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Autor: Prof. Cláudio José dos Santos Penteado Colaboradores: Prof. Flávio Celso Müller Martin Prof. Fábio Gomes da Silva Profa. Ana Carolina Bueno Borges Prof. José Carlos Morilla Matemática Financeira Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Professor conteudista: Cláudio José dos Santos Penteado Cláudio José dos Santos Penteado possui Licenciatura pela Universidade de São Paulo (1973) e especialização em Administração Geral com ênfase em Sucesso Organizacional pela Universidade Paulista (1998) . Atua na área de Matemática desde 1971. © Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) P419m Penteado, Cláudio José dos Santos. Matemática financeira. / Cláudio José dos Santos. – São Paulo: Editora Sol, 2019. 184 p., il. Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XXV, n. 2-202/19, ISSN 1517-9230. 1. Matemática financeira. 2. Juros simples. 3. Juros compostos. I. Título. CDU 51 U502.54 – 19 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Prof. Dr. João Carlos Di Genio Reitor Prof. Fábio Romeu de Carvalho Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças Profa. Melânia Dalla Torre Vice-Reitora de Unidades Universitárias Prof. Dr. Yugo Okida Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez Vice-Reitora de Graduação Unip Interativa – EaD Profa. Elisabete Brihy Prof. Marcelo Souza Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar Prof. Ivan Daliberto Frugoli Material Didático – EaD Comissão editorial: Dra. Angélica L. Carlini (UNIP) Dra. Divane Alves da Silva (UNIP) Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR) Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT) Dra. Valéria de Carvalho (UNIP) Apoio: Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico: Prof. Alexandre Ponzetto Revisão: Carla Moro Juliana Maria Mendes Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Sumário Matemática Financeira APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7 INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7 Unidade I 1 NATUREZA E OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ......................................................................9 1.1 Fundamentos ......................................................................................................................................... 10 1.1.1 Conceitos básicos .................................................................................................................................... 10 1.1.2 Aplicações .................................................................................................................................................. 13 2 JUROS SIMPLES ................................................................................................................................................ 21 2.1 Conceito .................................................................................................................................................. 22 2.2 Fórmulas ................................................................................................................................................... 22 2.3 Valor atual (A) e Valor nominal (N) ............................................................................................... 23 2.4 Juro exato e juro comercial .............................................................................................................. 24 2.5 Equivalência de taxas ......................................................................................................................... 24 2.5.1 Conceito .................................................................................................................................................... 24 2.5.2 Fórmula ...................................................................................................................................................... 24 2.6 Aplicações ................................................................................................................................................ 25 3 DESCONTO SIMPLES ....................................................................................................................................... 39 3.1 Conceitos básicos ................................................................................................................................. 40 3.2 Desconto simples racional ou “por dentro” ............................................................................... 40 3.2.1 Definição ................................................................................................................................................... 41 3.2.2 Fórmulas ..................................................................................................................................................... 41 3.2.3 Aplicações .................................................................................................................................................. 41 3.3 Desconto simples comercial ou “por fora” ................................................................................. 47 3.3.1 Definição ................................................................................................................................................... 47 3.3.2 Fórmulas .................................................................................................................................................... 47 3.4 Aplicações ................................................................................................................................................ 48 3.5 Desconto simples bancário ............................................................................................................... 54 3.5.1 Definição ................................................................................................................................................... 54 3.5.2 Fórmulas ..................................................................................................................................................... 55 3.5.3 Aplicações .................................................................................................................................................. 55 4 TAXA EFETIVA NA OPERAÇÃO DE DESCONTO ...................................................................................... 62 4.1 Definição ................................................................................................................................................. 62 4.2 Fórmulas ...................................................................................................................................................63 4.3 Aplicações ................................................................................................................................................ 64 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade II 5 JUROS COMPOSTOS ....................................................................................................................................... 81 5.1 Conceito .................................................................................................................................................. 81 5.1.1 Consequências da definição do critério composto ................................................................... 81 5.1.2 Fórmula do montante composto ..................................................................................................... 82 5.1.3 Fórmula do juro composto ................................................................................................................. 82 5.1.4 Valor atual (A) e Valor nominal (N) ................................................................................................. 82 5.1.5 Calculadoras financeiras ...................................................................................................................... 83 5.1.6 Aplicações .................................................................................................................................................. 