Lista de exercícios - resistência dos materiais, tensão de cisalhamento

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UNESP – Campus de Bauru 
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Resistência dos Materiais I 
Lista 3 – Tensões e Deformações provocadas por esforços tangenciais 
Assunto: cálculo de tensões e deformações proporcionadas por esforços de corte em 
estruturas de barras. Problemas de verificação e dimensionamento. Ligações parafusadas e 
soldadas. 
 
1) Uma plataforma construída a partir de duas placas de aço fixadas a um 
elastômero de cloroprene (uma borracha artificial) é submetida a um ensaio 
em laboratório para avaliação do módulo de elasticidade transversal e 
longitudinal do cloroprene. Para sua avaliação, aplica-se uma força cortante de 
500 N na placa superior. Para essa força, observou-se que a placa superior 
deslocou-se 1/56 mm na mesma direção e sentido da força aplicada. Admitindo 
que o coeficiente de Poisson do cloroprene seja 0,4, determine o valor dos 
módulos de elasticidade longitudinal e transversal do material. [Resposta: G = 
80 MPa; E = 224 MPa]. 
 
 
2) Uma junta entre duas lajes de concreto A e B é preenchida com epóxi flexível 
para fixação do concreto. Mediante a ação de forças cortantes V, as lajes 
deslocam-se verticalmente a uma distância d = 0,048 mm uma da outra. Pede-
se: a) a distorção angular da junta; b) a força cortante V que solicita a junta das 
lajes. Dados: h = 100 mm; L = 1 m; t = 12 mm; G = 960 MPa. [Resposta:  = 
0,004 rad; V = 384 kN]. 
 
V
2 cm
7 cm
10 cm
cloroprene
3) Uma carga P é aplicada a uma barra de aço suportada por uma chapa de 
alumínio na qual foi feita um furo de 12 mm conforme mostra a figura. A parte 
superior da barra de aço tem 40 mm de diâmetro e está em contato com a 
chapa de alumínio de modo que não há atrito entre as superfícies. Sabendo 
que a tensão de cisalhamento não deve exceder 180 MPa no aço e 70 MPa na 
chapa de alumínio, determine a máxima carga que pode ser aplicada à barra. 
[Resposta: P = 67,8 kN]. 
 
 
4) Duas pranchas de madeira, cada uma com 12 mm de espessura e 225 mm de 
largura, são unidas pela junta de encaixe mostrada na figura. Sabendo que a 
madeira utilizada rompe por cisalhamento ao longo das fibras quando a tensão 
média atinge 8 MPa, determine a intensidade da carga P que romperá a junta, 
admitindo que a distribuição de tensões normais é uniforme ao longo das 
pranchas de madeira. [Resposta: P = 9,2 kN]. 
 
 
5) Para a viga bi-apoiada mostrada na figura, desprezando-se o peso-próprio e a 
possibilidade de flexão nos apoios, pede-se: a) para p = 300 kgf/m, dimensionar 
a geometria h e d dos apoios, adotando os menores valores inteiros em 
milímetros; b) para h = 5,0 cm e d = 3,0 cm, obter a máxima carga p admissível 
para que não haja nenhum tipo de falha nos apoios. Dados: 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 100 𝑀𝑃𝑎, 
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 80 𝑀𝑃𝑎, 𝛾𝑎𝑑𝑚 = 5,8 × 10
−2𝑟𝑎𝑑, 𝐺𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 = 1120 𝑀𝑃𝑎. Todos os 
dados e a S.T. referem-se aos apoios. [Resposta: a) h = 12 mm; d = 8 mm; b) 
pmax = 1200 kgf/m]. 
 
 
 
6) Duas partes de um elemento estrutural AB estão coladas ao longo de um plano 
formando um ângulo 𝜃 com a horizontal. Considerando que as tensões de 
ruptura à tração e ao cisalhamento da junta colada são, respectivamente, 17,2 
MPa e 9 MPa, pede-se: a) a inclinação 𝜃 que otimiza a segurança da ligação; b) 
para a inclinação obtida no item anterior, o coeficiente de segurança da 
ligação. [Resposta: a) 𝜽 = 𝟐𝟕, 𝟔𝟐𝒐; b) 𝜸 = 𝟒, 𝟐𝟏]. 
 
