COMPLEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Prévia do material em texto

1 
 
1. INTRODUÇÃO 
Segundo Hibbeler, a resistência dos materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações 
entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que 
atuam dentro do corpo, abrangendo também o cálculo das deformações do corpo e o estudo da 
sua estabilidade, quando submetido a solicitações externas é a capacidade do material de 
resistir a uma força a ele aplicada. 
De acordo com a literatura o estudo voltado a resistência dos materiais, teve início no 
século XVII, com o pioneirismo de Galileu (físico, matemático, astrônomo e filósofo 
italiano), que aplicava cargas excessivas em hastes e vigas formadas por vários materiais 
(ferro, madeira, cerâmica, etc.), afim, de acompanhar a deformação estrutural da peça e 
desenvolver novos métodos de consolidação das edificações. 
Para o Engenheiro o estudo da matéria voltada e resistência dos materiais, por mais 
complexa que venha ser, tem suma importância na formação do profissional, pois quando se 
tem conhecimento especifico das forças, cargas pontuais, cargas distribuídas, tensões, flexões, 
torções, cisalhamentos, flambagem, vigas, treliças, nos proporciona segurança nas tomadas de 
decisões. O Engenheiro dotado de tais conhecimentos traz confiabilidade quando é concluído 
o projeto estrutural, assegurando as pessoas, empresas, trabalhadores durante o decorre da 
obra e todo público envolvido. 
O estudo aprimorado da matéria referida contribui também com o avanço de pesquisas, 
diminuindo assim tempo da execução tarefas, proporcionando o desenvolvimento de novos 
métodos construtivos na engenharia e atuando em áreas como a medicina que necessita de 
inovação para implantação de próteses com baixo custo e residentes, visando a melhoria 
progressiva, elevando o custo benefício. 
 
1.1 Objetivo 
O trabalho baseou-se no estudo e conceitos aprimorados com relação a matéria de 
resistências dos materiais, trazendo de forma lúdica o desafio de se elaborar um projeto de 
edificação com pontes em aço, quando é aplicado um carregamento determinado a uma 
2 
 
viga, seu comportamento, patologias (flambagem) e viabilidade do empreendimento, 
ajudando a compreender o que ocorre com certos materiais em nossa área de atuação. 
 
 
2. DESENVOLVIMENTO 
 
 Este projeto trata-se de uma análise estrutural solicitada por uma empresa fictícia, 
“Euroconstrutora”, que está construindo um prédio em Águas Claras, onde precisam criar 
pontes econômicas e leves usando vigas de aço, para a passagem dos materiais de 
construção de um prédio para o outro. 
As propostas que se tem são pendura-las por cabos de aço, como mostra a figura 1, ou 
sustenta-las de prédio a prédio pelas colunas da construção similares as da figura 2, onde 
serão construídas usando duas vigas nos extremos e o mesmo material no centro, similar 
ao que mostra a figura 1. 
 
 
Figura 1: Formato proposto da ponte. 
 
 
 
Figura 2: Ponte suportada por colunas. 
 
A análise consiste em identificar a resistência das vigas e colunas para cada um dos 
projetos, suas condições extremas de resistência, e quais vigas e colunas devem ser 
usadas. 
A primeira é fundamentada na figura 3, a qual mostra uma viga que será pendurada 
por dois cabos de aço de diâmetros 10 mm e 12 mm fazendo ângulos de 37 e 38 graus 
respectivamente, e submetida a diferentes carregamentos. Tendo G=75GPa, δadm= 
150MPa, ﺡadm= 100Mpa, L1= 1m, L2= 1,2m e P= 10KN obteve-se: 
3 
 
 
Figura 3: Viga para o teste. 
 
 
 Distribuição de forças; 
 
Carga uniforme: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Carga variada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Diagrama de Corpo Livre 
 
 Valor das reações sobre a viga; 
 
Fx = F1x - F2X= O 
Fy = F1x - F2X= O 
F1Y + F2Y= 14,5KN 
M0= 10*0,5 + 3*1,25 + 1,5*1,66 = 2F2Y 
F2Y = 
 
 
 
 
F2Y = 5,62KN 
F1Y= 8,88KN 
 
4 
 
 Forças atuantes em cada cabo; 
 
F1Y = F1*sen37 
F1 = 
 
 
 
F1 = 
 
 
 
 
F2Y = F1*sen38 
F2 = 
 
 
 
F2 = 
 
 
 
 
 Tensões normais para cada cabo; 
 
δ1 = 
 
 
 
δ1 = 
 
 
 
 
 
 
δ2 = 
 
 
 
δ1 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 - Diagramas de tensões normais de deformação para os cabos 1 e 2, respectivamente. 
 
