao melhor valor para a tomada das decisões 
organizacionais, considerando um problema observado pelo gestor. Assim, ela está relacionada ao campo 
da tomada de decisão e caracteriza-se pelo uso de conhecimentos científicos por equipes interdisci-
plinares, no esforço de determinar a melhor utilização de recursos de uma empresa. Esses recursos são 
limitados, em razão do ambiente sistêmico em que a empresa está inserida. Considerando todas essas 
questões, Passos (2008) elaborou a definição de PO: 
A pesquisa operacional é a utilização (aplicação) de métodos científicos em pro-
blemas econômicos, governamentais, militares, pessoais, materiais e de outros 
diferentes setores, analisando e orientando os responsáveis (gestores) a encontrar 
a melhor solução para os problemas. Ela assume, de maneira eficaz e eficiente, a 
coordenação desses setores, através da simplificação de modelos matemáticos, 
apresentando soluções nas quais o decisor poderá se apoiar.
Como a PO leva em consideração os recursos da empresa, observe o esquema a seguir, que identifica 
esses recursos: 
AMBIENTE AMBIENTERECURSOS
Materiais Financeiros Mercadológicos Humanos AdministrativosTecnológicos
Fonte:ƒaƒautora.
Figuraƒ1ƒ–ƒPrincipaisƒrecursosƒempresariais.
Recurso é tudo aquilo que gera ou tem capacidade de gerar riqueza no sentido econômico do termo. 
Apesar de, na figura 1, estarem separados, eles atuam de forma interligada na área empresarial. Acompa-
nhe a explicação de cada recurso:
 ƒ Materiais – Também conhecidos como recursos físicos. Estão relacionados ao fator de produção 
natureza. Exemplos: prédios, máquinas e equipamentos. 
 ƒ Tecnológicos – Não há nenhum fator de produção correspondente. Estão relacionados ao apri-
moramento, inovação e criação de tecnologias. Exemplos: a convergência digital no celular e a 
pesquisa e desenvolvimento de novos produtos. 
 ƒ Financeiros – Estão relacionados ao fator de produção capital. São os meios financeiros que pos-
sibilitam a execução das operações da empresa. Exemplos: capital, fluxo de caixa e investimentos 
da empresa. 
 ƒ Mercadológicos – Não há nenhum fator de produção correspondente. São os meios utilizados 
pela empresa para se comunicar com o ambiente externo (mercado e clientes). Exemplo: vendas, 
promoções, propaganda e distribuição. 
18
 ƒ Humanos – Estão relacionados ao fator de produ-
ção trabalho. São as diversas pessoas que traba-
lham em uma empresa. Exemplo: diretores, geren-
tes, chefes, supervisores, funcionários e operários. 
 ƒ Administrativos – Estão relacionados ao fator de 
produção empresa. Sua função é coordenar os re-
cursos empresariais. Exemplo: direção, gerência e 
supervisão. 
A PO, portanto, é aplicável em uma organização para 
solucionar questões que envolvem o aproveitamento e a 
administração dos recursos da empresa.
avaliação da po
A avaliação da PO pode ter dois enfoques, que são contrários em sua abordagem, porém coerentes e 
complementares quando aplicados à prática administrativa. O primeiro enfoque é considerado tradicional 
(avaliação quantitativa), e o segundo é mais moderno e atual (avaliação qualitativa).
Enfoque quantitativo
Nesse enfoque, a PO é definida como uma ciência que visa aplicar métodos matemáticos e estatísticos 
na solução de problemas de decisão, por meio de uma abordagem sistêmica, utilizando modelos. Dessa 
forma, os administradores que utilizam a PO buscam uma solução quantitativa do seu problema empresa-
rial, para, assim, formalizarem os resultados para a organização. Isso é feito com auxílio de um conjunto 
de técnicas e métodos matemáticos e estatísticos aplicáveis à solução de determinados problemas. Nesse 
enfoque quantitativo, os gestores não consideram aspectos subjetivos do ambiente empresarial.
Embora essa visão seja adequada apenas para alguns casos, ela foi extremamente útil para o desen-
volvimento dessa ciência, já que reuniu grande número de matemáticos, físicos, engenheiros, economistas 
e outros pesquisadores. Esse esforço resultou numa coleção de métodos matemáticos e algoritmos de tal 
porte que é praticamente impossível a um especialista de PO conhecer todos eles.
Na área da administração, o enfoque tradicional sofreu resistênciapor parte dos gestores de níveis 
hierárquicos superiores, por causa do rigor matemático dos métodos e da pouca flexibilidade dos modelos 
da PO. Assim, os executivos viam, e ainda veem, a PO como uma ciência que desenvolve métodos opera-
cionais que servem para resolver somente certos tipos de problemas.
Oƒ desenvolvimentoƒ daƒ tecno-
logiaƒ digitalƒ eƒ daƒ computação,ƒ
suaƒ velocidadeƒ deƒ processa-
mentoƒ eƒ aƒ capacidadeƒ deƒ ar-
mazenamentoƒ eƒ recuperaçãoƒ
deƒ informaçõesƒ proporciona-
ramƒgrandeƒprogressoƒàƒPOƒnoƒ
ramoƒ empresarial.ƒ Assim,ƒ osƒ
profissionaisƒdessaƒáreaƒe,ƒconsequentemente,ƒosƒgestoresƒpuderamƒdesenvolverƒ
modelosƒmaisƒversáƒteis,ƒmaisƒrápidosƒe,ƒprincipalmente,ƒinterativos,ƒqueƒpermitemƒ
maiorƒparticipaçãoƒdoƒhomemƒnaƒresoluçãoƒdosƒcálculosƒeƒnaƒtomadaƒdeƒdecisão.
D
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19
Pesquisa Operacional – Capítulo 1
Enfoque qualitativo
É a visão decorrente do conceito qualitativo da PO mais moderna. Nesse caso, a importância dos mé-
todos matemáticos desenvolvidos pelo esforço dos pesquisadores está menos na solução dos conflitos e 
mais nas formulações e nas interpretações dos resultados para solucionar questões da área empresarial. 
A contribuição da PO está na influência que ela exerce na maneira de os administradores abordarem os 
problemas, de como eles os formulam, em suas avaliações da relação com outros problemas e em seus mo-
dos de comunicação com outras pessoas. Afinal, o cotidiano dos administradores está repleto de situações 
que exigem decisões, e a PO destaca-se na construção das melhores soluções possíveis para encontrar 
“soluções ótimas”.
O conhecimento de disciplinas exatas e o treinamento em abordagem qualitativa de problemas levam 
o administrador a pensar nessas situações em termos precisos e a usar técnicas elaboradas de análise, 
concentrando-se nas estruturas básicas e não nas características particulares dos problemas. O resultado, 
em muitos casos, não é uma nova ferramenta de administração, mas uma nova estrutura conceitual de 
trabalho para o administrador, uma nova maneira de pensar.
Assim, a PO na área de gestão organizacional constitui “um método científico para a tomada de deci-
sões empresariais, presente num ramo da ciência administrativa que fornece instrumentos para a análise 
de decisões a partir de análises quantitativas e qualitativas” (ANDRADE, 2004).
Fonte:ƒaƒautora.
Figuraƒ2ƒ–ƒRelaçãoƒquantitativaƒeƒqualitativaƒpresenteƒnaƒPOƒvoltadaƒparaƒaƒadministração.
A análise do gestor representada na imagem anterior é quantitativa e qualitativa, pois os modelos ma-
temáticos e estatísticos aplicados devem estar inter-relacionados. A avaliação quantitativa também inclui o 
exame da estrutura organizacional da empresa, que influencia e, muitas vezes, condiciona o processo de-
cisório. A forma como o fluxo de informações é processado, as características da organização e o sistema 
hierárquico são fatores que afetam fundamentalmente o processo de decisão e estão relacionados à área 
qualitativa. Portanto a tomada de decisão é um processo complexo e, ao mesmo tempo, sequencial, que, 
muitas vezes, envolve valores subjetivos.
20
importância da po
Com base no que foi estudado, percebemos que a PO é um instrumento importante para o administra-
dor tomar decisões na empresa, no nível: 
 ƒ estratégico ou corporativo, que envolve decisões aplicadas à organização como um todo, com 
definições de objetivos gerais e que posicionam a organização em termos de ambiente;
 ƒ gerencial ou tático, que engloba decisões referentes aos detalhes de como os objetivos gerais da 
organização serão alcançados);
 ƒ operacional, que abrange decisões relacionadas às atividades cotidianas e rotineiras da empresa.
O gráfico 1 traz exemplos de decisão nos diferentes níveis organizacionais e graus de estruturação:
Grau de 
estruturação 
da decisão
Nível estratégico da decisão
Alto
Médio
Baixo
Administraçãoƒƒ
deƒestoques
Programaçãoƒƒ
daƒprodução
Localizaçãoƒdeƒ
umaƒnovaƒfábrica
Financiamentoƒƒ
deƒcapitalƒdeƒgiro
Programaçãoƒƒ
orçamentária
Diversificaçãoƒƒ
porƒaquisiçãoƒƒ
deƒempresa
Escolhaƒdeƒƒ
capaƒdeƒrevista
Contrataçãoƒƒ
deƒumƒdiretor
Programaƒdeƒƒ
pesquisaƒeƒƒ
desenvolvimento
Operacional Gerencial Corporativo
Fonte:ƒAdaptadoƒdeƒANDRADE,ƒ2004.
Gráficoƒ1ƒ–ƒExemplosƒdeƒdecisãoƒnosƒdiferentesƒníveisƒorganizacionaisƒeƒgrausƒdeƒestruturação.
No eixo horizontal desse gráfico, visualizamos a importância e a abrangência da PO para o processo 
decisório do administrador em todos os níveis da estrutura organizacional (operacional, gerencial e cor-
porativo). Quanto mais as atividades e os resultados de uma organização forem afetados pela decisão, 
mais estratégica ela será.