 
7) Uma chapa de aço solicitada por uma carga P de tração está presa a dois pinos 
de seção transversal quadrada, conforme mostra a figura. Admitindo a = 5,0 cm 
e t = 2,0 cm e desprezando-se os pesos próprios e os efeitos de flexão nos pinos 
pede-se: a) para P = 150 kN, determine os valores máximos das tensões de 
tração, de compressão (esmagamento) e de cisalhamento atuantes no sistema; 
b) a máxima carga admissível P que se pode aplicar no sistema considerando 
𝜎𝑡 = 120 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑐 = 240 𝑀𝑃𝑎 e 𝜏𝑎𝑑𝑚 = 90 𝑀𝑃𝑎; c) para a carga máxima 
admissível P obtida no item anterior, calcule a distorção angular dos pinos 
admitindo 𝐸𝑝𝑖𝑛𝑜 = 210000 𝑀𝑃𝑎 e 𝜈 = 0,3. [Resposta: a) max = 30 MPa; c,max 
= 75 MPa; t,max = 50 MPa; b) Pmax = 360 kN; c) pino = 8,91×10
-4]. 
 
p
S.T.
h
2 cm
d d
L = 10 m
a
2a
t
3a
 
8) O cilindro hidráulico CE, que controla a posição da barra BD foi bloqueado na 
posição mostrada na figura. A barra BD tem 15 mm de espessura (medida fora 
do plano da figura) e está conectada à haste vertical por um parafuso metálico 
de diâmetro de 9 mm em C. Sabendo que P = 2,0 kN e  = 75o, determine: a) a 
tensão de cisalhamento média no parafuso em C; b) a tensão de esmagamento 
em C na barra BD. [Resposta: a) p = 94,1 MPa; b) esm = 44,3 MPa]. 
 
9) Considere a mesma figura e os dados do exercício anterior. A barra AB tem 
seção transversal retangular uniforme de 12 (espessura) x 25 (altura) mm e é 
conectada à barra BD por meio de um pino de 8 mm de diâmetro. Sabendo que 
a tensão de cisalhamento admissível nos pinos é de 140 MPa e a tensão normal 
admissível nas barras é de 100 MPa, determine: a) a máxima força P aplicada 
no ponto D quando  = 60o; b) a tensão normal na barra AB para a força P 
escolhida anteriormente. [Resposta: a) Pmax = 3,11 kN; b) AB = 21,23 MPa]. 
 
 
10) Para a ligação mostrada abaixo, determine a máxima carga P admissível que 
pode ser aplicada na ligação. Dados: b = 80 mm; d = 8 mm; 𝜎𝑡 = 120 𝑀𝑃𝑎; 
𝜏𝑎𝑑𝑚 = 100 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑐 = 240 𝑀𝑃𝑎. [Resposta: Pmax = 25,1 kN]. 
 
 
P

20o
100
175
200
45
A
B C
E
D
(mm)
P P
P
P
15 mm
6 mm
b
d
11) Considerando a ligação dada abaixo, determine: a) o comprimento L para que a 
falha por esmagamento da chapa ocorra simultaneamente ao cisalhamento da 
chapa; b) a largura b para que a falha por esmagamento da chapa ocorra 
simultaneamente à ruptura por tração da seção enfraquecida. [Resposta: a) 
𝑳 =
𝒅
𝟐
(
𝝈𝒄
𝝉
+ 𝟏); b) 𝒃 = 𝟑𝒅 (
𝝈𝒄
𝝈𝒕
+ 𝟏)]. 
 
 
12) Para a configuração de ligação mostrada na figura, determine a carga máxima 
admissível que pode ser aplicada. Dados: 𝜎𝑟𝑢𝑝 = 5200 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚
2; 𝜏𝑟𝑢𝑝 =
4500 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚2; 𝜎𝑟𝑢𝑝−𝑒𝑠𝑚 = 8700 𝑘𝑔𝑓/𝑐𝑚
2. Adote coeficiente de segurança 
de 2 para a tração na chapa, 3 para o cisalhamento dos pinos e 4 para o 
esmagamento da chapa atrás dos pinos. [Resposta: Pmax = 5220 kgf]. 
 