84 5.2 Equivalência de taxas a juros compostos .................................................................................102 5.2.1 Conceito ..................................................................................................................................................102 5.2.2 Fórmulas ...................................................................................................................................................102 5.2.3 Aplicações ................................................................................................................................................103 5.3 Montante composto em um número fracionário de períodos ........................................111 5.3.1 Aplicações ................................................................................................................................................112 6 PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO DIFERENTE DO PERÍODO DA TAXA E SÉRIES DE CAPITAIS ........... 119 6.1 Aplicações ..............................................................................................................................................119 6.2 Séries de capitais ................................................................................................................................121 6.2.1 Conceito de série ................................................................................................................................ 122 6.2.2 Fórmula do valor presente ou à vista (A) .................................................................................. 123 6.2.3 Aplicações ............................................................................................................................................... 127 6.2.4 Fórmula do valor futuro ou montante (S) ................................................................................ 133 6.2.5 Aplicações ............................................................................................................................................... 135 6.3 Fórmulas usadas neste livro-texto ..............................................................................................141 Unidade III 7 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO – PARTE I ..............................................................................................148 7.1 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .......................148 7.1.1 Sistema Financeiro da Habitação (SFH) ...................................................................................... 148 7.1.2 Definições básicas ................................................................................................................................ 149 7.1.3 Sistema de Amortização Constante (SAC) ..................................................................................151 7.1.4 Expressões de cálculo do SAC ......................................................................................................... 153 7.1.5 SAC com carência ................................................................................................................................ 156 7.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ......................................................................................159 7.2.1 Expressões de cálculo do SAF...........................................................................................................161 7.2.2 SAF com carência ................................................................................................................................. 163 8 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO – PARTE II .............................................................................................166 8.1 TABELA Price .........................................................................................................................................166 8.1.1 Sistema de amortização misto ....................................................................................................... 168 8.1.2 Comparações entre SAC, SAF e SAM ............................................................................................170 8.1.3 Gráfico de comparação entre SAC, SAF e SAM ........................................................................170 8.2 Sistema de Amortização Americano ..........................................................................................171 8.2.1 Sinking fund ou fundo de amortização ..................................................................................... 173 8.2.2 Sistema de Amortização Crescente (Sacre) ............................................................................... 174 8.2.3 Custo efetivo ......................................................................................................................................... 175 7 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 APRESENTAÇÃO A disciplina Matemática Financeira tem como objetivo proporcionar o domínio de seus conceitos e nomenclatura, bem como instrumentalizar o aluno no uso das fórmulas e das calculadoras financeiras, facilitando-lhe o trânsito na área de finanças, de acordo com seu perfil profissional, e servindo como base/instrumento para outras áreas do conhecimento. Aborda juros simples, descontos simples, juros compostos e séries de capitais. Este livro-texto contém os fundamentos, a natureza e a importância da Matemática Financeira, partindo dos conceitos básicos (principal, juro e montante; prazo e número de períodos; taxas percentual, unitária e proporcional; custo, lucro e venda; ano exato e ano comercial; fluxo de caixa; regimes de capitalização). Oferece também noções sobre juros simples (fórmulas do juro e do montante; valor nominal e valor atual; juro exato e juro comercial; taxas equivalentes) e descontos simples (conceitos básicos; desconto simples racional ou “por dentro”; desconto simples comercial ou “por fora”; desconto simples bancário; taxa de desconto e taxa efetiva). Em seguida, são abordados os juros compostos (conceito; fórmulado montante composto; valor atual e valor nominal a juros compostos; taxas equivalentes; montante em um número fracionário de períodos) e as séries de capitais (conceito; série básica; valor atual da série básica; montante da série básica). Ao final do curso, você deverá ser capaz de identificar e efetuar o cálculo das operações financeiras, relacionando-as às situações do dia a dia das empresas e da sua própria vida, com o auxílio de uma calculadora financeira. INTRODUÇÃO Assim como a Matemática em geral, a Matemática Financeira assusta os alunos, que acabam alegando possuir dificuldades especiais em Matemática, o que não é verdade. A relação com essa disciplina depende do histórico de estudo de cada um. A maior prova disso é que muitas pessoas gostam da matéria e têm facilidade na manipulação dos seus conceitos e fórmulas. Não desanime diante das dificuldades, o esforço é fundamental para o desenvolvimento do seu aprendizado. O conteúdo será apresentado progressivamente, e o instrumental matemático, descrito de forma simples. Não tenha medo das fórmulas, estas que são uma das grandes reclamações dos alunos. Elas são expressões dos conceitos por meio de seus símbolos e dos operadores aritméticos e algébricos. Não decore um amontoado de fórmulas, mas procure entendê-las; ao final do livro-texto, existe uma lista delas que serve de suporte ao seu estudo. Neste curso, você verá que a Matemática Financeira utiliza os conceitos básicos de Matemática, mas possui uma estrutura conceitual muito aplicável a situações do nosso cotidiano, dentro e fora do universo das empresas, motivando e facilitando o seu aprendizado e desenvolvendo ferramentas de uso para as vidas profissional e particular. 8 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Não se esqueça de que saber Matemática e sua lógica facilitará seu trabalho em muitos ramos do conhecimento humano aplicado. Na era da informação, a formação matemática vai ajudá-lo a fazer análises dos dados e a melhorar o uso que você poderá fazer deles. Pretendemos ajudá-lo a desenvolver as competências necessárias para destacar-se no mercado de trabalho e construir seu futuro, trabalhando naquilo de que mais gosta e com os instrumentos adequados. Não se limite a este conteúdo, consulte também a bibliografia citada ao final do livro-texto. 