No eixo vertical, ou seja, no grau de estruturação, observamos a relevância da possibilidade de repeti-
ção dos resultados de um processo decisório em outras ocasiões ou situações. O grau de estruturação diz 
respeito à possibilidade de uma decisão ser acompanhada, desde sua preparação até sua conclusão, pelo 
administrador e por sua equipe e de ser reproduzida por outras pessoas, obtendo os mesmos resultados. 
Assim, quanto mais o processo é acompanhado, mais estruturada é a decisão. E, ao contrário, quanto 
maior o nível de incerteza em relação aos dados ou o grau de subjetividade embutido na decisão, menos 
estruturada ela é.
O eixo horizontal está diretamente relacionado com o eixo vertical e deve ser analisado de acordo com 
a abordagem adotada para cada problema. O apoio necessário para obtermos a solução varia conforme o 
tipo de abordagem, a atividade da empresa e a situação dela no mercado. Vamos analisar duas situações 
desse gráfico para facilitar sua compreensão.
21
Pesquisa Operacional – Capítulo 1
A primeira situação corresponde ao ponto considerado como “nível estratégico de decisão operacional” 
e como “grau de estruturação da decisão baixo”. No gráfico 1, esse ponto é “escolha de capa de revista”. 
Imagine, então, uma empresa, cujo principal negócio é a confecção de revistas e o lançamento semanal 
delas no mercado. Perceba que o nível estratégico dessa decisão para a empresa é operacional, pois a 
escolha da capa da revista é uma decisão rotineira (faz parte do negócio principal da organização). Logo, o 
grau de estruturação da decisão é baixo. 
A segunda situação corresponde ao ponto considerado como “nível estratégico de decisão corporativo” 
e como “grau de estruturação da decisão alto”. No gráfico 1, esse ponto corresponde a uma decisão sobre 
a “localização de uma nova fábrica”. Imagine, agora, uma organização que deseja expandir seu negócio, 
abrindo uma nova fábrica em outra região do país. A empresa terá de avaliar aspectos relacionados ao risco 
do empreendimento em razão da nova localidade: infraestrutura necessária para realizar as atividades do 
negócio (água, esgoto, luz, vias de escoamento para produção), grau de influência das políticas regionais, 
interferências governamentais e do meio ambiente, disponibilidade de mão de obra qualificada e em quanti-
dade suficiente para atuar na empresa, entre outros. Assim, há vários fatores (controláveis e incontroláveis) 
que podem interferir em todos os níveis organizacionais. Por isso, a escolha da localização da nova fábrica 
é uma decisão estratégica de nível corporativo que exige um alto grau de estruturação, pois vários fatores 
serão avaliados, e a decisão trará consequências para a estrutura da empresa. 
Essas duas situações, portanto, permitem-nos ter uma boa compreensão do que está envolvido nos 
diferentes níveis de tomada de decisão. Agora, observe, na figura seguinte, as etapas a serem seguidas no 
processo decisório que envolve a PO:
Identificaçãoƒeƒelaboraçãoƒdoƒproblema
Estudoƒdoƒproblema
Construçãoƒdoƒmodelo
Resoluçãoƒdoƒmodelo
Validaçãoƒeƒavaliaçãoƒdoƒmodeloƒcomƒbaseƒnaƒƒrealidadeƒorganizacional
Estabelecimentoƒdeƒcontrolesƒeƒsoluçõesƒcomƒƒ
baseƒnaƒrealidadeƒorganizacional
Implantaçãoƒeƒacompanhamentoƒdoƒmodeloƒcomƒ
baseƒnaƒrealidadeƒorganizacional
Fonte:ƒAdaptadoƒdeƒANDRADE,ƒ2004.
Figuraƒ3ƒ–ƒEtapasƒdaƒtomadaƒdeƒdecisãoƒnaƒPO.
22
Acompanhe a explicação de cada etapa:
EtAPAS DA tOMADA DE 
DECISÃO DA PO
ExPlICAÇÃO 
1. Identificaçãoƒ eƒ elabo-
raçãoƒdoƒproblema
Defineƒoƒqueƒseráƒavaliado,ƒosƒobjetivosƒaƒseremƒalcançadosƒeƒosƒcami-
nhosƒalternativosƒaƒseremƒseguidosƒparaƒaƒsoluçãoƒdoƒproblema.ƒCasoƒ
nãoƒhajaƒumaƒboaƒdelimitaçãoƒeƒcompreensãoƒdoƒproblema,ƒasƒoutrasƒ
etapasƒficarãoƒcomprometidas.ƒ
2. Estudoƒdoƒproblema
Realizaƒaƒcoletaƒdeƒinformaçõesƒeƒseuƒregistroƒcomƒoƒmáximoƒdeƒpreci-
são,ƒevitandoƒdadosƒqueƒnãoƒestejamƒdiretamenteƒrelacionadosƒaoƒpro-
blemaƒlevantado.
3. Construçãoƒdoƒmodelo
Representaƒouƒdescreveƒosƒelementosƒrelevantesƒdeƒumaƒsituaçãoƒeƒasƒ
interaçõesƒentreƒeles.ƒAƒconcepçãoƒdeƒumƒmodeloƒobjetivaƒfacilitarƒoƒen-
tendimentoƒdasƒrelaçõesƒentreƒosƒdiversosƒparâmetrosƒqueƒintegramƒumƒ
sistemaƒouƒoƒprocessoƒabstraídoƒdeƒumaƒ realidade.ƒEssaƒetapaƒ repre-
sentaƒaƒrealidadeƒorganizacionalƒporƒmeioƒdeƒequaçõesƒe/ouƒinequaçõesƒ
matemáticas.
4. Resoluçãoƒdoƒmodelo
Visa,ƒapósƒaƒmodelagemƒeƒconstruçãoƒdoƒproblema,ƒrealizarƒosƒcálculosƒ
matemáticosƒ paraƒ aƒ soluçãoƒ doƒmodelo.ƒNãoƒ havendoƒ aƒ possibilidadeƒ
deƒresoluçãoƒdoƒmodeloƒouƒseƒaƒsoluçãoƒencontradaƒnãoƒforƒviável,ƒseráƒ
necessárioƒretornarƒàƒetapaƒ2ƒouƒàƒetapaƒ1,ƒconformeƒsetasƒdaƒfiguraƒ3.ƒ
5. Validaçãoƒ eƒ avaliaçãoƒ
doƒ modeloƒ comƒ baseƒ
naƒrealidadeƒorganiza-
cional
Buscaƒaferirƒeƒtestarƒoƒresultadoƒdoƒmodelo,ƒparaƒverificarƒseƒosƒdadosƒ
sãoƒadequadosƒàƒrealidadeƒdaƒempresa.ƒSeƒaƒsoluçãoƒnãoƒforƒviável,ƒseráƒ
necessárioƒdefinirƒe/ouƒconstruirƒumƒnovoƒmodelo,ƒafinalƒosƒdadosƒquanti-
tativosƒdevemƒestarƒemƒsintoniaƒcomƒaƒrealidadeƒorganizacional.
6. Estabelecimentoƒ deƒ
controlesƒ eƒ soluçõesƒ
comƒbaseƒnaƒrealidadeƒ
organizacional
Realizaƒcontrolesƒeƒexperimentaçõesƒcomƒoƒmodelo,ƒidentificandoƒparâme-
trosƒfundamentaisƒparaƒaƒsoluçãoƒdoƒproblema.ƒQualquerƒmudançaƒnessesƒ
parâmetrosƒdeveráƒserƒcontroladaƒparaƒgarantirƒsuaƒvalidade.ƒCasoƒalgunsƒ
dessesƒparâmetrosƒsoframƒdesviosƒalémƒdoƒpermitido,ƒpoderáƒserƒneces-
sárioƒoƒcálculoƒdeƒnovoƒcontroleƒouƒaƒreformulaçãoƒdoƒmodelo.
7. Implantaçãoƒeƒacompa-
nhamentoƒ doƒ modeloƒ
comƒbaseƒnaƒrealidadeƒ
organizacional
Apósƒaƒimplantaçãoƒdoƒmodelo,ƒseráƒverificadaƒaƒvalidadeƒdasƒfasesƒante-
riores.ƒNessaƒúltimaƒetapa,ƒéƒnecessárioƒoƒacompanhamentoƒdoƒmodeloƒ
apresentadoƒe,ƒseƒnecessárioƒfor,ƒserãoƒfeitasƒcorreções.
Fonte:ƒAdaptadoƒdeƒANDRADE,ƒ2004ƒeƒPASSOS,ƒ2008.
Quadroƒ1ƒ–ƒEtapasƒdeƒdecisãoƒdaƒPO.
Diversas dificuldades aparecem para conturbar um processo de tomada de decisão e interferir, tam-
bém, na modelagem (representação da situação empresarial). Entre essas dificuldades, destacamos:
 ƒ Tempo disponível para a tomada de decisão – Muitas vezes, a urgência de uma solução faz o 
administrador tomar uma decisão sem conhecer todos os dados do problema.
 ƒ Importância da decisão – A decisão pode demandar mais ou menos tempo em função da análise 
das suas consequências para a empresa.
 ƒ Ambiente – Pode transformar uma boa decisão em fracasso. É o caso das flutuações da política 
econômica do governo, que podem interferir nos resultados de uma decisão. 
 ƒ Certeza/incerteza e risco – Dependendo do grau de risco ou do nível de incerteza de determina-
das variáveis, uma decisão pode necessitar de uma análise mais aprofundada e cuidadosa.
 ƒ Agentes decisores – Algumas limitações são de caráter pessoal do administrador, como força do 
hábito, distração, valores pessoais, entre outros.
 ƒ Conflitos de interesses – São oriundos das dificuldades que surgem em razão do caráter político 
da decisão, como a necessidade de compromisso entre diferentes setores da empresa.