 
13) A ligação ilustrada na figura abaixo mostra duas chapas centrais parafusadas a 
duas cobrejuntas formando o esquema de transferência do esforço de tração. 
Determine: a) o diâmetro dos parafusos para que a ligação resista ao 
cisalhamento nos parafusos e ao esmagamento nos furos; b) as larguras b1 e b2 
para que as chapas e as cobrejuntas resistam à ruptura transversal por tração. 
Dados: 𝜎𝑟𝑢𝑝 = 1,1 𝑡𝑓/𝑐𝑚
2; 𝜏𝑟𝑢𝑝 = 0,9 𝑡𝑓/𝑐𝑚
2; 𝜎𝑒𝑠𝑚 = 2,2 𝑡𝑓/𝑐𝑚
2; 
𝑃 = 20 𝑡𝑓; 𝑡1 = 1,5 𝑐𝑚; 𝑡2 = 0,9 𝑐𝑚. [Resposta: a) dmin = 17 mm; b) b1 = 180 
mm; b2 = 160 mm]. 
P P
P
P
e
e
L
d
L
P/2P
P
P/2
0.6
0.8
P/2
0.8
25 20
(cm)
1.0
 
 
14) Para a ligação parafusada entre três chapas mostrada abaixo, determine a 
máxima carga P que pode suportar a ligação. Dados: adm_parafuso = 50 MPa; 
adm_chapas = 80 MPa. [Resposta: Pmax = 11,8 kN]. 
 
 
15) A estrutura mostrada abaixo é definida por um quadro rígido ABC associado a 
um cabo CD e vinculados nos apoios B e D através de pinos e solda de topo. 
Nessas condições, determine: a) a máxima carga P admissível que pode ser 
aplicada na estrutura; b) adotando P = Padm, o deslocamento do ponto A e o 
giro do quadro. Dados: 𝜎𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎 = 300 𝑀𝑃𝑎; 𝜎𝑐𝑎𝑏𝑜 = 250 𝑀𝑃𝑎;𝜎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 =
345 𝑀𝑃𝑎; 𝜏𝑝𝑖𝑛𝑜 = 180 𝑀𝑃𝑎; 𝐸𝑐𝑎𝑏𝑜 = 200 𝐺𝑃𝑎; 𝑑𝑐𝑎𝑏𝑜 = 20 𝑚𝑚; 𝑑𝑝𝑖𝑛𝑜,𝐵 =
15 𝑚𝑚; 𝑑𝑝𝑖𝑛𝑜,𝐷 = 12 𝑚𝑚; 𝜃 = 15
𝑜 . [Resposta: a) Pmax = 28 kN; b) A = 1,16 
mm;  = 7,73×10-4 rad]. 
b1 b2
PP
PP t1
t2
t2
P P
P
P/2
15 mm
8 mm
200 mm
5 mm
8 mm
P/2
 
 
16) O pórtico rígido abaixo está vinculado a um apoio fixo em C e ligado a uma 
barra soldada em B. Esta barra está também parafusada junto ao apoio em A e 
tem S.T. 1,5 x 7 cm. A barra foi soldada junto à viga do pórtico através de dois 
cordões de solda com comprimentos iguais de 8 cm. Em A, a ligação da barra 
com a chapa do apoio é através de um parafuso com 1 cm de diâmetro 
(cisalhamento simples), enquanto que em C, a ligação do pilar junto às chapas 
do apoio é através de um parafuso de 1,2 cm de diâmetro (cisalhamento 
duplo). As chapas do apoio C estão ligadas à base rígida através de dois pontos 
de solta de topo. Desconsiderando a flambagem e os modos de falha por 
rasgamentos, esmagamentos e ruptura em seções enfraquecidas, determine a 
máxima carga P (em kN) que pode ser aplicada ao sistema para que a 
segurança estrutural seja garantida. Dados: barra = 100 MPa; p = 150 MPa; 
solda = 80 MPa; solda = 90 MPa. Resposta: Pmax = 7,3 kN]. 
P

A B
C
D
Solda
Quadro rígido
1500 mm 1200 mm
10
00
 m
m
Cabo
cabo
pino
6 mm
100 mm
a
a
Vista a-a
B
120 mm
10
0 
m
m
D
pino
placa de
apoio
 
 
17) Na ligação soldada ilustrada abaixo submetida a uma carga centrada P aplicada 
na chapa central pede-se: a) Para uma carga de 42 tf, verificar se a ligação está 
bem dimensionada; b) em caso de não estar, dimensionar a máxima carga P 
admissível. Dados: 𝜎𝑐ℎ𝑎𝑝𝑎 = 1,2 𝑡𝑓/𝑐𝑚
2; 𝜏𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎 = 0,7 𝑡𝑓/𝑐𝑚
2; 𝜎𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎 =
0,9 𝑡𝑓/𝑐𝑚2. [Resposta: a) excesso de segurança; b) Pmax = 90 tf]. 
 