F1= 14,75KN 
 
F2= 9,13KN 
 
δ1 = 187,8 Mpa δ1 = 80,73 Mpa 
5 
 
 Módulo de elasticidade e deformação para cada cabo, sabendo que as forças 
aplicadas geram um alongamento de 1.2mm no cabo 1 e 0.95mm no cabo 2. 
 
Deformação  = 
 
 
·, módulo de elasticidade E = 
 
 
 
 
1 = 
 
 
 
 
2 = 
 
 
E1 = 
 
 
 E2 = 
 
 
 
 
 
Nota-se que os valores de deformação e módulo de elasticidade não são iguais, isso se 
dar devido o comprimento, diâmetro, força e ângulo aplicados em cada cabo serem diferentes, 
o que influencia diretamente em cada análise, sendo ela de tensão, deformação e/ou 
elasticidade. 
 
 Coeficiente de Poisson para cada cabo; 
 
 
 
 , logo = 
 
 
 -1 
 = 
 
 
 -1 
 = 0,04 
 = 
 
 
 -1 
 = -0,32 
 
Sabendo que o coeficiente de Poisson não pode ser maior que 0,5, pois o elemento 
tensionado poderia atingir volume nulo ou negativo e que deve ser maior ou igual a 0. 
Adotasse um novo valor para o módulo de elasticidade ao cisalhamento através de: 
1 = 1,2 mm/mm 
 
2 = 0,792mm/mm 
 
E1 = 156,5 Gpa 
 
E2 = 101,93 Gpa 
 
6 
 
 
0 ≤ 
Para = 0 
G= 
 
 
 → G = 
 
 
 
 
Para = 0,5 
G= 
 
 
 → G = 
 
 
 
Logo 
 
 
 ≤ G ≤ 
 
 
 
 
 
 
 ≤ G1 ≤ 
 
 
 
52,17x ≤ G1 x 
Adotando G1= 55GPa 
 
 
 ≤ G2 ≤ 
 
 
 
33,98x ≤ G2 x 
Adotando G2= 35GPa
 
Recalculando o coeficiente de Poisson 
 
 = 
 
 
 -1 
 
 = 
 
 
 -1 
 
 
 Deformações laterais nos cabos; 
Onde,lat= long.
γ1= 1,2 γ2= 0,792 
 
 = 0,42 
 
 = 0,47 
 
γ1= 0,504 mm/mm 
 
γ2= 0,372 mm /mm 
 
7 
 
 Tensão de Cisalhamento para cada cabo; 
 
ﺡ1= γ1 * G1 
ﺡ1= 0,504x *55x 
 
ﺡ2= γ2 * G2 
ﺡ2= 0,372x * 35x 
 
 
Figura 6 - Diagramas de tensões normais de deformação para os cabos 1 e 2, respectivamente. 
 
 
 Força cortante e momento fletor usando os métodos; 
 
 Modelagem pelas integrais; 
Intervalo de 0 ≤ x < 0,5, 
 
Figura 7 – Diagrama da cortante no intervalo 0 ≤ x < 0,5. 
 
 
ﺡ1= 27,72 MPa 
 
ﺡ2= 13,02 MPa 
 
8 
 
Força Cortante (V) 
V(x) = - ∫W(x) dx 
 
 
V (0) = 8,88 KN 
V (0,5) = 8,88KN 
Momento Fletor (M) 
M(x) = ∫ V(x) dx 
 
 
M (0) = 0 KN*M 
M (0,5) = 4,44 KN*M 
 
 Intervalo de 0,5 ≤ x < 1. 
 