9 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 NATUREZA E OBJETIVO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA Nosso primeiro passo será tomar contato com os pressupostos e objetivos da Matemática Financeira, para termos consciência do caminho que estamos percorrendo enquanto aprendemos. A consciência do aprendizado é um importante fator do amadurecimento que leva ao sucesso profissional. Vamos entender o que é Matemática Financeira, pois não se pode aprender sem entender a natureza daquilo que se está aprendendo. Um grande cientista disse uma vez: “Ninguém conhece aquilo que não consegue medir”. Como exemplo, podemos imaginar uma situação em que uma pessoa faz a seguinte pergunta para outra: “Você quer ganhar R$ 5.000,00 ou R$ 1.000,00?”. A outra, então, responde: “Quando?”. Perceba que a primeira pergunta refere-se a valores, e a segunda, a datas. Essa é a principal característica da Matemática Financeira. Caso a opção por R$ 5.000,00 implique uma espera muito longa para o recebimento, e a data para receber R$ 1.000,00 esteja muito mais próxima, será melhor escolher o valor absoluto menor. Cada valor financeiro está, portanto, vinculado a uma data determinada. Toda vez que a data de referência de um valor é mudada, ele deve ser recalculado. A Matemática Financeira estuda as relações entre os valores financeiros e suas datas, utilizando instrumentos de cálculo característicos. Desde o aparecimento das sobras dos bens de consumo, que começaram a ser comercializados ensejando a criação das moedas de troca, a tecnologia progrediu muito; ela criou instrumentos de cálculo cada vez mais eficazes e eficientes, cujo aparecimento tem delegado ao ser humano, cada vez mais, a responsabilidade de análise dos resultados desses cálculos. Esse processo aposentou, nas empresas modernas, o calculista, substituído pelas calculadoras programáveis, pelos microcomputadores e grandes computadores equipados com programas de cálculo; eles operam com planilhas, cada vez mais precisos e abrangentes, integrados com outros softwares que ajudam a cuidar do gerenciamento das empresas. Uma das evidências desse processo é o grande volume de dinheiro aplicado às estruturas de Tecnologia da Informação (TI), responsáveis não apenas pelos cálculos, mas também por fazer que seus resultados cheguem às mãos de quem necessita deles rapidamente. Uma das consequências dessa evolução foi o aparecimento do manager, profissional que analisa os dados e, baseado neles, toma as decisões que vão guiar sua empresa. A outra, o desaparecimento do Unidade I 10 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I calculista responsável pelas contas, exigiu do tomador de decisões um conhecimento maior da natureza e dos próprios instrumentos desses cálculos. 1.1 Fundamentos Após o estudo deste tópico, você deverá estar consciente da importância da Matemática Financeira em cada um dos seus aspectos básicos, identificando seu relacionamento com outras áreas por meio de suas possíveis aplicações. Essa área é entendida como o estudo das relações dos valores financeiros com suas datas. Não podemos esquecer que cada valor está vinculado a uma data determinada e que a alteração dessa data deverá vir acompanhada do recálculo do valor. A importância desse recálculo está confirmada por aspectos considerados relevantes na análise econômica, como a inflação, a taxa de juros e o prazo de remuneração do capital. Conhecendo a Matemática Financeira você conseguirá, por exemplo, proteger-se melhor de esquemas fraudulentos. Finalmente, tomamos consciência dessa importância quando entramos em contato com o volume dos recursos aplicados às estruturas computadorizadas, que dão suporte a esse recálculo e fazem seus resultados chegarem às áreas de tomada de decisão. Do simples consumidor dos bens vendidos por financiamentos até gestores e operadores da estrutura financeira do país, todos devem, na medida das suas necessidades, conhecer a Matemática Financeira. Para acompanhar um ramo qualquer da ciência, devemos conhecer sua nomenclatura e uma série de conceitos básicos. Definiremos cada um deles a seguir. 1.1.1 Conceitos básicos Principal (P): capital inicial de uma aplicação. Juro (J): valor pago ou recebido como remuneração (aluguel) pelo uso de um capital. Taxa de juros (r ou i): é o índice referente a uma unidade de tempo, que indica o juro por unidade de capital vinculado à aplicação ou dívida. A unidade será denominada r, quando for percentual (base 100), ou i, quando for de base unitária. De maneira geral, a unidade de tempo da taxa de juros é indicada de forma abreviada, podendo haver alguma confusão. Exemplos: • a.a. = ao ano; • a.m. = ao mês; 11 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 27/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA • a.t. = ao trimestre; • a.b. = ao bimestre. Número de períodos (n): é a medida do prazo de uma aplicação expressa na unidade de tempo da taxa de juros. Repare que o mesmo prazo poderá ser expresso por números diferentes, dependendo da unidade de medida. Exemplo: 1 ano = 2 semestres; quatro trimestres; seis bimestres etc. Taxas proporcionais: duas taxas de juros diferentes, que se referem a unidades de tempo diversas, serão proporcionais quando seus valores estiverem na mesma razão que seus prazos. Explicando melhor, podemos dizer que: dividindo as taxas e os prazos na mesma ordem, chegamos ao mesmo número. A expressão que relaciona duas taxas proporcionais pode ser escrita da seguinte forma: i i n n 1 2 1 2 = Exemplos de taxas proporcionais: • 2% ao mês e 24% ao ano; • 1% ao bimestre e 3% ao semestre; • 5% ao trimestre e 20% ao ano; • 2% ao dia e 60% ao mês. Montante (M): é a soma do principal de uma aplicação com o juro que o capital rendeu durante essa aplicação. Custo (C): quanto se paga por uma determinada mercadoria ou se gasta para prestar um determinado serviço. Esse conceito será usado neste livro-texto de forma simples e direta, sem referência à complexa estrutura da contabilidade. Lucro (L): ganho adicionado ao custo da mercadoria ou do serviço para se calcular seu preço de venda. Preço de venda (V): resultado da soma do custo com o lucro (V = C + L). Ano exato: é o critério em que o prazo é contado dia a dia, perfazendo um ano de 365 dias. Esse critério é muito usado para calcular prazos muito curtos, que geralmente estão em dias. 12 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I Ano comercial: é o critério em que o prazo é contado em meses de 30 dias, totalizando um ano de 360 dias. Essa forma de cálculo é usada quando os prazos são fornecidos em blocos de meses, sem a localização no ano. Fluxo de caixa: é a indicação gráfica da movimentação de valores em um caixa. A marcação desses valores é feita em suas respectivas datas, sobre um eixo de tempo horizontal, de acordo com uma convenção de setas ou cores, demonstrando se são entradas ou saídas. Por exemplo, as setas podem ter as entradas orientadas para cima e as saídas para baixo; a cor azul para entradas e a vermelha para saídas. De uma forma simplista, podemos considerar o preço de venda de um bem como a soma do custo com o lucro. Esse conceito atende bem aos nossos objetivos, mas não é suficiente para cálculos mais complexos nos quais seja exigida a análise de uma quantidade maior de fatores. O lucro, por sua vez, será sempre adicionado ao custo para compor o preço de venda, mas poderá ser calculado como um percentual do custo ou do preço de venda. O cálculo do lucro, tendo por base o preço de venda, é importante por ser a base conceitual de remuneração de vendedores comissionados e também de tributos embutidos no preço de venda das mercadorias e dos serviços. O cálculo sobre o preço de custo é necessário quando precisamos saber qual a remuneração (retorno) do capital aplicado no negócio. Observação É muito importante em nossas análises levarmos em consideração, quando falamos em vendas, o lucro e o custo, já que podemos vender tanto um bem de consumo quanto um serviço. A tendência de levarmos em consideração a prestação de serviços cresceu em razão do grande aumento da sua presença na sociedade de consumo. Os conceitos de Matemática Financeira são expressos por meio de fórmulas cujos parâmetros são numéricos e exigem um nível preciso de cálculo. Esses cálculos demandam o uso de uma calculadora precisa, equipada também com teclas para o cálculo de logaritmos, exponenciais e inversos. É importante também que a calculadora possua capacidade de cálculo de, no mínimo, oito dígitos e memória para armazenar os valores intermediários. Especificamente para esse curso, não é necessária uma calculadora financeira, mas, para trabalhar em áreas de finanças, é preciso adquirir uma. A calculadora financeira vem com algumas funções programadas, o que facilita muito os cálculos financeiros. Antes de comprar uma calculadora, o ideal é informar-se com outras pessoas a respeito dos diversos modelos existentes. É importante fazer as escolhas baseando-se em informações suficientes para a tomada de decisão. É preciso, ainda, atentar para o aspecto “precisão dos cálculos”. O uso de uma precisão inadequada poderá levar a conclusões equivocadas. 