23
Pesquisa Operacional – Capítulo 1
técnicas da po
A PO atua em diversas áreas da empresa, como finanças, marketing, gestão de pessoas e logística, 
utilizando várias técnicas, que têm como principal objetivo solucionar e orientar a tomada de decisão. Co-
nheça, no quadro a seguir, as principais técnicas:
téCNICA CONCEItO
AlGuNS ExEMPlOS DO uSO DA PO 
PARA A ÁREA DE ADMINIStRAÇÃO
Programação 
linear (PL)
Técnicaƒ deƒ programaçãoƒ matemáticaƒ
paraƒmaximizarƒouƒminimizarƒumaƒfun-
ção,ƒ sujeitando-aƒ aƒ certasƒ limitaçõesƒ
ouƒrestriçõesƒdeƒrecursosƒpresentesƒnaƒ
empresa.
Ƀ utilizadaƒ emƒ casosƒ comoƒ estes:ƒ lo-
calizaçãoƒ deƒ empreendimentos,ƒ logís-
ticaƒ internaƒ eƒ externa,ƒ composiçãoƒ deƒ
produtosƒaƒseremƒfabricadosƒcomƒbaseƒ
nasƒ limitaçõesƒdoƒmercadoƒeƒdosƒequi-
pamentosƒdisponíveis,ƒavaliaçãoƒdeƒde-
sempenhoƒdeƒfuncionários,ƒavaliaçãoƒdeƒ
carteiraƒdeƒinvestimentos.
Programação 
inteira
Programaçãoƒmatemáticaƒemƒqueƒumaƒ
ouƒmaisƒvariáveisƒdeƒdecisãoƒtêmƒvalo-
resƒinteirosƒ(programaçãoƒinteiraƒtotal),ƒ
eƒoutrasƒvariáveisƒdeƒescolhaƒpodemƒterƒ
valoresƒcontínuosƒ(programaçãoƒinteiraƒ
mista).
Ƀ aplicávelƒ emƒ situaçõesƒ emƒ queƒ seƒ
trabalhaƒ comƒmodelosƒdeƒaquisiçãoƒdeƒ
equipamentos,ƒnosƒquaisƒoƒresultadoƒdoƒ
modeloƒsomenteƒpodeƒserƒexpressoƒemƒ
númerosƒinteiros.
Programação 
dinâmica
Aoƒcontrárioƒdaƒprogramaçãoƒlinear,ƒemƒ
queƒ asƒ soluçõesƒ sãoƒ estáticas,ƒ aƒ pro-
gramaçãoƒdinâmicaƒverificaƒaƒtrajetóriaƒ
temporalƒdasƒvariáveisƒemƒdeterminadoƒ
período.
Ƀnecessáriaƒparaƒaƒalocaçãoƒdeƒrecur-
sosƒescassosƒentreƒdiversosƒempreendi-
mentos,ƒrealizaçãoƒdeƒumƒplanejamentoƒ
otimizadoƒemƒváriosƒperíodos,ƒcomƒres-
triçõesƒespecíficasƒparaƒcadaƒperíodoƒeƒ
comƒ disponibilidadeƒ deƒ recursosƒ paraƒ
períodosƒglobais.
Teoria dos 
grafos
Ramoƒdaƒmatemáticaƒqueƒestudaƒasƒre-
laçõesƒentreƒosƒobjetosƒdeƒdeterminadoƒ
conjunto.ƒEmƒgeral,ƒéƒutilizadaƒparaƒoti-
mizarƒproblemasƒdeƒfluxoƒmáximoƒ(en-
contrarƒoƒmaiorƒpercurso)ƒeƒdeƒcaminhoƒ
maisƒcurtoƒ(cálculoƒdoƒmenorƒpercurso)ƒ
paraƒveículosƒouƒpessoas.
Ƀutilizadaƒnoƒplanejamentoƒdeƒprojetos,ƒ
emƒqueƒsãoƒidentificadasƒdiversasƒaçõesƒ
queƒdevemƒserƒfeitasƒdentroƒdeƒumƒtem-
poƒ considerado,ƒ eƒ naƒ análiseƒ deƒ cami-
nhosƒparaƒpercursosƒnaƒáreaƒlogística.
Teoria da fila
SetorƒdaƒPOƒqueƒutilizaƒconceitosƒbási-
cosƒdeƒprocessos estocásticosƒeƒdeƒ
matemáticaƒ aplicadaƒ paraƒ analisarƒ oƒ
fenômenoƒdeƒformaçãoƒdeƒfilasƒeƒsuasƒ
características.ƒ
Foiƒ desenvolvidaƒ comƒ aƒ finalidadeƒ deƒ
preverƒ oƒ comportamentoƒ dasƒ filas,ƒ deƒ
modoƒ aƒ permitirƒ oƒ dimensionamentoƒ
adequadoƒdeƒ instalações,ƒ equipamen-
tosƒeƒinfraestrutura.ƒÉƒmuitoƒusadaƒemƒ
problemasƒ deƒ congestionamentoƒ deƒ
sistema,ƒ visandoƒ diminuirƒ oƒ tempoƒ deƒ
espera.ƒ
Ƀusadaƒparaƒcalcularƒoƒtempoƒdeƒespe-
raƒemƒchamadasƒtelefônicas,ƒemƒfilasƒdeƒ
banco,ƒsupermercadosƒouƒqualquerƒou-
troƒestabelecimento.
Processos estocásticos Parte da teoria da probabilidade que estuda fenômenos aleatórios que variam de acordo com 
o tempo. 
24
Simulação
Técnicaƒ deƒ soluçãoƒ deƒ umƒ problemaƒ
pelaƒanáliseƒdeƒumƒmodeloƒqueƒdescre-
veƒoƒcomportamentoƒdoƒsistema.ƒParaƒ
tanto,ƒpodemƒserƒusadosƒcomputadoresƒ
digitais.
Ƀ utilizadaƒ paraƒ preverƒ oƒ aumentoƒ daƒ
produçãoƒdeƒumaƒempresa,ƒnaƒqualƒseráƒ
testadoƒ (simulado)ƒoƒ funcionamentoƒdeƒ
algumasƒnovasƒmáquinas,ƒcomƒoƒobjeti-
voƒdeƒverificarƒaƒnecessidadeƒdeƒoutrosƒ
equipamentosƒouƒrecursos.
Teoria dos 
jogos
Problemaƒ deƒ otimizaçãoƒ emƒ queƒ asƒ
partesƒ envolvidasƒ usamƒ estratégiasƒ
paraƒconvencerƒseuƒoponente.
Ƀobservadaƒemƒnegociaçãoƒeconômicaƒ
eƒpolíticaƒinternacional.
Fonte:ƒAdaptadoƒdeƒPASSOS,ƒ2008ƒeƒPRADO,ƒ2008.
Quadroƒ2ƒ–ƒPrincipaisƒtécnicasƒdaƒPOƒutilizadasƒpeloƒadministradorƒnaƒtomadaƒdeƒdecisão.
Oƒquadroƒ2ƒevidenciaƒqueƒaƒPOƒpodeƒserƒusadaƒemƒdiversasƒáreasƒdaƒ
empresa,ƒafinalƒelaƒabrangeƒumƒprocessoƒadministrativoƒsistêmico,ƒqueƒ
é,ƒaoƒmesmoƒtempo,ƒquantitativoƒeƒqualitativo.ƒEmƒ geral,ƒ asƒ disciplinasƒ queƒ constituemƒ aƒ POƒ estãoƒ apoiadasƒ emƒ
quatroƒ ciênciasƒ fundamentais:ƒ Economia,ƒ Matemática,ƒ Estatísticaƒ eƒ
Informática.
importância da modelagem
Para tomar a decisão que mais se aproxima do objetivo almejado, o gestor deve visualizar as 
prováveis consequências de cada alternativa disponível. É evidente que quanto mais simples e in-
tuitivo for esse processo, mais simples será a decisão, não importando se a decisão é doméstica ou 
empresarial.
Mesmo em problemas simples, em que o executivo não precise formular, conscientemente, listas de 
alternativas de ação e respectivas consequências, em algum ponto do processo de decisão, ele deve fazer 
uma ligação entre o que pode fazer e o que poderá acontecer em cada caso. Isso significa que ele deve 
ter um modelo mental do processo para prever as possíveis consequências das ações. Contudo, a partir 
de certo nível de complexidade, torna-se quase impossível estimar corretamente as implicações de uma 
decisão sem avaliar, de forma lógica e ordenada, a informação disponível. Esse tipo de análise estruturada 
dos dados é, essencialmente, uma forma de modelagem.
Um modelo pode ser a representação de um sistema que já existe. Nesse caso, ele procura reproduzir 
o funcionamento do sistema no intuito de aumentar sua produtividade. Um modelo pode, também, ser uma 
representação de um sistema que é apenas um projeto ainda não colocado em prática. Nesse caso, ele 
serve para definir qual deve ser a estrutura ideal desse sistema. 
A validação do modelo é a confirmação de que ele representa o sistema real, por isso a confiabilidade 
da solução obtida pelo modelo depende da validação. A precisão do modelo em descrever o comportamen-
to original do sistema determina a diferença entre a solução real e a proposta por esse sistema.
Otimização Em PO, está relacionada com a busca do melhor resultado para a empresa.
25
Pesquisa Operacional – Capítulo 1
A complexidade de um modelo também está diretamente relacionada à complexidade do sistema. Os 
sistemas mais simples podem ser representados por modelos também simples, já os sistemas mais compli-
cados requerem modelos mais elaborados. 
Em uma situação gerencial, em que a decisão deva ser tomada entre uma série de alternativas con-
flitantes e concorrentes, é necessário elaborar, construir e validar um modelo da situação real e, também, 
usar a intuição gerencial para solucionar o problema. Além disso, é preciso fazer exaustivas simulações dos 
mais diversos cenários, de maneira a estudar mais profundamente o problema e chegar ao resultado ótimo 
para a tomada de decisão empresarial (figura 4). Veja, na figura a seguir, a representação desse processo:
Mundo real Mundo realMundo simbólico
Situaçãoƒgerencial Modelo Resultado Decisões
Intuição
Fonte:ƒRABENSCHLAG,ƒ2008.
Figuraƒ4ƒ–ƒProcessoƒdeƒtomadaƒdeƒdecisãoƒpeloƒgestorƒutilizandoƒaƒPOƒeƒmodelagem.