Figura 8 – Diagrama da cortante no intervalo 0,5 ≤ x < 1
 
Força Cortante 
- F1y + 10 + V = 0 
V(x) = - 10 + 8,88 
 
 
 
V (0,5) = -1,12 KN 
V (1) = -1,12 KN 
 
Momento Fletor 
M(x) = -1,12x + C 
M (0,5) = -1,12*0,5 + C = 4,44 
C = 5 
 
 
M(0,5) = 4,44 KN*M 
M(1) = 3,88 KN*M 
V(x) = F1y= 8,88 
KN 
 
M(x) = 8,88x 
 
V(x) = -1,12 
KN 
 
M (x) = -1,12x + 59 
 
Intervalo de 1 ≤ x < 1,5, carregamento uniforme onde W(x) = 6 KN 
 
Força Cortante 
V(x) = -6x + C 
V(1) = 6 + C = -1,12 
C = 4,88 
 
 
V (1) = -1,12 KN 
V (1,25) = -2,62 KN 
V(1,5) = -4,12 KN 
Momento Fletor 
M(x) = -3x
2
 + 4,66x + C 
M(1) = -3 +4,88 + C = 3,88 
C = 2 
 
 
M (1) = 3,88 KN*M 
M (1,25) = 3,41 KN*M 
M (1,5) = 2,57 KN*M 
 
 
Intervalo de 1,5 ≤ x < 2 , carregamento variado onde W(x) = 6 KN 
 
(1,5 ; 6) 
 
 
 
(2 ; 0) 
 
W(x) = Ax + B 
A = 
 
 
 = - 12 
W(0) = -12*2 + B = 0 
B = 24 
 
 
 
 
V(x) = - 6x + 4,88 
 
M(x) = -3X
2
 + 4,88x + 2 
 
W(x) = -12x + 24 
 
10 
 
Força Cortante 
V(x) = 6x
2 – 24x + C 
V(1,5) = 6*(1,5)
2
 – 24*1,5 + C = - 4,12 
C = 18,38 
 
 
 
V (1,5) = - 4,12 KN 
V (1,66) = - 4,93 KN 
V(2) = - 5, 62 KN 
Momento Fletor 
M(x) = 2x
3 – 12x² + 18,38x + C 
M(1,5) = 2*(1,5)³ - 12*(1,5)² + 18,38*1,5 + C 
C = 2,57 – 6,75 + 27 – 27,57 
C = - 4,75 
 
 
M (1,5) = 2,57 KN*M 
M (1,66) = 1,84 KN*M 
M (2) = 0 KN*M 
 
 
 Função da Descontinuidade 
 
Figura 9 – Analise da viga com carregamento espelhado 
 
Sabendo que: 
W= M0 <x-a>
 -2 
W= P <x-a>
 -1 
W= W <x-a>
 0 
W= M <x-a>
 1 
 
V(x) = 6x
2 – 24x + 18,38 
 
M(x) = 2x
3 – 12x² + 18,38x – 4,75 
 
11 
 
Temos então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo x nos pontos, temos os valores para força cortante e momento fletor: 
 
V (0) = 8,88 KN 
V (0,5) = -1,12 KN 
V (1) = - 1,12 KN 
V (1,5) = - 4,12 KN 
V (1,66) = - 4,93 KN 
V (2) = - 5,62 KN 
M (0) = 0 KN*M 
M (0,5) = 4,44 KN*M 
M (1) = 3,88 KN*M 
M (1,5) = 2,57 KN*M 
M (1,66) = 1,84 KN*M 
M (2) = 0 KN*M 
 
 Forças ou áreas 
 
Figura 10: Diagrama de forças 
12 
 
 
Momento por seções: 
 
S1: 8,88 * 0 = 0 KN*M 
S2: 8,88 * 0,5 = 4,44 KN*M 
S3 = -10 * 0,75 + 1,25 * 8,88 = 3,6 KN*M 
S4 = -3 * 0,41 – 10 * 1,16 + 8,88 * 1,66 = 1,91 KN*M 
S5 = -1,5 * 0,34 – 3 * 0,75 – 10 * 1,5 + 8,88 * 2 = 0 KN*M 
 
Em representações gráficas temos: 
 
Gráfico 1 – Representação gráfica da Força cortante V(x) por Distância X. 
-8 
-6 
-4 
-2 
0 
2 
4 
6 
8 
10 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 
V(KN) 
X(m
13 
 
 
Gráfico 2 – Representação gráfica do Momento Fletor M(x) por Distância X. 
 