13 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA Precisão dos cálculos não é um fator intuitivo nas calculadoras eletrônicas; contudo, tem uma influência decisiva na interpretação dos resultados. Como exemplo, combinaremos um esquema básico para resolver esse problema: convencionaremos utilizar os valores financeiros, como moedas, com dois dígitos depois da vírgula, e taxas de juros, para comparação, com quatro dígitos depois da vírgula. Esse esquema de cálculo é rotulado como básico, mas é possível enfrentar situações em que é preciso adotar outros critérios. Para preservar a precisão dos cálculos, nunca se pode copiar os resultados intermediários do visor da calculadora para continuar os cálculos a partir deles. A calculadora pode mostrar os resultados com uma precisão e fazer os cálculos, internamente, com outra precisão. O ideal é guardar os dados do visor na memória da máquina, pois assim a precisão é preservada. Em um caso extremo, pode-se copiar o dado com todos os oito ou doze dígitos da capacidade total da calculadora. Em síntese, de posse do instrumental, devemos analisar de que forma poderemos utilizá-lo. Trabalharemos com dois critérios diferentes de recálculo dos valores, a saber: • juros simples; • juros compostos. 1.1.2 Aplicações É necessário não confundir os conceitos com a operacionalidade das aplicações. O lucro será sempre somado ao custo para se obter o preço de venda, mas a base de cálculo poderá ser o preço de custo ou o preço de venda. Essa opção levará por caminhos diferentes e a resultados diferentes, sendo justificada pelas necessidades de cada um. a) Por quanto devo vender um bem que custou R$ 100,00, se quiser ter um lucro de 15% do preço de custo? A solução desse exercício deve ser montada a partir do conceito/fórmula simples do preço de venda: preço de venda = preço de custo + lucro. Sabendo que o lucro é 15% do preço de custo, explicite esse cálculo na fórmula: V = C + L V = 100 + 0,15 x 100 = R$ 115,00 Repare que a taxa de 15% está na forma decimal: 0,15. • Sugestão de cálculo — Algébrica: 15÷100 x 100 + 100 = 14 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I — RPN (HP12C): 15 ENTER 100 ÷ 100 x 100 + Resposta: devo vender o bem por R$ 115,00, para ter R$ 15,00 de lucro, valor que representa 15% do custo de R$100,00. b) Por quanto devo vender um bem que custou R$ 250,00, se quiser ter um lucro de 25% do preço de venda? Nesse caso, deve-se trabalharaplicando o cálculo da percentagem sobre o preço de venda, que é a incógnita a ser calculada. A equação é montada utilizando a fórmula principal (o cálculo de 25% implica uma multiplicação do valor por 0,25): V = C + L V = 250 + 0,25 . V V – 0,25 . V = 250 0,75 . V = 250 V = 250 ÷ 0,75 = R$ 333,33 Trabalhamos com o preço de venda V como uma incógnita qualquer a ser calculada. Observa-se que, se forem subtraídos 25% de R$ 333,33, a menos da aproximação, volta-se a R$ 250,00, que é o preço de custo. Resposta: devo vender o bem que custou R$ 250,00 por R$ 333,33, para obter um lucro de 25% do preço de venda. c) Quanto paguei por um bem vendido por R$ 500,00, se tive um lucro de 10% do preço de venda? A base de cálculo do lucro, o preço de venda, é R$ 500,00. Basta, então, que seja calculado o lucro, aplicando-se a taxa de 10% sobre o preço de venda e subtraindo-se esse lucro do preço de venda. Aplicando a fórmula básica, temos: V = C + L 500 = C + 0,10.500 C = 500 - 50 = R$ 450,00 Resposta: paguei R$ 450,00 pelo bem que foi vendido por R$ 500,00, tendo R$ 50,00 de lucro, o que representa 10% do preço de venda (R$ 500,00). 15 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA d) Um carro esporte foi comprado por R$ 150.000,00 e revendido por R$ 160.000,00. Calcule o lucro dessa venda como percentual do preço de venda. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: C = 150.000 V = 160.000 A diferença 160.000 - 150.000 = 10.000 será o valor do lucro. Como porcentagem do preço de venda, temos: (10.000 ÷ 160.000) .100 = 6,25%. Esse cálculo da percentagem é justificado pela própria definição: 160.000 100% 10.000 x% Resposta: nessa venda, o lucro foi de 6,25% do valor da venda. e) Uma calculadora financeira custou R$ 500,00 e foi revendida por R$ 600,00. Calcule o lucro dessa operação como percentual do preço de custo da calculadora. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: Custo = 500 Venda = 600 Primeiro, deve-se determinar o valor do lucro (venda menos custo): L = V - C = 600 - 500 = 100 Para finalizar, transforma-se o lucro em percentual do custo: (100 ÷ 500) . 100 = 20% Esse cálculo da percentagem é justificado pela própria definição: 500 100% 100 x% Resposta: nessa venda, o lucro foi de 20% do valor do custo. 16 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I f) Por quanto devo revender um bem pelo qual paguei R$ 420,00, se desejo ter um lucro de 12% do preço de custo? Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: C = 420 L = 12% de 420 Calcule primeiro o valor do lucro: (12 ÷ 100) . 420 = 50,40 O preço de venda é o custo mais o lucro: 420 + 50,40 = R$ 470,40 Resposta: nessas condições, o preço de venda será de R$ 470,40. g) Um bem comprado por R$ 100,00 deve ser revendido por quanto, para que o lucro seja igual a 14% do preço de venda? Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: Custo = 100 Lucro = 14% do preço de venda Monta-se a solução a partir da fórmula V = C + L: V = 100 + (14 ÷ 100) . V V = 100 + 0,14 . V V - 0,14 . V = 100 0,86 . V = 100 V = 100 ÷ 0,86 = R$ 116,28 Resposta: nesse caso, o preço de venda será de R$ 116,28. 17 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA Observação É importante atentar para os cálculos com porcentagem. Da mesma forma que se escreve 100% - 14% = 86%, pode-se escrever 1 - 0,14 = 0,86. Na forma decimal, 100% é representado por 1. h) Uma relojoaria comprou um relógio por R$ 500,00 e quer revendê-lo com um lucro igual à metade do valor de venda. A que preço deverá ser vendido esse relógio? Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: Custo = 500 Lucro = venda/2 Aplicando a fórmula que relaciona custo, venda e lucro, temos: V = C + L V = 500 + V/2 V - V/2 = 500 V/2 = 500 V = 500 . 2 = R$ 1.000,00 Resposta: o relógio deverá ser vendido por R$ 1.000,00. i) Determine o custo de um bem, sabendo que foi vendido por R$ 1.500,00, com um lucro de 30% do preço de venda. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: V = 1500 L = 0,30 . V Nesse caso, pode-se calcular o lucro aplicando seu percentual diretamente sobre o preço de venda. L = 0,30 . 1.500 = 450 18 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I Subtraindo o lucro do preço de venda, tem-se o custo. C = 1.500 - 450 = R$ 1.050,00 Resposta: o bem custou R$ 1.050,00. j) Uma empresa compra um produto por R$ 150,00 e pretende vendê-lo com o lucro de 15% do preço de custo. Calcule o preço de venda que deverá ser praticado por essa empresa. Sabe-se: V = C + L C = 150 L = 15 ÷ 100 x C Podemos substituir os valores, obtendo: V = 150 + 0,15 . 