Vantagens da modelagem
O quadro seguinte mostra as vantagens para o administrador, como decisor, ao utilizar o processo de 
modelagem de acordo com a figura 4, pois o modelo bem elaborado e aplicado é uma boa ferramenta de 
avaliação e de divulgação das diferentes políticas empresariais.
PRINCIPAIS VANtAGENS DOS MODElOS
Forçamƒosƒdecisoresƒaƒexplicitaremƒseusƒobjetivos.
Forçamƒaƒidentificaçãoƒeƒoƒarmazenamentoƒdasƒdiferentesƒdecisõesƒqueƒinfluenciamƒosƒobjetivos.
Forçamƒaƒidentificaçãoƒeƒoƒarmazenamentoƒdasƒrelaçõesƒentreƒasƒdecisões.
Forçamƒaƒidentificaçãoƒdasƒvariáveisƒaƒseremƒincluídasƒeƒemƒqueƒtermosƒelasƒserãoƒquantificáveis.
Forçamƒoƒreconhecimentoƒdeƒlimitações.
Permitemƒaƒcomunicaçãoƒdeƒideiasƒeƒseuƒentendimento,ƒfacilitandoƒoƒtrabalhoƒemƒgrupo.
Fonte:ƒAdaptadoƒdeƒRABENSCHLAG,ƒ2008.
Quadroƒ3ƒ–ƒVantagensƒparaƒoƒadministradorƒcomoƒdecisorƒaoƒutilizarƒoƒprocessoƒdeƒmodelagem.
Dicas para a elaboração de modelos de PO
O quadro a seguir traz dicas básicas para fazermos uma modelagem de forma rápida e prática na área 
de administração:
DICA AÇÃO
1. Penseƒsobreƒques-
tõesƒcomplexas,ƒ
masƒmodeleƒdeƒ
formaƒsimples.
Modelosƒsimplesƒsãoƒmaisƒfáceisƒdeƒseremƒentendidosƒdoƒqueƒosƒcomplexos.ƒ
Naƒáreaƒempresarial,ƒosƒmodelosƒsãoƒconstruídosƒparaƒajudarƒasƒpessoasƒeƒ
asƒorganizaçõesƒaƒseƒtornaremƒmaisƒefetivasƒnoƒqueƒfazem.ƒParaƒtanto,ƒseusƒ
resultadosƒprecisamƒserƒusados,ƒoƒqueƒrequerƒconfiançaƒporƒparteƒdoƒusuá-
rio.ƒAƒconfiançaƒéƒmaisƒfácilƒdeƒserƒatingidaƒquandoƒoƒusuárioƒé,ƒpeloƒmenos,ƒ
capazƒdeƒapreciarƒeƒcompreenderƒoƒmodeloƒdeƒformaƒglobal.
26
2. Comeceƒcomƒpou-
coƒe,ƒemƒseguida,ƒ
acrescente.
Emƒ vezƒ deƒ tentarƒmontar,ƒ inicialmente,ƒ umƒmodeloƒ queƒ incorporeƒ todosƒ
osƒaspectosƒdaƒsituaçãoƒdeƒmaneiraƒ realista,ƒ comeceƒcomƒalgoƒsimples.ƒ
Oƒobjetivoƒéƒaƒaprendizagemƒdoƒmodeloƒeƒdaƒsituação.ƒApósƒessaƒetapa,ƒ
façaƒoƒrefinamentoƒgradativoƒdoƒmodeloƒdeƒformaƒconstanteƒouƒquandoƒforƒ
necessário.
3. Eviteƒmegamodelos.
Megamodelosƒsãoƒdifíceisƒdeƒvalidar,ƒdeƒ interpretar,ƒdeƒcalibrarƒestatistica-
menteƒe,ƒmaisƒimportante,ƒdeƒexplicar.ƒEntão,ƒadoteƒumƒconjuntoƒdeƒmodelosƒ
maisƒsimples.
4. Useƒmetáforasƒeƒ
analogias.
Aƒideiaƒdasƒanalogiasƒéƒlevarƒasƒpessoasƒaƒobteremƒumaƒnovaƒvisãoƒouƒdi-
ferentesƒpontosƒdeƒvistaƒsobreƒalgo.ƒPodeƒserƒusadaƒparaƒqueƒasƒpessoasƒ
percebamƒdeƒmaneiraƒdiferenteƒalgoƒqueƒéƒbastanteƒfamiliarƒaƒelasƒouƒparaƒ
queƒcompreendamƒalgoƒqueƒaindaƒnãoƒhaviaƒsidoƒentendido.ƒEmƒtermosƒdeƒ
modelagemƒdasƒ ciênciasƒ administrativas,ƒ issoƒ significaƒ tentarƒ obterƒ novosƒ
insightsƒqueƒpodemƒlevarƒaƒmodelosƒúteis.
5. Descarteƒdados,ƒseƒ
necessário.
Oƒmodeloƒdeveƒconduzirƒosƒdadosƒeƒnãoƒoƒcontrário.ƒAfinal,ƒosƒdadosƒnãoƒ
geramƒpensamentoƒcuidadosoƒeƒcrítico.ƒOsƒdadosƒsãoƒcoletadosƒparaƒdepoisƒ
seremƒassociadosƒaosƒmodelos,ƒqueƒsãoƒaƒprincipalƒferramentaƒparaƒaƒinter-
pretaçãoƒeƒanáliseƒdessesƒdados.ƒ
6. Construaƒmodelosƒ
comoƒformaƒdeƒco-
nhecerƒaƒPOƒeƒdeƒ
descobrirƒsoluçõesƒ
empresariais.
Umaƒvezƒqueƒumƒmodelo,ƒcomoƒusadoƒnasƒciênciasƒadministrativas,ƒéƒoƒre-
sultadoƒdeƒumaƒtentativaƒdeƒrepresentarƒalgumaƒparteƒdaƒrealidadeƒdeƒformaƒ
talƒqueƒasƒaçõesƒpossamƒserƒpraticadasƒouƒalgumƒentendimentoƒpossaƒserƒ
melhorado,ƒpoderiaƒseƒpensarƒqueƒaƒconstruçãoƒdeƒmodeloƒéƒumƒprocessoƒ
linearƒeƒaltamenteƒracional,ƒnoƒqualƒprogressosƒsuavesƒsãoƒfeitosƒeƒtudoƒseƒ
encaixaƒperfeitamente.ƒNaƒprática,ƒverificou-seƒqueƒmodeladoresƒexperien-
tesƒpulamƒdeƒtópicoƒparaƒtópicoƒenquantoƒmodelamƒeƒprecisamƒrefinarƒsuasƒ
ideiasƒconstantemente.
Fonte:ƒAdaptadoƒdeƒRABENSCHLAG,ƒ2008.
Quadroƒ4ƒ–ƒDicasƒparaƒfazerƒaƒmodelagemƒnaƒáreaƒdaƒgestão.
principais modelos da po
A PO e, consequentemente, a área de administração utilizam a representação de modelos matemáti-
cos para a solução de problemas. De acordo com Andrade (2004), eles podem ser classificados em dois 
grandes grupos:
 ƒ Modelos de simulação – Procuram oferecer uma representação do mundo real empresarial, com 
o objetivo de permitir a geração e análise de alternativas, antes da implementação de uma delas. 
Por isso, dão ao analista um considerável grau de liberdade e flexibilidade em relação à escolha da 
ação mais conveniente. Isso significa que o administrador pode criar ambientes futuros possíveis e 
testar alternativas que respondam às questões ou aos problemas.
 ƒ Modelos de otimização – Não procuram flexibilidade na escolha da alternativa, o termo “otimiza-
ção” evidencia a busca pela melhor alternativa ou resultado matemático para a solução do modelo.
Apesar de, por uma questão didática, os principais modelos de PO serem apresentados, neste livro, 
de forma separada, na área empresarial eles podem ser utilizados de forma separada ou conjunta. No 
modelo da simulação, por exemplo, uma empresa pode determinar a probabilidade de um novo produto 
Insight Capacidade de observação profunda e de dedução da realidade, na qual o gestor deve ter discernimento e percepção 
para ter grandes ideias e prevero futuro. 
27
Pesquisa Operacional – Capítulo 1
1
1 O software permite a resolução dos cálculos matemáticos e estatísticos presentes na PO, pois há cálculos que não podem ser feitos manualmente, mas apenas com 
o uso de instrumentos computacionais.
téCNICAS DA PESQuISA OPERACIONAl APlICADAS A 
uM PROBlEMA DE COBERtuRA DE ARCOS
Serviços do setor público, como varredura de ruas, coleta de lixo, entrega de correspondências, 
inspeção de linhas de água, eletricidade ou gás e monitoramento de estacionamentos regulamen-
tados, são realizados com utilização de recursos humanos em grande escala. Para a execução dos 
serviços mencionados, é necessário percorrer uma distância, seja uma caminhada ou um desloca-
mento com algum tipo de veículo, ao longo dos trechos (denominados “arcos”) produtivos da região 
em estudo. Por esse motivo, esses problemas, que se objetiva otimizar, são chamados de problemas 
de cobertura de arco.
Nos problemas de roteamento, o problema do carteiro chinês (PCC) caracteriza os pro-
blemas de cobertura de arcos, em que, sobre uma rede viária, devem-se percorrer todos os arcos, 
exatamente uma única vez. O seu estudo é destacado por alguns pesquisadores [...]. 
