Av1 - Estruturas Algébricas

Prévia do material em texto

1)
O grupo simétrico de ordem , denotado por , é constituído pelo conjunto  e pela operação  de composição de permutações. Recordemos que uma permutação de um conjunto é uma aplicação bijetora do conjunto nele mesmo.
Como a composição de aplicações é associativa, fica bem definido para  e ,
 
 
Para , definimos 
 
 
Se  então  e definimos 
 
 
 
Considerando o grupo  e as definições dadas, avalie as afirmativas a seguir:
 
I. Se  então .
 
II. , .
 
III. ,  .
Agora, assinale a alternativa CORRETA.
Alternativas:
a)
Apenas a afirmativa I está correta.
b)
Apenas a afirmativa II está correta.
c)
Apenas a afirmativa III está correta.
d)
Apenas as afirmativas I e II estão corretas.
Alternativa assinalada
e)
Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
2)
Consideremos o plano cartesiano euclidiano . Alguns conjuntos podem ser representados por meio de equações algébricas:
- a reta   de coeficiente angular  que passa por .
- a circunferência  de raio   centrada em .
- a parábola de , onde  com .
 
Considerando o grupo aditivo  cuja operação de adição é adição usual de números reais em cada coordenada, julgue as afirmativas a seguir em (V) Verdadeiras ou (F) Falsas.
 
(   ) a reta  , com a adição usual do plano cartesiano euclidiano restrita ao conjunto, é um subgrupo de .
(   ) a circunferência , centrada na origem de raio 1, com a adição usual do plano cartesiano euclidiano restrita ao conjunto, é um subgrupo de .
(   ) a parábola , com a adição usual do plano cartesiano euclidiano restrita ao conjunto, é um subgrupo de .
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
Alternativas:
a)
V – V – F.
b)
V – F – F.
Alternativa assinalada
c)
F – V – F.
d)
V – F – V.
e)
F – V – V.
3)
Se  e  são grupos então  também é um grupo com a operação  dada por onde . O grupo   é dito produto direto dos grupos  e . 
Além disso,  é comutativa se, e somente se,   e são comutativas.
 
Com base no conceito de produto direto, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Se  é subgrupo de  e  é subgrupo de  então o produto cartesiano  é subgrupo do produto direto .
II. Dado um subgrupo  do produto direto  então existem subgrupos  e  de  e  respectivamente para os quais .
 
 
III. O conjunto , com a operação + dada por , onde , é um subgrupo do produto direto entre os grupos aditivos de matrizes com entradas reais e polinômios com coeficientes reais.
Agora, assinale a alternativa CORRETA.
Alternativas:
a)
Apenas a afirmativa I está correta.
b)
Apenas a afirmativa II está correta.
c)
Apenas a afirmativa III está correta.
d)
Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
Alternativa assinalada
e)
Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
4)
Considere o subconjunto de matrizes reais quadradas de ordem três definido da seguinte forma:
 
Considerando a operação usual de multiplicação entre matrizes definida por , podemos formar a seguinte estrutura algébrica .
Sobre esta estrutura algébrica, é correto o que se afirma em:
Alternativas:
a)
  não é um grupo porque não há um elemento neutro.
b)
   não é um grupo porque não há um elemento simetrizável.
c)
  é um grupo pois possui todas as propriedades de grupo.
Alternativa assinalada
d)
  é um grupo abeliano, pois, além de possui as características de grupo, ainda satisfaz a propriedade de associatividade.
e)
 é um grupo abeliano, pois, além de possui as características de grupo, ainda satisfaz a propriedade de comutatividade.
5)
Considere o seguinte subgrupo de matrizes reais quadradas de ordem 2:
 
Sejam as operações  e  as usuais de soma e multiplicação entre matrizes, respectivamente. Leia as seguintes afirmações e marque  (V) para verdadeiro ou  (F) para falso.
 (   )  e  não são grupos.
(   )  é um grupo abeliano.
(   )  é um grupo abeliano.
Assinale a alternativa com a sequência correta:
Alternativas:
a)
V - V - V
b)
V - V - F
c)
F - F - V
Alternativa assinalada
d)
F - V - V
e)
F - V - F