150 = R$ 172,50 Resposta: a empresa deverá vender esse produto por R$ 172,50. k) De maneira geral, os comerciantes preferem trabalhar o cálculo do seu lucro por meio de um percentual do preço de venda da sua mercadoria. Se um livreiro compra um livro por R$ 100,00 e quer obter um lucro igual a 20% do preço de venda, por quanto deverá vendê-lo? Como sabemos: V = C + L C = 100 L = 20/100 . V Podemos substituir os valores, obtendo: V = 100 + 0,20 . V Resolvendo, teremos: V - 0,20 . V = 100 0,8 . V = 100 19 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA Observe que, nessa operação, se de 100% (total), tira-se 20%, fica-se com 80%. V = 100/0,8 = R$ 125,00 Resposta: o livro deverá ser vendido por R$ 125,00. l) Uma empresa que compra e vende suprimentos de informática calcula seu lucro sobre o preço de venda dos produtos. Se essa empresa vende uma impressora por R$ 500,00, com um lucro de 10% desse preço de venda, calcule o custo dessa impressora. Aplicando o conceito de preço de venda, temos: V = C + L 500 = C + 0,10.500 C = 500 - 50 = R$ 450,00 Resposta: essa impressora custou R$ 450,00. m) Um vendedor está na dúvida sobre qual metodologia adotar para o cálculo do lucro de suas vendas. Para resolver esse problema e fazer sua opção, ele resolve efetuar os dois cálculos, para que os resultados orientem sua escolha. Sabendo que seu percentual de lucro será de 10%, faça os cálculos pelos dois critérios e determine o percentual de variação do lucro, do menor para o maior valor. Na solução pelas fórmulas do preço de venda, com um valor de custo estimado de R$ 100,00, podemos estabelecer o valor do custo, porque essa estratégia é aplicada às vendas de maneira geral. Lucro de 10% calculado sobre o preço de custo: V = C + L V = 100 + 0,10.100 V = 100+ 10 = R$ 110,00 Lucro de 10% calculado sobre o preço de venda: V = 100 + 0,10 . V V - 0,10 . V = 100 0,90 . V = 100 V = 100/0,90 V = R$ 111,11 20 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I A variação percentual poderá ser calculada com a relação percentual entre a diferença e o menor valor, cálculo fundamentado pela regra de três: Variação = [(11,11 - 10) ÷ 10] . 100 = 11,10% Observa-se que a solução está trabalhando com a variação do lucro. Resposta: aplicando os 10% de lucro calculado sobre o preço de venda, o vendedor terá um lucro 11,10% maior que aplicando o mesmo percentual sobre o preço de custo. n) Uma loja compra determinado artigo, à vista, por R$ 540,00, e o revende por R$ 594,00, com o percentual de lucro sobre o custo, ou por R$ 600,00, com o lucro calculado sobre o preço de venda. Determine a taxa percentual de lucro, que é a mesma nos dois casos. Podemos resolver montando a fórmula, a partir da definição: 1º caso (custo): [(594 ÷ 540) - 1] . 100 = 10% (porcentagem da diferença). Nesse caso, 594 é 10% maior que 540. 2º caso (venda): denominando x a porcentagem de lucro sobre o preço de venda, temos a relação de cálculo: V = C + x/100 . V V - x/100 . V = C Colocando o fator V em evidência, temos: V . (1 - x/100) = C Substituindo C e V pelos dados do problema: 600 . (1 - x/100) = 540 1 - x/100 = 540 ÷ 600 x/100 = 1 - 540 ÷ 600 x = (1 - 540 ÷ 600) . 100 x = 0,10 . 100 = 10% Resposta: os cálculos, nos dois casos, foram efetuados a 10%. 21 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA o) Um computador é vendido por uma empresa de informática por R$ 5.000,00 à vista. Calcule o preço de custo dessa mercadoria, sabendo que no preço de venda está agregado um lucro de 15% do preço de custo. Dados fornecidos pelo enunciado da questão: V = 5.000 L = 15% do custo Considere a fórmula que relaciona venda, custo e lucro: V = C + L Substituindo os dados do enunciado, temos: 5.000 = C + 0,15 . C 5.000 = 1,15 . C C = 5.000 ÷ 1,15 = R$ 4.347,83 Na fórmula, 15% estão representados por 0,15. Assim, 1 + 0,15 = 1,15. Aumentando 15% em R$ 4.347,83, temos 5.000, pois o preço de venda é o custo mais 15% dele, dentro de um bom fator de precisão. Resposta: o computador custou R$ 4.347,83. Matemática Financeira, como a maioria dos ramos do conhecimento humano, necessita de uma série de conhecimentos básicos e pressupostos, sobre os quais se monta um universo de conceitos e aplicações. Os esquemas de cálculos aprendidos no Ensino Fundamental serão necessários durante o curso e depois dele. O processo de construção do conhecimento é universal: a partir de um alicerce, edifica-se toda a estrutura conceitual que gera aplicações proveitosas. 2 JUROS SIMPLES Temos como objetivos, neste item, identificar as aplicações do critério de juros simples e aplicar as fórmulas adequadas ao seu cálculo, interpretando os resultados obtidos. A modalidade de cálculo de juros denominada simples encontra sua aplicação no cálculo de dívidas de empresas e de países, tendo uma aplicação restrita no caso das dívidas tributárias de 22 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I pessoas físicas. Esse conceito reveste-se de especial importância quando aparece, em algumas situações, agregado ao do juro composto. Muita argumentação enganosa de vendedores é montada sobre maquiagens do juro simples. 2.1 Conceito Segundo o critério de cálculo de juros denominados simples, o juro de todos os períodos da aplicação somente é adicionado ao principal para constituir o montante, ao final da aplicação. Em todos os períodos, o juro é calculado aplicando-se a taxa sobre o principal. Como consequência dessa definição, esse critério também é denominado: • juro não capitalizado; • juro linear; • juro proporcional. Como em todos os períodos, aplicamos a taxa de juros sobre o principal, que não muda; todos eles rendem o mesmo valor de juros, caracterizando uma variação linear. O juro total é diretamente proporcional à taxa de juros e ao número de períodos da aplicação. Essa característica do juro simples facilita os cálculos, reduzindo-os a aplicações de proporções e regras de três imediatas, possibilitando o uso de calculadoras simples. 2.2 Fórmulas • Juro Como cada período renderá juro igual ao principal vezes a taxa de juros, em uma aplicação de n períodos, teremos o juro total igual ao produto do principal, da taxa e do número de períodos. Isso significa que, se dobrarmos a taxa, dobraremos os juros; se triplicarmos o prazo, triplicaremos os juros e assim por diante. J = P . i. n Observação A taxa i e o prazo n deverão estar na mesma unidade de tempo. • Montante Será a soma do principal da aplicação com o seu juro: 23 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA M = P + J M = P + P . i . n Colocando o fator comum P em evidência, teremos: M = P . (1 + i . n) O que está entre parênteses na fórmula (1 + i . n) é denominado FAC = fator de acumulação de capital, e significa o que se recebe de volta, ao final de uma aplicação, por unidade de capital aplicado. Para cada R$ 1,00 aplicado, recebe-se de volta R$ 1,00 mais o juro, i . n, gerado por essa unidade de capital aplicada. Como não se aplica R$ 1,00, basta multiplicar o conteúdo desses parênteses por quanto foi aplicado, e tem-se a soma do capital total aplicado com o juro total que esse capital rendeu na aplicação. Observação Com essas duas fórmulas, podemos efetuar todos os cálculos a juros simples, envolvendo o principal P, o montante M, a taxa de juros unitária i e o prazo em períodos, n. 2.3 Valor atual (A) e Valor nominal (N) Existe, em muitas áreas, uma forte segmentação. Essa característica se acentua quando analisamos a linguagem em função do trabalho que o profissional realiza. O profissional assimila vocábulos e expressões próprias da área. Depois de algum tempo na área financeira, o profissional adquire um vocabulário característico das operações que realiza no dia a dia, como se fosse uma gíria. Profissionais que atuam na área de investimentos utilizam as expressões ”montante” e ”principal”, ou ”capital”, palavras ligadas ao seu trabalho de aplicação dos capitais. Profissionais das áreas de financiamento e pagamento preferem os vocábulos ”atual” e ”nominal”, denominações das grandezas com que operam diariamente. Definimos o atual como um valor da dívida em uma data antes do vencimento, e o nominal, como seu valor na própria data de vencimento. O nominal está associado a uma ideia de valor futuro, de montante do valor atual correspondente, no prazo de antecipação do pagamento da dívida. Reforçando os conceitos, podemos afirmar que o valor nominal de uma dívida é o seu valor na data de vencimento, o valor atual é o seu valor antes da data devencimento. O valor nominal é o montante de cada um dos valores atuais da dívida. É importante destacar que uma dívida tem uma única data de vencimento e, portanto, um único valor nominal. Essa mesma dívida poderá apresentar muitos valores atuais, pois costuma ser grande o número de datas entre o dia do pagamento antecipado e o dia do vencimento. 24 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I Operacionalmente, podemos escrever: N = A . (1 + i . n) ou A = N/(1 + i . n) Percebe-se que a fórmula do valor nominal é análoga à do montante. Essa comparação faz sentido, pois, como o montante, o valor nominal compreende o principal mais os juros. 