 Tensões máximas a flexão para os perfis abaixo; 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 11 – Perfil 1. Tabela 1 – Dados do perfil 1. 
 
 Centroide 
 
Para Y = 
 
 
 
Y =
 
 
 → Y = 190x10-3m 
0 
0,5 
1 
1,5 
2 
2,5 
3 
3,5 
4 
4,5 
5 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 
M(KN*
X(m) 
 Centroide Y (m) Área (m²) 
Banzo Superior 0,36 0,008 
Alma Cheia 0,19 0,015 
Banzo Inferior 0,02 0,008 
14 
 
 Momento de Inércia 
 
Para Ix= 
 
 
 + A ( Y - Y)
2 
 
Ix== 
 
 
 + + 
 
 
 + 0,015 +
 
 
 
Ix= 577,032 µm
4
 
 
 Tensão de flexão 
Para δ = 
 
 
 onde C= , = Momento máximo do carregamento= 4,44 KN*M. 
C= 
 m 
 
 → C= 0,19m 
δ = 
 
 
 → δ = 1,46 MPa < δadm 
 
 Tensão de Cisalhamento 
Para ﺡ = 
 
 
 onde = Cortante máximo do carregamento = 8,88 KN 
ﺡ = 
 
 
 → ﺡ = 0,47 MPa < ﺡadm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 12 – Perfil 2. Tabela 2 – Dados do perfil 2. 
 Centroide Y (m) Área 
(m²) 
Banzo Superior 
 
0,325 0,01 
Alma Cheia 
 
0,15 0,012 
15 
 
 Centroide 
Y =
 
 
 → Y = 0,23 m 
 
 Momento de Inércia 
Ix=
 
 
 + + 
 
 
 + Ix= 259,133 µm
4
 
 
 Tensão de flexão 
C= 
 m 
 
 → C= 0,175m 
δ = 
 
 
 → δ = 3 MPa < δadm 
 
 Tensão de Cisalhamento 
ﺡ = 
 
 
 → ﺡ = 0,63 MPa < ﺡadm 
 
 
 
 
 
 
 Tabela 3 – Dados do perfil 3. 
Figura 13 – Perfil 3. 
 
 
 Centroide Y (m) Área (m²) 
Banzo Superior 0,025 0,0075 
Alma Cheia 0,15 0,008 
Banzo Inferior 0,275 0,0075 
16 
 
 Centroide 
Y =
 
 
 → Y = 0,15 m 
 
 Momento de Inércia 
Ix=
 
 
 + + 
 
 
 + + 
 
 
 
Ix= 264,166 µm
4 
 
 Tensão de flexão 
C= 
0, m 
 
 → C= 0,15m 
δ = 
 
 
 → δ = 2,52 MPa < δadm 
 
 Tensão de Cisalhamento 
ﺡ = 
 
 
 → ﺡ = 0,74 MPa < ﺡadm 
 
 
 
 
 
 Tabela 4 – Dados perfil 4. 
 
 
Figura 14 – Perfil 4 
Centroide Y 
(m) 
0,325 
17 
 
 Momento de Inércia 
Ix=
 
 
 → Ix= 100 µm
4
 
 
 Tensão de flexão 
C= 
0, m 
 
 → C= 0,1m 
δ = 
 
 
 → δ = 4,44 MPa < δadm 
 
 Tensão de Cisalhamento 
ﺡ = 
 
 
 → ﺡ = 0,3 MPa < ﺡadm 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15 – Perfil 5. Tabela 5 – Dados do perfil 5 
. 
 
 Centroide 
 
Y =
 
 
 → Y = 0,019m 
 
 Centroide Y (m) Área (m²) 
Banzo Superior 0,036 0,08x 
Alma Cheia 0,019 0,15x 
Banzo Inferior 0,002 0,08x 
18 
 
 Momento de Inércia 
Ix== 
 
 
 + + 
 
 
 + + 
 
 
 
 
Ix= 57,65 nm
4 
 
 
 Tensão de flexão 
C= 
 m 
 
 → C= 0,019m 
δ = 
 
 
 → δ = 1,46 GPa > δadm 
 
 
 
 
 
 Tabela 6 – Perfil 6. 
 Figura 16 – Perfil 6. 
 