Eglese e Murdock apresentam um software[1] para otimizar o serviço de limpeza de ruas com veí-
culos vassouras. Esse estudo foi aplicado no noroeste da Inglaterra, com a intenção de desenvolver 
leitura complementar
Problema do carteiro chinês Estudo para encontrar uma solução ótima para o problema de entrega de correspondên-
cias na China: os carteiros chineses deviam entregar as correspondências para a população, utilizando todos os caminhos de 
uma rede viária apenas uma única vez, de forma a realizarem o menor percurso. Os cálculos matemáticos do PCC foram utili-
zados pela gestão pública brasileira e por diversos países, com o objetivo de otimizar os recursos existentes tanto nas rotas dos 
leituristas de medidores elétricos (pessoas que coletam as informações dos medidores de luz) como também no traçado da co-
leta do lixo urbano nas grandes cidades brasileiras. A finalidade era colocar a quantidade de recursos humanos nas rotas certas 
e realizar os serviços no menor tempo possível, pelos menores percursos (arcos), atendendo às necessidades dos cidadãos.
ser lucrativo em um novo mercado. Para isso, a organização calcula previamente o custo mínimo desse 
produto e seu maior lucro, considerando as matérias-primas de que ele é constituído. Nesse caso, ela 
recorre ao modelo da otimização. Os custos e os lucros são analisados de formas diversas em diferentes 
cenários desse novo mercado. Quando isso ocorre, há junção do modelo da otimização com o modelo 
de simulação.
Numbers (Numb3rs),ƒdireçãoƒdeƒNicolasƒFalacciƒƒ
eƒCherylƒHeuton,ƒEUA,ƒParamount.
Nestaƒsérie,ƒumƒmatemáticoƒajudaƒoƒFBIƒaƒsolu-
cionarƒcrimesƒcomƒoƒusoƒdeƒmodelosƒmatemáti-
cosƒparaƒinterpretarƒeƒpreverƒaƒaçãoƒdosƒcrimino-
sos.ƒObserveƒoƒusoƒdaƒPOƒnasƒsimulações.
28
Uma mente brilhanteƒ(A beautiful mind),ƒdireçãoƒ
deƒRonƒHoward,ƒEUA,ƒ2001,ƒDreamWorksƒDis-
tributionƒLLC/UniversalƒPictures/UIP,ƒ135ƒmin.
Esteƒ filmeƒ contaƒ aƒ históriaƒ doƒ matemáticoƒ
ganhadorƒ doƒ Prêmioƒ Nobelƒ emƒ 1994,ƒ Johnƒ
ForbesƒƒNashƒJr.,ƒ queƒ fazƒmodelosƒeƒ cálculosƒ
queƒproduzemƒequilíbrioƒemƒaçõesƒaparente-
menteƒcaóticas,ƒcomƒoƒuso,ƒprincipalmente,ƒdaƒ
teoriaƒdosƒjogos.
SeƒvocêƒdesejaƒpesquisarƒmaisƒsobreƒaƒPO,ƒacesseƒestesƒsites:
ƒƒ www.apdio.pt/home.doƒ–ƒsiteƒ daƒAssociaçãoƒPortuguesaƒdeƒ In-
vestigaçãoƒOperacionalƒ (APDIO),ƒemƒqueƒconstamƒpublicaçõesƒ
eƒinformaçõesƒsobreƒconferênciasƒinternacionaisƒrelacionadasƒàƒ
PO.ƒ
ƒƒ www.ifors.orgƒ –ƒ siteƒ daƒ Internationalƒ Federationƒ ofƒ Operationalƒ
ResearchƒƒSocieties,ƒresponsávelƒporƒpesquisasƒacadêmicasƒeƒprofis-
sionaisƒnaƒáreaƒdeƒPO,ƒemƒdiversosƒlugaresƒdoƒmundo:ƒÁsia,ƒAméricaƒ
doƒNorte,ƒAméricaƒdoƒSulƒeƒEuropa.ƒ
ƒƒ www.informs.orgƒ–ƒsiteƒdoƒInstituteƒforƒOperationsƒResearchƒandƒtheƒ
ManagementƒSciences,ƒqueƒtrazƒinformaçõesƒsobreƒaƒaplicaçãoƒdaƒ
POƒnaƒáreaƒdeƒnegóciosƒorganizacionais.
ƒƒ www.sobrapo.org.brƒ–ƒsiteƒdaƒSociedadeƒBrasileiraƒdeƒPesquisaƒOpe-
racionalƒ(Sobrapo),ƒqueƒreúneƒosƒprincipaisƒpesquisadoresƒbrasilei-
rosƒdeƒPO.
uma rota a ser seguida pelo varredor cuja distância total percorrida fosse minimizada, respeitadas as 
restrições com relação à quantidade de trabalho e ao tempo hábil em cada dia. 
[...]
Os serviços de saneamento básico oferecidos pela Sanepar (Companhia de Saneamento do Pa-
raná) são operacionalizados por leituristas (também chamados de agentes) que fazem a leitura dos 
dados, digitam-nos em um microcomputador, emitem a fatura e a entregam ao cliente; além disso, é 
função do leiturista conferir dados do logradouro, prestar informações diversas, vender serviços como 
consertos dos mais diversos e verificar as condições de instalação da ligação predial de água (conjunto 
formado pelo ramal predial e o cavalete) e hidrômetro dos locais visitados. Por isso a necessidade de 
otimizar, ao máximo, o percurso do leiturista, para que o tempo gasto com seu deslocamento seja o 
menor possível. 
[...]
SMIDERLE, Andreia; STEINER, Maria Terezinha Arns; WILHELM, Volmir Eugenio. 
Técnicas da pesquisa operacional aplicadas a um problema de cobertura de arcos. 
Disponível em: <http://www.sbmac.org.br/tema/seletas/docs/v5_2/00-Smiderle.pdf>. 
Acesso em: 15 maio 2010. 
29
Pesquisa Operacional – Capítulo 1
Você estudou:
 ƒ Durante a Segunda Guerra Mundial, pesquisadores iniciaram a busca de métodos para a resolução de 
determinados problemas em operações militares. Com o êxito da aplicação desses métodos, o mundo 
empresarial e o mundo acadêmico passaram a desenvolver técnicas de solução de problemas a serem 
usadas na administração.
 ƒ A PO é um ramo da ciência administrativa que fornece instrumentos para a análise de decisões, partindo 
de análises quantitativas e qualitativas e observando o ambiente sistêmico em que a empresa está inserida.
 ƒ Todas as áreas da empresa podem se utilizar da PO, seja no nível estratégico ou corporativo, gerencial 
ou tático e operacional, desde que considere a relação entre o nível estratégico da decisão e o grau de 
estruturação da decisão.
 ƒ A PO possui sete etapas: identificação e elaboração do problema, estudo do problema, construção do 
modelo, resolução do modelo, validação do modelo, estabelecimento de controles e soluções, implan-
tação e acompanhamento do modelo. 
 ƒ O modelo é importante na tomada de decisão da PO voltada para a área de administração e está pre-
sente em algumas técnicas da PO, como a programação linear, a programação inteira, a programação 
dinâmica, a teoria das filas, a teoria dos grafos, a simulação e a teoria dos jogos.
 ƒ Os modelos da área de administração podem ser de simulação ou de otimização.
Síntese
ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para análise de decisões. 
Rio de Janeiro: LTC, 2004.
ARENALES, Marcos et al. Pesquisa operacional. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006.
COLIN, Emerson Carlos. Pesquisa operacional: 170 aplicações em estratégia, finanças, logística, produção, marketing 
e vendas. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
MOREIRA, Daniel Augusto. Pesquisa operacional: curso introdutório. São Paulo: Thomson, 2007.
NEWS STANFORD. Memorial resolution: George Bernard Dantzig. Disponível em: <http://news.stanford.edu/
news/2006/june7/memldant-060706.html>. Acesso em: 14 maio 2010.
PASSOS, Eduardo José Pedreira Franco dos. Programação linear como instrumento da pesquisa operacional. São 
Paulo: Atlas, 2008.
PRADO, Darci. Programação linear. Belo Horizonte: Instituto de Desenvolvimento Gerencial, 2008. 
RABENSCHLAG, Denis Rasquin. Pesquisa operacional. Disponível em: <http://www.ufsm.br>. Acesso em: 20 jun. 
2008. 
SILVA, Ermes Medeiros da et al. Pesquisa operacional para os cursos de economia,administração e ciências contábeis. 
São Paulo, Atlas: 2007.
SMIDERLE, Andreia; STEINER, Maria Terezinha Arns; WILHELM, Volmir Eugenio. Técnicas da pesquisa operacional 
aplicadas a um problema de cobertura de arcos. Disponível em: <http://www.sbmac.org.br/tema/seletas/docs/v5_2/00-
Smiderle.pdf>. Acesso em: 15 maio 2010. 
THE NOBEL PRIZE IN PHySICS 1948. Patrick Maynard Stuart Blackett. Disponível em: <http://nobelprize.org/nobel_
prizes/physics/laureates/1948/>. Acesso em: 14 maio 2010.
Referências
30
Anotações
Atividades do capítulo
Resolva as questões a seguir com base no texto complementar Técnicas da pesquisa operacional 
aplicadas a um problema de cobertura de arcos e no exemplo da Sanepar que esse texto apresenta:
a) Qual é a importância da PO para a gestão pública?
b) De acordo com o texto, qual é o principal problema da gestão pública?
c) Que técnica de PO foi utilizada no caso apresentado pelo texto?
d) Qual é o tipo de modelo utilizado no exemplo apresentado no texto?
e) Quais são as etapas de implantação da PO?
f) Que benefícios a PO trouxe para o caso?
Conteúdo programático
ƒƒ Programaçãoƒlinearƒ(PL)ƒeƒmodelagem
ƒƒ ConstruçãoƒdoƒmodeloƒdeƒPL
ƒƒ Estudoƒdeƒcaso:ƒconcessionária
ƒƒ Dualƒ(transposiçãoƒdeƒmatriz)
Objetivos
ƒƒ Compreenderƒaƒimportânciaƒeƒaƒaplicaçãoƒdaƒprogramaçãoƒlinearƒparaƒ
aƒtomadaƒdeƒdecisãoƒdoƒadministrador.
ƒƒ Aprenderƒaƒmontarƒoƒmodeloƒdaƒprogramaçãoƒlinearƒdeƒacordoƒcomƒaƒ
realidadeƒorganizacional.
ƒƒ CompreenderƒaƒimportânciaƒdoƒPrimalƒeƒdoƒDualƒnaƒprogramaçãoƒ
linear.