2.4 Juro exato e juro comercial De acordo com a contagem do prazo em anos, teremos: • juro exato, para anos contados dia a dia, totalizando 365 dias; esse critério de contagem dos dias é aplicado em operações de curto prazo, como descontos de duplicatas e de cheques. • juro comercial, para meses de trinta dias, perfazendo um ano de 360 dias; aplicado em situações que envolvem o consumidor final, como a caderneta de poupança. 2.5 Equivalência de taxas 2.5.1 Conceito Duas taxas de juros diferentes, referentes a unidades de tempo diversas, serão equivalentes quando, a partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo montante. Nesse caso, a equivalência é caracterizada por resultados iguais. 2.5.2 Fórmula Como exemplo, escolheremos uma aplicação para desenvolver a fórmula de cálculo das taxas equivalentes. Focalizando um caso prático, calculemos a equivalência entre uma taxa anual e outra mensal. A questão prática tem a seguinte estrutura: determine as taxas de juros anual e mensal equivalentes, segundo o critério de cálculo do juro simples. Para o desenvolvimento dessa fórmula, trabalharemos com a seguinte nomenclatura: • ia = taxa de juros unitária anual • im = taxa de juros unitária mensal • número de períodos: um ano, para a taxa anual, ou doze meses, para a taxa mensal. M = P . (1 + ia) e M = P . (1 + im . 12) Como os montantes e os principais são iguais, teremos: 1 + ia = 1 + im . 12, portanto: ia = 12 . im 25 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA Chegamos, portanto, à conclusão de que, como no juro simples, as taxas são proporcionais aos períodos, e os cálculos das taxas equivalentes são efetuados por meio de simples proporcionalidades (regras de três). Em linguagem simples, podemos dizer que, se o ano tem doze meses, a taxa anual é doze vezes sua mensal equivalente. 2.6 Aplicações a) Calcule o montante de um capital de R$ 500,00, aplicado a juros simples de 5% ao mês, durante quinze meses. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: P = 500 i = 5/100 n = 15 Como a taxa de juros e o prazo estão na mesma unidade de tempo, aplicamos esses dados diretamente na fórmula do montante: M = P . (1 + in) M = 500 . (1 + 5 ÷ 100 . 15) M = R$ 875,00 • Sugestão de cálculo — Algébrica: 5 ÷ 100 x 15 + 1 = x 500 — RPN (HP12C): 5 ENTER 100 ÷ 15 x 1 + 500 x Resposta: o montante será de R$ 875,00. Durante os cálculos, é importante seguir as regras operacionais aprendidas no Ensino Fundamental. b) Que principal devo aplicar por dois anos para obter R$ 670,00 de montante, à taxa de juros simples de 5% ao mês? 26 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I Para efetuar as operações de cálculo, o prazo e a taxa de juros deverão estar na mesma unidade de tempo. Utilizam-se 24 meses para o prazo, uma vez que a taxa de juros é mensal. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: M = 670 i = 5/100 n = 2 anos ou 24 meses Como o problema pede o principal e fornece todos os dados, devemos substituí-los diretamente na fórmula do montante, que representa a relação entre os dados. M = P . (1 + in) 670 = P . (1 + 5 ÷ 100 . 24) 670 = P . 2,20 P = 670/2,20 P = R$ 304,55 Resposta: o principal será de R$ 304,55. c) A que taxa de juro simples mensal devo aplicar um principal de R$ 1.000,00 para obter R$ 1.800,00 de montante em um ano e meio? Como o problema solicita a taxa de juros mensal, o prazo é de 18 meses. A taxa de juros não é uma fórmula fundamental; portanto, transforme a do montante ou do juro para seu cálculo. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: P = 1.000 M = 1.800 Prazo: 1,5 ano ou 18 meses Fórmula do montante: 27 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA M = P . (1 + in) 1.800 = 1.000 . (1 + i . 18) 1.800/1.000 = 1 + i . 18 I . 18 = 1,8 - 1 i = 0,8 ÷ 18 i = 0,044444 ao mês ou taxa = 4,44% a.m. Fórmula do juro simples: j = M - P = 1.800 – 1.000 = 800 J = P . i . n 800 = 1.000 .i . 18 i = 800/(1.000 . 18) = 0,0444 100 . i = 100 . 0,0444 = 4,44% a.m. ou taxa = 4,44% a.m. Resposta: a taxa mensal será de 4,44%. d) Em quanto tempo dobra um capital qualquer aplicado a juros simples de 5% ao mês? Dê a resposta em anos e meses. Para a solução de um problema aplicado a um capital qualquer, pode-se arbitrar um valor para o capital, pois, se a condição do problema vale para qualquer capital, valerá também para o escolhido. Na maioria das vezes, a escolha de um capital igual a R$ 100,00 facilita bastante o seu cálculo. A solução também poderá ser encontrada representando o principal por P e o seu dobro por 2P. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: i = 5/100 Montante é o dobro do principal. A resposta deverá ser calculada substituindo os dados do problema na fórmula: Solução literal: principal = P e montante = 2P M = P . (1 + in) 2P = P . (1 + 5 ÷ 100 . n) 28 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I Simplificando o fator P, temos: 2 = 1 + 0,05 . n 2 - 1 = 0,05 . n n = 1 ÷ 0,05 n = 20 meses Solução com o valor arbitrário: estabelecemos um valor qualquer para o principal (R$ 100,00, por exemplo). P = 100 2P = 200 Substituindo na fórmula do montante, temos: 200 = 100 . (1 + 5 ÷ 100 . n) Simplificando: 2 = 1 + 0,05 . n n = (2 - 1)/0,05 n = 20 meses Resposta: o prazo será de um ano e oito meses. e) Determine a taxa de juros simples a que ficou aplicado um capital durante dez meses para render de juros a metade do seu valor. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: Juro é a metade do principal n = 10 Como está no enunciado um principal não especificado, podemos concluir que vale para qualquer principal. Para facilitar os cálculos, estipula-se um principal de R$ 100,00. P = 100 J = 100 ÷ 2 = 50 29 Re vi sã o: J ul ia na - Dia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA Aplicando a fórmula do juro, temos: J = P . i . n 50 = 100 . i . 10 50 = 1.000 . i i = 50 ÷ 1000 = 0,05 ao mês ou 5% a.m. Resposta: a taxa de juros simples dessa aplicação será de 5% ao mês. f) Em quanto tempo deverá um principal qualquer render de juros 30% do seu valor, aplicado a juros simples de 3% ao mês? Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: P = qualquer J = 30% do principal i = 3/100 Como um dos tipos de solução, podemos arbitrar um valor de R$ 100,00 para o principal, pois o enunciado da questão afirma ser um capital qualquer. P = 100 J = 30% de 100 = 30 Aplicando a fórmula do juro simples, temos: J = P . i . n 30 = 100 . 0,03 . n 30 = 3 . n N = 30/3 = 10 meses A solução dessa questão também poderá ocorrer por meio de taxas percentuais: Como o juro simples é proporcional à taxa e ao prazo, podemos afirmar que necessitaremos de dez meses de prazo para chegar a 30%, adicionando a taxa de 3 em 3 unidades. Essa solução também é uma regra de três. 30 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I 3% 1 mês 30% x meses Calculando: x = (30.1)/3 = 10 meses Resposta: nessas condições do problema, o prazo será de 10 meses. g) Uma aplicação calculada segundo o critério do juro exato (ano de 365 dias) rendeu R$ 500,00 de juros simples. Calcule quanto renderia de juros a mesma aplicação, utilizando o critério do juro comercial (ano de 360 dias). Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: J = 500 em ano de 365 dias J = ? em ano de 360 dias Monte as fórmulas para cálculo do juro simples nos dois casos: Je = P . i . n/365 = 500 (juro exato) Jc = P . i . n/360 (juro comercial) Isolando o valor de P . i . n, que é o mesmo nas duas equações, temos: P . i . n = Je . 365 Substituindo Je = 500, temos P . i . n = 500 . 365 = 182.500 P . i . n = Jc . 360 Substituindo na segunda equação o valor encontrado para P . i . n, na primeira, você terá: 182.500 = Jc . 360 Portanto: Jc = 182.500/360 = R$ 506,94 Resposta: utilizando o critério do juro comercial: J = R$ 506,94. h) Um principal de R$ 1.150,00 rende, apenas de juros, a cada mês, R$ 230,00. Calcule em quanto tempo o montante dessa aplicação atingirá R$ 3.450,00. 31 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: P = 1.150 J = 230 por mês M = 3.450 Como primeiro passo, devemos calcular o total de juros subtraindo do montante o principal aplicado. J = 3.450 - 1.150 = 2.300 O número de períodos será, então: 2.300/230 = 10 meses. Se a aplicação rende 230 de juros a cada mês, vai demorar 10 meses para chegar a 2.300. Resposta: o prazo da aplicação será de 10 meses. i) Um título de valor nominal de R$ 20.000,00 vence daqui a dois anos. Calcule seu valor atual daqui a um ano, a juros simples de 5% ao mês. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: N = R$ 20.000,00 i = 5% ao mês Como o valor nominal valerá daqui a dois anos, daqui a um ano ainda faltará um ano para seu vencimento. Sendo cada valor atual o principal do valor nominal único, podemos aplicar a fórmula do valor nominal, que é equivalente à fórmula do montante simples. Deve-se transformar o prazo para meses, para adequar-se à unidade da taxa, que é mensal. M = P . (1 + i . n) 20.000 = P . (1 + 0,05 . 12) 20.000 = P . 1,6 P = 20.000/1,6 P = R$ 12.500,00 32 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I Resposta: o valor atual do título daqui a um ano será de R$ 12.500,00. j) Calcule o prazo de vencimento de um título cujo valor atual é um terço do nominal correspondente, sabendo que a taxa de juros simples é de 4% ao mês. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: Valor atual é um terço do nominal i = 4/100 Como esse problema trata de valores quaisquer, podemos arbitrar R$ 150,00 para o nominal e R$ 50,00 para o atual. Aplicando a fórmula do valor nominal, temos: N = A . (1 + i . n) 150 = 50 . (1 + 0,04 . n) 150/50 = 1 + 0,04 . n 0,04 . n = 3 - 1 N = 2/0,04 = 50 meses Resposta: o prazo de vencimento do título será de 50 meses. k) Um veículo com valor à vista de R$ 100.000,00 foi pago por 30% do seu valor à vista como entrada, mais um único pagamento de R$ 90.000,00, seis meses depois da compra. Determine a taxa de juros simples anual desse financiamento. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: À vista: 100.000 n = 6 N = 90.000 Calcule primeiro o valor da entrada: 0,30 . 100.000 = 30.000 33 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA Subtraindo a entrada do valor à vista, temos o valor financiado: 100.000 - 30.000 = 70.000 Concluímos, portanto, que a dívida de 70.000 será quitada por 90.000, seis meses depois, pagando 20.000 de juros. Aplicando a fórmula do juro simples, calcule a taxa de juros: J = P . i . n 20.000 = 70.000 . i . 6 i = 20.000/(70.000 . 6)= 0,0476 ao mês ou 4,76% a.m. Multiplicando essa taxa mensal por 12, chegamos à anual pedida: 12 . 4,76 = 57,14% a.a. Resposta: a taxa de juros simples anual do financiamento foi de 57,14% a.a. l) Uma factoring, tipo de empresa que comercializa capitais junto às empresas, não fornece a taxa de juros com que faz seus cálculos. Sabendo que uma construtora financia R$ 1.000,00 para pagar R$ 1.800,00 depois de um ano e meio, calcule a taxa mensal de juros simples praticada pela financeira. Como o enunciado nos fornece o principal e o montante simples, podemos efetuar os cálculos usando a fórmula do juro simples, calculado como a diferença entre o montante e o principal. É preciso transformar o prazo de um ano e meio em dezoito meses, pois a questão pede a taxa mensal. J = P . i . n 1.800 - 1.000 = 1.000 . i . 18 800 = 18.000 . i i = 800/18.000 = 0,04444 ao mês, ou 4,44% a.m. Resposta: a taxa de juros simples praticada pela financeira é de 4,44% a.m. m) A propaganda de uma financeira promete dobrar o capital dos seus clientes. Sabendo que, em uma das modalidades de aplicação, a financeira opera à taxa de juros simples de 5% ao mês, calcule em quanto tempo o capital aplicado deverá dobrar. Podemos resolver essa questão estipulando um valor arbitrário para o principal, ou montando uma equação literal baseada na relação entre principal e montante. 34 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/20 18 Unidade I Vamos resolver com a equação literal: M = P . (1 + in) 2P = P . (1+ 5/100 . n) 2 = 1 + 0,05 . n 2 - 1 = 0,05 . n n = 1/0,05 n = 20 meses Resposta: o capital deverá dobrar em 20 meses. n) Uma aplicação a juros simples rende de juros vinte por cento do seu principal em cinco meses. Calcule a taxa de juros simples anual a que esse capital foi aplicado. Como se trata de um capital qualquer, podemos arbitrar um principal de R$ 100,00. Esse principal renderá de juros simples R$ 20,00, que é 20% do principal. Aplicando a fórmula de juros simples, temos: J = P . i . n 20 = 100 . i . 5 20 = 500 . i i = 20/500= 0,040 ao mês, ou 4% a.m. Como o problema quer a taxa anual, temos: 12 . 4 = 48% a.a. Resposta: a taxa de juros simples anual será de 48%. o) Uma loja efetua suas vendas com pagamento em cheque para noventa dias. Se o cliente quiser pagar à vista, ganhará um desconto de 12%. Sabendo que o valor à vista poderá ser financiado por uma financeira que cobra juros simples à taxa de 3,5% ao mês, determine qual a melhor opção para o comprador, justificando sua escolha por meio dos cálculos correspondentes. 35 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA Solução: 1º passo: cálculo da taxa embutida no desconto da loja. Supondo uma compra de R$ 100,00, um desconto de 12% equivaleria a R$ 12,00, com um valor líquido de R$ 88,00. 2º passo: aplicando a fórmula da taxa efetiva, teremos: if = d/Vd . n if = [12/(88 . 3)] . 100 = 4,55% a.m. Essa é a taxa que a loja estaria cobrando, no cheque, para 90 dias. Resposta: é melhor para o comprador usar a financeira, que cobra uma taxa menor do que a que está embutida no desconto da loja. p) Um jovem deseja comprar uma bicicleta, mas tem apenas metade do valor. Procurando uma financeira para aplicar seu capital com o objetivo de dobrá-lo, verifica que as taxas de remuneração das aplicações variam muito. Calcule que taxa de juros simples o futuro ciclista deverá escolher, sabendo que pretende fazer a compra depois de dez meses. Na solução com a fórmula de juro simples, estima-se um valor de R$ 100,00 para o preço da bicicleta, uma vez que esse preço não é determinado, e sabendo que o ciclista tem apenas a metade desse valor, temos: J = P . i . n 50 = 50 . i . 10 i = (50/50 . 10) = 0,1 ao mês i . 100 = 10% a.m. Resposta: se o ciclista escolher a financeira que paga juros simples de 5% ao mês, dobrará seu capital em dez meses e poderá comprar sua bicicleta, caso o preço não aumente. q) Um investidor agressivo compra ações na Bolsa aplicando R$ 100.000,00. Depois de certo tempo, esse investidor vende essas ações e apura R$ 150.000,00. Sabendo que essas ações tiveram um rendimento médio, calculado a juros simples de 5% ao mês, calcule o prazo dessa operação. Solução utilizando a fórmula do juro simples: Se o investidor aplicou R$ 100.000 e recebeu R$ 150.000, obteve um lucro de R$ 50.000 a uma taxa de 5% ao mês. 36 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I J = P . i . n 50.000 = 100.000 . 0,05 . n 50.000 = 5.000 . n n = 50.000/5.000 n = 10 meses Resposta: o prazo dessa aplicação foi de 10 meses. r) Um veículo custa, à vista, R$ 30.000,00. Sabendo que ele foi pago quatro meses depois da compra com um único pagamento e que, só de juros, tinha R$ 7.500,00, calcule a taxa de juros simples mensal usada na correção desse preço. Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: P = 30.000 n = 4 J = 7.500 Para cálculo da taxa de juros, podemos usar a fórmula do juro simples. J = P . i . n 7.500 = 30.000 . i . 4 7.500 = 120.000 . i i = 7.500/120.000 i = 0,0625 a.m., ou 6,25% a.m. Resposta: a taxa de juros simples mensal será de 6,25% a.m. s) Um estudante aplica R$ 500,00 de sua verba em uma financeira que paga juros simples de 15% ao ano. Calcule o montante recebido pelo estudante ao final de cem dias, sabendo que o cálculo foi feito a juro exato. Dados do enunciado: P = 500 i = 0,15 n = 100 37 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA Devemos transformar a taxa anual em diária, usando o critério do juro exato: ano de 365 dias. Podemos calcular diretamente utilizando a fórmula do montante: M = P . (1 + i . n) M = 500 . [1 + (0,15/365) . 