 Centroide 
Y =
 
 
 → Y = 0,023 m 
 
 Momento de Inércia 
Ix= 
 
 
 + + 
 
 
 + 
 Ix= 24,91 nm
4 
 Centroide Y (m) Área (m²) 
Banzo Superior 
 
0,0325 0,1x 
Alma Cheia 
 
0,015 0,12x 
19 
 
 Tensão deflexão 
C= 
 m 
 
 → C= 0,0175m 
δ = 
 
 
 → δ = 3 GPa > 
δadm 
 
 
 
Tabela 7 – Dados do perfil 7. 
 Figura 17 – Perfil 7. 
 
 Centroide 
Y =
 
 
 → Y = 0,015 m 
 
 Momento de Inércia 
Ix=
 
 
 + + 
 
 
 + + 
 
 
 
 
Ix= 26,42 nm
4 
 
 Tensão de flexão 
C= 
0, m 
 
 → C= 0,015m 
δ = 
 
 
 → δ = 2,52 GPa > δadm 
 
 Centroide Y (m) Área (m²) 
Banzo Superior 0,0025 0,075x 
Alma Cheia 0,015 0,08 x 
Banzo Inferior 0,0275 0,075x 
20 
 
 
 
 
 Tabela 8 – Dados perfil 8. 
 Figura 18 – Perfil 8 
 
 Momento de Inércia 
Ix=
 
 
 → Ix= 10 nm
4
 
 
 Tensão de flexão 
C= 
0, m 
 
 → C= 0,01m 
δ = 
 
 
 → δ = 4,44 GPa > δadm 
 
Devido a especificação de as tensão máxima não poderem ultrapassar a tensão de 
escoamento do material, neste caso δadm= 150MPa, ﺡadm= 100Mpa, nota-se que as vigas de 
perfis de 1 á 4 atendem as exigências dadas pela construtora, devido suas tensões normais e 
cisalhantes não ultrapassarem o limite estabelecido. Não obedecendo ao estabelecido, às vigas 
de perfis de 5 a 8, por obter tensão normal acima do permitido. 
Redimensionando os perfis que não atenderam, temos: 
 
Sreq= 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
Centroide Y 
(m) 
0,0325 
Sreq= 29,6x10
-6
m
3 
21 
 
Perfil retangular, sabendo que: 
 
 
Figura 19 – Dimensões da viga 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ﺡ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 20 - Perfil com dimensões finais. 
 
22 
 
Perfil C - ; . 
 
Para área , A= d*Talma 
A = 102x10
-3
*4,67x10
-3
 
 
 
 
Para Tensão de Cisalhamento, =ﺡ
 
 
 
 
ﺡ= 
 
 
 
 
 
 
Para peso, P = m*g*L 
P = 8*9,81*2 
 
 
Perfil C - ; 
 
 
Para área; 
A = 127x10
-3
*4,83x10
-3
 
A = 476,34x10
-6
m
2 
ﺡ = 18,64 MPa 
P = 0,16KN 
A = 476,34x10
-6
m
2 
23 
 
Para Tensão de Cisalhamento; 
ﺡ= 
 
 
 
 
 
 
Para peso, 
P = 10*9,81*2 
 
O carregamento aplicado a viga é de 14,5 KN, sendo P bem mesmo que o 
carregamento, e ﺡ ﺡ estes perfis podem ser usados para substituição dos perfil de 5 a 
8. 
 
 Equação de Torção e Deflexão 
 
θЄI = 4,44 <x – 0>2 – 5 <x – 0,5>2 –1<x – 1,0>3 + 
 
 
 <x – 1,5>4 + C 
 ЄI = 
 
 
 <x – 0>3 – 
 
 
 <x – 0,5>3 – 
 
 
 <x – 1,0>4 + 
 
 
 <x – 1,5>5 + Cx + C1 
 
Analisando (0) = 0 
 
 (0) = 0 + C1 
C1 = 0 
 
 
 
 
ﺡ = 14,48 MPa 
P = 0,196KN 
24 
 
Analisando (2) = 0 
 
 Є (2) = 1,48*2² – 1,66*(1,5)³ – 0,25*14 + 0,13*(0,5)5 + 2C 
C = 
 
 
 