 
18) Você foi chamado às pressas para verificar a segurança de uma cobertura de 
um refeitório de uma creche escolar, com capacidade para 80 alunos. Você, um 
grande profissional da engenharia civil, pousou na obra com o helicóptero da 
empresa e, após uma rápida conversa com o encarregado local, percebeu que a 
ligação parafusada definida pelo nó C da treliça levanta suspeitas. O 
encarregado disse que a chapa de cobrejunta foi superdimensionada à tração e 
ao rasgamento e, portanto, não necessita de verificação. Você acessou o 
projeto estrutural e a planta de detalhamento das ligações para fazer alguma 
“calculeira” e resolver o problema. Com base nas informações presentes, 
solda cordão
chapa do apoio
viga
solda de topo
chapa do apoio
A
B
C
60 160 70
200
(cm)
10
2,5
detalhe solda cordão
1,5
1,5
barra de escora
S.T.
1,5
7
P
Soldas
P
50
(cm)
50
15 15
1.0
1.0
1.5
60
cheque a segurança da ligação e libere ou interdite a cobertura! Dados: 
𝑃 = 4 𝑡𝑓; 𝑑 = 0,952 𝑐𝑚; 𝜎𝑐ℎ = 1,2 𝑡𝑓/𝑐𝑚
2; 𝜎𝑒𝑠𝑚 = 2,4 𝑡𝑓/𝑐𝑚
2; 𝜏𝑝 =
0,9 𝑡𝑓/𝑐𝑚2; 𝐴𝑈 = 10,1𝑐𝑚
2. [Resposta: cobertura pode ser liberada; as 
tensões atuantes que devem ser verificadas são: p = 0,88 tf/cm
2; esm = 1,47 
tf/cm2; ch = 0,27 tf/cm
2]. 
 
 
19) A treliça mostrada abaixo é de uma liga metálica, cujo material foi testado em 
laboratório. Os testes foram realizados para uma barra circular de seção 
transversal cheia com diâmetro de 20 mm, obtendo-se uma carga de ruptura à 
tração de 140 kN, uma carga de esmagamento à compressão de 115 kN 
(desconsiderando a flambagem) e um força cortante de ruptura de 120 kN. 
Adotando coeficiente de segurança de 2,0 para tração, 2,5 para compressão e 
2,0 para o cisalhamento, dimensione as barras 2-4, 4-5 e 1-3, bem como os 
parafusos dos apoios 1 (cisalhamento simples – 1 plano potencial de corte no 
parafuso) e 2 (cisalhamento duplo – 2 planos potenciais de corte no parafuso). 
Obs.: os parafusos são feitos dessa mesma liga metálica. [Resposta: d2-4 = 29 
mm; d4-5 = 31 mm; d1-3 = 62 mm; dpino 1 = 54 mm; dpino 2 = 43 mm]. 
 
 
P
D
A
B
1 3
4
500 cm 500 cm
20
0 
cm
2
5
C
P
N5N4
cobrejunta
vista transversal
0.46
0.75
10.2
(cm)
S.T.
C
1,
0 
m
1,5 m 1,8 m 65 kN
160 kN
80 kN
1
2 4
3 5
20) Por uma questão técnica de execução, na ligação soldada mostrada na figura, 
os cordões de solda foram feitos conforme mostra o detalhe ao lado, sem a 
formação da forma convencional do tipo setor circular. Nestas condições, 
sendo a resistência admissível ao cisalhamento da solda de 800 kgf/cm2 e uma 
carga concentrada de 250000 kgf dimensione o comprimento L mínimo 
admissível. [Resposta: L = 47 cm]. 
 
 
21) O esquema abaixo mostra cada degrau de acesso ao Terminal Rodoviário do 
Tietê em São Paulo. As peças inclinadas que servem de apoio para os degraus e 
as peças que constituem os degraus são formadas por chapas dobradas de aço 
com espessuras de 50 mm e 20 mm, respectivamente. A fixação é feita através 
de parafusos de 10 mm de diâmetro cada. O Código de Obras da cidade 
recomenda que o projeto de estruturas de acesso utilizadas pela população 
seja feito considerando um número máximo de pessoas alinhadas no mesmo 
degrau e carregando bagagens de 10 kg por pessoa. A projeção horizontal no 
solo de cada pessoa é adotada como sendo 50 cm e o espaçamento entre as 
pessoas no mesmo degrau deve ser uniforme, para que seja garantido o nível 
mínimo de conforto. Admitindo que a massa média de uma pessoa seja de 80 
kg, pede-se: a) o esquema estático com os carregamentos no degrau; b) 
verifique se os parafusos e as chapas estão bem dimensionados ao 
cisalhamento e ao esmagamento nos furos, respectivamente. Dados: esm = 
240 MPa; p = 100 MPa (valores das tensões admissíveis). [Resposta: b) p = 
4,21 MPa; esm = 1,66 MPa]. 
 