100] M = R$ 520,55 Resposta: o estudante recebeu R$ 520,55 ao fim de 100 dias de aplicação. t) Uma loja financia suas vendas acrescentando 20% ao preço à vista da mercadoria e dividindo o preço assim obtido em dois pagamentos iguais, um pagamento como entrada e outro para sessenta dias depois da compra. Calcule a taxa de juros mensal praticada por essa loja. Como esse esquema de vendas proposto pela questão serve para qualquer valor, podemos supor uma compra no valor de R$ 100,00. Acrescentando 20%, temos R$ 120,00, que, divididos em dois pagamentos iguais, gerarão uma entrada de R$ 60,00 no ato da compra e outro pagamento igual ao final de dois meses. O valor gasto será, portanto, o correspondente aos R$ 60,00 da entrada mais os outros R$ 60,00 na data da compra, sem os juros. Aplicando a fórmula do valor atual, o segundo valor vai voltar dois meses à taxa i: 100 = 60 + 60/(1 + 2 . i) 100 - 60 = 60/(1 + 2 . i) 40 = 60/(1 + 2 . i) 1 + 2 . i = 60/40 1 + 2 . i = 1,5 2 . i = 1,5 - 1 2 . i = 0,5 i = 0,5/2 i = 0,25 100 . i = 25% Essa questão expõe um fator interessante do cálculo do juro. Devemos considerar a taxa de juros e o esquema de cálculo em que ela é usada. Não podemos, também, fazer contas com pagamentos que não estejam na mesma data. Resposta: a taxa praticada por essa loja é de 25% a.m.. 38 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I u) Uma instituição financeira remunera as aplicações de seus clientes à taxa de juros simples de 2% ao mês. Calcule a taxa real que um cliente recebe deixando seu capital aplicado por dez meses. Sabe-se que, nesse caso, incide um imposto de 10% sobre o valor dos juros auferidos. Como não se especificou o valor aplicado, podemos supor que esse esquema vale para qualquer capital. Para facilitar nossos cálculos, vamos supor um capital de R$ 100,00. Cálculo do juro simples: J = P . i . n J = 100 . 0,02 . 10 = R$ 20,00 Cálculo do imposto: Imp. = 0,10 . 20 = R$ 2,00 Cálculo do valor líquido auferido: Vl = 20 - 2 = R$ 18,00 Tendo aplicado 100 e recebido 18, o rendimento foi de 18%. Como a aplicação foi a juros simples por dez meses, temos: 18/10 = 1,8% ao mês Resposta: a taxa de juros simples líquida recebida foi de 1,8% a.m. v) Calcule o valor dos juros que um capital de R$ 15.000,00 rende aplicado a juros simples de 30% a.a., em três anos e quatro meses. A melhor opção será transformar o prazo e a taxa de juros para meses: a taxa de 30% a.a. pode ser substituída por 0,30/12 ao mês. O prazo detrês anos e quatro meses corresponde a 40 meses. Aplicando a fórmula do juro simples, temos: J = P . i . n J = 15.000 . (0,30/12) . 40 J = R$ 15.000,00 39 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA Por coincidência, o valor do juro é igual ao do capital aplicado. Resposta: o juro auferido será de R$ 15.000,00. Observação As simplificações não podem ser generalizadas arbitrariamente. Podemos utilizar a proporcionalidade para os cálculos de juros simples, em razão das suas características. Não se pode usar proporcionalidade para o cálculo do juro composto. Uma das dificuldades iniciais do aluno de Matemática Financeira é descobrir, em cada tipo de questão, qual fórmula aplicar. Uma sugestão importante é escolher a fórmula que relacione os dados do enunciado com a incógnita cujo cálculo está sendo pedido. As dúvidas irão desaparecendo à medida que se for praticando a solução de exercícios; depois de algum tempo, essa escolha é feita naturalmente. Em síntese, este tópico demonstrou que, apesar de seu pouco uso, é um critério lógico e justo de cálculo intuitivo. Por esse critério, as variações são lineares, e os cálculos deverão ser efetuados por recursos simples das regras de três e das proporções. Trata-se de um critério importante, com grande aplicação no cálculo das dívidas de países, grandes empresas e de dívidas tributárias. É preciso, ainda, tomar cuidado com pequenas armadilhas da capitalização nos cálculos com períodos intermediários. Lembrete A taxa percentual é cem vezes a taxa unitária correspondente. 3 DESCONTO SIMPLES Temos como objetivos, neste tópico, identificar uma operação de desconto simples, reconhecer seu critério e efetuar os cálculos utilizando suas fórmulas. Buscamos, também, o desenvolvimento de competência para caracterizar como descontos vários tipos de operações financeiras, na maioria das vezes, rotuladas como financiamentos. É importante lembrar que o desconto é denominado simples porque é calculado segundo o critério de juros simples. A importância dessa operação reside em sua aplicação no dia a dia da maioria das empresas, nas quais a operação de desconto é responsável pelo capital de giro, sem o qual a empresa não conseguiria subsistir. A aplicação desse conceito, denominado operação de desconto, tem posição de destaque na 40 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I estrutura das empresas modernas, que, geralmente, possuem um departamento dedicado apenas a essa área, em que a aplicação passou a ser denominada de operação de desconto. 3.1 Conceitos básicos • Desconto (D) É o abatimento dado no valor nominal de uma dívida como consequência da antecipação da sua data de pagamento. Pagando a dívida antes do vencimento, há um desconto. Muitas escolas estão usando esse critério para o pagamento das mensalidades. • Prazo de antecipação (n) É a medida do tempo que vai da data de pagamento efetivo até a data de vencimento. Ao contrário da aplicação em que a contagem do prazo está focada na origem, aqui o prazo está focado na data de vencimento. Fique atento: o prazo do desconto é quanto tempo falta para vencer, a partir da data de pagamento antecipado. • Valor descontado ou líquido (VD) É o valor efetivamente pago ou recebido após o abatimento do desconto. O valor descontado com o valor do desconto é o abatimento. É importante também diferenciar esse desconto daquele que pedimos toda vez que compramos algo à vista. O desconto financeiro tem fundamentação teórica e critérios de cálculo. • Taxa de desconto É a taxa de juros comum das aplicações, agora utilizada nas operações de desconto. Os descontos podem ser calculados de acordo com dois critérios distintos: um deles é o cálculo tomando-se por base o valor atual da dívida na data do seu pagamento antecipado, e o outro é baseado em seu valor nominal. Qualquer que seja seu critério de cálculo, o desconto sempre será subtraído do valor nominal da dívida. 3.2 Desconto simples racional ou “por dentro” A argumentação em defesa desse critério de desconto calculado, tendo-se por base o valor atual da dívida na data de pagamento antecipado, é consistente, alegando que o prazo não transcorreu todo e, portanto, não podemos nos basear no valor “cheio” da dívida para o cálculo do desconto. Os defensores desse critério insistem no argumento de que não devemos pagar juros sobre um prazo não transcorrido. Essa denominação “por dentro” decorre do fato de o desconto ser calculado em função do valor atual, que é um valor interno do fluxo de caixa da dívida. 41 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 MATEMÁTICA FINANCEIRA 3.2.1 Definição Segundo o critério racional ou “por dentro”, o desconto simples é calculado como o juro simples do valor atual da dívida na data da antecipação, pelo prazo de antecipação da data de pagamento, ou seja, o desconto é o juro que seria obtido na aplicação do valor atual da dívida da data de pagamento antecipado até a data do vencimento original, à taxa de desconto. 3.2.2 Fórmulas • Desconto De acordo com a definição, teremos: D = A . i . n, onde A é o valor atual da dívida na data do seu pagamento antecipado, i é a taxa unitária de desconto e n é o tempo que falta para o vencimento, contado a partir da data de pagamento. Substituindo o valor atual (A) da dívida por sua fórmula, teremos: D Nin in 1 • Valor descontado racional ou valor líquido racional Por sua definição, o valor descontado racional será a diferença entre o valor nominal e o desconto racional. Portanto, VD = N - D Substituindo suas fórmulas, teremos: VD = N - N . i . n/(1 + i . n), que, por simplificação, transformar-se-á em: V N inD 1 Lembrete O valor descontado, ou valor líquido, é o valor efetivamente pago ou recebido pela dívida, depois de abatido o desconto. 3.2.3 Aplicações a) Calcule o desconto simples racional de um título com valor nominal de R$ 1.000,00, em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês. 42 Re vi sã o: J ul ia na - D ia gr am aç ão : F ab io - 2 7/ 06 /2 01 3 // R ed im en si on am en to : A m an da - D ia gr am aç ão : M ár ci o - 09 /0 2/ 20 18 Unidade I Os dados fornecidos pelo enunciado da questão são: N = 1.000 n = 3 meses i = 4/100 Podemos começar essa solução pela fórmula do desconto simples racional: D Nin in 1 Substituindo os valores: D 1000 4 100 3 1 4 100 3 . . . D = R$ 107,14 • Sugestão de cálculo — Algébrica: 1000 x 4 x 3 ÷ 100 ÷ (4 x 3 ÷ 100 + 1) = — RPN (HP12C): 1000 ENTER 4 x 3 x 100 ÷ 4 ENTER 3 x 100 ÷ 1 + ÷ Podem-se fazer separadamente os cálculos do numerador e do denominador e depois dividi-los. Resposta: o desconto será de R$ 107,14. b) Um título com valor nominal de R$ 245,00 foi descontado em uma antecipação de quatro meses, sendo beneficiado com um desconto simples racional de R$ 35,00. Determine a taxa de desconto utilizada