C= -2,98 
 
 
Tendo assim: 
θЄI = 4,44 <x – 0>2 – 5 <x – 0,5>2 –1<x – 1,0>3 + 
 
 
 <x – 1,5>4 – 2,98 
 ЄI = 
 
 
 <x – 0>3 – 
 
 
 <x – 0,5>3 – 
 
 
 <x – 1,0>4 + 
 
 
 <x – 1,5>5 – 2,98x 
 
θЄI (0) = –2,98 
θЄI (0,5) = –1,87 
θЄI (1,0) = 0, 1 
θЄI (1,5) = 1, 9 
θЄI (1,66) = , 4 
θЄI ( ,0) = ,57 
 
 ЄI (0) = 0 
 ЄI (0,5) = – 1,12 
 ЄI (1,0) = – 1,71 
 ЄI (1,5) = – 1,16 
 ЄI (1,66) = – 0,83 
 ЄI (2,0) = 0 
 
Gráfico 3 – Representação gráfica de Torção θЄI por Distância X. 
 
-4 
-2 
0 
2 
4 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 
x (m) 
θЄI (rad) 
25 
 
 
Gráfico 4 – Representação gráfica de Deflexão ЄI por Distância X. 
 
 Circulo de Morh para Perfil Retangular em cm 
 
Ix = 100x m4 
Iy = 
 
 
 = 
 
 
 = 56,25x 4 
δx = 
 
 
 = 
 
 
 = 4,44 Mpa 
δy = 
 
 
 = 
 
 
 = 7,89 Mpa 
xﺡ y = 
 
 
 = 
 
 
 = 0,444 MPA 
 
 
 
 
 
 
 
-2 
-1,5 
-1 
-0,5 
0 
0,5 
0 0,5 1 1,5 2 2,5 
x (m) 
vЄI (mm) 
4,44 
0,444 
7,89 
26 
 
1) Centro - tensão média 
C = 
 
 
 = 
 
 
 = 6,165 Mpa 
 
2) Raio - tensão cisalhamento 
ﺡmx = ﺡ = 
ﺡmx = ± 1,78MPa 
 
3) Eixo de coordenadas 
X= (δx;-ﺡxy) = (4,44; - 0,444) 
X= (δy;ﺡxy) = (7,89; 0,444) 
 
4) Tensões principais 
δ1 = C + R = 6,165 + 1,78 = 7,945 
δ2 = C - R = 6,165 - 1,78 = 4,385 
 
5) Plano de tensão normal 
Tan(2ɵp) = 
ﺡ 
 
 
 = 
 
 
 
 
(2ɵp) = Tan-1(-0,26) 
ɵp = 
 
 
 = -7,22° 
 
 
27 
 
6) Plano principal – cisalhamento 
Tan(2ɵp) = 
 
 
ﺡ 
 = 
 
 
 
 
(2ɵp) = Tan-1(7,77) 
ɵp = 
 
 
 = 41,33° 
 
 
Figura 21– Circulo de Morh em cm. 
 
 Circulo de Morh para Perfil Retangular em mm 
 
Ix = 903,66x m4 
Iy = 486,68x 4 
δx = 
 
 
 = 152,31 Mpa 
δy = 
 
 
 = 282,81 Mpa 
xﺡ y = 
 
 
 = 4,62 MPA 
28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Centro - tensão média 
C = 
 
 
 = 217,56 Mpa 
 
2) Raio - tensão cisalhamento 
ﺡmx = 
ﺡmx = ± 65,42 MPa 
3) Eixo de coordenadas 
X= (δx;-ﺡxy) = (152,3; - 4,62) 
X= (δy;ﺡxy) = (282,81; 4,62) 
 
4) Tensões principais 
δ1 = 217,56 + 65,42 = 282,98 
δ2 = 217,56 - 65,42 = 152,14 
 
152,3
1 
4,62 
282,
81 
29 
 
5) Plano de tensão normal 
Tan(2ɵp) = 
 
 
 
 
(2ɵp) = Tan-1(-0,07) 
ɵp = 
 
 
 = -2,025° 
 
6) Plano principal – cisalhamento 
Tan(2ɵp) = 
 
 
 
 
(2ɵp) = Tan-1(14,12) 
ɵp = 
 
 
 = 43° 
 
Figura 22– Circulo de Morh em mm. 
 