ƒƒ Acompanhar,ƒpassoƒaƒpasso,ƒcomoƒsãoƒrealizadosƒosƒcálculosƒeƒaƒ
interpretaçãoƒdaƒprogramaçãoƒlinearƒpelaƒáreaƒdaƒadministração,ƒ
sejaƒporƒmeioƒdoƒSimplexƒouƒpeloƒusoƒdeƒgráficosƒouƒtécnicasƒ
computacionaisƒ(ExcelƒeƒLindo).ƒ
ƒƒ Aprenderƒaƒefetuarƒosƒcálculosƒreferentesƒàƒanáliseƒdeƒsensibilidade.ƒ
ƒƒ Interpretar,ƒanalisarƒeƒconfrontarƒosƒdadosƒdaƒprogramaçãoƒlinearƒ
comƒaƒavaliaçãoƒgráfica,ƒconsiderandoƒoƒobjetivoƒdoƒgestorƒaoƒtomarƒ
asƒdecisõesƒmaisƒviáveisƒdeƒacordoƒcomƒaspectosƒquantitativosƒeƒ
qualitativosƒdoƒambienteƒqueƒcercaƒaƒempresa.ƒ
Programação linear aplicada 
à gestão empresarial
Capítulo 2
32
programação linear (pl) e modelagem2
Os problemas ou as oportunidades presentes na PL envolvem modelos de otimização e, por isso, são 
muito utilizados em pesquisa operacional. A PL é estudada pelos grandes matemáticos desde o século 
XVII. Newton, Bernoulli e Lagrange, são exemplos de cientistas que deram as bases matemáticas 
e estatísticas para a elaboração da atual PO. Seus conhecimentos foram utilizados, por exemplo, para a 
elaboração da teoria da fila (que você vai estudar no capítulo 4 deste livro). 
Sobre o histórico da PL, leia o que afirma Prado (2007): 
Do ponto de vista histórico, é importante saber que o assunto foi inicialmen-
te analisado em 1936 por Wassily Leontieff, que criou um modelo constituído 
por um conjunto de equações lineares, considerado o primeiro passo para o 
estabelecimento das técnicas de programação linear. O matemático russo L. V. 
Kantorovich, em 1939, publicou um trabalho sobre planejamento da produção, o 
qual apresentava, dentre diversas abordagens, o uso de equações lineares. Este 
trabalho somente veio a ser conhecido no Ocidente em 1960. É importante ainda 
citar que, em 1940, Frank L. Hitchcock apresentou uma abordagem ao problema 
de transportes.
No final da década de 1940, a PL passou a ser mais aplicada e, conforme Passos (2008),
...teve um grande desenvolvimento ao despontarem cientistas do porte de Leonid 
Kantorovich, Prêmio Nobel de Economia em 1975 e autor de “Métodos matemá-
ticos de planejamento e organização” (1939), George Stigler, com o “problema da 
dieta” (1946), Tjalling Koopmans, que desenvolveu o “problema de transporte”, 
Janos Von Neumann, com a “teoria dos jogos”, e George Dantzig, que, em 1947, 
desenvolveu o método Simplex (método das interações).
DuranteƒaƒSegundaƒGuerraƒMundial,ƒnosƒEstadosƒUnidos,ƒsurgiuƒoƒse-
guinƒteƒproblema:ƒcomoƒdescobrirƒqualƒéƒaƒalimentaçãoƒmaisƒeconômica,ƒ
levandoƒemƒconsideraçãoƒqueƒoƒserƒhumanoƒnecessitaƒdeƒumaƒquanti-
dadeƒmínimaƒdiáriaƒdeƒcertosƒnutrientes,ƒeƒqueƒelesƒdevemƒserƒobtidosƒ
deƒalimentosƒqueƒpossuemƒdiversosƒpreçosƒeƒ umaƒcomposiçãoƒdife-
renteƒdeƒnutrientes?ƒEsseƒproblemaƒficouƒconhecidoƒcomoƒ“problemaƒ
daƒdieta”.ƒOƒdesafioƒ foiƒ publicadoƒnoƒconhecidoƒ jornalƒThe New York 
Times,ƒganhouƒrepercussãoƒnacional,ƒe,ƒemƒ1945,ƒGeorgeƒStiglerƒdeuƒaƒ
melhorƒsolução:ƒaƒdietaƒidealƒteriaƒumƒcustoƒanualƒdeƒUS$ƒ59,88ƒeƒseriaƒ
compostaƒdeƒtrigo,ƒrepolhoƒeƒfígadoƒdeƒporco.ƒEntretantoƒoƒpesquisadorƒ
nãoƒlevouƒemƒconsideraçãoƒaƒdiversidadeƒdeƒgostoƒdasƒpessoas,ƒcon-
2 Modelagem é a atividade de construir modelos que expliquem as características ou o comportamento de uma organização.
Método Simplex Método matemático que combina conceitos de álgebra matricial com um conjunto de regras básicas que 
levam à solução dos problemas de PL, quando existe solução com as restrições impostas
Newton, Bernoulli e Lagrange Foram importantes cientistas do século XVII e XVIII. Isaac Newton (1643–1727), 
cientista inglês, formulou a Lei da Gravitação Universal e o binômio de Newton, o qual faz uso de coeficientes binominais e 
análise combinatória. Jakob Bernoulli (1654–1705), matemático suíço, é considerado o pai do cálculo exponencial. Elaborou, 
também, o processo de Bernoulli, que é um processo estocástico de probabilidade. Joseph-Louis Lagrange (1736–1813), 
matemático italiano, elaborou o teorema dos multiplicadores, além de ter aplicado o cálculo diferencial para a teoria da 
probabilidade. 
33
Pesquisa Operacional – Capítulo 2
siderandoƒapenasƒaspectosƒeconômicosƒeƒaƒanáliseƒdeƒ77ƒalimentosƒeƒ
9ƒnutrientes.ƒEmboraƒaƒdietaƒnãoƒtenhaƒsidoƒbemƒaceita,ƒaƒabordagemƒ
utilizadaƒ foiƒ consolidadaƒ comƒ Dantzig,ƒ responsávelƒ peloƒ desenvolvi-
mentoƒdoƒSimplex,ƒqueƒéƒcapazƒdeƒresolverƒqualquerƒproblemaƒdeƒPLƒ
(PRADO,ƒ2007).
Apesarƒdeƒaƒexperiênciaƒdenominadaƒ“problemaƒdaƒdieta”ƒterƒsidoƒmo-
tivoƒdeƒpiadasƒnaƒépocaƒemƒqueƒfoiƒ lançada,ƒelaƒfoiƒmuitoƒ importanteƒ
paraƒmelhorarƒaƒgestãoƒagropecuária.ƒAtualmente,ƒéƒmuitoƒempregadaƒ
naƒgestãoƒdaƒalimentaçãoƒdeƒanimais.ƒ
Com a expansão dos computadores, a PL passou a ser aplicada em vários ramos de atividades 
industriais. Nas décadas de 1980 e 1990, foi muito utilizada em programas relacionados à gestão da 
qualidade total.
Atualmente, a PL é uma técnica empregada na área de administração para realizar e elaborar plane-
jamento, de forma a promover a otimização dos recursos, buscando maximizá-los ou minimizá-los. Moreira 
(2008) assim define a PL:
[...] é um modelo matemático desenvolvido para resolver determinados tipos de 
problemas nos quais as relações entre as variáveis relevantes possam ser expres-
sas por equações e inequações lineares.
O quadro seguinte mostra resumidamente a representação (modelo) da PL. Observe-o atentamente:
PARtES
DA Pl
PADRÃO 
(EQuAÇÃO)
CANôNICO 
(INEQuAÇÃO)
MAtRICIAl (MAtRIz)
Função 
objetiva
Otimizarƒ(máx./mín.)ƒ=ƒCƒ.ƒX
máx.(mín.)ƒ .ƒ Zƒ =ƒC1X1ƒ +ƒC2X2ƒ +ƒ
...ƒ+ƒC
n
X
n
Otimizarƒ(máx./mín.)ƒ=ƒCƒ.ƒX
máx.(mín.)ƒ .ƒZƒ=ƒC1X1ƒ+ƒC2X2ƒ+ƒ
...ƒ+ƒC
n
X
n
Otimizarƒ(máx./mín.)ƒ=ƒCƒ.ƒX
[C1ƒC2ƒ...ƒCn] .
X1
X2
X
n
Restrições 
técnicas 
(limitações 
dos recursos 
empresa-
riais)
Aƒ.ƒXƒ=ƒB
A11X1ƒ+ƒA12X2ƒ+ƒ...ƒ+ƒA1nXnƒ=ƒB1
A21X2ƒ+ƒA22X2ƒ+ƒ...ƒ+ƒA2nXnƒ=ƒB2
...
A
m1X1ƒ+ƒAm2X2ƒ+ƒ...ƒ+ƒAmnXnƒ=ƒBn
Aƒ.ƒXƒ≤/≥ƒB
A11X1ƒ+ƒA12X2ƒ+ƒ...ƒ+ƒA1nXnƒ≤/≥ƒB1
A21X2ƒ+ƒA22X2ƒ+ƒ...ƒ+ƒA2nXnƒ≤/≥ƒB2
...
A
m1X1ƒ+ƒAm2X2ƒ+ƒ...ƒ+ƒAmnXnƒ≤/≥ƒBn
A11ƒA12...ƒA1m
A21ƒA22...ƒA2m
A
m1ƒAm2...ƒAmn
.
X1
X2
X
n
≤/≥/=
B1
B2
B3
Restrições 
de não 
negatividade
Xƒ≥ƒ0;ƒBƒ≥ƒ0 Xƒ≥ƒ0;ƒBƒ≥ƒ0 Xƒ≥ƒ0;ƒBƒ≥ƒ0
Xƒ ƒRƒ
Xƒ=ƒvariáveisƒdeƒdecisãoƒ
Aƒ=ƒcoeficientesƒdasƒvariáveisƒ
Bƒ=ƒtermoƒindependenteƒqueƒrepresentaƒosƒrecursosƒdisponíveisCƒ=ƒvalorƒrelacionadoƒàƒvariávelƒdeƒdecisão
Pela leitura do quadro, perceba que a PL apresenta três partes:
 ƒ Função objetiva3 – Busca identificar o que se quer otimizado, no estudo administrativo em aná-
lise, com a finalidade de atingir a meta desejada. Dessa forma, durante a resolução do problema 
3 Também denominada de função objetivo, é uma técnica matemática destinada a determinar a melhor utilização de recursos limitados, de forma que uma função 
objetiva seja otimizada, e determinadas condições sejam satisfeitas.