P
Solda
L
(cm)
505 5
3
5
3
2
Detalhe
20 mm
50 mm
1,90 m
Vista longitudinal Vista transversal
 
22) A figura mostra a ligação de duas chapas axiais a uma chapa de Gusset por 
meio de dois parafusos com o objetivo de transferir a força total de tração de 
70 kN para o pilar. A chapa de Gusset foi ligada, por sua vez, ao pilar por meio 
de solda de topo ao longo de toda a sua extensão de contato com o pilar. Não 
há necessidade de se verificar a chapa de Gusset. Com base nessas 
informações, pede-se: a) analise se a ligação está em segurança ou falha; b) 
caso a solda esteja superdimensionada, redefina o comprimento soldado para 
que a eficiência da ligação soldada seja máxima. Dados: pino = 180 MPa; chapa = 
50 MPa; T,chapa = 100 MPa; C,chapa = 120 MPa; solda = 100 MPa; dp = 10 mm. 
[Resposta: a) pino = 222,8 MPa; chapa = 19,4 MPa; tração = 58,3 MPa; 
esmagamento = 175 MPa; solda = 23,3 MPa; b) Lsolda = 35 mm]. 
 
 
23) A barra vertical de aço mostrada na figura tem espessura de 9,5 mm e deve ser 
dimensionada para suportar uma força centrada de tração axial P de 125 kN. 
Serão usados dois parafusos para executar a ligação junto a duas chapas de 
cobrejunta. Com base nessas informações e desprezando-se o rasgamento da 
barra, as verificações da cobrejunta e a flexão nos parafusos, pede-se: a) o 
diâmetro d dos parafusos; b) a largura b da barra vertical. Dados: p = 350 MPa; 
adm,barra = 250 MPa. [Resposta: a) d = 14 mm; b) b = 53 mm]. 
P = 70 kN
150
120
80
100
50
chapa Gusset
35,23 49,73 35,23
10 10
20
(mm)
solda de topo
 
 
24) A estrutura ilustrada define um dos pórticos de uma doca portuária. Por 
necessidades de expansão do porto, foi construída uma viga de aço com 10 m 
de comprimento apoiadaem dois consolos curtos conforme ilustrado. Para não 
destruir o pilar, foi utilizado um material adesivo de alta fixação à base de 
cloroprene para fazer a união das chapas do consolo com a superfície lateral 
dos pilares para posterior apoio da viga. A VISTA LATERAL ilustra essa fixação. 
Sobre as duas chapas do consolo foi colocada uma placa para o apoio da viga. 
Você foi chamado pelo chefe de operações responsável pela doca, pois ele 
precisa saber se os pilares suportarão a nova condição de carregamento 
introduzida pela viga. Além disso, será necessário especificar os adesivos de 
cloroprene para fixação dos consolos. Com base nessas informações, pede-se: 
a) dimensione os adesivos de cloroprene e adote valores inteiros em 
centímetros; b) as máximas tensões normais nos pilares, analisando se a 
estrutura suportará ou não a nova condição de carregamento. 
 
Hipóteses de projeto: admita que o concreto não resista à tração; considere o 
peso próprio do concreto nos pilares e o peso próprio da viga metálica; 
despreze o peso próprio das placas dos consolos; despreze o peso próprio das 
barras de aço no interior dos pilares; despreze o momento fletor e flambagem 
nos pilares; admita que a viga esteja centrada nas placas de apoio sobre os 
consolos; admita que os adesivos cloroprene tenham largura igual à largura das 
chapas dos consolos (5 cm); Dados: EC = 30 GPa; C = 25 kN/m
3; ES = 200 GPa; 
S = 78 kN/m
3; S,adm = 430 MPa; C,adm = 25 MPa; Aviga = 30000 mm
2; cloro,adm = 
15 MPa; Gcloro = 100 GPa; cloro,adm = 0,003 mm. [Resposta: a) h = 41 cm; t = 2 
cm; b) aço: compressão = 10,6 MPa; tração = 288 MPa; concreto: compressão = 1,6 
MPa].