A segunda baseia-se nos cálculos das reações da viga trabalhada segundo o formato 
mostrado na figura 2, para este caso deve-se identificar o carregamento e assumir que este 
carregamento será aplicado no centro da coluna e que estas colunas apresentam uma altura de 
2m e são consideradas como maciças. 
30 
 
 O carregamento máximo 
 
Usando E1= 156,5 Gpa, r= 200mm e tenho K= 0,5. Sabendo que momento de 
inércia I=
 
 
 
e Pcr = 
 
 
 , tem – se: 
 
I 
= 
 
 
*(200x10
-3
)
4
=1,26x10
-3 
 
Pcr = 
 
 
 = 1,95Gpa 
 
 Tensão crítica assumindo que esta coluna sofrerá flambagem no eixo vertical, e 
esta com duas extremidades engastada, 
 
 
δcr = 
 
 
 = 
 
 
 = 15,50Gpa 
 
 
 A deflexão máxima que apresentará a coluna no centro dela, usando a formula 
da secante e a carga excêntrica que pode suportar antes de começar a 
flambagem, 
 
 
Sendo m = e [sec√
 
 
 * 
 
 
 -1], e adotando F1y como carga excêntrica tem-se: 
 max = e [sec√
 
 
 * 
 
 
 -1] 
 max = e [sec(6,71) - 1] 
 
 max =0,098e 
 
 
31 
 
 Equação que representa a flambagem para esta coluna. 
 
 
 = e[tan√
 
 
 * 
 
 
 * sen√
 
 
 * x + cos√
 
 
 -1] 
 
 
 = 
 
 
 [1 + 
 
 
 [tan(√
 
 
 * 
 
 
) * sem(√
 
 
 * x) + cos(√
 
 
)] ] 
 
 
 Calculo de flambagem da coluna, e tensão máximas assumindo que a carga é 
aplicada a 20mm do centro da coluna. 
 
Para X = 
 
 
 = 1 
 = 20[tan(√
 
 
 * 
 
 
)*sen(√
 
 
 x)+ cos(√
 
 
 x) -1] 
 = 20 [ tang (6,71) * sen (6,71x) + cos (6,71x) -1] 
 20 * (0,455 * 0,414 + 0,91 – 1) 
 1,97mm 
 
 
δ = 
 
 
 [1 + 
 
 
 (tan(√
 
 
 * 
 
 
)*sen(√
 
 
 x) + 
cos(√
 
 
 ) ] 
δ = 70,48x [ 1 + 0,5 (0,455 * 0,414 + 0,91) 
δ = 109,187 KPa 
 
 
32 
 
3. CONCLUSÃO 
 
Durante o decorrer dos cálculos, percebemos a importância do estudo voltado a resistência 
dos materiais. Entendemos as relações de deformidade e conceitos como exemplo: circulo de 
Mohr e coeficiente de Poisson. O dimensionamento correto de vigas e hastes e as 
particularidades ao se elaborar o plano construtivo (peças, ambientes, tamanhos, pesos, 
durabilidade e preço, etc.), as deformações causadas por emprego de tensão devido ao 
carregamento, traz ao futuro engenheiro a ideia do que será cobrando em sua área de atuação 
e os percalços que projetos pouco estudados podem trazer futuramente. 
 
33 
 
4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS 
 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7º ed. São Paulo, 2004. 
HALLIDAY, David, RESNIK Robert, KRANE, Denneth S. Física 1, volume 1, 4. Ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 1996. 
WIKIPEDIA. Momento de Inércia. Disponível em: 
<https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Momento_de_in%C3%A9rcia>. Acessado em 20 de 
Outubro de 2017. 
 
ALUNOS ONLINE. Momento de Inércia. Disponível em: 
<http://alunosonline.uol.com.br/fisica/momento-inercia.html>. Acessado em 20 de 
Outubro de 2017. 
 
BLOG DA ENGENHARIA. Importância de estudar resistência dos materiais. 
<https://blogdaengenharia.com/a-importancia-de-estudar-resistencia-dos-materiais-
dicas/>. Acessado em 20 de Outubro de 2017. 
 
PASSEI DIRETO. Resistência dos Materiais. 
<https://www.passeidireto.com/disciplina/resistencia-dos-materiais>. 20 de Outubro 
de 2017.