Fonte:ƒaƒautora.
Quadroƒ5ƒ–ƒRepresentaçãoƒdosƒmodelosƒdaƒPL.
34
e a representação do modelo, essa função será identificada pela palavra “máximo” ou “mínimo” 
e estará relacionada às variáveis de decisão (são aquelas que medem a quantidade dos di-
ferentes recursos da empresa, como funcionários, dinheiro, número de clientes, capacidade de 
produção, etc.).
 ƒ Restrições4 técnicas – Como o nome sugere, são condições que limitarão a funcionalidade do 
sistema empresarial. Estão relacionadas aos recursos que a empresa tem à sua disposição, como 
capacidade de estoque, mão de obra, equipamentos, etc. Os recursos organizacionais são fatores 
limitados e finitos.
 ƒ Restrição de não negatividade – Relata que os valores das variáveis não podem ser nega-
tivos.
Antesƒdeƒconstruirmosƒoƒmodelo,ƒcomƒbaseƒnasƒtrêsƒpartesƒcitadasƒan-
teriormente,ƒdevemƒserƒdefinidasƒasƒvariáveis de decisão,ƒpoisƒelasƒ
sãoƒnecessáriasƒparaƒaƒdeterminaçãoƒdaƒfunçãoƒobjetiva,ƒdaƒrestriçãoƒ
técnicaƒeƒtambémƒdaƒrestriçãoƒdeƒnãoƒnegatividade.
Perceba, também, que a PL pode ser representada por três modelos:
 ƒ Padrão: utilizado quando a modelagem possui equação. Nesse modelo, há a presença do sinal de 
igualdade (=).
 ƒ Canônico: utilizado quando a modelagem possui inequações. Nesse modelo, há a presença dos 
sinais de maior ou igual (≤) e de menor ou igual (≥).
 ƒ Matricial: utilizado quando a modelagem possui matrizes. Nesse modelo, há a presença dos sinais 
(=), (≤) e (≥).
construção do modelo de pl
A seguir, apresentaremos um modelo de PL (com suas três partes: função objetiva, restrição 
técnica e restrição de não negatividade), com base no estudo de caso de uma concessionária de 
automóveis.
Depois, explicaremos o Simplex, associando-o ao estudo de caso da concessionária, para, então, 
efetuarmos a representação gráfica e respondermos ao problema em análise (o caso da concessionária). 
Essa resposta corresponde ao principal objetivo da PO e, consequentemente, da PL.
Estudo de caso: concessionária
O texto seguinte é apresentado em cores diferentes para facilitar a compreensão entre a explicação e 
os dados associados a ela.
4 A palavra “restrições” corresponde às limitações impostas sobre possíveis valores que podem ser assumidos pelas variáveis de decisão.
35
Pesquisa Operacional – Capítulo 2
Uma concessionária trabalha com dois tipos de veículos: seminovos e novos. O lucro na venda 
de carros seminovos é de R$ 1.000,00 por unidade, e o lucro com os carros novos é de R$ 1.800,00 
por unidade. A empresa tem áreas específicas e estratégicas para armazenar e promover os veículos 
seminovos e os novos. Nesses espaços, os clientes conseguem visualizar os veículos. Os carros semi-
novos podem ocupar uma área de 20 m2; e os carros novos, o espaço de 30 m2. A concessionária tem 
um espaço máximo de 1200 m2 para armazenar tanto os carros novos como os seminovos (depósito 
localizado atrás do estabelecimento). A demanda esperada para os carros seminovos é de, no máximo, 
40 unidades/mês e, para os carros novos, de, no máximo, 30 unidades/mês. Qual é o planejamento 
de vendas que a concessionária pode realizar, pela PL, de forma a maximizar seu lucro com base nos 
carros novos e seminovos?
SILVA, Ermes Medeiros da et al. Pesquisa operacional para os cursos de economia, 
administração e ciências contábeis. São Paulo: Atlas, 2007. (Adaptado).
Acompanhe a resolução desse problema, etapa a etapa. 
1.o passo – Identifique as variáveis de decisão, que sempre estarão relacionadas à palavra “máximo” 
ou “mínimo”. Nesse caso, é possível identificá-las na última frase do texto, em cor vermelha: “... de forma 
a maximizar seu lucro com base nos carros novos e seminovos?”. Para esse caso da concessionária, a 
decisão está relacionada ao lucro obtido com a venda de carros novos e seminovos, sendo assim, ambos 
são as variáveis de decisão desse caso, e chamaremos de X1 os carros seminovos e de X2 os carros novos.
As variáveis de decisão serão denominadas X1 e X2:
 ƒ X1 = carros seminovos 
 ƒ X2 = carros novos
2.o passo – Após estarem definidas as variáveis de decisão, identifique a função objetiva. Ela sempre 
está associada às variáveis de decisão e à palavra “máximo” ou “mínimo”. Podemos chegar à função obje-
tiva por meio das informações presentes em dois trechos:
 ƒ Na última frase do texto, em cor vermelha: “... de forma a maximizar seu lucro com base nos carros 
novos e seminovos?”. Observe que as variáveis de decisão, X1 (carros seminovos) e X2 (carros 
novos), estão relacionadas à palavra “lucro”.
 ƒ A palavra “lucro” é a principal pista para detectarmos os valores de X1 e X2, ou seja, o valor do 
lucro unitário que a empresa ganhará pela venda de cada carro seminovo (X1) e novo (X2). Perceba 
que, no texto, a ideia de lucro está na frase em azul: “O lucro na venda de carros seminovos é de 
R$ 1.000,00 por unidade, e o lucro com os carros novos é de R$ 1.800,00 por unidade”. A função 
objetiva, nesse caso, é representada da seguinte forma: 
x1 (CARROS SEMINOVOS) x2 (CARROS NOVOS)
Lucro unitário R$ƒ1.000,00 R$ƒ1.800,00
Fonte:ƒaƒautora.
Quadroƒ6ƒ–ƒRepresentaçãoƒdaƒfunçãoƒobjetiva.
A função objetiva, portanto, para o caso da concessionária, é o lucro máximo a ser obtido com a venda 
de carros novos e seminovos, representado por “máx(L)”. A representação matemática da função objetiva 
é: máx(L) = 1000X1 + 1800X2.
3.o passo – Identifique os recursos que a empresa tem à disposição. Esses recursos são importan-
tes para que você chegue à restrição técnica da PL. Nesse caso da concessionária, essa restrição está 
36
identificada na parte do texto escrita em verde: “Os carros seminovos podem ocupar uma área de 20 m2; 
e os carros novos, o espaço de 30 m2. A concessionária tem um espaço máximo de 1200 m2 para 
armazenar tanto os carros novos como os seminovos (depósito localizado atrás do estabelecimento)”. 
Assim, o primeiro recurso limitado da empresa é seu espaço físico. A primeira restrição é representada 
da seguinte forma:
x1 (CARROS SEMINOVOS) x2 (CARROS NOVOS) tOtAl
Espaço (m2) 20 30 ≤ƒ1200ƒ(áreaƒqueƒnãoƒpodeƒserƒ
ultrapassada)
Fonte:ƒaƒautora.
Quadroƒ7ƒ–ƒRepresentaçãoƒdaƒprimeiraƒrestriçãoƒtécnica.
A representação matemática da restrição técnica do espaço para armazenagem dos carros tanto semi-
novos como novos (nesse caso, a primeira restrição técnica) é: 20X1 + 30X2 ≤ 1200.
A segunda restrição refere-se à demanda de carros seminovos, conforme texto na cor roxa: “A demanda 
esperada para os carros seminovos é de, no máximo, 40 unidades/mês...”, e é representada da seguinte forma:
x1 (CARROS SEMINOVOS) x2 (CARROS NOVOS) tOtAl
Demanda em 
unidades
≤ƒ40ƒ(quantidadeƒdeƒcarrosƒvendidosƒ
queƒnãoƒpodeƒserƒultrapassada)
Fonte:ƒaƒautora.ƒ
Quadroƒ8ƒ–ƒRepresentaçãoƒdaƒsegundaƒrestriçãoƒtécnica.ƒ
A representação matemática da restrição técnica para a demanda dos carros seminovos (nesse caso, 
a segunda restrição técnica) é: X1 ≤ 40.
A terceira restrição refere-se à demanda de carros novos, conforme texto na cor laranja “... para os 
carros novos, de, no máximo, 30 unidades/mês”, e é representada da seguinte forma:
x1 (CARROS SEMINOVOS) x2 (CARROS NOVOS) tOtAl
Demanda em 
unidades
≤ƒ30ƒ(quantidadeƒdeƒcarrosƒ
queƒnãoƒpodeƒserƒultrapas-
sada)
Fonte:ƒaƒautora.
Quadroƒ9ƒ–ƒRepresentaçãoƒdaƒterceiraƒrestriçãoƒtécnica.A representação matemática da restrição técnica para a demanda dos carros novos (nesse caso, a 
terceira restrição técnica) é: X2 ≤ 30.
Aoƒanalisarmosƒosƒrecursosƒdaƒempresa,ƒosƒdadosƒdevemƒestarƒsempreƒ
naƒmesmaƒunidadeƒfísicaƒouƒdeƒtempo.ƒCasoƒcontrário,ƒprecisaremosƒ
fazerƒasƒtransformaçõesƒ(conversões),ƒparaƒtrabalharmosƒcomƒasƒmes-
masƒunidades.ƒ
4.o passo – Represente a restrição técnica de não negatividade. Essa restrição significa que as variá-
veis de decisão sempre devem ser maiores ou iguais a zero. Portanto não podem ser negativas, caso con-
trário, X1 (carros seminovos) e X2 (carros novos) teriam uma quantificação negativa, o que, com a PL, não 
37
Pesquisa Operacional – Capítulo 2
é possível, pois essa é uma técnica que visa à otimização na área empresarial. A restrição técnica de não 
negatividade é representada da seguinte forma:
x1 (CARROS SEMINOVOS) x2 (CARROS NOVOS)
≥ƒ0 ≥ƒ0
Fonte:ƒaƒautora.
Quadroƒ10ƒ–ƒRepresentaçãoƒdaƒrestriçãoƒdeƒnãoƒnegatividade.
A representação matemática da restrição técnica de não negatividade é: X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0.
5.o passo – Organize e represente o modelo de forma clara:
 ƒ Função objetiva: máx(L) = 1000X1 + 1800X2
 ƒ Restrição técnica (recursos limitados)
 ƒ Espaço (m2): 20X1 + 30X2 ≤ 1200
 ƒ Demanda de carros seminovos: X1 ≤ 40
 ƒ Demanda de carros novos: X2 ≤ 30
 ƒ Restrição de não negatividade: X1 ≥ 0 e X2 ≥ 0
Resolução tabular do Simplex 
O Simplex foi desenvolvido por Dantzig, no ano de 1947, e seu objetivo era encontrar resultados ótimos 
para problemas militares. Atualmente, de acordo com Passos (2008), o Simplex 
[...] é um método interativo que, utilizando um algoritmo, procura maximizar ou mi-
nimizar (otimizar) uma função objetiva de um modelo matemático (modelo linear), 
considerando-se algumas restrições lineares. A cada iteração realizada, a função 
objetiva melhora a solução do problema, passando de um ponto extremo da região 
de soluções a outro, até chegar à solução ótima.
Visando facilitar o cálculo do Simplex, apresentaremos esse cálculo passo a passo:
1.o passo – Identifique, no modelo, a função objetiva pela palavra “máximo” ou “mínimo”. No caso da 
concessionária, buscamos calcular o máximo lucro: 
máx(L) = 1000X1 + 1800X2
2.o passo – Passe as variáveis de decisão, com o sinal trocado, para o lado do máx(L): 
máx(L) – 1000X1 – 1800X2
Seƒoƒcasoƒfosseƒdeƒminimizarƒ(seƒoƒcasoƒemƒestudoƒtratasseƒdeƒcustoƒ
emƒ vezƒ deƒ lucro),ƒ seriaƒ necessárioƒ transformarmosƒ aƒ expressãoƒ emƒ
máximo.ƒMultiplicaríamosƒtodaƒaƒexpressãoƒporƒ–1.ƒEntão,ƒaƒexpressãoƒ
ficaria:ƒmáx(Z)ƒ=ƒ–1000X1ƒ–ƒ1800X2ƒe,ƒaoƒpassarmosƒasƒvariáveisƒparaƒoƒ
outroƒlado,ƒaƒexpressãoƒficariaƒassim:ƒmáx(Z)ƒ+ƒ1000X1ƒ+ƒ1800X2.
3.o passo – Identifique o número relacionado à variável de decisão que possui o maior valor absoluto 
(maior valor, não importando o sinal), com o objetivo de detectar a variável que entra na função objetiva.
38
Entrada em X2, por ser o maior valor absoluto, nesse caso, X2 = 1800:
máx(L) – 1000X1 – 1800X2
AƒvariávelƒqueƒentraƒpodeƒserƒX1ƒouƒqualquerƒoutraƒvariávelƒdeƒdecisãoƒ
presenteƒnaƒfunçãoƒobjetiva,ƒdesdeƒqueƒtenhaƒoƒmaiorƒvalorƒabsoluto.
4.o passo – Identifique, nas restrições técnicas, o local onde haverá a saída. A saída é pelo menor valor 
não negativo. Para identificá-la, divida o bi (variável independente) de cada restrição técnica pelos valores 
da variável que entra da restrição respectiva. O bi é o valor presente na restrição técnica após o sinal 
(≤, ≥, =, < ou >).
REStRIÇÃO téCNICA bi
x2 (VARIÁVEl 
QuE ENtRA)
bi DE CADA REStRIÇÃO téCNICA/VARIÁVEl QuE 
ENtRA DE CADA REStRIÇÃO téCNICA
20X1ƒ+ƒ30X2ƒ≤ƒ1200 1200 30 1200/30ƒ=ƒ40
X1ƒ≤ƒ40 40 0 40/0ƒ=ƒIMPOSSÍVEL
X2ƒ≤ƒ30 30 1 30/1ƒ=ƒ30ƒ ƒSAÍDAƒ(poisƒéƒoƒme-
norƒvalorƒnãoƒnegativo)
Fonte:ƒaƒautora.
Quadroƒ11ƒ–ƒRepresentaçãoƒdaƒsaída.
5.o passo – Acrescente a variável de folga, para isso, avalie o sinal de cada restrição técnica: 
 ƒ Se o sinal for o de menor ou igual (≤), coloque variável de folga positiva (+XF).
 ƒ Se o sinal for o de maior ou igual (≥), coloque variável de folga negativa (–XF). 
 ƒ Entretanto, se o sinal for de igualdade (=), não haverá variável de folga (XF), apenas variável auxiliar 
(variável colocada para auxiliar nos cálculos). Nesse caso, as inequações precisam ser transforma-
das em equações. Para tanto, basta trocar os sinais de maior ou igual (≥) ou o de menor ou igual 
(≤) por igual (=), caso contrário, não será possível colocar as variáveis de folga (XF).
 ƒ É preciso transformar as inequações em equações trocando os sinais de ≥/≤ por igual (=). Se isso 
não for feito, não será possível colocar as variáveis de folga. 
20X1 + 30X2 + XF1 = 1200 (Primeira restrição técnica)
X1 + XF2 = 40 (Segunda restrição técnica)
X2 + XF3 = 30 (Terceira restrição técnica)
39
Pesquisa Operacional – Capítulo 2
Note que, no caso apresentado, a variável de folga (XF) foi positiva, pois todas as restrições técnicas 
têm sinal de ≤. Observe, também, que cada variável de folga (XF) é representada com um número especí-
fico, com o objetivo de identificar a origem de cada uma delas no cálculo (à qual restrição técnica ela está 
relacionada). Assim, a primeira restrição técnica terá a variável de folga denominada de XF1; a segunda 
restrição técnica, de XF2; e a terceira restrição técnica, de XF3. Perceba que o número tem como referência 
a posição da variável no sistema ou modelo.
6.o passo – Organize o sistema, destacando a entrada e a saída. No local em que a entrada e a saída 
são iguais, está o elemento pivô (no ponto comum entre a entrada e a saída). A linha em que esse elemento 
estiver será a linha pivô. A denominação “pivô” ocorre porque todos os cálculos futuros têm essa linha como 
base; então, ela será “o pivô” de tudo. No quadro a seguir, Z é a variável responsável pelo valor da função 
objetiva:
z x1 x2 (ENtRADA) xF1 xF2 xF3 bi
1.aƒlinhaƒ(FO) 1 –1000 –1800 0 0 0 0
2.aƒlinhaƒ(RT) 0 20 30 1 0 0 1200
3.aƒlinhaƒ(RT) 0 1 0 0 1 0 40
4.aƒlinhaƒ(RT) 0 0 1 0 0 1 30ƒ(SAÍDA)
Nesseƒcaso,ƒoƒelementoƒpivôƒéƒoƒnúmeroƒ1,ƒpoisƒéƒeleƒqueƒestáƒnoƒpontoƒemƒqueƒaƒentradaƒéƒ
igualƒàƒsaídaƒ(pontoƒdeƒencontroƒentreƒentradaƒeƒsaída).ƒ
Fonte:ƒaƒautora.
Quadroƒ12ƒ–ƒRepresentaçãoƒdaƒentradaƒeƒdaƒsaídaƒ(elementoƒpivô).
Ao organizar o sistema, perceba que a 1.a linha será sempre a função objetiva (FO), e o Z correspon-
dente a ela será sempre igual a 1. As outras linhas serão sempre as restrições técnicas (RT).
7.o passo – Faça uma tabela, começando pela linha pivô. Em seguida, divida cada um dos valores da 
linha pivô pelo valor do elemento pivô. Com os resultados dessas divisões, você obterá uma nova linha pivô 
unitária. Nesse caso, a linha pivô é a 4.a linha (do quadro 12). Divida cada um de seus elementos pelo valor 
do elemento pivô (neste caso, 1) e obterá a nova linha pivô.
 z x1 x2 (ENtRA) xF1 xF2 xF3 bi
Linhaƒpivôƒ(4.aƒlinhaƒdoƒquadroƒ12)ƒ 0 0 1 0 0 1 30
Divisãoƒporƒ1ƒ(elementoƒpivô), paraƒ
chegarmosƒàƒnova linha pivô 0 0 1 0 0 1
30
(SAI)
Esteƒvalorƒdeƒbiƒdeveƒserƒigualƒaoƒvalorƒdaƒsaídaƒobtidoƒnoƒquartoƒpasso.
Fonte:ƒaƒautora.
Quadroƒ13ƒ–ƒCálculoƒdaƒnovaƒlinhaƒpivô.
8.o passo – Calcule as novas linhas, com base na nova linha pivô. Para chegar às novas linhas, siga 
estes procedimentos:
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a) Multiplique cada elemento da nova linha pivô pelo valor da variável de entrada (em verde, no quadro 
12) de cada linha: para chegar à 1.a nova linha, multiplique pelo valor da entrada da 1.a linha; para 
chegar à 2.a nova linha, multiplique pelo valor de entrada da 2.a linha; e assim por diante. Todavia, o 
valor da entrada deve ter o sinal trocado.
b) Some os elementos encontrados com o procedimento a, termo a termo, com os elementos da 1.a 
linha (do quadro 12).
c) Repita esses procedimentos (a e b) com as outras linhas do quadro 12, exceto com a linha em que 
está o elemento